suyeongpark

지성을 추구하는 디자이너/ suyeongpark@abyne.com

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순서수

BY

개념

  • 기수란 집합의 전단사 함수 성질을 나타냄
    • 집합 내의 대등한 것들을 같은 수로 결부시키는 것
  • 순서수란 정렬전순서 집합 중에 구조로서 같은 것들을 같은 수로 결부 시키는 것
  • 수학에서 매우 중요한 개념이 구조가 같다는 것. Isomorphic
    • 구조적으로 같은 성질을 갖고 있다.
  • 순서 동형 (order isomorphic)
    • 반순서 <A, ≤ㅇ>과 <B, ≤*>에 대하여
      • <A, ≤ㅇ> ≈ <B, ≤*> ⇔ ∃f : A → B
        • f : 전단사
        • a1 ≤ㅇ a2 ⇒ f(a1) ≤* f(a2)
      • (≈ 은 동형이라는 의미)
    • 두 반순서 집합이 순서 동형이라는 의미는 A 집합에서 B 집합으로 가는 전단사 함수가 존재하고, A에서의 a1, a2의 관계가 전단사 함수를 통해 B로 대응된 후에도 A에서의 a1, a2의 대응관계가 B에서도 동일하게 유지되어야 한다. 순서 보존
  • ≈ 는 반사율, 대칭율, 추이율이 성립
  • 순서수 (ordinal number) 공리
    1. 모든 정렬전순서 집합 <X, ≤>에 Ord<X, ≤>라는 순서수가 결부된다.
      • 모든 순서수 α에 대해 α = Ord<X, ≤>인 정렬전순서 집합이 존재
      • (Ord는 순서수, Ordinal라는 의미)
    2. <A, ≤ㅇ> ≈ <B, ≤*> ⇔ Ord<A, ≤ㅇ> = Ord<B, ≤*>
      • 두 정렬전순서가 동형이면 그 순서수는 같다.
    3. Ord<∅, ≤> = 0
      • 공집합에 대한 순서수는 0
    4. X ~ { 1, …, n } ⇒ Ord<X, ≤> = n
      • X가 1부터 n까지의 집합일 때 X의 순서수는 n
  • Ord<A, ≤ㅇ> ≤ Ord<B, ≤*> ⇔ ∃Ord<C, ≤ㅇ> : Lower Set of B, <A, ≤ㅇ> ≈ <C, ≤*>
    • 순서수 A가 순서수 B보다 작다는 것은 정렬전순서 집합 A가 정렬전순서 집합 B의 Lower Set과 동형이라는 의미다.
세상 읽기

19.02.16

BY

고용 못 늘려 실패? 핀란드 “기본소득 실험 시도 자체가 진전”

지난주 공개된 핀란드 사회보험청(KELA) 연구진의 첫 예비보고서에 따르면 기본소득이 지급된 이들의 2017년 연간 평균 근로시간은 49.64일로, 기본소득이 지급되지 않은 17만여명(49.25일)보다 미미하게 높은 수준을 기록했다. 기본소득 지급으로 고용이 개선될 걸 기대한 중도우파 성향 유하 스필래 현 핀란드 내각의 기대에는 못 미치는 결과다. (중략)

이 효과를 확인하기 위해 진행한 여론조사 결과는 고용 측면의 결과보다 훨씬 고무적이다. 기본소득을 받은 참가자는 단기 취업과 실업을 오갈 때마다 이를 신고하고 증명하는 절차를 거치지 않아도 됐기 때문에 “관료주의의 장벽을 덜 느꼈다”고 응답했다. 또 단기 취업자들은 기본소득이라는 ‘보너스’로 인해 업무에 자신감을 느꼈으며, 상근직 취업에 대한 태도도 적극적으로 변했다. 이를 두고 미국의 온라인 경제전문매체 쿼츠는 “기본소득 수혜자가 취업 외에 창업, 교육 같은 다른 분야에서 효과를 봤는지도 검토할 가치가 있다”고 평가했다.

