김영길/ 선형대수학/ determinant, Cramer’s rule, diagonalization, eigenvalue

Type 2 operation

  • 행렬 B 가 행렬 A 의 어떤 행에 non-zero인 k 를 곱해준 행렬이라고 할 때
    • det(B) = k \cdot det(A)
    • (Type 2 연산을 한 경우 곱해준 상수만큼 det가 변한다)
  • det(kA) = k^{n} det(A)
    • (행렬에 상수를 곱해준 결과의 determinant는 행렬의 det에 k^{n} 을 곱한 것과 같다. row가 n 개 이기 때문)

Determinant of upper triangular matrix

  • A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right] 일 때
    • det(A) = 24 이것은 대각 원소들의 곱이면서 pivot들의 곱과 같다.
  • (계산하는 예제 생략 – upper triangular matrix로 변환하면서 type1 연산을 1회 해줬기 때문에 최종 det값에 -를 곱해주는 것에 주의)
  • (cofactor보다 row operation이 determinant를 구하는게 훨씬 쉽다)

4.3 Properties of determinant

  • E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] 인 경우
    • 단위 행렬의 row exchange matrix이므로 det(E) = -1
    • (Type 1 연산을 하면 det에 -1 이 곱해진다.)
  • E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] 인 경우
    • 단위 행렬에 한 행에 2 를 곱해준 matrix이므로 det(E) = 2
    • (Type 2 연산을 하면 det에 k 가 곱해진다.)
  • E = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] 인 경우
    • 단위 행렬의 한 행을 곱해서 다른 행에 더해준 matrix이므로 det(E) = 1
    • (Type 3 연산은 det에 변화가 없다.)

Thm 4.7 det(AB) = det(A) det(B)

  • 행렬 A: n \times n 일 때
    • rank(A) = n 이면 (full rank일 때)
    • \Leftrightarrow A : invertible
    • \Leftrightarrow A 는 elementary matrix들의 곱이 된다.
      • (elementary matrixs는 단위행렬에 elementary row operation을 1회 적용해 준 행렬)
    • \Leftrightarrow A 는 nonsingular
      • (nonsingular란 정칙행렬 또는 가역행렬. A 가 정칙행렬이면 AA^{-1} = A^{-1}A = I 가 성립한다.)
    • \Leftrightarrow det(A) \neq 0
    • det(A) det(A^{-1}) = det(I) = 1
    • det(A) = det(A^{t})

Thm 4.9 Cramer’s rule

  • Ax = b 일 때
    • det(A) \neq 0 이면
    • x_{k} = {det(M_{k}) \over det(A)}
    • M_{k} A k -th column을 B 로 치환한 행렬
  • Ex 1) 
    • \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]
    • x_{1} = {det(M_{1}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}
    • x_{2} = {det(M_{2}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right| \over det(A)}
    • x_{3} = {det(M_{3}) \over det(A)} = {\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| \over det(A)}
    • (Cramer’s rule은 제약조건도 많고, determinant를 구하는 것도 번거롭고 나눗셈도 해줘야 하기 때문에 유용하지는 않음)

A: 3 \times 3 matrix

  • |det(A)| 의 의미는 평행 6면체의 부피가 된다.
    • a_{1} = (1, -2, 1)
    • a_{2} = (1, 0, -1)
    • a_{3} = (1, 1, 1)
    • \left| det \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \right| = 6

Diagonalization (대각화)

  • Question 1
    • 선형변환 T 가 있을 때 [T]_{\beta} 를 대각행렬로 만드는 순서기저 \beta 를 찾을 수 있는가?
    • (대각행렬이란 정사각행렬에서 주대각선을 제외한 나머지 원소가 모두 0인 행렬)
  • Question 2
    • 그러한 기저를 찾을 수 있다면 어떻게 찾을 수 있는가?
  • (위 조건의 순서기저를 찾을 수 있다면, 그 순서기저를 eigen-basis라 한다)

\beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \}

  • [T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} \lambda_{1} & & &  \\ & \lambda_{2} & &  \\ & & ... & \\ & & & \lambda_{n} \end{array} \right]
  • T(v_{j}) = 0 v_{1} + 0 v_{2} + ... + \lambda_{j} v_{j} + ... + 0 v_{n} = \lambda_{j} v_{j}
    • (T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j} 가 된다는 것은 input을 넣어도 방향이 바뀌지 않는다는 것.)
    • (이때의 v_{j} 가 eigen-vector가 되고, 이때의 \lambda_{j} 가 eigen-value가 된다. 그리고 이 eigen-vector들을 모은 \beta 는 eigen-basis가 된다.)

5.1 Eigenvalues and Eigenvector

  • T : V \to V 일 때,
    • [T]_{\beta} 가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 \beta 가 존재하면 T 가 대각화가 가능하다고 한다.
    • (T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j} 가 되는 non-zero vector v_{j} n 개 만큼 존재해야 한다.)

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.