김영길/ 선형대수학/ diagonalizability, eigenvector

Thm 5.3

  • A \in M_{n \times n} 일 때
    • A 의 특성 다항식은 최고차항의 계수가 (-1)^{n} n 차 다항식이다.
    • A 는 최대 n 개의 서로 다른 eigenvalue를 갖는다.
      • (n 차이기 때문. 아예 없을 수도 있다.)

Thm 5.4

  • V 가 선형변환 T 의 eigenvector이고 \lambda 가 eigenvalue일 때
    • v \neq 0 이고 v \in N(T - \lambda I) 이다.
      • (N(T) 는 널공간)
  • 증명)
    • T(v) = \lambda v = \lambda Iv (v \neq 0)
    • \Leftrightarrow (T - \lambda I)v = 0 (v \neq 0)
    • \Leftrightarrow v \in N (T - \lambda I) (v \neq 0)
  • (eigenvalue를 이용해서 eigenvector를 구하는 예제 생략)
  • Ax = \lambda x 이므로 (A - \lambda I)x = 0 을 이용하여 eigenvector를 구한다.
  • \beta 가 eigenvector의 a basis consisting이라 할 때 \beta Q 의 컬럼으로 쓰면 
    • QD = AQ \Leftrightarrow D = Q^{-1}AQ
    • Ex)
      • Q = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right]
      • D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]

Decoupling by eigen-decomposition

  • D = Q^{-1}AQ = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array} \right]
  • \left[ \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} y_{1} \\ y_{2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 3y_{1} \\ -y_{2} \end{array} \right]
  • 1st 컴포넌트의 output은 오로지 1st 컴포넌트의 input에 의해 결정된다.
    • (eigenvalue와 eigenvector를 이용하면 임의의 시스템을 decoupling 할 수 있다는 것)
  • (선형변환에서 eigenvalue가 주어졌을 때, eigenvector 구하는 예제 생략)

Diagonalizability

  • Thm 5.1에서 T 가 diagonalizable (T : V \to V
    • \Leftrightarrow T 의 eigenvector의 ordered basis consisting가 존재한다. 
    • (T 가 대각화 가능하다는 것은 decoupling 가능하다는 것이 된다)
  • Question)
    • eigenvector들을 찾았는데 이것이 basis가 되는가? 즉, dim(V) 개를 찾았는가? 찾은 eigenvector들은 선형독립인가?

Thm 5.5

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여
    • \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k} T 의 distinct eigenvalue일 때
    • v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} T 의 eigenvector이면, \{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \} 는 선형독립이다.
      • \lambda_{i} v_{i} 와 correspond (i = 1, 2, ... , k )
  • 증명)
    • k = 1 을 가정하고
    • v_{1} v \neq 0 이고 eigenvector일 때 \{ v_{1} \} 는 선형독립
    • Thm 5.5가 k - 1 개의 distinct eigenvalue에 대해 성립한다고 가정
      • a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + ... + a_{k} v_{k} = 0 이라고 가정
    • T - \lambda_{k} I 를 양변에 적용
      • a_{1}(T - \lambda_{k} I) v_{1} + a_{2} (T - \lambda_{k} I) v_{2} + ... + a_{k} (T - \lambda_{k} I) v_{k} = 0
      • a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) v_{1} + a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) v_{2} + ... + a_{k} (\lambda_{k} - \lambda_{k}) v_{k} = 0
    • Induction hypothesis에 의해
      • a_{1}(\lambda_{1} - \lambda_{k}) = a_{2} (\lambda_{2} - \lambda_{k}) = ... = a_{k-1} (\lambda_{k-1} - \lambda_{k}) = 0
      • \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{k} 가 distinct이므로
      • a_{1} = a_{2} = ... = a_{k-1} = 0
      • 따라서 a_{k} v_{k} = 0 , v_{k} 는 nonzero vector, a_{k} = 0
      • 그러므로 독립이다.
  • (n 차원 선형변환 T 에서 n 개의 eigenvalue가 존재하고 서로 다르면 그때의 eigenvector끼리는 선형독립이 보장되고 선형변환 T 는 대각화 가능. T 의 eigenvalue가 n 개가 안되면 복잡하다고 함)

 

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지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

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