김영길/ 선형대수학/ Matrix multiplication corresponding to composite function, invertibility

Matrix multiplication

  • 행렬 C 가 행렬 A, B 의 곱일 때
  • C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}
  • 행렬의 곱이 왜 저런식으로 표현되냐면 행렬의 곱은 결국 함수의 합성이고 함수의 합성이 저렇게 표현되기 때문
    • (UT)(v_{j}) = U(T(v_{j}))
    • = U(\sum_{k=1}^{m} B_{kj} w_{k})
    • = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(w_{k})
    • = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} (\sum_{i=1}^{p} A_{ik} z_{i})
    • = \sum_{i=1}^{p} (\sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}) z_{i}
    • = \sum_{i}^{p} C_{ij} z_{i}
    • \therefore AB \neq BA, (AB)^{t} = B^{t} A^{t}

Thm 2.11 

  • T : V \to W, U : W \to Z 일 때
  • \alpha V 의 기저, \beta W 의 기저, \gamma Z 의 기저이면
    • [UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma} [T]_{\gamma}^{\alpha}
  • (예제는 교재에 있으므로 생략)

Def. Kronecker delta function

  • \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}
  • n \times n 단위행렬 I_{n}
    • (I_{n})_{ij} = \delta_{ij}

Zero divisor

  • AB = 0 \nRightarrow A = 0 \vee B = 0
  • Matrix multiplication은 cancellation law가 성립하지 않음
  • ex)
    • Mod 4에서 2 \times 2 = 4 = 0 따라서 Mode 4에서 2는 0이 아니지만 zero divisor가 됨
    • Mod 6에서 2 \times 3 = 6 = 0 따라서 Mode 6에서 2, 3는 0이 아니지만 zero divisor가 됨

Def. A : m \times n matrix

  • L_{A} : F^{n} \to F^{m}, x \mapsto Ax
  • 왼쪽에 행렬 A 를 곱해주는 L_{A} 를 left multiplication transformation이라 한다.

Thm 2.13

  • [A \cdot B]_{j-column} = A \cdot [B]_{j-column}
  • [B]_{j-column} = B \cdot e_{j}

Thm 2.14

  • V, W 은 유한차원 벡터공간에서
  • T : V \to W 이고 V 의 기저가 \beta , W 의 기저가 \gamma 일 때, L_{A} : F^{n} \to F^{m} 을 만들 수 있다.
    • 이때  V F^{n} , W F^{m} 로 변환
    • [T(u)]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} [u]_{\beta}
  • (예제 생략)

2.4 Invertibility

  • Def)
    • T : V \to W 일 때, U : W \to V T 의 inverse라고 한다.
    • UT = TU = I
    • U = T^{-1}
  • inverse가 성립하려면 전단사 함수여야 함.
    • 단사가 아니면 같은 원소가 2개의 정의역을 갖고,
    • 전사가 아니면 정의역에 대응되는 원소가 생기기 때문.

 

 

 

 

 

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