이상엽/ 위상수학/ 분리공리

T_{0} , T_{1} , T_{2} 공간

정의

  • 대표적인 위상적 불변량인 분리공리들을 알아본다.
    • 모든 위상공간은 밀착위상공간에서부터 이산위상공간 사이에  스펙트럼처럼 존재한다.
    • 밀착위상공간의 열린집합은 공집합이거나 자기 자신만 가능

Def 1. [T_{0} ]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \vee (x \notin U \wedge y \in U)

을 만족하면 X T_{0} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{0} 를 도식화 하면 다음과 같다.

  • T_{0} 공간은 밀착위상 공간의 바로 다음 등급

Def 2. [T_{1} ]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \wedge (x \notin V \wedge y \in V)

을 만족하면 X T_{1} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{1} 를 도식화 하면 다음과 같다.

Def 3. [T_{2} (하우스도르프)]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : x \in U \wedge y \in V \wedge U \cap V = \emptyset

을 만족하면 X T_{2} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{2} 를 도식화 하면 다음과 같다.

  • T_{0}, T_{1} , 하우스도르프(T_{2} )인 위상공간을 각각 간단히 T_{0} -공간, T_{1} -공간, 하우스도르프공간(T_{2} -공간)이라 한다.
  • 정의에 의해 자명하게 다음이 성립한다.
    • 하우스도르프공간 \Rightarrow T_{1} -공간 \Rightarrow T_{0} -공간

ex1) 임의의 집합 X 에 대한 밀착위상공간은 T_{0} -공간이 아니다.

ex2) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 위의 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 에 대하여 위상공간 (X, \mathfrak{I}) T_{0} -공간이지만 T_{1} -공간은 아니다.

ex3) 무한집합 X 에 대한 유한여집합위상 공간은 T_{1} -공간이지만 하우스도르프 공간은 아니다.

ex4) 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

  • 하우스도르프 공간부터 위상수학의 의미있는 논의가 가능해짐.
  • 최초에 하우스도르프가 위상공간을 정의했을 때 사용했던 공간.
  • T_{0}, T_{1} 공간은 값이 하나의 값으로 수렴한다는 것이 보장이 안되지만, T_{2} 공간은 수렴 값이 하나가 보장 됨.

여러 가지 정리

  • 분리공리와 관련한 몇 가지 중요한 정리들을 알아보자.

Thm 1. [위상적불변량]

두 위상 공간 X, Y 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

  1. X T_{0} 이다. \Leftrightarrow Y T_{0} 이다.
  2. X T_{1} 이다. \Leftrightarrow Y T_{1} 이다.
  3. X T_{2} 이다. \Leftrightarrow Y T_{2} 이다.

Thm  2. [부분공간]

  1. T_{0} -공간의 부분공간은 T_{0} 이다.
  2. T_{1} -공간의 부분공간은 T_{1} 이다.
  3. T_{2} -공간의 부분공간은 T_{2} 이다.

Thm 3. [곱공간]

  1. 모든 X_{\alpha} T_{0} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{0} 이다.
  2. 모든 X_{\alpha} T_{1} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{1} 이다.
  3. 모든 X_{\alpha} T_{2} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{2} 이다.

Thm 4. [T_{0} -공간의 성질]

위상공간 X 에 대하여 다음은 동치이다.

  1. X T_{0} 이다.
  2. \forall x, y \in X, \overline{\{x\}} \neq \overline{\{y\}} (단, x \neq y )
    • \overline{\{x\}} 는 x 의 폐포(closure)

Thm 5. [T_{1} -공간의 성질]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. X T_{1} 이다.
  2. \forall x \in X, X - \{ x \} \in \mathfrak{I}
    • X - \{ x \} 은  \{x\}^{c} 이라는 뜻
    • \{ x \} 는 닫힌집합. T_{1} 공간이면 1점 집합은 닫힌집합이 된다.
    • T_{1} 은 상당히 상위 클래스이기 때문에 이하 대부분의 공간이 이 성질을 물려 받는다.

Def. [위상공간상의 수렴]

다음을 만족하면 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 상의 수열 \{ x_{n} \} 이 점 x \in X 로 수렴한다고 한다.

