이상엽/ 해석학/ 리만적분

리만적분

  • (사실 리만 적분은 다르부의 적분과 동일하고, 오히려 다르부 적분이 더 간편하기 때문에 일반적으로 다르부 적분을 이용해서 적분을 다루지만 안타깝게도 리만이 더 유명하기 때문에 리만 적분이라고 부른다.)

리만적분의 정의

Def 1. [분할과 세분]

[a, b] 가 유계인 폐구간이고 a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b 일 때 \mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} [a, b] 의 분할이라 한다.

[a, b] 의 분할 \mathcal{P} \mathcal{P}* 에 대하여 \mathcal{P} \subset \mathcal{P}* 이면 \mathcal{P}* \mathcal{P} 의 세분이라 한다.

Def 2. [상합과 하합]

f [a, b] 에서 유계일 때

\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} 에 대해

\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}

M_{i} = \sup \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}

m_{i} = \inf \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \} 로 나타내자

이때

  1. U(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}
  2. L(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}

을 각각 [a, b] 에서 f 의 상합과 하합이라 한다.

  • (M_{i} 는 구간 내에서 가장 큰 사각형의 면적이고 이것들의 합이 상합 (아래 그림의 왼쪽) m_{i} 은 구간 내에서 가장 작은 사각형의 면적이고 이것들의 합이 하합이다. (아래 그림의 오른쪽))
  • (실제 구간의 면적은 상합과 하합 사이의 값이 되고, 그 구간의 간격을 극한으로 보내면 상합과 하합의 면적의 차이를 줄일 수 있고 최종적으로 그 줄어든 값이 면적이 된다.)

Def 3. [상적분과 하적분]

f [a, b] 에서 유계일 때 [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 에 대해

  1. \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \overline{\int_{a}^{b}} f = inf \{ U(\mathcal{P}, f) \}
  2. \underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b}} f = sup \{ L(\mathcal{P}, f) \}

을 각각 [a, b] 에서 f 의 상적분과 하적분이라 한다.

  • (구할 수 있는 상합들 중에서 하한이 상적분, 구할 수 있는 하합들 중에서 상한이 하적분이 된다.)

Thm.

다음 명제들이 성립한다.

  1. \mathcal{P}* [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 의 세분이면
    • L(\mathcal{P}, f) \leq L(\mathcal{P}*, f) \leq U(\mathcal{P}, f) \leq U(\mathcal{P}, f) 
    • (원래 분할 보다 더 세분화 시킨 것(세분)의 하합과 상합은 원래 분할의 하합과 상합의 사이에 온다.)
  2. [a, b] 의 임의의 두 분할 \mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2} 에 대하여 L(\mathcal{P}_{1}, f) \leq U(\mathcal{P}_{2}, f) 이다.
    • (임의의 두 분할에서 한쪽 분할의 상합은 다른쪽 분할의 하합 보다 항상 크다.)
  3. f [a, b] 에서 유계이면
    • \underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f

Def 4. [리만적분가능성]

f [a, b] 에서 유계일 때

\underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f

이면 f [a, b] 에서 리만적분가능하다고 하며

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f = \underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f

로 표현한다. 또한 [a, b] 에서 유계인 리만적분가능한 함수 f 들의 집합을 \mathfrak{R} [a, b] 로 나타낸다 (f \in \mathfrak{R} [a, b] )

  • (상적분 값과 하적분 값이 같게 되면 리만적분 가능하다고 한다. 둘이 같게 되지 않은 경우도 있음.)
  • (리만적분이 불가능하다고 해서 적분 자체가 안되는 것은 아니다. 다른 적분법을 이용하면 적분이 가능할 수 있음.)

주요 정리

Thm 1. [리만적분 판별법]

f [a, b] 에서 유계일 때 다음이 성립한다. (\mathcal{P} [a, b] 의 분할)

f \in \mathfrak{R} [a, b]

\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{P} s.t. U(\mathcal{P}, f) - L(\mathcal{P}, f) < \epsilon

  • (상합과 하합의 차이가 \epsilon 보다 작아지면 리만적분 가능하다 = 상적분과 하적분의 값이 같다.)

Thm 2. [연속성과 리만적분가능성]

f [a, b] 에서 연속이면 f \in \mathfrak{R} [a, b] 이다.

  • (연속이면 리만적분 가능하다. 연속이라고 미분은 안되는데, 연속이면 적분이 됨)
  • (불연속이어도 리만적분 가능한 경우가 있다)

Thm 3. [적분의 평균값 정리]

f [a, b] 에서 연속이면

\int_{a}^{b} f = f(c)(b-a) c \in (a, b) 가 존재한다.

리만적분의 연산

  • f, g \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.
    • \int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g (복부호동순)
  • f \in \mathfrak{R} [a, b] 
    • \Leftrightarrow \forall c \in (a, b), f \in \mathfrak{R}[a, c] \wedge f \in \mathfrak{R}[c, b]
    • with \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f  + \int_{c}^{b} f

미적분학의 기본정리

제 1 기본정리

Def. [부정적분]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 일 때 x \in [a, b] 에 대하여

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt

로 정의한 함수 F [a, b] 에서 f 의 부정적분이라 한다.

Thm. [미적분학의 제 1 기본정리]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 f [a, b] 에서 f 의 부정적분 F 에 대하여 다음이 성립한다.

