이상엽/ 위상수학/ 연속사상

연속사상

연속사상

  • 실수의 연속함수로부터 위상구조의 연속성을 보존하는 연속사상을 정의한다.

Def 1. [실변수함수의 연속]

  1. 함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} x_{0} \in \mathbb{R} 에서 연속이다.
    • \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0})| < \epsilon
    • 즉, x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \Rightarrow f(x) \in (f(x_{0}) - \epsilon, f(x_{0}) + \epsilon)
  2. f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 가 연속함수다
    • f 가 임의의 x_{0} \in \mathbb{R} 에서 연속이다.

Def 2. [연속사상]

  1. 사상 f : X \to Y x_{0} \in X 에서 연속이다.
    • f(x_{0}) 를 포함하는 임의의 열린집합 V(\subset Y) 에 대하여, x_{0} 를 포함하는 열린집합 U(\subset X) 가 존재해 f(U) \subset V 를 만족한다.
  2. f : X \to Y 가 연속사상이다.
    • f 가 임의의 x_{0} \in X 에서 연속이다.

ex) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 위의 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \} 에 대하여, 사상 f : X \to X f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 3 이라 정의하면, f 는 1과 3에서 연속이지만 2에서는 연속이 아니다. 즉, f 는 연속사상이 아니다.

  • 사상에서 연속임을 증명할 때는 공역에서 먼저 시작해서 그 조건을 만족하는 열린집합을 정의역에서 잡아줄 수 있으면 연속사상이 된다.
    • 이런 조건은 상당히 일반화된 것이기 때문에 직관적으로 이해하기는 쉽지 않다.

Thm 1. [연속사상의 또 다른 정의]

사상 f : X \to Y 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f 는 연속사상이다.
  2. Y 의 임의의 열린집합 V 의 역상 f^{-1}(V) X 에서 열린집합이다.
  • 정의에 따라 연속임을 증명하려면 열린집합을 일일이 체크해야 하는데, 이게 너무 번거롭기 때문에 일반적으로 이 정의를 따라 연속임을 판명함.
  • 주의할 점은 역함수를 잡을 수 없는 경우 \emptyset 이 되는데, 이것 또한 위상의 정의상 위상의 원소가 되기 때문에 연속이 된다. 정의가 그러한 것

Cor. [닫힌집합과 연속사상]

f : X \to Y 는 연속사상이다. \Leftrightarrow Y 의 임의의 닫힌집합 C 의 역상 f^{-1}(C) X 에서 닫힌 집합이다.

ex) 실수의 보통위상공간사이의 사상 f(x) = {1 \over 1 + x^{2}} 는 연속사상이지만, 사상 g(x) = \begin{cases} 1, x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases} 는 연속사상이 아니다.

  • 정의역이 이산위상공간이면 공역이 무엇이든지 항상 연속사상이 정의된다.
    • 이산위상공간은 모든 부분집합이 열린집합이기 때문에 함수값들이 어떻게 되든간에 상관없이 항상 성립. 애초에 조건에서 근접한 것이 없었기 때문에 그 결과가 근접해 있든 아니든 참이 됨.
    • 이런 경우를 공허참이라 한다. 조건식 P -> Q에서 P가 거짓이면 Q는 무조건 참인 것이 같은 맥락.
  • 정의역과 공역이 같을 때 항등사상과 상수사상은 항상 연속사상이다.

Thm 2. [기저와 연속사상]

위상공간 사이의 사상 f : X \to Y Y 의 기저 \mathcal{B} 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f 는 연속사상이다.
  2. \mathcal{B} 의 임의의 원소 B 의 역상 f^{-1}(B) X 에서 열린집합이다.

ex) 실수의 아래끝위상공간사이의 사상 f(x) = x + 1 는 연속사상이지만, 사상 g(x) = -x 는 연속사상이 아니다.

Thm 3. [연속사상의 합성]

연속사상의 합성사상은 연속사상이다.

