김영길/ 선형대수학/ matrix representation of linear transformations

Ex 2

  • V = P_{2}(R), \beta = \{ 1, x, x^{2} \}
  • f(x) = 4 + 6x - 7x^{2} 이면
  • [f(x)]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrr} 4 \\ 6 \\ -7 \end{array} \right]
  • 순서기저가 정해지면 vector는 좌표로 쓸 수 있다.

순서 기저를 갖는 유한차원 벡터공간 V, W에 대하여

  • V 의 순서기저를 \beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} , W 의 순서기저를 \gamma = \{ w_{1}, w_{2}, ... , w_{n} \} 라 하고, T : V \to W 이면
    • \forall j, \exists_{1} a_{ij} \in F : T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_{i}

Def. A = [a_{ij}]

  • 행렬 A 는 순서기저 \beta, \gamma 를 이용한 선형변환 T 의 행렬표현이라 한다.
    • A = [T]_{\beta}^{\gamma}
    • V = W 이고 \beta = \gamma 이면 A = [T]_{\beta}
  • (Ex 3, Ex 4는 문제풀이이므로 교재를 정리한 것으로 대체)
  • 행렬은 결국 선형변환과 같다.

Def. 체 F 의 원소를 갖는 벡터공간 V, W 에 대하여

  • T, U : V \to W, a \in F 일 때
  • T + U : V \to W
    • x \mapsto T(x) + U(x)
  • aT : V \to W
    • x \mapsto aT(x)
  • Thm 2.7) 선형변환 T, U : V \to W 에 대해
    • \forall a \in F, aT + U 도 선형이다
    • T + U, aU 의 정의를 이용하면 V 에서 W 로 가는 모든 선형변환을 모아 놓은 집합도 벡터공간이 된다.
  • 증명)
    • (aT + U)(x + y) = (aT + U)(x) + (aT + U)(y) (homogeneity)
    • (aT + U)(bx) (additivity)
      • = aT(bx) + U(bx)
      • = abT(x) + bU(x)
      • = b(aT(x) + U(x))
      • = b(aT + U)(x)

T_{0} : zero transformation

  • L(V, W) V 에서 W 로 가는 모든 선형변환의 집합일 때,
    • L(V, W) 는 벡터공간이다.
    • T_{0} 는 덧셈에 대한 항등원이 된다. (zero vector)
  • V = W 이면 L(V) 이라고 쓴다.

Thm 2.8

  • 유한차원 벡터공간 V, W 와 그 순서기저를 각각 \beta, \gamma 라 할 때 
  • 선형변환 T, U : V \to W 에 대하여
    • [T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}
    • [aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}, \forall a \in F
  • (Ex 5는 문제풀이이므로 교재 내용으로 대체)

2.3 선형변환의 함수 합성과 행렬곱

  • UT = U \circ T
    • 합성함수는 오른쪽부터 계산한다.
  • Thm 2.9) 체 F 의 원소를 갖는 벡터공간 V, W, Z 에 대하여 
    • T: V \to W, U : W \to Z
    • \Rightarrow UT : V \to Z
  • 증명)
    • UT(x + y) = UT(x) + UT(y)
      • UT(x + y) = U(T(x +y))
      • = U(T(x) + T(y))
      • = U(T(x)) + U(T(y))
      • = UT(x) + UT(y)
    • UT(ax) = aUT(x)
      • = U(aT(x))
      • = aU(T(x))
      • = aUT(x)

Thm 2.10) 벡터공간 V 에 대하여 

  • T, U_{1}, U_{2} \in L(V)
    1. T(U_{1} + U_{2}) = TU_{1} + TU_{2}
      • (U_{1} + U_{2})T = U_{1}T + U_{2}T
    2. T(U_{1}U_{2}) = T(U_{1})U_{2}
    3. TI = IT = T
    4. a(U_{1}U_{2}) = (aU_{1})U_{2} = U_{1}(aU_{2})
  • 증명 1)
    • T(U_{1} + U_{2})(x) = T(U_{1}(x) + U_{2}(x))
    • = TU_{1}(x) + TU_{2}(x)
    • = (TU_{1} + TU_{2})(x)
  • (나머지 증명은 생략 됨)

 

 

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