김영길/ 선형대수학/ inverse matrix, change of coordinate matrix, elementary row operation

Invertible = one-to-one and onto

  1. (TU)^{-1} = T^{-1}U^{-1}
  2. (T^{-1})^{-1} = T
  3. 선형변환 T : V \to W 이고 dim(V) = dim(W) < \infty 일 때
    • T 가 invertible \Leftrightarrow rank(T) = dim(V), nullity(T) = 0
    • T 는 단사함수이고 전사함수여야 한다. (전단사 함수)

Thm 2.17

  • invertible한 선형변환 T : V \to W
    • T^{-1} : W \to V
    • T^{-1} 또한 선형이다.
  • Def. 행렬에서의 invertibility
    • 행렬 A 가 invertible 하면
      • \exists B, AB = BA = I
      • B = A^{-1} 은 unique하다.

Thm 2.18

  • 선형변환 T : V \to W , \beta V 의 기저, \gamma W 의 기저일 때
    • T 가 invertible \Leftrightarrow [T]_{\beta}^{\gamma} 가 invertible
      • [T^{-1}]_{\gamma}^{\beta} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}
    • (선형변환 T 가 invertible하면 그것의 행렬표현 또한 invertible하고, T 의 역행렬의 행렬표현은 T 의 행렬표현의 역행렬과 같다.)

isomorphic

  • 벡터공간 V, W 에 대하여 
    • V W 에 대해 선형변환 T : V \to W가 존재하고, 그것이 invertible 하면 isomorphic하다고 한다.
    • V \cong W

Thm 2.19

  • F 를 원소로 하는 유한차원 벡터공간 V, W 에 대하여
    • V \cong W \Leftrightarrow dim(V) = dim(W)
    • (V W 가 isomorphic하면 그 V W 의 차원이 같다)
  • 즉, 구조적으로 n 차원 벡터공간은 F^{n} 밖에 없음

2.5 Change of coordinate matrix(좌표변환 행렬)

  • 2x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1 이라는 타원의 방정식에 대해 다음과 같이 x', y' 을 잡아 좌표변환을 해주면
    • x = {2 \over \sqrt{5}}x' - {1 \over \sqrt{5}}y'
    • y = {1 \over \sqrt{5}}x' + {2 \over \sqrt{5}}y'
  • 위의 타원 방정식을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.
    • (x')^{2} + 6(y')^{2} = 1

좌표변환행렬 Q = [I]_{\beta'}^{\beta}

  • Q = [I]_{\beta'}^{\beta} (좌표변환 행렬은 보통 Q 로 표시)
    • [v]_{\beta} = [Iv]_{\beta}
    • = [I]_{\beta'}^{\beta} [v]_{\beta'}
    • = Q[v]_{\beta'}
  • Q 는 항상 invertible 하다. (I 가 항상 invetible하기 때문)
  • Ex 1)
    • \beta = \{ (1, 1), (1, -1) \} 
    • \beta' = \{ (2, 4), (3, 1) \}
    • [(2,4)]_{\beta'} = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 0 \end{array} \right]
    • (2, 4) = 3(1,1) - 1(1, -1)
    • (3, 1) = 2(1, 1) + 1(1, -1)
    • Q = [I]_{\beta}^{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{array} \right]
  • 선형변환 T : V \to V 에 대해 T 를 특별히 linear operator라고 한다.
    • (자기 자신으로 가는 선형변환)
  • Thm 2.23) 
    • 선형변환 T : V \to V 에 대해
      •  [T]_{\beta'} = Q^{-1}[T]_{\beta}Q
    • 증명)
      • Q[T]_{\beta'} = [I]_{\beta'}^{\beta} [T]_{\beta'}^{\beta} = [IT]_{\beta'}^{\beta} = [TI]_{\beta'}^{\beta}
      • = [T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\beta'}^{\beta} = [T]_{\beta}Q
  • Ex 2) 생략 (교재로 대체)

Similar

  • 정사각행렬 A, B \in M_{n \times n}(F) 에 대하여 B A 에 대해 similar하다는 것은
    • \exists Q, B = Q^{-1}AQ
  • similar하다는 것은 같은 linear transform에서 파생된 것이라는 것

3.1 Elementary matrix operation

  • Def. Elementary row operation
    • Type 1) row를 바꿔준다.
    • Type 2) row에 0이 아닌 scalar를 곱해준다.
    • Type 3) scalar를 곱해준 row를 다른 row에 더해준다.
  • (Elementary column operation도 있는데 거의 안 쓴다)

n \times n elementary matrix

  • elementary matrix란 I_{n} 에 elementary row operation(또는 elementary column operation)을 단 1번 적용한 행렬
  • Ex)
    • E = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
    • 왼쪽의 행렬은 1행과 2행을 맞바꾼 것이고 오른쪽 행렬은 마지막 행에 -2를 곱한 후에 첫 번째 행에 더한 것
  • elemantary 행렬은 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해줄 수 있다.
    • 만일 위 예제의 왼쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행과 2행을 바꾸는 결과를 만들 수 있다.
    • 만일 위 예제의 오른쪽 행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해주면, 곱해주는 행렬의 1행에 마지막 행의 -2를 곱한 것을 더한 결과를 만들 수 있다.
  • (elementary 행렬을 적절히 곱해줌으로해서 행렬을 내가 원하는대로 조정할 수 있다)
[ssba]

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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