김영길/ 선형대수학/ nullspace, range, nullity, rank, dimension theorem

  • Identity transformation
    • I_{V}: V \to V
    • x \mapsto x
    • (자기 자신으로 보내는 변환)
  • Zero transformation
    • T_{0}: V \to W
    • x \mapsto 0
    • (0으로 보내는 변환)
  • T: V \to W 에 대하여 Nullspace N(T) 는 다음과 같다.
    • N(T) = \{ x \in V : T(x) = 0 \}
    • (V 에서 W 로 가는 선형 변환 T 에 대하여 T(x) 0 이 되는 원소들의 집합을 Nullspace N(T) 라 한다.)
  • Range(치역) R(T) 의 정의는 다음과 같다.
    • R(T) = \{ T(x) : x \in V \}
  • Ex)
    • I: V \to V, x \mapsto x 일 때
      • N(I) = \{0\}
      • R(I) = V
    • T_{0} : V \to W, x \mapsto 0 일 때 
      • N(T_{0}) = V
      • R(T_{0}) = \{0\}

Thm 2.1

  • T: V \to W 의 선형변환에서 N(T) 는 V 의 부분공간이고,  R(T) 는 W 의 부분공간이다.
  • (널공간은 V 에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀있고, 치역은 W 에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀 있다는 증명 생략)

Thm 2.2

  • T : V \to W 의 선형변환에서 \beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} V 의 기저일 때
    • R(T) = span(T(\beta)) = span(\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n})\})
  • 증명)
    • R(T) \supset span(T(\beta)) 의 증명
      • \forall i, T(v_{i}) \in R(T)  
      • R(T) W 의 부분공간이므로
      • span(T(\beta)) \subset R(T)
    • R(T) \subset span(T(\beta)) 의 증명
      • w \in R(T) : w = T(v) \exists v \in V
      • \beta V 의 기저이므로
      • v = \sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}
      • 양변에 T 를 취하면
      • w = T(v) = \sum_{i=1}^{n} a_{i} T(v_{i}) \in span(T(\beta))
      • R(T) \subset span(T(\beta))
    • \therefore R(T) = span(T(\beta))

Thm 2.3 Dimension Theorem

  • dim(N(T)) = nullity, dim(R(T)) = rank 라 하자.
  • T : V \to W, dim(V) < \infty   일때
    • nullity(T) + rank(T) = dim(V)
    • V 에서 W 로 가는 선형변환 T 에서 널공간과 치역의 차원을 합하면 정의역의 차원이 된다.
  • 증명)
    • dim(V) = n 이라 할 때 N(T) < V 이므로 dim(N(T)) = k \leq n
    • 벡터 \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \} N(T) 의 기저라 하면, 이를 확장 시켜서 V 의 기저 \beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... v_{k}, v_{k+1}, ... , v_{n} \} 를 만들 수 있다.
    • 이때 V 의 기저 \beta 가 되도록 확장시킨 S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \} R(T) 의 기저가 된다.
    • S 를 span하면 R(T) 가 되고, S 가 선형독립이면 R(T) 의 기저가 되므로 다음과 같이 증명한다.
      • S R(T) 를 생성한다는 증명 
        • R(T) = span\{ T(v_{1}), T(v_{2}), ... , T(v_{n}) \}
        • = span\{ T(v_{1}) = 0, T(v_{2}) = 0, ... T(v_{k}) = 0, T(v_{k+1}), ... , T(v_{n}) \}
        • = span(S)
      • S 가 선형 독립이라는 증명
        • \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} T(v_{i}) = 0
        • T(\sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i}) = 0
        • \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} \in N(T)
        • N(T) = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i} 라 하면
        • \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = \sum_{i=1}^{k} c_{i} v_{i}
        • \sum_{i=1}^{k} (-c_{i})v_{i} + \sum_{i=k+1}^{n} b_{i} v_{i} = 0
        • \beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} V 의 기저이므로
        • \forall i, b_{i} = 0
        • 그러므로 S 는 선형독립
        • \therefore S = \{ T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), ... , T(v_{n}) \} R(T) 의 기저
        • \therefore dim(R(T)) = rank(T) = n-k

 

[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.