이상엽/ 위상수학/ 위상공간

위상공간

도입

  • 위상수학의 본질은 연속에 대한 이해이며, 실수의 연속성으로부터 시작한다.
    • (연속의 핵심은 극한)

Def 1. [lim_{n \to \infty} x_{n} = L ]

L \in \mathbb{R} 이라 할 때, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, |x_{n} - L| < \epsilon

이때 |x_{n} - L| < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)

  • x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon) x_{n} L 의 근방에 포함된다는 의미

Def 2. [근방]

N \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R} 이라 할 때,

\exists(a, b) \subset N : L \in (a, b) 을 만족하면 N L 의 근방이라 한다.

  • 근방이란 L 을 포함하는 열린구간을 의미. 심지어 (-\infty, \infty) 도 정의상 근방이라고도 할 수 있다.
  • 근방 정의의 핵심은 L 로부터 얼마나 떨어져 있느냐가 아니라 연속성.

Thm 1. [근방(열린구간)의 성질]

  1. L \in \mathbb{R} 의 근방들의 유한교집합은 L 의 근방이다.
    • 닫힌 구간인 경우에는 성립하지 않는다. 닫힌 구간들이 1개의 원소를 공유하는 경우 그 교집합은 1개의 원소가 되기 때문에 근방이 되지 않음.
  2. L \in \mathbb{R} 의 근방들의 무한합집합은 L 의 근방이다.
    • 무한 교집합인 경우에는 성립하지 않는다. 교집합이 1개의 원소로 수렴하기 때문

Def 3. [열린집합]

열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 열린집합이라 한다.

Thm 2. [열린집합의 성질]

  1. \emptyset 은 열린집합이다.
  2. 열린집합의 유한교집합은 열린집합이다.
  3. 열린집합의 무한합집합은 열린집합이다.
  • 열린구간의 일반화 버전
    • 열린집합을 0번 합하면 공집합, 1번 합하면 열린구간이 된다.

위상공간

  • 실수에서의 열린집합 성질을 바탕으로 이를 일반화하여 위상공간을 정의한다.
    • 임의의 집합 X 에 열린집합의 성질을 부여한 것이 위상공간

Def 1. [위상과 위상공간]

집합 X (\neq \emptyset) X 의 부분집합의 집합족 \mathfrak{I} 가 다음을 만족한다고 하자.

  1. \emptyset, X \in \mathfrak{I}
    • X 는 열린집합
  2. \forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cap_{i=1}^{n} U_{i} \in \mathfrak{I} (n < \infty)
    • 열린집합의 성질에서 유한 교집합과 같은 내용
  3. \forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cup_{i} U_{i} \in \mathfrak{I}
    • 열린집합의 성질에서 무한 합집합과 같은 내용

이때 \mathfrak{I} X 위의 위상(topology), (X, \mathfrak{I}) 를 위상공간이라 한다.

  • 1.(1).Def3에서 정의한 열린집합들의 집합족 \mathfrak{I} 에 대해 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 를 실수의 보통위상공간이라 한다.
  • 정의에 의해 한 집합에는 다양한 위상이 존재함을 알 수 있다.

Def 2. [열린집합 개념의 확장]

\mathfrak{I} 가 집합 X 의 위상일 때 \mathfrak{I} 의 원소를 열린집합이라 한다. 즉, 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대해 O \in \mathfrak{I} O (\subset X)

ex) 집합 X(\neq \emptyset) 에 대하여 다음은 모두 X 위의 위상이다.

  1. \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X \} : 밀착위상
  2. \mathfrak{I} = P(X) 이산위상
  • 모든 집합 X 에 대하여
    • 공집합과 자기 자신(X )을 포함하는 집합족도 X 의 위상이 되고, (최소) 이거를 밀착 위상이라고 한다.
    • 공집합과 자기 자신(X )과 자기 자신의 모든 부분집합을 포함하는 집합족도 X 의 위상이 된다. (최대) – 이게 멱집합이고 이걸 이산 위상이라고 한다.

