김영길/ 선형대수학/ Eigen decomposition

Corollary

  • n 개의 차원을 가진 선형변환 T : V \to V 에 대하여
    • 만일 T n 개의 distinct eigenvalue를 갖고 있다면, T 는 대각화가능하다.
    • eigenvector를 볼 필요도 없다.
  • Ex 1)
    • A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right]
    • det(A - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 1 \\ 1 & 1 - t \end{array} \right] = t(t-2)
    • t(t-2) A 의 특성다항식이므로 eigenvalue는 0, 1 이 된다. 
    • A 2 \times 2 행렬이었기 때문에, A 는 대각화 가능하다.

Thm 5.5의 역은 성립하지 않는다.

  • T 가 대각화 가능하다 \nRightarrow n 개의 distinct eigenvalues
  • Ex)
    • A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]
    • 이때 A 의 eigenvalue는 1개 뿐이다.
      • Ax = \lambda x
    • 하지만 A 는 항상 대각화가능하다.

Split

  • Split이란 주어진 다항식을 1차 다항식으로 쪼개는 것을 말한다.
  • t^{2} -1 = (t+1)(t-1) 이 되므로 t^{2} - 1 R 에서 split 가능하다.
  • (t^{2}+1)(t-2) R 에서 split 가능하지 않지만 C 에서는 split 가능하다.
    • (t - i)(t+i)(t-2)
  • n 개의 distinct eigenvalue가 있으면 대각화 가능하고 f(t) R 에서 split 가능하다.
    • 하지만 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
  • 결국 특성다항식에 중근이 생길 때는 대각화 가능 한지 판단이 어렵다. 즉 중근이 있을 때 대각화가능한지 판별하려면 eigenvector를 모두 구해보는 방법 밖에 없다.

(Ex 2. 생략 – 행렬이 대각화 가능한지 판별하는 문제 – 교재로 대체)

  • 중근이 되는 eigenvalue의 경우에 몇 개의 eigenvector를 구할 수 있는가?
    • Algebraic multiplicity(대수적 중복도) 만큼의 eigenvector만 나오면 대각화 가능

Def

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여
    • \lambda T 의 eigenvalue일 때
    • Eigenspace는 \lambda 에 상응한다.
      • E_{\lambda} = \{ x \in V | T(x) = \lambda x \} = N(T - \lambda I)
      • E_{\lambda} 는 Eigenspace를 의미한다
      • Eigenspace는 T(x) = \lambda x 가 되는 x 를 모아 놓은 집합
      • T - \lambda I 의 널공간이 Eigenspace가 된다.
      • Eigenvector는 결국 Eigenspace의 기저이다.

Thm 5.7

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여
    • \lambda 가 대수적 중복도 m 을 갖는 선형변환 T 의 eigenvalue일 때
      • 1 \leq \dim(E_{\lambda}) \leq m
      • Eigenspace의 차원(=Eigenvector의 개수)은 1 m 사이에 존재한다.
      • 이때 dim(E_{\lambda}) \lambda 의 geometric multiplicity(기하적 중복도)라고 한다
      • geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같으면 행렬은 대각화 가능하다. geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작으면 대각화 불가능

(algebraic multiplicity와 geometric multiplicity를 이용해서 행렬의 대각화 가능 판별 여부 구하는 예제 생략 – 교재 참조)

T 의 대각화가능 조건

  • f(t) F 에서 split 가능해야 하고
  • 모든 \lambda 에 대해 nullity(T - \lambda I) 가 algebraic multiplicity이고 geometric multiplicity 일 때 
  • T 는 대각화 가능하다.

(예제 생략 – 교재 참조)

댓글 남기기

이 사이트는 스팸을 줄이는 아키스밋을 사용합니다. 댓글이 어떻게 처리되는지 알아보십시오.