김영길/ 선형대수학/ Eigen decomposition, Cayley-Hamilton theorem, inner product space

(대각화 가능 판별 예제 생략 – 교재 참조)

(행렬의 n승을 구하는 예제 생략 – eigenvalue, eigenvector를 이용해서 대각화하면 계산 된다)

System of differential equations

  • 주어진 연립 미분 방정식이 다음과 같을 때, 해를 구하는 방법
    • x'_{1}(t) = 3x_{1}(t) + x_{2}(t) + x_{3}(t)
    • x'_{2}(t) = 2x_{1}(t) + 4x_{2}(t) + 2x_{3}(t)
    • x'_{3}(t) = -x_{1}(t) - x_{2}(t) + x_{3}(t)
    • x = \left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right]
    • x' = \left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right] x = Ax
    • A = QDQ^{-1}
      • AQ = QD 에서 파생 D 는 Diagonal matrix
    • x' = QDQ^{-1}x
    • Q^{-1}x' = DQ^{-1}x
    • y' = Dy
      • Q^{-1}x = y 로 치환
    • Q = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right]
    • D = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]
    • \left[ \begin{array}{rrr} y'_{1}(t) \\ y'_{2}(t) \\ y'_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ y_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 2y_{1}(t) \\ 2y_{2}(t) \\ 4y_{3}(t) \end{array} \right]
  • 각 함수는 독립적 (system is decoupled)
    • y_{1}(t) = c_{1} e^{2t}
    • y_{2}(t) = c_{2} e^{2t}
    • y_{3}(t) = c_{3} e^{4t}
    • x = Qy 했던 것을 되돌려준다.
    • \left[ \begin{array}{rrr} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \\ x_{3}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} c_{1}e^{2t} \\ c_{2}e^{2t} \\ c_{3}e^{4t} \end{array} \right]
  • eigenvalue, eigenvector를 이용해서 system을 decoupling 시킨 후에 decoupling된 1차 미분 방정식을 풀고 다시 coupling된 상태로 만들어주면 된다. 이렇게 연립 미분 방정식을 풀 수 있다.

Thm 5.23 Cayley-Hamilton theorem

  • 선형변환 T : V \to V 에 대하여
    • f(t) T 의 특성 방정식이고
    • = det([T]_{\beta} - tI) 일 때
    • f(T) = T_{0}
  • Ex 7)
    • T : R^{2} \to R^{2}
      • (a, b) \mapsto (a + 2b, -2a +b)
    • \beta = \{ (1, 0), (0, 1) \}
    • T(1, 0) = (1, -2)
    • T(0, 1) = (-2, 1)
    • A = [T]_{\beta} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array} \right]
    • T 의 특성 방정식은
      • f(t) = det([T]_{\beta} - tI) = det \left[ \begin{array}{rr} 1 - t & 2 \\ -2 & 1 - t \end{array} \right] = t^{2} - 2t + 5
    • Cayley-Hamilton 정리에 의해
      • A^{2} - 2A + 5I = 0
  • A = \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] 에 대해
    • A 의 특성 방정식은
      • det(A - tI) = \left[ \begin{array}{rr} a - t & b \\ c & d - t \end{array} \right]
      • t^{2} - (a + d)t + ad - bc
      • A^{2} - (a + d)A + (ad - bc)I = 0

Inner product space

Inner product and norm

  • Ex 1)
    • x = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}
    • y = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}
    • <x, y> = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i}
    • z = (c_{1}, c_{2}, ... , c_{n}) \in F^{n}
    • <x + z, y> = \sum_{i=1}^{n}(a_{i} + c_{i})\bar{b}_{i} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{b}_{i} + \sum_{i=1}^{n} c_{i} \bar{b}_{i}
    • = <x, y> + <z, y>

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