김영길/ 선형대수학/ field, vector space

개론

Vector

  • 물리에서의 Vector – 크기와 방향이 있는 것
  • 수학에서의 Vector – [ 1 \, 2 \, 3 \, 4 ]

Field (체)

  • 아래의 조건을 만족하는 집합을 Field(체)라고 한다.
    • 2개의 이항 연산을 갖고 있음 (+, \cdot)
      • 예시는 덧셈과 곱셈이지만 항상 덧셈과 곱셈일 필요는 없다. 여하튼 2개의 연산을 갖고 있고, 두 연산이 이하의 조건을 만족하기만 하면 된다.
    • 닫혀 있음
    • 2개의 이항 연산이 모두 교환법칙(commutative)이 성립해야 함
      • a + b = b + a
      • a \cdot b = b \cdot a
    • 2개의 이항 연산이 모두 결합법칙(associative)이 성립해야 함
      • (a + b) + c = a + (b + c)
      • (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) 
    • 2개의 이항 연산에 모두 항등원이 존재해야 함
      • 0 + a = a  (additive identity)
      • 1 \cdot a = a  (multiplicative identity)
      • (연산에 항등원이 존재한다는 것은 해당 연산에 기준점이 존재한다는 의미)
    • 2개의 이항 연산에 모두 역원이 존재해야 함
      • a + (-a) = 0 (additive inverse)
      • b \cdot b^{-1} = 1 (multiplicative inverse)
    • 2개의 연산에 대해 분배법칙(distributive)이 성립해야 함
      • a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Examples of Field

  • Z_{n} 을 정수를 n 으로 나눈 나머지의 집합이라고 가정할 때,
    • Z_{2} 는 체를 만족한다.
    • 마찬가지로 Z_{3}, Z_{5}, Z_{7} 는 체를 만족한다.
    • 일반적으로 n 이 소수인 경우에는 체가 만족된다.
  • 정수 집합, 자연수 집합은 Field가 아니다.

Vector Space

  • 벡터 공간은 벡터들의 집합이고 다음 조건을 만족한다.
    • (+, \cdot) 연산이 정의되어 있음.
      • + 는 벡터간의 더하기인데 반해
      • \cdot 는 벡터와 스칼라의 곱이기 때문에, \cdot 은 이항연산이라는 표현을 하지 않음
    • x, y \in V, a, b \in F 에 대하여 (x, y 는 벡터의 원소, a, b 는 체의 원소)
      • 닫혀 있음
      • 벡터간 + 연산이 교환법칙이 성립해야 함
        • x + y = y + x
      • 벡터간 + 연산이 결합법칙이 성립해야 함
        • (x + y) + z = x + (y + z)
      • 벡터간 + 연산과 벡터-스칼라의 \cdot 연산이 항등원을 갖고 있어야 함.
        • \exists 0 \in V : x + 0 = x
        • \forall x \in V : 1 \cdot x = x
      • 벡터와 스칼라의 \cdot 연산에 교환법칙이 성립해야 함
        • x \in V, a, b \in F : (a \cdot b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)
        • 스칼라간 \cdot 과 벡터-스칼라간 \cdot 는 서로 다른 연산임에 주의
      • 벡터와 스칼라 연산에 분배법칙이 성립해야 함
        • a(x + y) = ax + ay
        • (a + b) x = ax + bx
  • (일반적으로 벡터와 벡터 공간에 대해 설명할 때, 벡터 공간을 정의하는데 벡터가 필요하고 –벡터와 연산에 대한 집합–, 벡터를 정의하는데 벡터 공간이 필요한데 –벡터는 벡터공간의 원소– 정의가 순환적이라고 느껴진다. 아마도 벡터 공간을 정의할 때 필요한 집합을 임의의 것으로 하고, 그렇게 정의된 벡터 공간에 포함된 원소를 벡터로 정의하는게 맞는 것 같다.)
  • 참고) n-tuple 은 체(F)의 원소가 n개 나열된 것을 의미한다. 
    • (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})
    • (생긴게 비슷하지만 다르니 주의)
  • 행렬도 벡터 공간의 정의를 만족하기 때문에 벡터 공간의 원소라 할 수 있다.
    • M_{m \times n} (F) = \{ [a_{i, j}]_{m \times n} | a_{i, j} \in F \}
    • \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{array} \right) \in M_{2 \times 3}(F)

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