애초에 핀란드에서 실험했던 방향은 최초 이른바 우파 경제학자들이 주장한 행정 비용 감소 측면에서 했던 것 같은데, –취업을 하면 사라지는 실업 수당과 달리 기본 소득은 취업을 해도 추가 소득을 기대할 수 있음– 결과가 기대와는 달라서 아쉽다. 기본 소득이 있으면 자신이 하고 싶은 일을 하겠다는 사람은 아쉽게도 많지 않은 것 같다. 대부분은 사람들은 놀고 싶어하지 일하고 싶어하지 않은게 현실이니까.

‘디지털 성애’ 새 성정체성 온다 ‘낙인과 차별’도

섹스로봇의 기술적 장애는 머지않아 극복될 것이고 사용자는 지속적으로 늘어날 것이기 때문에, 미래 사회는 필연적으로 ‘디지털 성애자’라는 새로운 성 정체성을 지닌 사람들의 출현을 직면하게 된다. 인간 파트너를 필요로 하지 않고 섹스로봇과 관계를 맺는 사람, 사람과 섹스로봇을 동시에 찾는 사람, 사람과의 관계 형성에 보조적 도구로 사용하는 사람 등 이전까지 없던 새로운 성적 지향과 관계형성이 등장할 것이라는 게 연구자들의 전망이다.

뭐 인공지능도 아직 갈 길 먼 시점에 사람을 대신할만한 수준의 섹스 로봇이 내가 죽기 전까지 나오지는 않을 것 같다만, SF 소재를 넘어서 생각해 볼만한 문제이긴 한 듯. 지금도 언택트라는 개념이 나올 정도로 인간 관계가 줄어든 시점인데, 인간을 대체할 수 있는 섹스 로봇이 나와서 대중화 된다면 호모 사피엔스 자체가 멸종하게 되지 않을까?

옥스퍼드대, 세계 공통 도덕 7가지 찾아냈다

영국 옥스퍼드대 인지진화인류학연구소의 연구진이 전 세계를 관통하는 일곱 가지 보편적 도덕 규칙을 찾아냈다. 결론부터 말하면 이 7가지는 "가족을 도와라, 소속 집단에 충성하라, 호의를 갚아라, 용감하라, 윗사람을 따르라, 자원을 공평하게 나눠라, 타인의 재산을 존중하라"는 것이다. 이 7가지를 관통하는 키워드는 `협력'이다. (중략)

연구진은 "이번 연구 결과는 협력도덕론을 강력하게 뒷받침한다"며 "도덕적 상대주의에 대한 이보다 더 강력한 지지대는 없다"고 주장했다. "한마디로 흄이 옳았고 로크는 틀렸다"는 것이다.

결국 도덕이란 것도 사회적으로 만들어진 개념이고, 집단의 존속을 위한 방향으로 강조된 것이라는 점을 생각해 보면 보편적인 도덕 관념이 있다는 게 놀라운 일은 아님. 오히려 그게 없다면 신기한 일. 집단을 위한 것이 개인을 위한 것이기도 하면 문제가 없지만, 그 둘이 충돌하는 지점이라는게 존재하기 때문에 그 사이의 균형을 잡는게 참 어려운 일.

벌, 나비 등 곤충도 멸종하고 있다

논문 저자인 호주 시드니 대학의 프란체스코 산체스-바요(Francisco Sánchez-Bayo) 교수는 “세계적으로 곤충의 생물 다양성이 위협받고 있으며, 이 상황이 그대로 이어질 경우 수십 년 안에 살아있는 곤충 10마리 중 4마리가 사라질 것”을 경고하고 있다. 교수는 “지금과 같은 곤충의 멸종 속도는 포유류의 멸종 속도와 비교해 8배 빠른 속도”라고 말했다. (중략)

더 심각한 것은 사라진 곤충의 자리를 집파리(houseflies), 바퀴벌레(cockroaches)와 같은 오염에 익숙한 곤충들이 대신하고 있다는 점이다. 이로 인해 자연생태계는 물론 인류의 삶의 형태 역시 크게 바꾸어놓을 가능성이 커지고 있다.

동물만이 아니라 곤충도 멸종 시키는 호모 사피엔스의 위엄. 6번째 대멸종은 진행 중인 것이다.