Def 3. [닫힌집합]

\mathfrak{I} 가 집합 X 의 위상일 때 C^{c} = X - C \in \mathfrak{I} C 를 닫힌집합이라 한다. (열린집합의 여집합)

  • 닫힌집합이라 해서 열린집합이 아닌 것은 아니다. 즉, 열린집합이면서 동시에 닫힌집합인 것도 존재할 수 있다.
    • ex) 실수의 보통위상공간에서 \mathbb{R}

기저

기저

  • 기저로부터 위상을 효율적으로 파악할 수 있을 뿐 아니라 새로운 위상을 만드는 것도 가능하다.

Def. [기저]

집합 X 위의 위상 \mathfrak{I} \mathfrak{I} 의 부분집합 \mathcal{B} 에 대해 \mathfrak{I} 의 임의의 원소가 \mathcal{B} 의 원소의 합집합으로 표현될 수 있으면 \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저라 한다.

  • \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저일 떄, \mathcal{B} \subset \mathcal{C} \subset \mathfrak{I} \mathcal{C} \mathfrak{I} 의 기저이다.

Thm. [기저의 또 다른 정의]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) \mathfrak{I} 의 부분집합 \mathcal{B} 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저이다.
  2. \forall p \in X, p \in U \in \mathfrak{I}, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B \subset U

Cor. [기저의 성질]

집합 X 위에 정의된 위상의 기저 \mathcal{B} 는 다음 두 조건을 만족하며, 그 역도 성립한다.

  1. \forall p \in X, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B
  2. \forall B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}, \forall p \in B_{1} \cap B_{2}, \exists B_{3} \in \mathcal{B} : p \in B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}

ex) 다음 집합이 생성하는 집합족은 모두 \mathbb{R} 위의 위상이다.

  1. L = \{ [a, b) \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}
  2. U = \{ (a, b] \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}

위상크기비교

  • 같은 집합위의 서로 다른 두 위상의 크기를 비교가능한 때가 있으며, 이는 각 위상의 기저를 이용해 효율적으로도 가능하다.

Def. [위상크기비교]

집합 X 위의 두 위상 \mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2} 에 대하여 \mathfrak{I}_{1} \subset \mathfrak{I}_{2} 이면 \mathfrak{I}_{1} \mathfrak{I}_{2} 보다 작다 (또는 \mathfrak{I}_{2} \mathfrak{I}_{1} 보다 크다)고 한다.

Thm. [기저를 이용한 위상크기비교]

\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2} 가 각각 집합 X 위의 서로 다른 두 위상 \mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2} 의 기저라 하자. 이때 다음 두 명제는 동치이다.

  1. \mathfrak{I}_{1} \mathfrak{I}_{2} 보다 크다.
  2. \forall p \in X, \forall B_{2} \in \mathcal{B}_{2} ,with, p \in B_{2}, \exists B_{1} \in \mathcal{B}_{1} : p \in B_{1} \subset B_{2}

즉, \mathcal{B}_{1} \supset \mathcal{B}_{2} 이면 \mathfrak{I}_{1} \supset \mathfrak{I}_{2} 이다. 단, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

거리공간

거리공간

  • 위상공간에서 배제된 거리의 개념을 새로이 정의하고, 이를 집합에 부여한 공간을 고려해본다.

Def. [거리]

집합 X 에 대해 함수 d : X \times X \to \mathbb{R} 가 다음 네 조건을 만족한다고 하자.

  1. \forall x, y \in X, d(x, y) \geq 0
  2. d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y
  3. \forall x, y \in X, d(x, y) = d(y, x)
  4. \forall x, y, z \in X, d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)

이때 d X 위의 거리(함수), (X, d) 를 거리공간이라 한다.

ex) 다음은 모두 거리공간이다.

