이상엽/ 해석학/ 수열, 급수의 극한

수열과 극한

  • (수열은 수를 순서 있게 나열한 것. 현대적으로 보면 결국 함수)

수열의 정의

Def 1. [수열]

함수 f : \mathbb{N} \to \mathbb{R} 를 수열 \{a_{n}\} 이라 하고 f(m) = a_{m} \{a_{n}\} m 번째 항이라 한다.

Def 2. [부분수열]

\{a_{n}\} 에 대하여 자연수 수열 \{n_{k}\}

n_{1} < n_{2} < ... < n_{k} < ...

이면 \{a_{n_{k}}\} \{a_{n}\} 의 부분 수열이라 한다.

Def 3. [증가(감소)수열]

  1. \forall n \in \mathbb{N}, a_{n} \leq a_{n+1} \{n_{k}\} 를 단조증가수열이라 한다.
    • (a_{n} \geq a_{n+1} 이면 단조감소수열)
  2. \forall n \in \mathbb{N}, a_{n} < a_{n+1} \{n_{k}\} 를 순증가수열이라 한다.
    • (a_{n} > a_{n+1} 이면 순감소수열)

Def 4. [유게인 수열]

\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |a_{n}| \leq M 이면 \{a_{n}\} 을 유계인 수열이라 한다.

수열의 극한

Def 1. [수열의 수렴]

\{a_{n}\} 이라 하자. \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, | a_{n} - a | < \epsilon 이 성립하면 \{a_{n}\} a 로 수렴한다고 하고 이를 \lim_{n \to \infty} a_{n} = a 로 표현한다.

Def 2. [수열의 발산]

적당한 \epsilon > 0 와 모든 N \in \mathbb{N} 에 대하여 \exists n \geq \mathbb{N} : |a_{n} - a| \geq \epsilon 이면 \{a_{n}\} 은 발산한다고 한다.

Thm 1. [수열 극한의 유일성]

\{a_{n}\} 이 수렴하면 그 극한은 유일하다.

Thm 2. [수열 극한의 연산]

\lim_{n \to \infty} a_{n} = a 이고 \lim_{n \to \infty} b_{n} = b 이면 다음이 성립한다.

  1. \lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b (복부호 동순)
  2. \lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab
  3. \lim_{n \to \infty} {a_{n} \over b_{n}} = {a \over b} (b \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}, b_{n} \neq 0)

코시 수열

Def 1. [코시수열의 정의]

\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}

with, m \geq n > N, |a_{m} - a_{n} | < \epsilon 가 성립하면 \{a_{n}\} 을 코시수열이라 한다.

Thm 1. [코시 수열과 수렴판정]

\{a_{n}\} 이 코시수열이면 \{a_{n}\} 은 수렴한다.

Def 2. [실수의 구성적 정의]

  1. 유리수 코시수열의 집합 \mathbb{R}* 에 대하여 \mathbb{R}* \times \mathbb{R}* 의 동치관계 E : \{a_{n}\} E\{b_{n}\} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_{n} - b_{n}) = 0 의 동치류 [\{a_{n}\}] 을 실수라 하고, 이들의 집합을 \mathbb{R} 이라 표현한다.
  2. \lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha 이면 [\{a_{n}\}] = \alpha 라 한다.

Thm 2. [실수의 완비성]

\mathbb{R} 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다.

주요 정리

단조수렴정리

Thm 1. [단조수렴정리]

\{a_{n}\} 이 단조증가(감소)하고 위(아래)로 유계이면 \{a_{n}\} 은 수렴한다.

  • (그 수렴하는 값은 상한(하한)이 된다)

Thm 2. [축소구간정리]

모든 n \in \mathbb{N} I_{n} = [a_{n}, b_{n}] 에 대하여

  1.  I_{n} = [a_{n}, b_{n}] 이 유계인 폐구간이고
  2. I_{n+1} \subset I_{n} 이며
  3. lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 이면

\cap_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{ \alpha \} \alpha \in \mathbb{R} 가 존재한다.

  • (임의의 구간 잡고 그 구간을 간격을 무한히 좁혀가면, 그 수렴하는 값에 대응되는 실수가 존재한다.)

B-W 정리

Thm 1. [샌드위치 정리]

L \in \mathbb{R} 일 때 모든 n \in \mathbb{R} 에 대하여 a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} 이고 \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L 이면 \lim_{n \to \infty} b_{n} = L 이다.

Thm 2. [볼차노-바이어슈트라스 정리]

\{a_{n}\} 이 유계인 수열이면 \{a_{n}\} 은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

Cor. [최대 최소정리]

f [a, b] 에서 연속 \Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})

급수와 극한

급수의 정의

  • (급수란 수열의 합)

Def 1. [급수]

수열 \{a_{n}\} 에 대하여

a_{1} + a_{2} + ... = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

을 (무한)급수라 한다.

이때 a_{n} 을 급수의 n 번째 항이라 하며

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

을 급수의 부분합이라 한다.

Def 2. [재배열급수]

f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} 가 전단사 함수일 때 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} 의 재배열급수라 한다.

  • (급수에 대해 순서를 적절하게 재배열할 것을 재배열급수라고 한다)
  • (수열에서는 순서가 중요하기 때문에 더하는 순서도 중요하다)

급수의 극한

Def 1. [급수의 수렴과 발산]

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 에 대한 부분합의 수열 \{S_{n}\} S \in \mathbb{R} 로 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} S 로 수렴한다고 하고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S 로 표현한다.

만약 \{S_{n}\} 이 어떤 실수 값으로 수렴하지 않으면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 발산한다고 한다.

  • (수열의 부분합들로 이루어진 수열의 합이 어떤 값으로 수렴하게 되면 급수는 수렴한다고 한다)
  • (무한급수의 합은 S_{n} = {a(1 - r^{n}) \over 1 - r} 와 같다. 여기서 a 는 첫항, r 는 첫항에 곱해지는 공비. 공비는 1이 되면 안 된다.)

Def 2. [절대수렴과 조건수렴]

n \in \mathbb{N} 에 대하여 a_{n} \in \mathbb{R} 이라 하자

  1.  \sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}| 이 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 절대수렴한다고 한다.
    • (수열을 재배열 해도 수렴하는 값이 동일. 수열에 절대값을 씌운 후에 합해도 수렴하는 경우에 가능)
  2. \sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}| 은 발산하지만 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 조건수렴한다고 한다.
    • (수열을 재배열 하면 수렴하는 값이 달라짐)

여러가지 정리

Thm 1.

\alpha, \beta \in \mathbb{R} 이고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \alpha, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \beta 이면 \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \alpha \pm \beta 이다. (복부호 동순)

Thm 2.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 수렴하면 \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 이다.

Thm 3.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 의 임의의 재배열 급수 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} 에 대하여

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 절대수렴하고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L 이면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} = L 이다.

  • (절대수렴인 경우 재배열을 어떻게 하더라도 원래 수열과 같은 값으로 수렴한다)
[ssba]

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