꿀벌의 수학실력에 숨은 비밀

그런데 단순하고 보잘것없는 크기의 뇌를 가진 곤충도 수학을 할 수 있는 것으로 밝혀졌다. 그 주인공은 바로 꿀벌이다. 인간의 뇌에는 뉴런이 약 1000억 개, 쥐는 약 7500만 개를 가지고 있다. 이에 비해 꿀벌의 뇌는 약 100만개의 뉴런을 지니고 있을 뿐이다. 하지만 1밀리그램도 채 되지 않는 작은 뇌로 꿀벌은 수를 다섯 개까지 셀 수 있는 것으로 밝혀졌다. 또한 꿀벌은 숫자 ‘0’의 개념을 이해한다. (중략)

하지만 꿀벌은 미량의 과즙만으로도 상당히 높은 수준의 인지 작업을 할 수 있다. 이는 신경회로가 매우 작더라도 올바른 방식으로만 연결돼 있으면 인간처럼 수학적 계산 능력도 갖출 수 있다는 점을 알려준다. 단일한 신경회로에서 그처럼 복잡한 사고를 할 수 있다는 것은 AI 기술에서 매우 중요한 개념이다.

역시 연결 개념이 중요하다. 더불어 연산 능력이 아주 오래 전에 뇌에 탑재된 기능이라는 것도 신기.

알아서 적절한 집을 짓는 흰개미의 비결

각각의 흰개미는 협력해서 큰 흰개미탑을 짓지만 사실은 독립적으로 움직이는 개체입니다. 각 흰개미는 페로몬과 이산화탄소 같은 노폐물(made up of pheromones and metabolic gases such as carbon dioxide)이 빠져나가는 방향으로 집을 쌓아 올립니다. 둥지가 너무 덮고 습하면 가능한 가스가 잘 빠져나가는 방식으로 지하에서부터 탑을 쌓아 올리는 것입니다. 공기가 통하는 방향으로 탑을 쌓는다는 것은 매우 단순하지만 동시에 효과적인 방법일 것입니다. 특히 수많은 개체가 서로 독립적으로 건설하는 경우 단순한 원칙이 필요합니다.

흰개미가 집을 짓는 것도 놀랍지만, 협업을 위해 단순한 원칙이 필요하다는 내용이 인상 깊다.

기억력 회복하는 의약품 개발

연구팀이 주목한 것은 ‘GABA(gamma-aminobutyric acid)’라고 불리는 신경전달물질이다. 이 신경전달물질은 γ-아미노부티르산. 뇌척수액(CSF)에 포함된 중추신경계의 억제성 신경전달물질로 뇌의 대사와 순환 촉진작용 등 중요한 역할을 한다. ‘GABA’의 기능이 활성화될수록 뇌의 인지 기능이 활성화된다고 보면 된다. 그러나 이를 방해하는 물질이 있다. 신경세포 내에서 무질서하게 발생하는 ‘노이즈(noise)’가 이것이다.

‘노이즈’는 신경전달물질이 하는 일을 방해하고 세포 활동을 저하시키며, 부정확하게 하는 요인으로 지목받고 있었다. 연구팀은 이 ‘노이즈’를 줄여줄 경우 ‘GABA’의 활동을 강화해 기능이 저하된 뇌세포 활동을 회복시킬 수 있다고 보았다. 그리고 ‘노이즈’를 줄여줄 새로운 의약품을 개발하는데 성공했다.

뇌에 노이즈는 어디서 나오는 거지?

운동능력이 나이보다 장수 예측에 더 정확

하브 박사는 “나이가 가장 신뢰할만한 사망 위험 예측 인자 중 하나지만, 이번 연구에서 생리적 건강이 훨씬 더 정확한 예측 변수임을 확인했다”며 “더 오래 살고 싶으면 운동을 더 많이 하라”고 말했다.

운동이 중요하다. 운동이.

존 말론의 교훈, 수익 대신 현금 흐름에 집중하라 

말론과 베조스는 모두 다 현금 흐름과 사업 재투자에 집중했다. 수익성에는 특별한 관심이 없었고, 오로지 현금 창출만을 원했을 뿐이었다. 베조스는 그 이유를 이렇게 설명한다.

우리가 최적화하려고 하는 것은 마진율이 아닙니다. 주당 잉여 현금 흐름 창출을 극대화하는 것입니다. 마진율을 낮춰서 그렇게 할 수 있다면, 우리는 그렇게 할 것입니다. 잉여 현금 흐름은 투자자들이 사용할 수 있는 자금입니다. 투자자들이 마진율을 사용할 수는 없습니다. 

