김영란 법으로 유명한 김영란 전 대법관이 퇴임 후에 자신이 대법관 시절 당시 사회적으로 논의가 컸던 문제들에 대해 판결했던 것을 되짚어 보는 책. 존엄사, 삼성 문제 등 읽다 보면 당시 크게 화제가 되었던 사건들에 대해 당시 대법원에서 어떤 의견이 모아졌는지를 알 수 있다.

정의(Justice)라는 것이 일반적인 생각과 달리 정의(Definition)하기 어려운 것도 그렇고 –사람을 죽인 것이 죄라는 것에는 다들 동의하겠지만, 그 처벌의 정도를 어떻게 하느냐는 또 다른 문제다– 현실의 많은 문제는 이해 관계의 조정인데 어느 선을 그어야 사회적으로 합당하게 받아들여질 수 있느냐는 정답이 존재하는 영역이라고 보기 어렵기 때문에 법원의 판결은 어떤 식으로 결정되든 그에 동의하는 사람과 동의하지 않는 사람은 존재할 수 밖에 없다.

위와 같은 이유로 책에서 명쾌한 답을 얻기는 어렵지만, 법관들이 어떤 고민으로 판결을 내리는지에 대해 관심이 있다면 교양 삼아 읽어볼 만한 책.

자연수

• 자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

1. 
2. 
3. 
   • 1은 자연수의 최소원소
4. 
   • 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
   • 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
5. 
   • 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
   • 을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
   • 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

‘1’과 ‘그 다음 수’는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

이라 정의할 때, 명제 에 대하여 두 조건

1. 이 참
2. 이 참 이 참

이 성립하면 은 모든 자연수 에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

1. 정렬성
   • 자연수집합 의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
2. 자연수 집합 은 위로 유계가 아니다.
3. 아르키메데스 성질
   • 
   • 어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다

• 정리란 참인 명제
• 성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
• 법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

• 바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
• 무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

1. 정수 집합
   • 
2. 유리수 집합
   • 
3. 무리수 집합
   • 

(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]

어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

• case 1)
  • (아르키메데스 성질)
  • (위로 유계 아님 성질)
  • 의 최소원소는 (정렬성 성질)
  • 
  • 
  • 
• case 2)
  • 0이 유리수이므로 자명 trivial
• case 3)
  • 
  • 
  • 
  • 

Thm 2. [무리수의 조밀성]

어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

• 
  • 
  • 
    • (유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 이 존재)
  • 
  • 

실수

• 히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
• 그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 와 에 부여된 두 이항연산 가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 를 체라 한다.

1. 
   • 덧셈에 대한 교환법칙
2. 
   • 덧셈에 대한 결합법칙
3. 
   • 덧셈에 대한 항등원
4. 
   • 덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
5. 
   • 곱셈에 대한 교환법칙
6. 
   • 곱셈에 대한 결합법칙
7. 
   • 곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
8. 
   • 곱셈에 대한 역원
9. 
   • 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

와 는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)

• 체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
• 집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
  
• 이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 –닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 가 존재한다.

1. 
   • 집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
2. 임의의 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
   1. 
   2. 
   3. 

위 조건을 만족하면 는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]

임의의 에 대하여

1. 
2. 

순서 공리로부터 부등식을 정리함. 는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.

Thm. [삼분성질]

임의의 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.

1. 
2. 
3. 

완비성 공리

• Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)

Def. [상한] 부분순서집합 의 부분집합 의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 의 상한이라 하고 로 나타낸다.

유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.

Thm 2. 가 집합 의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.

1. 
2. 
3. 

Thm 3. 는 완비성을 갖지 않는다.

완비성 공리로부터 ‘1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2’도 증명 가능하다.

완비성의 예 – 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 라 하자 이제

라 하면, 무한소수 은 집합 의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.

실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.

집합

• 현대 수학은 공리 –약속된 명제– 들로부터 논리를 쌓아가는 학문.
• 수학의 가장 기본이 되는 공리계인 ZFC가 10개의 집합에 대해 서술하고 있음.
• 대부분의 수학적 대상은 모두 집합으로 정의가 됨.
  • 사칙연산은 함수의 일종이고 함수는 집합으로 정의가 됨.

