김영길/ 선형대수학/ basis, dimension, linear transformation

  • (예제 생략)
    • P_{n}(F) 이란 n 차 이하 다항식들의 집합이라는 뜻
    • P_{n}(F) 의 차원은 n+1 이 된다.

Corollary 2. dim(V) = n

  1. 벡터공간의 차원이 n (dim(V) = n)이라면 기저는 n 개의 벡터를 가져야 한다. 
  2. 벡터공간 V 의 부분집합이 선형독립이고 n 개의 벡터를 가졌다면 기저이다.

Thm 1.11 Dimension of subspace

  • V 는 유한차원 벡터공간이고, W V 의 부분공간이라면
    • dim(V) < \infty, W < V
      • dim(W) \leq dim(V)
      • dim(W) = dim(V) \Rightarrow V = W

2.1 Linear transform

  • 정의) F 를 체로 하는 벡터공간 V, W 에 대하여
    • 함수 T T: V \to W 라 하면 V 를 정의역(domain) W 를 공역(codomain)이 된다.
    • T V 에서 W 로 가는 선형변환이려면 다음이 성립해야 한다.
      • \forall x, y \in V, c \in F
      • T(x + y) = T(x) + T(y)
      • T(cx) = cT(x)

Properties of linear map

  • T(0) = 0
    • (원점을 지나야 한다. 직선이라도 T(0) = 0 이 안되면 non-linear 라고 한다. ex) 커브 등)
  • T(cx + y) = cT(x) + T(y) (\forall x, y \in V, c \in F)
    • (더하기와 상수곱을 한 번에 적용해서 선형인지 아닌지를 한 번에 확인)
  • T(x - y) = T(x) - T(y)
  • T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}T(x_{i})
  • (예제 생략 – 일반 연산, 회전, 대칭, 투영, 미분, 정적분(부정적분은 상수가 튀어 나오기 때문에 선형이 아니다))의 변환에 대해서 선형임을 증명하는 예)
    • (변환 전에 더하기를 하나, 변환 후에 더하기를 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)
    • (변환 전에 상수곱을 하나, 변환 후에 상수곱을 하나 결과가 같다는 것을 보이면 선형이라는 것의 증명이 된다.)
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