항상 중요한 것은 마진으로 남는 돈, 즉 실제 손에 쥐는 돈입니다. 기업을 평가할 경우, 마진율이 아니라, 실제 주당 얼마를 벌어들이고 있는지를 살펴봐야 합니다.

GAAP 회계의 외형과 미래 현금 흐름의 현재 가치 극대화 중 하나를 골라야 한다면, 우리는 현금 흐름을 택할 것입니다.

워런 버핏도 늘 강조하는 것이지만 ‘현금’이 왕이다.

시장 역사에서 배우는 변동성에 대한 5가지 교훈 

교훈 1: 변동성은 전혀 새로운 것이 아니다.
교훈 2: 시장과 변동성은 한 몸이다.
교훈 3: 어떤 단기적 변동성이라도 장기적으로 전부 상쇄된다.
교훈 4: 변동성은 탄력 있는 포트폴리오로 쉽게 견뎌낼 수 있다.
교훈 5: 변동성은 위험 없이는 보상도 없음을 상기시켜준다.

변동성을 받아 들이되, 단기적인 변동에 과민 반응 하지 마라.

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정렬 원리

BY

개념

  • 모든 집합은 정렬전순서가 존재한다.
  • 구조들 끼리의 비교. 아래와 같은 조건을 만족할 때 구조끼리 비교가 된다.
    • <X1, ≤1> ≤* <X2, ≤2> ⇔
      • X1 ⊆ X2
        • X1 이 X2 에 포함 (집합 관계)
      • ≤1 ⊆ ≤2
        • ≤1 이 ≤2 에 포함 (순서 관계)
      • a ∈ X1, b ∈ X2∖X1 ⇒ a ≤2 b
        • X1에 들어가는 원소가 X2에 들어가는 원소보다 ≤2 기준으로 작음
  • ∅ ∉ S인 집합족 ⇒ ∃f : S → ∪S ∀A ∈ S, f(a) ∈ A
    • 공집합이 들어 있지 않은 집합족 S에서, 집합족 S에서 집합족 S의 합집합으로 가는 함수 f에 대하여, f(a)가 A에 포함되는 함수가 존재한다. (선택 공리)
  • 정렬 원리, 선택 공리, 조른의 보조 정리, 하우스도르프 극대원리는 동치
    • p가 참이면 q가 참이고, q가 참이면 r이 참이고, r이 참이면 s가 참이고, s가 참이면 p가 참이면 p, q, r, s는 동치인 것을 이용하여 각 정리로 다른 정리를 증명.
  • 만일 p와 q가 동치인 것을 증명하려면 p일때 q인 것과 q일 때 p인 것을 증명해야 한다. 따라서 p, q, r, s가 동치임을 증명하려면 6번을 증명해야 하는데, 위와 같이 정리간 연결관계가 있는 경우, 한 방향으로만 증명을 해도 모두가 동치임이 자동으로 증명 되기 때문에 p, q, r, s가 동치임을 증명할 때 4번만 증명해도 된다.
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정렬전순서 관계 – 2

