김영길/ 선형대수학/ one-to-one, onto, matrix

  • One-to-one mapping (단사함수)
    • x \neq y \Rightarrow T(x) \neq T(y)
  • Onto mapping (전사함수)
    • T(V) = W

Thm 2.4 T : V \to W linear

  • T : one-to-one \Leftrightarrow N(T) = \{ 0 \}
    • T 가 단사함수면 널공간의 원소는 0 벡터 뿐이다.
  • 증명)
    • \Rightarrow
      • x \in N(T)
      • T(x) = 0 = T(0)
      • T 는 단사함수이므로 x = 0
      • \therefore N(T) = \{0\}
    • \Leftarrow
      • T(x) = T(y)
      • 0 = T(x) - T(y) = T(x -y)
      • N(T) = \{0\} 이므로 x - y = 0
      • \therefore x = y
    • \therefore T 는 단사함수

Thm 2.5

  • dim(V) = dim(W) < \infty 일때
    • (정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
  • T : V \to W 일 때 다음은 모두 동치이다.
    • T 는 전사 함수
    • T 는 단사 함수
    • rank(T) = dim(V)
  • 증명)
    • T 는 단사함수
    • \Leftrightarrow N(T) = \{0\}
    • \Leftrightarrow nullity(T) = 0
    • \Leftrightarrow rank(T) = dim(V)
    • \Leftrightarrow dim(R(T)) = dim(W)
    • \Leftrightarrow R(T) = W

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

  • 증명) 
    • S \subset V, S = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} 일 때 T 가 선형이고 단사함수면 집합 S 는 선형독립 \Leftrightarrow T(S) 는 선형독립
    • \Rightarrow
      • \sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0 라 하면
      • T(\sum_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}) = 0
      • 단사이므로 \sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0
      • \therefore \forall i, a_{i} = 0
      • T(S) 는 선형독립
    • \Leftarrow
      • \sum_{i=0}^{n} a_{i} v_{i} = 0
      • T(\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}) = 0
      • \sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i}) = 0
      • \therefore \forall i, a_{i} = 0
    • \therefore S 는 선형독립

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

Thm 2.6 

  • V, W 가 F -벡터공간일 때
    • V 의 기저 \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} 에 대하여
    • W 의 원소 w_{1}, w_{2}, ... , w_{n} 를 만드는 선형 변환 T : V \to W 는 유일하게 존재한다. (\forall i, T(v_{i}) = w_{i} )

Corollary

  • V, W 가 F -벡터공간일 때
    • V 의 기저 \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} 에 대하여
    • 선형변환 U, T : V \to W 가 U(v_{i}) = T(v_{i}) 이면 U = T
    • 기저가 같은 곳으로 매핑되면 다른 원소들은 같은 곳으로 매핑된다.

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

Matrix representation

  • 순서기저
    • F^{3} 에 대하여 \beta = \{ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}, \gamma = \{ e_{2}, e_{1}, e_{3} \} 이라 할 때
      • e_{1}, e_{2}, e_{3} 는 표준기저
    • \beta, \gamma 가 순서기저면 그 둘은 같지 않다. \beta \neq \gamma
    • \{ e_{1}, e_{2}, ... , e_{n} \} 는 F^{n} 의 표준순서기저이고
    • \{ 1, x, ... , x^{n} \} 는 P_{n}(F) 의 표준순서기저이다.
    • 순서기저이기 때문에 순서가 중요하고, 순서가 달라지면 다른 기저가 된다.
  • \beta = \{ u_{1}, u_{2}, ... , u_{n} \} 를 V 의 순서기저라 할 때
    • x \in V, \exists_{1} a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} : x = \sum_{i=1}^{n} a_{i} u_{i}
  • \beta 에 대한 좌표벡터 x 를 정의할 수 있다.
    • [x]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right]

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