김영길/ 선형대수학/ diagonalization, eigenvector, characteristic polynomial

Diagonal

  • 행렬 D = [T]_{\beta} 가 Diagonal 하면
    • T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}
  • 역으로 순서기저 \beta = \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{n} \} T(v_{j}) = \lambda_{j}v_{j} 를 만족시키면
    • [T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rrrr} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & ... & \\ & & & \lambda_{n} \end{array} \right]

EigenVector, EigenValue

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여 
    • 영이 아닌 벡터 v \in V T(v) = \lambda v 를 만족할 때 
      • \lambda 를 eigenvalue라고 하고 v 를 eigenvector라 한다.
  • 행렬에서는 Av = \lambda v 일 때, v A 의 eigenvector라 한다. (eigenvector of L_{A} )

Thm 5.1

  • 선형변환 T : V \to V 에대하여
    • T 의 eigenvector들로 이루어진 순서기저 \beta 를 만들 수 있으면 T 는 대각화가능이라고 한다.
    • (eigenvector로 V 를 span하고 선형독립)
  • T 가 대각화가능이고, 대각행렬 D D = [T]_{\beta} 일 때 
    • D_{jj} 는 eigenvalue가 된다.
  • (예제1 생략  – 교재 참조)
  • (예제2 생략 – 교재 참조 – 90도 회전하는 선형변환에서는 eigenvector와 eigenvalue가 없다)

Thm 5.2

  • A \in M_{n \times n}(F) 일 때
    • \lambda 가 A의 eigenvalue이면 
      • det(A - \lambda I) = 0
  • 증명)
    • \lambda A 의 eigenvalue이므로
      • \Leftrightarrow Av = \lambda v
      • \Leftrightarrow (A - \lambda I)v = 0
      • \Leftrightarrow (A - \lambda I) 는 not invertible
      • \Leftrightarrow det(A - \lambda I) = 0
  • 정의)
    • A \in M_{n \times n}(F) 일 때
      • f(t) = det(A - t I) 는 A의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라 한다.
    • Ex)
      • A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{array} \right]
      • det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 4 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t - 3
      • = (t-3)(t+1)
      • eigenvalue는 3, -1
      • (eigenvalue는 위와 같이 계산할 수 있기 때문에 구하기 쉽다)

Similar matrices는 항상 같은 특성 다항식을 갖는다 (B = Q^{-1}AQ )

  • 증명)
    • Av = \lambda v
      • v = Qu
      • AQu = \lambda Q u
      • Q^{-1}AQu = \lambda u
      • Bu = \lambda u
    • similar matrices의 경우에 eigenvalue는 같지만, eigenvector는 같지 않다.

정의

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여, \beta 가 순서기저일 때
    • A 의 특성 다항식 T 는 
      • [T]_{\beta} = det(A - tI)
    • 순서기저 \beta 가 무엇이든간에 characteristic polynomial은 변하지 않는다.
  • 선형변환 T 의 eigenvalue \lambda 는 행렬 [T]_{\beta} \lambda 와 같다.
    • (\beta 가 무엇이든 \lambda 는 동일하다)
  • 선형변환 T 의 특성 다항식은 det(T - tI) 라고 쓰기도 한다.
  • (예제 생략 – 교재 참조)
[ssba]

The author

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.