  1. \mathbb{R} d(x, y) = |x - y| 에 대해 (\mathbb{R}, d)  
    • 여기서 d 는 유클리드 거리라고 하며 (\mathbb{R}, d)  는 유클리드 공간이라 한다. (보통 d_{E} 로 씀)
  2. \mathbb{R}^{n} = \{ \vec{x} = (x_{1}, ... , x_{n}) | x_{1}, ... , x_{n} \in \mathbb{R} \} d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + ... + (x_{n} - y_{n})^{2}} 에 대해 (\mathbb{R}^{n}, d)  
  3. 임의의 집합 X d(x, y) = \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x = y \end{cases}  에 대해 (X, d)  

주어진 두 거리공간 (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}) 으로부터 다음과 같은 곱거리함수 d_{1} \times d_{2} 를 이용해 새로운 거리공간 (X_{1} \times X_{2}, d_{1} \times d_{2}) 을 만들 수 있다.

(d_{1} \times d_{2})((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = \sqrt{(d_{1}(x_{1}, y_{1}))^{2} + (d_{2}(x_{2}, y_{2}))^{2}}

(단, X_{1} \times X_{2} = \{ (x_{1}, x_{2} | x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2} \} )

거리화 가능 공간

  • 모든 거리공간은 위상공간화 가능하다.
    • 하지만 위상공간이 거리공간으로 변환할 수 없는 것도 존재하기 때문에, 거리공간이 위상공간에 포함되는 개념이 된다. 거리는 위상공간에서 부차적인 요소이다.
    • 거리공간에서 위상공간의 기저가 될 수 있는 것을 만들어 준다.

Def. [열린구]

거리공간 (X, d) 과 임의의 점 x_{0} \in X , 양의 실수 r 에 대하여 X 의 부분집합

B_{d} (x_{0}, r) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) < r \}

을 중심이 x_{0} 이고 반지름인 r 인 열린구라하며, 간략히 B_{r}(x_{0}) 로 표기하기도 한다. (임의의 점 x 에서 거리 r 안에 포함되는 모든 점을 가져온 것. r 미만 이기 때문에 열린 구가 된다. 이하이면 닫힌구, 거리와 같은 점을 모으면 구면이 된다)

  • \overline{B_{r}}(x_{0}) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) \leq r \} : 닫힌구
  • S_{r}(x_{0}) = \{x \in X | d(x_{0}, x) = r \} : 구면

Thm. [거리공간의 위상공간 유도]

거리공간 (X, d) 에 대하여 모든 열린구들의 집합

\mathcal{B} = \{ B_{r}(x_{0}) | x_{0} \in X, r > 0 \}

는 항상 집합 X 위의 어떤 위상의 기저가 된다. \mathcal{B} 로부터 생성된 위상을 거리위상, 위상공간을 유도공간이라 한다. (모든 열린 구들의 집합이 어떤 위상의 기저가 된다. 그렇게 만든 기저로 위상공간의 모든 요소들을 만들어낼 수 있음)

  • 어떠한 거리공간으로부터도 유도될 수 없는 위상공간이 존재한다.
    • ex) X = \{ 1, 2 \} 에 대한 밀착위상공간
  • 서로 다른 두 거리공간으로부터 동일한 위상공간이 유도되기도 한다.
    • ex) \vec{x} = (x_{1}, x_{2}), \vec{y} = (y_{1}, y_{2}) (\in \mathbb{R}^{2})
    • d_{E}(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}}
    • d_{M}(\vec{x}, \vec{y}) = Max(|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|)
    • 일 때 (\mathbb{R}^{n}, d_{E}), (\mathbb{R}^{n}, d_{M})
    • d_{E} 는 원의 모양이 되고 d_{M} 는 정사각형 모양이 된다. 그런데 이 두 거리공간으로부터 유도되는 위상공간은 동일하다. 다시 말해 원과 사각형이 위상공간에서는 같은 것이라는 것. 이는 실수라는 무한집합을 이용하였기 때문. 이게 위상수학의 유명한 예.

관계를 다음과 같이 도식해 볼 수 있다.