정의

다음 성질들을 만족시키는 원소 들의 모임을 집합이라 한다. (아래는 소박한 정의, 현대적 정의는 공리계가 따로 있음)

1. 집합에 속하거나 속하지 않거나 둘 중 하나로써 명확하다.
2. 원소들끼리는 서로 다르다.
3. 원소들끼리는 순서에 따른 구분이 없으며, 연산이 주어지지 않는다.

• 가 집합 의 원소이면 로 표현하고 원소가 아니면 로 표현한다.
• 집합 의 원소 중에서 명제 를 만족시키는 원소로 이루어진 집합 를 조건제시법으로 라 표현하며, 이때 를 전체집합이라 한다.
• 공집합은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이며, 기호로 라 표현한다.

집합의 연산

합집합

집합 에 대하여 집합들 의 합집합은 (여기서 는 첨수라 하고 그 첨수들 모은 집합인 를 첨수족이라 한다)

이고 특히 두 집합 와 의 합집합을

라 표현한다.

교집합

집합 에 대하여 집합들 의 교집합은

이고 특히 두 집합 와 의 교집합을

라 표현한다.

곱집합

집합 에 대하여 집합들 의 곱집합은 (데카르트곱 또는 카테시안곱이라고 한다. 카테시안은 데카르트의 라틴어 표현)

• 여기서 는 튜플이라고 한다. 순서쌍이라고도 하는데 순서쌍은 원소가 2개짜리 튜플을 의미.
• 튜플이란 여러 개 원소를 순서 있게 나열한 것.

이고 특히 두 집합 와 의 곱집합을

라 표현한다.

차집합

집합 에 속하지만 집합 에는 속하지 않는 원소의 집합을

라 표현하며, 와 의 차집합이라 한다.

전체집합 에 대하여 라 표현하며 의 여집합이라 한다.

• 다음이 성립한다.
  • 드모르간 법칙
    • 
    • 
  • 분배 법칙
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 

포함관계

• 만약 집합 에 속하는 모든 원소가 집합 의 원소이기도 하면 라 표현하며, 를 의 부분집합이라 한다.
• 만약 이면서 동시에 이면 라 표현하며, 와 가 서로 같다고 한다.
• 만약 이면서 이면 라 표현하며, 를 의 진부분집합이라 한다.
• 집합 의 모든 부분집합들의 집합을 라 표현하며 의 멱집합이라 한다. (P는 Power Set)
• 집합 기호
  • : 모든 자연수의 집합
  • : 모든 정수의 집합
  • : 모든 유리수의 집합
  • : 모든 실수의 집합
  • : 모든 복수수의 집합

함수

정의

두 집합 에 대하여 아래 두 조건을 만족하는 의 부분집합 를 함수라 한다. (두 집합의 곱집합의 부분집합이 함수가 됨)

• 
  • (모든 가 값을 갖는다)
• 
  • (가 값을 1개만 갖는다)

이때 함수를 라 표현하며, 이면 라 표현한다.

• 집합 및 함수 에 대하여 를 의 상(Image)이라 한다.
• 집합 및 함수 에 대하여 를 의 원상(Pre Image)이라 한다.
• 에서 를 정의역(Domain) , 를 공역(Codomain) 를 치역(Range) 라 한다.

함수의 종류

함수 에 대하여

• 전사:
  • (치역 = 공역, 남는 가 없다)
• 단사:
  • ( 도 를 1개씩 갖는다)
• 전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일대응이라고도 한다.

• 1
  • 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
  • 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
  • 고로 전사도 단사도 아님
• 2
  • 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
  • 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
  • 고로 단사지만 전사는 아님. 단사 함수.
• 3
  • 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
  • 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
  • 고로 전사지만 단사는 아님. 전사 함수
• 4
  • 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
  • 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
  • 고로 전단사(일대일 대응) 함수가 됨.

