김영길/ 선형대수학/ rank of matrix, column space, row space, system of linear equations

(Ex 2는 elemantary matrix 계산이라 생략)

Thm 3.2

  • Elementary matrix는 invertible하고 Elementary의 inverse도 invertible 하다.
    • \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]
    • \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \over 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

3.2 Rank of matrix

  • 행렬 A \in M_{m \times n}(F) 에 대하여, 그 행렬의 rank는
    • rank(A) = rank(L_{A}) : L_{A} 의 range(치역)의 차원
    • L_{A} : F^{n} \to F^{m}
    • x \mapsto Ax
  • n \times n 행렬이 invertible
    • \Leftrightarrow rank = n \Leftrightarrow nullity = 0

Thm 3.3

  • 선형 변환 T : V \to W 에 대하여, V 의 기저가 \beta , W 의 기저가 \gamma 일 때
    • rank(T) = rank([T]_{\beta}^{\gamma})
    • (선형변환의 rank와 행렬표현의 rank가 같다)

Thm 3.4

  • 세 행렬 A: m \times n , P : m \times m invertible, Q : n \times n  invertible 에 대하여
    • rank(AQ) = rank(A)
    • rank(PA) = rank(A)
    • rank(PAQ) = rank(A)

Corollary

  • Elementary row operation은 rank를 유지시켜준다.

Thm 3.5

  • rank(A) 는 독립 컬럼의 최대개수가 된다.
    • rank(A) = dim(column space) = dim(row space)
    • = rank(A^{t})
  • Ex)
    • A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right], rank(A) = 2
  • Ex 2)
    • A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]
    • \therefore rank(A) = 2
    • (row elementary operation이 rank를 바꾸지 않기 때문에 적절한 연산으로 row을 정리해서 Echelon form(사다리꼴)으로 만들어 주면 최종적으로 남은 pivot의 개수를 통해 행렬의 rank를 쉽게 구할 수 있다.)

Thm

  • 세 행렬 A: m \times n , P : m \times m , Q : n \times n  에 대하여
    • rank(AQ) \leq rank(A)
    • rank(PA) \leq rank(A)
    • rank(PAQ) \leq rank(A)
  • (앞선 정리와 다른 점은 P, Q 가 invertible 하지 않다는 것. 일반적으로 행렬을 곱해줄 수록 rank는 감소한다.)

Thm 3.7

  • T : V \to W, U : W \to Z 에 대하여
    • rank(UT) \leq rank(U)
    • rank(UT) \leq rank(T)

(rank 구하는 예제 생략)

3.3 System of linear equations

  • 행렬 A: m \times n 에 대하여
    • Ax = b
    • 위 식의 해가 존재하면 consistent 하다고 하고 해가 존재하지 않으면 inconsistent 하다고 한다.
    • 위 식의 해가 존재하려면 행렬 A 의 column을 선형결합해서 b 를 만들 수 있어야 한다.
  • Def
    • Ax = 0 인 시스템은 homogeneous 하다고 한다.
    • Ax = b (b \neq 0) 인 시스템은 non-homogeneous 하다고 한다.
    • homogeneous인 시스템에서 x = 0 은 항상 해가 된다. 고로 homogeneous인 시스템은 항상 consistent 하다. (해가 1개 이상)

Thm 3.8

  • 행렬 A: m \times n 에 대하여
    • K Ax = 0 을 만족하는 모든 해의 집합이라고 할 때
      • K = N(L_{A}) = N(A)
        • (N 은 널공간)
      • n = nullity(A) + rank(A)
    • K F^{n} 의 부분공간이 되고 rank는 n - rank(A) 이 된다.

(계산 예제 생략 – pivot variable과 free variable을 구분해서 계산하는 것이 팁. 그렇게 구해진 결과가 해공간의 기저가 된다. 상세한 것은 교재에서 정리)

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