이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]

\emptyset \neq D \subset \mathbb{R} 이고 모든 n \in \mathbb{R} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 일 때 \{f_{n}\} D 에서의 함수열이라 한다.

또한 \{f_{n}\} 이 함수열일 때 \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} 을 함수열 급수라 한다.

  • (쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)

Def 2. [멱급수]

실수 c 와 수열 \{a_{n}\} 에 대하여 함수열 \{f_{n}\}

f_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}

과 같이 표현될 때의 함수열 급수

\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

를 멱급수라 한다.

  • (함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
  • (멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)

Def 3. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c-\delta, c+\delta) 에서 함수 f 가 멱급수로 표현될 수 있으면,

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n} 이면 f x=c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

  • (멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

  • (f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ... 과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
    • (물론 이것이 의미가 있으려면 함수 f(x) 가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
  • (이렇게 되면 함수 f(x) 를 보지 않고 그 분해된 각각의 \{f_{n}(x)\} 들을 보고 그 합으로써 f(x) 를 이해할 수 있다.)
  • (라고 수학자들이 최초에 생각했으나, f(x) 의 하위 $latex  f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), … &s=2$이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 f(x) 는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
  • (그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]

\{f_{n}\} \{f_{n}\} 가 각각 \{f_{n}\} 에서 정의된 함수열과 함수라 하자

  1. 임의의 x \in D 와 임의의 \epsilon > 0 에 대해 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 을 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 점별수렴한다고 한다. 이때 f \{f_{n}\} 의 극한함수라 하고, f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) 로 표현한다.
  2. 임의의 \epsilon > 0 에 대하여 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 를 임의의 x \in D 에 대하여 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 균등수렴한다고 한다.

Thm. \{f_{n}\} D 에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]

f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}

with, m > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon

Thm 2. [바이어슈트라스판정법]

n \in \mathbb{N} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 때, 적당한 양의 상수 M_{n} > 0 이 존재하여 모든 x \in D 에 대하여 |f_{n}(x) | \leq M_{n} 이고 \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty 이면 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

멱급수

  • (해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
  • (멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]

모든 n \in \mathbb{N} 에 대하여 a_{n} \geq 0 이고 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M 일 때 다음이 성립한다.

  1. M < 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 수렴한다.
  2. M > 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 발산한다.
  • (M = 1 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)

Cor. [멱급수의 수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 에 대하여 \alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} 일 때, R = {1 \over \alpha} 라 하면 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

  1. |x - c| < R 에서 절대수렴한다.
  2. |x - c| > R 에서 발산한다.

\alpha = 0 이면 R = \infty \alpha = \infty 이면 R = 0 으로 간주한다.

  • (어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
  • (여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)

Def. [수렴반지름과 수렴구간]

Cor에서 구한 R 을 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이라 하고 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.

Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름을 R 이라 하고 0 < r < R 일 때 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [c-r, c+r] 에서 균등수렴한다.

  • (수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Cor. [함수열급수의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Lemma. [아벨의 공식]

수열 \{a_{n}\}, \{b_{n}\} 과 임의의 자연수 n, m (n > m) 에 대하여 다음이 성립한다.

\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}

Thm 2. [아벨 정리]

수렴반지름이 R \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} x = c + R 에서 수렴하면 (c - R, c + R] 의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.

Thm 3. [멱급수의 연속]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]

다음을 만족하는 함수열 \{f_{n}\} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \{f_{n}(x_{0})\} 가 수렴한다. (점별 수렴)
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \{f_{n}'\} 는 균등수렴한다.

또한 이때 \{f_{n}\} 의 극한함수를 f 라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x) 이다.

Cor. [함수열급수의 미분]

다음이 만족하면 함수열급수 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0}) 가 수렴한다.
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}' 은 균등수렴한다.

이때 f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 이라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x) 이다.

Lemma.

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1} 의 수렴반지름도 R 이다.

Thm 3. [멱급수의 미분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 f (c - R, c + R) 에서 미분가능하며, 이때 f 의 도함수는

f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}

이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]

\{f_{n}\} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하고 f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] 이면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f

이다.

Thm 2. [항별적분]

f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}

이다.

Thm 3. [멱급수의 적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b] 에서 수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.

Thm 4. [멱급수의 특이적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b) 에서 수렴하고 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1} 이 수렴하면 f [a, b) 에서 특이적분가능하고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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