김영길/ 선형대수학/ linear independence, basis, dimension

Linear Independence (선형독립)

  • 선형결합이 영벡터의 자명한 표현(trivial representation of 0)인 경우에 선형독립이라 한다.
    • a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} \Leftrightarrow a_{1} = a_{2} = ... = a_{n} = 0

Thm 1.6 S_{1} \subset S_{2} \subset V

  • S_{1} 이 선형독립이면 S_{2} 도 선형독립이다.

Thm 1.7

  • 선형독립인 집합 S 에 대하여 u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \in S, v \in V, v \notin S 일 때,
    • S \cup \{v\} 가 선형종속이면 v \in span(S)
  • 증명)
    • \Rightarrow
      • Suppose a_{0}v + a_{1} u_{1} + ... + a_{n} u_{n} = 0
      • a_{0} \neq 0
      • v = a_{0}^{-1} (-a_{1} u_{1} - ... - a_{n} u_{n})
      • = -a_{0}^{-1} a_{1} u_{1} - ... - a_{0}^{-1} a_{n} u_{n} \in span(S)
    • \Leftarrow
      • v \in span(S)
      • v = b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m}
      • b_{1} v_{1} + b_{2} v_{2} + ... + b_{m} v_{m} - v = 0
      • \{ v_{1}, ... , v_{m}, v \} \subset S \cup \{v\}

1.6 Base and Dimension

  • 벡터공간 V 의 부분집합  \beta 가 선형독립이면서 V 를 생성(span)하면 기저(basis)라한다.
  • Ex 1)
    • span(\emptyset) = \{ 0 \}
    • \emptyset 은 선형독립
    • \Rightarrow \emptyset 은 영 벡터 공간의 기저이다.
  • Ex 2)
    • F^{n} 의 원소가 다음과 같을 때
      • e_{1} = (1, 0, ... , 0)
      • e_{2} = (0, 1, ... , 0)
      • e_{n} = (0, 0, ... , 1)
    • \{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \} F^{n} 의 기저라한다. (이런 기저를 특별히 F^{n} 의 표준기저라고 한다)

Thm 1.8

  • \beta V 의 기저일 때
    • \forall v \in V v \beta 의 선형결합으로 유일하게 표현 가능하다.
  • 증명)
    • \Rightarrow
      • \beta V 의 기저 \Rightarrow span(\beta) = V
      • v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
      • Suppose v = b_{1} u_{1} + b_{2} u_{2} + ... + b_{n} u_{n}
      • 0 = (a_{1} - b_{1}) u_{1} + (a_{2} - b_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} - b_{n}) u_{n}
      • 선형독립이었으므로 a_{1} - b_{1} = a_{2} - b_{2} = ... = a_{n} - b_{n} = 0
      • 따라서 선형결합은 유일하다.
    • \Leftarrow
      • v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n} 이므로
      • span(\beta) = V
      • Suppose c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2} + ... + c_{n} u_{n} = 0
      • v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
      • = (a_{1} + c_{1}) u_{1} + (a_{2} + c_{2}) u_{2} + ... + (a_{n} + c_{n}) u_{n}
      • 선형결합이 유일해야 하므로 c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 0
      • 따라서 \beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \} 는 선형 독립

Thm 1.8의 의미

  • \forall v \in V, \exists_{1} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} \in F
    • v = a_{1} u_{1} + a_{2} u_{2} + ... + a_{n} u_{n}
    • 기저를 통해 vector의 선형 결합이 유일하게 결정된다.
  • v \Leftrightarrow (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})
    • 벡터와 n-tuple은 일대일대응이 된다. (전단사 함수)
  • 모든 벡터공간 V F^{n} 으로 생각할 수 있다.
    • 함수를 벡터처럼 다룰 수 있다.

Dimension

  • dim(V) 은 기저에 포함된 벡터의 개수
    • V = \{0\}, dim(V) = 0
    • V = F^{4}, dim(V) = 4
    • V = M_{2 \times 3}(F), dim(V) = 6

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.