 

내, 외부와 경계

집적점과 폐포

  • 실수의 극한에 대응하는 위상공간의 개념을 알아본다.
    • 집적점은 실수의 극한의 일반화된 버전
    • 열린구간의 경계에 해당한다.

Def 1. [집적점]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대해 A X 를 부분집합이라 하자. 점 x \in X x 를 포함하는 임의의 열린집합 U 에 대하여

(U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset

를 만족하면 x A 의 집적점이라 한다. (x A 에 포함되는지 아닌지 여부는 중요하지 않다)

  • 즉 집합 A 의 집적점이란 A 의 원소들이 한없이 가까이 분포하고 있는 점이다.
  • 실수의 보통위상공간과 유리수집합 \mathbb{Q} 에 대해 모든 실수는 \mathbb{Q} 의 집적점이 될 수 있다.
    • 이처럼 위상공간의 모든 원소를 집적점으로 갖는 집합의 성질을 조밀성이라 한다.
    • 또한 조밀한 가산부분집합이 존재하는 위상공간은 분해가능공간이라 한다.

Thm 1. [닫힌집합의 의미 1]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. A 는 닫힌집합이다.
  2. A 의 모든 집적점들은 A 에 포함된다.
    • 닫힌집합은 열린집합의 여집합이기 때문에, 거꾸로 닫힙집합을 찾고 그것의 여집합을 하면 열린집합이 된다. –열린집합을 찾기 어려운 경우 이렇게 한다.
    • 열린집합이란 위상의 원소다.

Def 2. [도집합과 폐포]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 A 의 모든 집적점들의 집합을 A 의 도집합 A' 라 하고 A \cup A' A 의 폐포 \overline{A} 라 한다.

  • 집적점이 A 내부에 존재하지 않을 수 있기 때문에 A 의 모든 집적점들의 집합이나 그 집합과 A 의 합집합이 별도의 의미가 있게 된다.

Cor. [닫힌집합의 의미 2]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 세 명제는 동치이다. (도집합과 폐포를 이용해서 닫힌집합을 정의할 수 있음)

  1. A 는 닫힌집합이다.
  2. A' \subset A
  3. \overline{A} = A

Thm 2. [폐포의 의미]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. x \in \overline{A}
  2. \forall 열린집합 U \ni x, U \cap A \neq \emptyset

내, 외부와 경계

Def. [내부, 외부, 경계]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해

  1. A 에 포함되는 모든 열린집합의 합집합을 A 의 내부 Int(A) 라 한다.
    • 위상의 원소들 가운데 A 에 포함되는 모든 것을 A 의 내부라고 한다.
  2. A^{c} (= X \setminus A) 의 내부를 A 의 외부 Ext(A) 라 한다.
    • A 의 여집합의 내부(열린집합)가 A 의 외부가 된다.
  3. \overline{A} \cap \overline{A^{c}} A 의 경계 \partial A 라 한다.
    • A 의 폐포와 A 여집합의 폐포의 교집합이 A 의 경계가 된다. 폐포는 직접점(경계)를 포함하고 있기 때문에 실제로 경계가 된다.

Thm. [내부, 외부, 경계의 의미]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음이 성립한다. (이 부분 집합 A 는 임의의 부분집합이기 때문에 열린집합일 수도 있고 아닐 수도 있다)

  1. \exists 열린집합 U : x \in U \subset A \Leftrightarrow x \in Int(A)
    • A 의 내부에 속하는 점을 포함하면서 A 의 포함하는 집합이 존재한다.
  2. \exists 열린집합 x \in U \subset A^{c} \Leftrightarrow x \in Ext(A)
    • A 의 외부에 속하는 점을 포함하면서 A 의 포함하는 집합이 존재한다.
  3. \exists 열린집합 U \ni x, (U \cap A \neq \emptyset) \wedge (U \cap A^{c} \neq \emptyset) \Leftrightarrow x \in \partial A

Cor. Int(A) \cup Ext(A) \cup \partial A = X

  • 내부, 외부, 경계를 합하면 X 가 된다.
[ssba]

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