\forall U \in \mathfrak{I}, x \in U, \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \Rightarrow x_{n} \in U

Thm 6. [하우스도르프공간의 성질]

하우스도르프공간상의 수렴하는 수열은 유일한 극한을 갖는다.

ex) X = \{ 1, 2, 3 \}, \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{ 1, 3 \} \} 일 때 다음 수열은 여러 극한을 갖는다.

\{ x_{n} \} : 1, 3, 1, 3, 1, 3 ...

T_{3} , T_{4} 공간

정의

  • 점의 분리성에서 더 나아가 점을 포함한 집합의 분리성을 등급화한다.
  • 점을 포함하는 최소 크기의 집합(한점집합)은 1.(2).Thm 5.에 의해 T_{1} -공간에서 닫힌집합임을 기억하자.

Def 1. [T_{3} (정칙)]

T_{1} -공간인 (X, \mathfrak{I}) 의 임의의 닫힌집합 C 와 점 x \in X - C 에 대하여 \exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge x \in V \wedge U \cap V = \emptyset 를 만족하면 X T_{3} 라 한다.

  • T_{3} 를 도식화하면 다음과 같다.

Def 2. [T_{4} (정규)]

T_{1} -공간인 (X, \mathfrak{I}) 의 임의의 서로소인 닫힌집합 C, D 에 대하여 \exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge D \subset V \wedge U \cap V = \emptyset 를 만족하면 X T_{4} 라 한다.

  • T_{4} 를 도식화하면 다음과 같다.

  • 정칙(T_{3} ), 정규(T_{4} )인 위상공간을 각각 가단히 정칙공간, 정규공간이라 한다.
  • 위상공간 (X, \mathfrak{I}) T_{1} 이라는 조건을 놓치지 않도록 유의하자.

ex1) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 에 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2, 3\} \} 을 준 위상공간 (정칙 공간이지만 T_{1} 은 아닌 예. 고로 이것은 T_{3} 가 아니다.)

ex2) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 에 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 을 준 위상공간 (정규 공간이지만 T_{1} 은 아닌 예. 고로 이것은 T_{4} 가 아니다.)

여러 가지 정리

Thm 1. [T_{3} -공간 \Rightarrow T_{2}-공간]

모든 정칙공간은 하우스도르프이다.

Thm 2. [T_{4} -공간 \Rightarrow T_{3}-공간]

모든 정규공간은 정칙이다.

Thm 3. [거리공간 \Rightarrow T_{4}-공간]

모든 거리공간은 정규이다.

참고) 위상공간들 사이의 관계

Lemma 1. [전단사 사상의 성질]

두 위상공간 X, Y 사이의 전단사사상 f : X \to Y 가 열린사상이면 f 는 닫힌사상이기도 하다.

Thm 4. [위상적 불변량]

두 위상공간 X, Y 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

  1. X 는 정칙공간 \Leftrightarrow Y 는 정칙공간
  2. X 는 정규공간 \Leftrightarrow Y 는 정규공간

Lemma 2. [부분공간의 닫힌집합]

위상공간 X 의 부분공간 A 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. C \subset A A 의 닫힌집합이다.
  2. C = A \cup D 를 만족하는 X 의 닫힌집합 D 가 존재한다.

Lemma 3. [닫힌부분공간의 성질]

위상공간 X B \subset A \subset X 에 대하여 B 가 부분공간 A 의 닫힌집합이고 A X 의 닫힌집합이면 B X 의 닫힌집합이다.

Thm 5. [부분공간]

  1. 정칙공간의 부분공간은 정칙이다.
  2. 정규공간의 닫힌부분공간은 정규이다.
  • 정규공간의 부분공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.

Lemma 4. [T_{3} -공간의 또 다른 정의]

다음 조건은 T_{1} -공간 (X, \mathfrak{I}) 가 정칙공간이기 위한 필요충분조건이다.

\forall x \in X, x \in \forall U \in \mathfrak{I}, \exists V \in \mathfrak{I} : x \in V \subset \overline{V} \subset U

Thm 6. [정칙공간들의 곱공간]

정칙공간들의 곱공간은 정칙이다.

  • 정규공간들의 곱공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.
[ssba]

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