  1. F [a, b] 에서 균등연속이다.
  2. f [a, b] 에서 연속이면 F [a, b] 에서 미분가능하고 \forall x \in [a, b], F'(x) = f(x) 이다.
  • (미분과 적분의 연산이 역관계를 갖는다는 의미)
  • (이를 최초로 발견한 사람은 이탈리아 수학자였던 토리첼리. 이를 좀 더 일반화한 사람이 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로)

제 2 기본정리

Def. [역도함수]

D 가 구간이고 f, F : D \to \mathbb{R} 가 모든 x \in D 에 대하여 F'(x) = f(x) 이면 F f 의 역도함수라 한다.

Thm. [미적분학의 제 2 기본정리]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 F : [a, b] \to \mathbb{R} [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하다고 하자. 이때 F f 의 역도함수이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)

따름정리

Thm 1. [치환적분법]

g [a, b] 에서 미분가능하고 g' \in \mathfrak{R} [a, b] 이며 f g([a, b]) 에서 연속이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx

Thm 2. [부분적분법]

f, g: [a, b] \to \mathbb{R} [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하며 f', g' \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f' g = \{ f(b)g(b) - f(a)g(a) \} - \int_{a}^{b} f g'

리만적분의 확장

  • (리만적분으로는 면적을 구할 수 없는 경우가 많아서 수학자들이 새로 방법을 정의한 것들이 다른적분 방법들)

특이적분

  • (이상 적분이라고도 함. 적분 구간이 유계인 폐구간이 아니거나 f가 유계가 아닌 경우에도 사용할 수 있는 적분 방법)

Def 1. [(a, b] 또는 [a, b) 의 경우]

  1. f : (a, b] \to \mathbb{R} 가 임의의 c \in (a, b) 에 대하여 f \in \mathfrak{R} [c, b] 이면 (a, b] 에서 f 의 특이적분은 \int_{a}^{b} f = \lim_{c \to a+} \int_{c}^{b} f 로 정의한다.
    • f : [a, b) \to \mathbb{R} 의 경우 \int_{a}^{b} f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c} f
  2. 1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 f 는 특이적분가능하다고 한다.
  3. f : [a, b] - \{ c \} \to \mathbb{R} [a, c) (c, b] 에서 특이적분가능하면 f [a, b] 에서 특이적분가능하다고 하고 \int_{a}^{b} f = \lim_{p \to c-} \int_{a}^{p} f + \lim_{q \to c+} \int_{q}^{b} f 로 정의한다.
  • (폐구간이 아니기 때문에 중간에 폐구간이 되는 점을 잡고 그 점을 개구간으로 향하는 극한을 취함)

Def 2. [[a, \infty) 또는 (-\infty, b] 의 경우]

  1. f : [a, \infty) \to \mathbb{R} a < c 인 임의의 c \in \mathbb{R} 에 대하여 f \in \mathfrak{R} [a, c] 이면 [a, \infty) 에서 f 의 특이적분은 \int_{a}^{\infty} f = \lim_{c \to \infty} \int_{a}^{c} f 로 정의한다.
    • f : (-\infty, b] \to \mathfrak{R} 의 경우 \int_{-\infty}^{b} f = \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{b} f
  2. 1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 f 는 특이적분가능하다고 한다.
  3. f 가 적당한 p \in \mathbb{R} 에 대하여 (-\infty, p] [p, \infty) 에서 특이적분가능하면 f \mathbb{R} 에서 특이적분가능하다고 하고 \int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{p} f + \int_{p}^{\infty} f 로 정의한다.
  • (위와 비슷하게 정의. 폐구간 점보다 큰 임의의 점을 잡아서 적분 가능한지 확인하고 그 임의의 점을 무한으로 향하는 극한을 취함)

스틸체스적분

  • (\int f(x) dg(x) 의 꼴로 표현되는 형태로 g(x) 는 증가함수로 정의됨)
  • (g(x) x 가 되면 리만적분의 형태가 되기 때문에 리만적분의 일반화된 버전으로 생각할 수 있다.)
  • (리만적분은 연속이어야 가능하지만, 스틸체스적분은 불연속적인 것에 대해서도 적분이 가능하다. g(x) 를 불연속적인 함수로 잡으면 되기 때문)

Def 1. [스틸체스 상합과 하합]

[a, b] 에서 유계인 함수 f 와 증가함수 \alpha, [a, b] 의 분할 \mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} \Delta \alpha_{i} = \alpha(x_{i}) - \alpha(x_{i-1} 에 대하여

  1. U(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}
  2. L(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}

을 각각 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스상합, 스틸체스하합이라 한다. (i = 1, 2, ... , n )

Def 2. [스틸체스 상적분과 하적분]

[a, b] 에서 유계인 함수 f 와 증가함수 \alpha, [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 에 대하여

  1. \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \inf \{ U(\mathcal{P}, f, \alpha) \}
  2. \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \sup \{ L(\mathcal{P}, f, \alpha) \}

을 각각 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스 상적분과 스틸체스 하적분이라 한다.

Def 3. [스틸체스 적분 가능성]

f [a, b] 에서 유계이고 \alpha [a, b] 에서 증가함수 일 때

\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha

이면 f [a, b] 에서 \alpha 에 관하여 스틸체스적분가능하다고 하며

\int_{a}^{b} f d\alpha = \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha

로 표현하고 이를 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스적분이라 한다. (f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] )

Thm.

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 \alpha [a, b] 에서 증가하고 미분가능한 함수이며 \alpha ' \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] 이면 f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] 이고 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) \alpha '(x) dx

  • (리만 적분은 스틸체스 적분의 \alpha = x 인 지점이므로 \int_{a}^{b} f(x) x' dx 이 되고 x' = 1 이므로 결과적으로 \int_{a}^{b} f(x) dx 의 꼴이 된다)
[ssba]

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