이상엽/ 해석학/ 해석함수

테일러급수 전개

  • (테일러 급수는 멱급수 –다항함수의 급수– 의 한 형태)
  • (어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
    • (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c - \delta, c + \delta) 에서 함수 f f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이면 f x = c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 f 가 구간 I 에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 c \in I 에 대하여 구간 (c  -\delta, c + \delta) 에서

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}

을 만족시키는 \delta > 0 이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 f 의 테일러급수라 하고, 특히 c = 0 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

  • (멱급수에서 a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!} 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
  • (함수 f 가 해석적이면 f 는 무한번 미분 가능. 그러나 f 가 무한번 미분 가능하다고 해서 f 가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

  • (아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)

{1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)

\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)

참고) y = {1 \over x} y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k} 의 그래프 비교

e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)

\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... \\= \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)

참고) y = e^{x} y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

참고) y = \ln x y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)

\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)

참고) y = \sin x y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!} 의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적이면 다음이 성립한다.

  1. cf, f \pm g, fg I \cap J 에서 해석적이다. (단 c 는 상수)
  2. g(x_{0}) \neq 0 x_{0} \in I \cap J 에 대해 {f \over g} x = x_{0} 의 근방에서 해석적이다.

Thm 2. [해석함수의 합성]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적일 때, f(I) \subset J 이면 합성함수 g \circ f I 에서 해석적이다.

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.