김영길/ 선형대수학/ subspace, span, linear independence

 

Thm 1.4

  • 부분공간들의 교집합은 부분공간이다.
  • 증명)
    • V_{i} < V (i = 1, 2, ... , n)
    • W = \cap_{i=1}^{n} V_{i}
    • x, y \in W \subset V_{i}, x + y \in V_{i}, c \cdot x \in V_{i}
    • x + y \in W, c \cdot x \in W

Linear combination (선형결합)

  • v 를 다음과 같이 표현 가능할 때 v u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} 의 선형결합이라고 한다.
    • v = a_{1} v_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
    • ex) (3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1)

Span (생성공간)

  • 벡터공간 V 의 공집합이 아닌 집합 S 에 대하여
    • \emptyset \subsetneq S \subset V
    • S 안의 벡터들의 가능한 모든 선형결합의 집합을 Span(S) 라 한다.
  • 공집합의 Span은 0벡터 하나로 이루어진 벡터공간이라고 정의한다. 
    • Span(\emptyset) = \{ 0 \}
  • ex) Span\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\} 은 3차원 공간 안의 2차원 평면

Thm 1.5 S \subset V

  • span(S) 는 항상 벡터공간 V 의 부분공간이다.
  • 증명)
    • S = \emptyset 인 경우 
      • span(S) = \{ 0 \}
      • 정의에 의해 V 의 부분공간
    • S \neq \emptyset 인 경우
      • x, y \in span(S), u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S
      • x = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
      • y = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}
      • x + y \in S, c \cdot x \in S
      • 따라서 S 는 부분공간

Any subspace that contains S must contain span(S)

  • 부분공간은 하위 집합의 생성공간을 갖는다.
  • 증명)
    • w \in span(S)
    • w = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} (w_{1}, w_{2}, ... w_{k} \in S)
    • S \subset W \Rightarrow w_{1}, w_{2}, ... , w_{k} \in W
    • w = c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2} + ... + c_{k} w_{k} \in W
      • (덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있다는 것은 결국 선형결합에 닫혀있다는 뜻이 된다)
    • \therefore span(S) \subset W
  • (하위 집합의 선형 결합을 통해 벡터 공간을 만든다는 것이 아이디어)

Linear Independence (선형 독립)

  • 다음의 조건을 만족할 때 선형 종속이라 한다.
    • S 에 포함된 벡터 u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} 에 대하여 
    • a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} = 0 이고
    • 위 식을 만족하는 계수가 0 만 가능할 때 선형 독립이라 한다. (각 벡터가 독립적이다)
    • 만일 0 이 아닌 계수로도 위 식이 만족되면 선형 종속이라 한다. (각 벡터가 독립적이지 않다. 어떤 벡터는 다른 벡터로 정의가 가능하다)

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