김영길/ 선형대수학/ vector space, subspace

Example of vector space

  • (예시는 강의 참조)

Thm 1.1 Cancellation Law

  • \forall x, y, z \in V, x + z = y + z \Rightarrow x = y
  • 증명)
    • (x + z) + (-z) = (y + z) + (-z)
    • x + (z + (-z)) = y + (z + (-z)) (결합법칙)
    • x + 0 = y + 0
    • x = y

Corollary 1

  • Identity 0는 1개 뿐이다.
  • 증명)
    • 0 랑 다른 0' 이 존재한다고 가정하자.
    • x + 0 = x = x + 0'
    • cancellation에 의해 0 = 0'

Corollary 2

  • Inverse는 1개 뿐이다.
  • 증명)
    • x 에 대하여 a, b 라는 2개의 Inverse가 있다고 가정하자.
    • x + a = 0
    • x + b = 0
    • x + a = x + b
    • cancellation에 의해 a = b
  • 참고) unique에 대한 증명은 항상 이런 식인데, 처음에 2개가 있다고 가정하고, 결론적으로 그 2개가 같음을 증명해서 1개만 존재 가능함을 증명한다.

Thm 1.2

  • \forall x \in V, 0 \cdot x = \vec{0}
    • (강의에는 0 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 \vec{0} 으로 표기함)
    • 증명)
      • 0 \cdot x = (0 + 0)x = 0 \cdot x + 0 \cdot x (분배법칙)
      • 0 \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x
      • cancellation을 이용하여 양변의 0 \cdot x 를 각각 날려주면 0 = 0 \cdot x
  • \forall a \in F, a \cdot \vec{0} = \vec{0}
    • (강의에는 0 으로 나오지만 구분을 위해 화살표를 달아서 \vec{0} 으로 표기함) 
    • 증명)
      • a \cdot \vec{0} = a \cdot (\vec{0} + \vec{0}) = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0} (분배법칙)
      • a \cdot \vec{0} = a \cdot \vec{0} + a \cdot \vec{0}
      • cancellation을 이용하여 양변의 a \cdot \vec{0} 를 각각 날려주면 0 = a \cdot \vec{0}
  • \forall x \in V, \forall a \in F, (-a) \cdot x = -(a \cdot x) = a \cdot (-x)
    • 증명)
      • a \cdot x + (-a) \cdot x = (a + (-a)) \cdot x = 0 \cdot x = 0
        • \therefore (-a) \cdot x a \cdot x 의 inverse
      • a \cdot x + a \cdot (-x) = a \cdot (x + (-x)) = a \cdot 0 = 0
        • \therefore a \cdot (-x) a \cdot x 의 inverse

Subspace

  • 벡터공간 V의 부분집합 W가 벡터공간이 되면 V의 부분공간이라고 한다.
    • (부분집합이 항상 벡터공간이 되지 않는데, 만일 부분집합이 벡터공간이 된다면 부분공간이라고 하는 것)
    • ex)
      • \{0\} 는 항상 V 의 부분공간이 된다.
      • V 는 항상 V 의 부분공간이 된다.
  • 벡터공간 V의 부분집합 W가 부분공간이려면 다음 조건을 만족해야 한다.
    • closed
    • 0 \in W
    • 사실 연산에 대해 닫혀있다는 조건을 만족하면 0 \in W 이라는 조건은 굳이 필요가 없다. 0 \cdot x = 0 이 닫혀 있으려면 자연스럽게 0 은 부분집합에 포함되어 있어야 하기 때문
    • (집합이 연산에 대해 닫혀 있다는 것이 성립하려면 연산의 결과가 집합 내에 존재해야 한다)

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