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개념

  • Lower Set
    • 반순서 <X, ≤>, A ⊆ X, <A, ≤> : Lower Set of <X, ≤> ⇔ ∀x ∈ X, y ∈ A, x ≤ y ⇒ x ∈ A
    • A가 X의 Lower Set이라는 것은 A가 X의 부분집합이고, A의 임의의 원소 y 이하인 X의 모든 원소는 A에 속한다는 뜻. (엄밀하진 않지만 A가 X의 가장 작은 원소를 포함하는 집합이라고 생각하면 쉽다.)
  • <X, ≤> : 정렬전순서일 때
    • Lower Set 들의 교집합, 합집합도 Lower Set
    • Lower Set 의 Lower Set도 Lower Set
    • Proper Lower Set 은 { x ∈ X | x < a } 로 표현 할 수 있다.
      • Proper면 진 이라는 뜻. 진부분집합, 진 Lower Set 등. 자기 자신은 원소로 포함하지 않는 집합
  • 표기법
    • <A, ≤>에 대하여, Aa = { x ∈ A | x < a } 로 표기.
      • 이를 initial segment라고 한다.
  • <A, ≤> 정렬전순서, 집합족 F = { X | <X, ≤> : lower set of <A, ≤> } 이고, 집합족 S ⊆ F 에 대하여
    • (집합족 F가 A의 모든 lower set을 모은 집합이고, 집합족 S는 F의 부분집합일 때)
      • Ax ∈ S ⇒ Ax  ∪ { x } ∈ S (Ax ≠ A)
        • Ax가 S의 원소일 때, Ax와 x를 합집합 한 것도 S의 원소이다. 단, Ax는 Proper Lower Set
      • T ⊆ S ⇒ ∪T ∈ S
        • 집합족 S의 부분집합들의 합집합은 S의 원소이다.
      •  위 2가지 조건을 다 만족한다면 S = F이다.
  • 초한귀납법
    • <X, ≤> 정렬전순서, P(x) : 명제 함수 일 때
    • ∀x ∈ X, P(x) ⇔ ∀x, y ∈ X (y < x), P(y) ⇒ P(x)
      • 모든 x에 대하여 P(x)가 참이 성립하면, X에 속하는 임의의 원소 x, y에 대하여 (y < x), P(y)가 참이면 P(x)가 참이다.
      • 수학적 귀납법과 달리 자연수를 넘어서 정렬전순서 집합에 대해 모두 적용 가능한 귀납법.
      • 1번째 조건과 증가 조건을 정의해야 하는 수학적 귀납법과 달리 1개의 조건으로 성립
      • 임의의 두 원소에 대하여 작은 원소에 대해 성립하면 그 다음 원소에 대해 성립한다.
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정렬전순서 관계 – 1

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개념

  • 전순서 <X, ≤> : 정렬 ⇔ ∀S(≠∅) ⊆ X, ∃minS
    • 전순서 집합의 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 최소 원소를 가질 때 정렬전순서 집합이라고 부른다.
  • X : 정렬전순서가 존재 ⇔ ∃≤*, <X, ≤*> : 정렬전순서
    • 전순서가 아닌 일반 집합에 대해서도 정렬전순서가 존재하는지를 말할 수 있는데,
    • 집합 X에 어떤 순서가 있어서 그것을 정렬전순서로 만들 수 있으면 집합에 대해서도 정렬전순서가 존재한다고 말할 수 있음
  • 자연수 집합은 정렬전순서이지만, 정수, 유리수는 최소값이 없기 때문에 정수, 유리수 집합은 정렬전순서가 아니다.
    • 하지만 그 안에 정렬전순서가 존재는 한다.
  • X : 유한 or 가산 ⇒ X : 정렬전순서
    • X가 유한이나 가산 잡합이면 X는 정렬전순서가 존재한다.
  • <A, ≤> : 정렬전순서 부분 집합 of <X, ≤>이고 <B, ≤> : 정렬전순서 부분 집합 <A, ≤> ⇒ <B, ≤> : 정렬전순서 부분 집합 <X, ≤>
    • A가 X의 정렬전순서 부분집합이고 B가 A의 정렬전순서 부분집합이면, B는 X의 정렬전순서 부분집합이다.
추천하는 책

아톰 익스프레스

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<어메이징 그래비티>, <게놈 익스프레스>에 이은 조진호 작가의 최신작. –어메이징 그래비티는 시리즈의 연속성을 위하여 그래비티 익스프레스로 이름이 바뀌었다– 제목에서 알 수 있듯이 원자를 탐구한 과학자들의 여정을 다루고 있다.

처음에는 원자 이야기라길래 양자역학까지 나오나 했더니 –실제로 책 도입부에는 파인만이 나온다– 아인슈타인을 마지막으로 끝나서 아쉬웠음. 중간에 전자기학에 대한 예고가 나오는데, 다음 편은 진화로 예정되어 있어서 양자역학 이야기는 한참 뒤에나 볼 수 있겠군 싶었다.

원자론이지만 초기 화학자들의 역할이 중요했음을 다루는 것이나, 내가 좋아하는 엔트로피 개념이 자세히 다뤄지는 것도 좋았음.

추천하는 책

기억의 비밀

BY

제목 그대로 기억에 대한 이야기. 최신 뇌과학 이론을 기반으로 상당히 깊이 있는 내용이 다뤄진다.

