김영길/ 선형대수학/ system of linear equations, determinant

Thm 3.9

  • K Ax = b (b \neq 0) 의 해 집합일 때
    • K_{H} Ax = 0 의 해 집합이라고 정의
    • K = \{s\} + K_{H} = \{ s + k : k \in K_{H} \}
    • s Ax = b 의 해 중 하나
    • (non-homogeneous 방정식을 푸는 방법은 homogeneous 방정식을 먼저 풀고, non-homogeneous의 particular solution을 더해줌으로써 구한다)
  • Ex 3)
    • \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -4 \end{array} \right] 일 때
    • rank(A) = 2 (반드시 solution이 존재한다)
      • \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 7 \\ -11 \end{array} \right] 
    • homogeneous solution은
      • \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right]
    • particular solution을 구하기 위해 free variable에 0을 대입한다.
      • x_{3} = 0
      • x_{2} = {11 \over 3}, x_{1} = -{1 \over 3}
    • 결과 (homogeneous에 non-homogeneous 해를 1개 더해준 값)
      • \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = c \left[ \begin{array}{rrr} {1 \over 3} \\ -{2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rrr} -{1 \over 3} \\ {11 \over 3} \\ 0 \end{array} \right]
    • (homogeneous의 해가 원점을 지나는 직선이라고 할 때, non-homogeneous의 해는 원점을 지나지 않는 직선이라고 할 수 있다)

4.1 Determinants of order 2

  • 행렬 A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] (a, b, c, d \in F) 일 때
    • det(A) = |A| = ad - bc
      • (행렬의 경우 절댓값 기호를 씌우면 det를 의미하고, 집합에 절댓값 기호를 씌우면 집합의 원소의 개수를 의미한다.)
    • det(A + B) \neq det(A) + det(B)
  • 따라서 det : M_{2 \times 2}(R) \to R 는 nonlinear transform이 된다.
    • det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A: invertible

Orientation

  • \beta = \{ u, v \} R^{2} 의 순서기저라고 할 때, \beta 의 Orientation은 다음과 같다.
    • O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = {det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \over \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|} = \pm 1
    • (orientation은 결국 자기 자신의 절댓값으로 나눈 것이기 때문에 +1 또는 -1 이 나올 수 밖에 없다. 기저이기 때문에 분모는 0 이 아님)
  • Ex)
    • e_{1} = [1 0], e_{2} = [0 1] 일 때
      • det \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1
      • O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ e_{2} \end{array} \right] = 1
      • O \left[ \begin{array}{rr} e_{1} \\ -e_{2} \end{array} \right] = -1
  • orientation 의미는 결국 right-hand system을 만족하느냐를 따지는 것. orientation이 +1 이면 반시계방향으로 회전하고, -1 이면 시계방향으로 회전한다.
  • 임의의 두 벡터 \{ u, v \} \in R^{2} 는 평행사변형을 만든다.
    • 이때 u, v 를 row로 구성된 행렬의 det의 절댓값은 위 평행사변형의 넓이가 된다.
    • 만일 u, v 가 dependent하면 area는 0 이 된다. (두 벡터의 방향이 같으므로 넓이가 만들어지지 않는다)

Area function (면적 함수)

  • A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] 는 벡터 u, v 로 만들어 내는 면적이 된다.
    • A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] 또는 A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = -det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]
    • \therefore A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = \left| det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \right|
    • A \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] = O \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right] \cdot det \left[ \begin{array}{rr} u \\ v \end{array} \right]
  • Ex)
    • u = (-1, 5), v = (4, -2) 일 때
      • \left| \left[ \begin{array}{rr} -1 & 5 \\ 4 & -2 \end{array} \right] \right| = 2 - 9 = -7
      • 벡터 u 에서 벡터 v 는 시계방향으로 180도 이하 각도가 되기 때문에 orientation은 -1 이 된다.

Determinants of order n

  • A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right] \in M_{3 \times 3}(R)  일 때
    • Submatrix \tilde{A}_{11} \left[ \begin{array}{rr} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} \right], \tilde{A}_{13} \left[ \begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} \right]  
    • Submatrix란 행렬의 원소 A_{ij} 에 대해 i 행과 j 열을 제외한 나머지 원소들의 행렬이 된다.
  • Def. det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1 + j} A_{1j} det(\tilde{A}_{1j})  
    • 만일 A = A_{11}, det(A) = A_{11}  
    • (위 식의 정의는 그 자체가 recursive이다. 재귀이기 때문에 탈출문이 필요한데, 맨 마지막에 1 \times 1 이 될 때 자기 자신을 return 함으로써 식을 종료한다) 

Cofactor

  • 특별히 C_{ij} = (-1)^{i+j} det(\tilde{A}_{ij}) A_{ij} 의 cofactor라 한다.
  • 행렬 A 의 1행을 따라 cofactor을 expansion하면 다음과 같다.
    • det(A) = A_{11} C_{11} + A_{12} + C_{12} + ... + A_{1n} C_{1n}
    • (n \times n 행렬의 det는 cofactor expansion을 통해 구할 수 있다.)
  • Ex)
    • A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -3 \\ -3 & -5 & 2 \\ -4 & 4 & -6 \end{array} \right] 일 때
    • det(A) = 1 (30-8) - 3(18+8) - 3(-12-20)

Corollary

  • A \in M_{n \times n}(F) 에 대하여
    1. A 의 행 (또는 열)이 모두 0이면 det(A) = 0
    2. A 의 2개의 행 (또는 열)이 같다면 det(A) = 0 (full rank가 아니므로)

Thm 4.5

  • 행렬 B 가 행렬 A 의 행을 변환해서 만든 것이라면 (type 1)
    • det(B) = -det(A)

Thm 4.6

  • 행렬의 한 행에 scalar곱을 해서 다른 행에 더해도 (type 3 operation) det는 변하지 않는다.
    • (행렬을 사다리꼴로 만들면 그 행렬의 det는 pivot들의 곱이 된다. cofactor expansion 보다 간편하다)

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