위상동형사상

  • 위상수학의 주요 목표 중 하나는 주어진 두 위상공간이 서로 위상동형인지 아닌지를 밝히는 것이다.

Def. [위상동형사상]

두 위상공간 X, Y 사이의 사상 f 가 다음 세 조건을 만족한다고 하자.

  1. f 는 전단사이다.
  2. f 는 연속이다.
  3. f^{-1} 는 연속이다.

이때 f 를 위상동형사상이라 하며, X Y 를 위상동형이라 하고 X  \simeq Y 라 표기한다.

  • 위상동형인 X, Y 는 1)에 의해 집합적으로 구별되지 않으며 2), 3)에 의해 위상적으로 구별되지 않는다.
  • 위상동형인 위상공간들이 공통적으로 갖는 성질을 불변량이라 한다.
    • 불변하는 성질
  • 위상동형은 동치관계이다.
    • 반사적/ 대칭적/ 추이적

부분공간

부분공간

  • 주어진 하나의 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.

Thm. [부분위상]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) A \subset X 에 대하여 \mathfrak{I}_{A} 를 다음과 같이 정의하면 \mathfrak{I}_{A} A 위의 위상이 된다.

\mathfrak{I}_{A} = \{ A \cap U | U \in \mathfrak{I} \}

Def. [부분공간]

Thm.에서 설정한 \mathfrak{I}_{A} 를 부분위상이라 하고, 위상공간 (A, \mathfrak{I}_{A}) (X, \mathfrak{I}) 의 부분공간이라 한다.

  • 전체공간에서는 열린집합이 아니었던 집합이 부분공간에서는 열린집합일 수 있다.
    • 위상공간의 부분 집합에 대하여 공집합과 X(전체 집합)는 서로간에 열린집합-닫힌집합의 관계가 된다. 공집합의 여집합은 X가 되고, X의 여집합은 공집합이 되기 때문. 다시 말해 X를 열린집합으로 잡으면 공집합은 닫힌집합이 되고, 공집합을 열린집합으로 잡으면 X는 닫힌 집합이 된다.
    • 만일 공집합과 X 외에 위상공간의 부분 집합에서 그러한 관계를 갖는 집합이 또 발생한다면, 기하적인 의미에서 그 둘은 떨어져 있는 관계가 된다.
    • 이러한 의미에서 열린집합이라 해서 항상 구간이 열려 있지 않고, –공집합은 원소 1개– 닫힌집합이라고 해서 항상 구간이 닫혀 있지는 않다. –정의상 열린집합의 여집합이기 때문

ex) 실수의 보통 위상공간 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 의 부분공간 (\mathbb{Z}, \mathfrak{I}_{Z}) 에서 임의의 한 점 집합 \{ z \} (z \in \mathbb{Z})

부분공간의 성질

  1. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) \mathfrak{I} 의 기저 \mathcal{B} 그리고 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_A) 에 대하여 \mathcal{B}_{A} = \{ A \cap B | B \in \mathcal{B} \} \mathfrak{I}_{A} 의 기저가 된다.
  2. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 와 그 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_A) 사이에는 항상 위상동형사사을 정의할 수 있다. 즉 (X, \mathfrak{I}) (A, \mathfrak{I}_{A}) 는 위상동형이다.
    • ex) 실수의 보통위상공간 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \subset \mathbb{R} 에 대해 사상 f : (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \to \mathbb{R} f(x) = \tan x 라 정의하면 f 는 위상동형사상이다.
  3. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 과 그 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_{A}) 에 대해 A (X, \mathfrak{I}) 의 열린집합이면 (A, \mathfrak{I}_{A}) 의 모든 열린집합들은 동시에 (X, \mathfrak{I}) 의 열린집합이기도 하다.

임베딩(Embedding)

  • 공역의 부분공간으로의 사상이 집합적으로도 위상적으로도 겹침이 발생하지 않는 연속사상인 경우를 정의한다.
    • 겹침이 발생하지 않는다는 것은 위상 동형이라는 의미. 원래 함수에서 가까웠던 점은 변환된 함수에서도 가깝고, 원래 함수에서 멀었던 점은 변환된 함수에서 멀다면 겹침이 없는 것이지만, 원래 함수에서 가까웠던 점이 변환된 함수에서 멀어지거나 원래 함수에서 멀었던 점이 변환된 함수에서 가까워지면 겹침이 발생한 것이 된다.