뇌의 분자적인 수준에서 일어나는 일에 대한 설명도 그림과 함께 자세히 다뤄지는데, 나름 뇌과학 관련한 대중서를 좀 읽어 봤다고 생각한 나도 한 번에 이해하기는 조금 어려웠다. –그 어려움에는 영 좋지 못한 번역도 한 몫한 듯– 보통은 읽다가 포기하게 되는데, 이 책은 내용이 아쉬워서 끝까지 참고 읽었음.

차후에 반드시 다시 읽으면서 공부 해야겠다는 생각을 했음.

세상 읽기

19.02.10

BY

중국의 무쓸모 에디슨 Geng Shuai

Geng Shuai라는 사람이라고 하는데, 벌써 위키피디아 항목도 생겼다. 예전에 알 자지라의 101 east 다큐멘터리에서 중국의 온라인 셀렙들의 이야기를 봤는데, 원체 인구가 많다보니 이런 사람들의 수익이 어마어마한 듯 하다. 알 자지라 방송을 보니 온라인 셀렙들이 초 잘 사는 것 같구만

시장 크기가 깡패다.

주식 시장에서 최악의 날들과 최상의 날들을 피했다면?

몇 가지 눈치챘을 것이다. 주가 상승률이 가장 높은 날은 종종 주가가 가장 크게 하락한 날 이후에 나타났고, 이런 최악의 날들은 변동성이 평균(붉은색 점선) 보다 높았던 기간에서 나타났음을 알 수 있다. 즉, 주가 변동성 급등은 약세장에서 나타나는 일이기 때문에, 만일 최악의 날을 피할 수 있었다면, 아마도 최고의 날도 놓쳤을 것이고, 따라 약세장도 피했을 가능성이 높다.

아래 차트는 최악의 25일과 최상의 25일을 피했을 경우 일어났을 결과를 보여준다. 지수보다 좋은 수익률이 나타났음을 알 수 있다. 물론 완전한 가정이고, 거래 수수료도 세금도 감안하지 않은 것이다.

​장기적인 관점에서 가장 중요한 것은 ‘손실’을 최소화 하는 것이다. 시간의 변화는 결국 기하평균의 형태로 나타나기 때문. 똑같이 10% 이익을 보고 10% 손해를 보면 (순서에 상관없이) 최종 결과는 0.99가 된다.

시장 타이밍 무용론

이제 메리가 55살이 되었다. 25살부터 30년 동안 매년 한 해 중 주가가 가장 낮았던 하루를 골라 1,000달러를 투자한 결과, 계좌의 총액은 155,769달러가 되었을 것이다. (중략)

30년 동안 매년 가장 최악의 날에 1,000달러를 투자했던 찰스의 계좌는 최종적으로 122,000달러를 찍었을 것이다. 이렇게 찰스가 완벽하게 잘못된 선택을 했지만, 그랬으면서도 메리의 80%에 상당하는 성과를 올렸다. ​따라서 투자하기 완벽한 날을 고를 수 있다고 해도, 돌아오는 보상은 그리 크지 않다

꽤 흥미로운 이야기. 시간의 길이가 늘어나면 편차가 상쇄되기 때문이겠지?

혁신가, 모방꾼 그리고 바보

당시 난파선 탐사 회사들이 우후죽순처럼 생겨났고, 이들 회사의 주식에 너나없이 뛰어들었다. 하지만 돈을 번 건 특허권자들이었고, 주식에 투자한 사람들은 자금 거의를 잃었다. 그중에는 해당 회사를 잘 이해하고 있는 일부도 있었지만, 대부분이 손쉽게 부를 거머쥘 것이란 희망에 속은 이들이었다.

혁신가가 되기에 늦었다면, 모험가에게 장비를 파는 사람이 되라.

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선택공리로 증명하는 문제들

BY

개념

  • Card A ≤ Card B ∨ Card A ≥ Card B 일 때
    • T = { (Aα, fα) | Aα ⊆ A, ∃fα : Aα → B 단사 }
  • ∀집합 A에 대하여, ∃전단사 f : A → A, f(x) ≠ x
    • 모든 집합에 대하여 자신의 집합으로 가면서, 원소와 그 값이 다른 함수가 존재한다.
Created by Cohhe
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