Def. [임베딩]

X 에서 Y 로의 연속사상 f 가 다음 두 조건을 만족하면 임베딩이라 한다.

  1. f 는 단사이다.
  2. \tilde{f} : X \to f(X) 가 위상동형사상이다.

ex) X = \{ 0, 1, 2, ... \} 위의 이산위상 D 와 실수의 보통위상 \mathfrak{I} 에 대하여 두 위상공간 (X, D), (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 사이의 사상 f : X \to Y f(x) = \begin{cases} {1 \over x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases} 라 정의하면 f 는 임베딩이 아니다.

  • 위 예는 원래 집합의 원소들은 떨어져 있는데, 변환된 함수의 결과에서는 위상적으로 겹침이 발생함

곱공간

곱공간

  • 주어진 두 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.
    • 주어진 두 집합의 곱집합을 이용

Thm 1. [곱위상의 기저]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 에 대하여 \mathcal{B} 를 다음과 같이 정의하면 \mathcal{B} 는 곱집합 X \times Y 상의 위상의 기저가 된다.

\mathcal{B} = \{ U \times V | U \in \mathfrak{I}_{X}, V \in \mathfrak{I}_{Y} \}

Def. [곱공간]

Thm 1.에서 설정한 \mathcal{B} 가 생성하는 위상 \mathfrak{I} X \times Y 위의 곱위상이라 하고, 위상공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) X Y 의 곱공간이라 한다.

  • 두 거리공간 (X, d_{X}), (Y, d_{Y}) 로부터 유도되는 위상공간을 각각 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 라 할 때, 곱거리공간 (X \times Y, d_{X} \times d_{Y}) 로부터 유도되는 위상공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) (X, \mathfrak{I}_{X}) (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 의 곱공간과 일치한다.
    • 사실은 애초에 거리 공간을 설정할 때 이게 가능하도록 설정한 것

Thm 2. [기저와 곱공간]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 의 기저를 각각 \mathcal{B}_{X}, \mathcal{B}_{Y} 라 할 때, 집합족 \delta = \{ U \times V | U \in \mathcal{B}_{X}, V \in \mathcal{B}_{Y} \} X \times Y 의 기저이다.

ex) 네 실수 a, b, c, d 에 대해 \delta = \{ (a, b) \times (c, d) | a < b, c < d \} \mathbb{R}^{2} 의 기저이다.

사영사상

Def 1. [열린사상과 닫힌사상]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 사이의 사상을 f : X \to Y 라 하자.

  1. X 의 임의의 열린집합 U 에 대하여 f(U) Y 의 열린집합이면 f 를 열린사상이라 한다.
  2. X 의 임의의 닫힌집합 C 에 대하여 f(C) Y 의 닫힌집합이면 f 를 닫힌사상이라 한다.
  • 1)전단사이고 2)연속인 3)열린사상은 위상동형사상이다.

Def 2. [사영사상]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 과 곱공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) 에 대하여 p_{1} (x, y) = x, p_{2}(x, y) = y 로 정의한 사상 p_{1}: X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y 를 사영사상이라 한다.

Thm 1. [사영사상의 성질]

사영사상 p_{1} : X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y 에 대하여 다음이 성립한다.

  1. p_{1}, p_{2} 는 연속사상이다.
  2. p_{1}, p_{2} 는 열린사상이다.
  • 위 조건은 만족하지만 전단사가 보장되지 않기 때문에 사영사상은 위상동형사상이 아니다.

Thm 2.

세 위상공간 X, Y, Z 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f : Z \to X \times Y 가 연속이다.
  2. p_{1} \circ f : Z \to X p_{2} \circ f : Z \to Y 가 모두 연속이다.
[ssba]

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