여러 가지 함수

• 항등함수:
  • (자기 자신이 그대로 나오는 함수)
• 상수함수:
  • (어떠한 값을 넣어도 항상 상수가 나옴)
• 역함수: 전단사인 에 대해
  • (함수를 뒤집은 함수인데, 전단사여야만 역함수가 가능)
• 합성함수: 두 함수 와

집합의 크기

정의

• 집합의 크기란 집합의 원소 개수에 대한 척도이다.
• 두 집합 에 대하여 전단사함수 가 존재하면 와 는 동등이며, 라 표현한다.
• 집합 의 적당한 진부분집합 가 와 동등하면 는 무한집합이다.
• 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.
• 집합 가 일 때 를 가부번집합이라 한다.
• 유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다.
• 가부번집합이 아닌 무한집합을 비가산집합이라 한다.

여러 가지 정리

• 
• 는 비가부번집합이다.
• 
• 칸토어의 정리: 공집합이 아닌 임의의 집합 에 대하여 의 크기는 의 크기보다 크다.
• 

순서관계

• (기본적인 집합에 연산구조, 순서구조, 위상구조 등을 부여할 수 있음)

순서집합

아래 조건들을 만족하는 집합 위의 이항 관계 를 부분순서관계라 한다.

1. 
   • (반사적, reflexive)
2. 
   • (추이적, transitive)
3. 
   • (반대칭적, antisymmetric)

• 부분순서관계 를 갖춘 집합을 부분순서집합이라 한다.
• 부분순서집합 의 어떤 두 원소 가 을 만족하면 와 는 비교가능하다고 한다.
• 부분순서집합 의 임의의 두 원소가 비교가능하면 를 전순서집합이라 한다.

상(하)계, 극대(소), 최대(소)

부분순서집합 의 부분집합 에 대하여

• 를 만족하는 를 의 상계(upper bound)라 한다.
• 상계가 존재하는 를 ‘위로 유계(bounded)이다’라고 한다.
• 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 집합을 유계집합이라 한다.
• 인 가 존재하지 않을 때 를 의 극대원소라 한다.
• 인 를 의 최대원소라 한다.

각 항목의 부등호 방향을 바꿔주면 각각 하계(lower bound), 아래로 유계, 유계집합, 극소원소, 최소원소의 정의가 된다.

• 집합 A의
  • 상계: l, m, n
  • 최소상계: l
  • 하계: a, d, e, f
  • 최대하계: 없음
  • 극대: j, k
  • 극소: g
  • 최대: 없음
  • 최소: g

앨런 튜링의 지능에 대한 논문과 강연 등을 정리한 책. 그 유명한 튜링 테스트에서부터 러브 레이스가 기계는 생각할 수 없을 것이다에 대한 반론도 담겨 있고, 체스에 대한 예측 등 시대를 앞서 갔다고 할만큼 놀라운 얘기가 담겨 있다.

다만 튜링은 기계 지능을 통해 인간 지능의 비밀을 풀 수 있을거라는 다소 순진한 믿음을 갖고 생각을 전개하다 보니 인간 지능에 대한 부분에서는 약간 모호하고 허술한 느낌이 들기는 했다. 아무래도 당시에는 뇌에 대한 비밀이 지금보다 훨씬 많았을테니 그럴 수 있다고는 생각 됨.

하지만 역시나 테니스를 잘 치려면 테니스를 훈련해야 하는 것처럼 인간 지능을 이해하려면 뇌를 봐야지 그와 유사한 것으로는 지능에 대해 도달할 수 없음.

개인적으로 요즘 드는 생각은 인간의 지능은 인간 뇌구조의 복잡도 이상 높아질 수 없을 것 같다는 것인데, 뇌구조가 그 위에 구현된 지능 보다 훨씬 복잡하기 때문에 우리의 지능으로는 우리의 뇌를 이해할 수 없지 않을까 하는 것. 우리의 뇌가 돌아가는 것을 이해려면 우리의 뇌보다 훨씬 복잡한 구조를 가진 외계인이 등장해야 이해 가능할 것이라고 추측을 하고 있음. 물론 그러한 논리를 따라가면 외계인은 다시 자기 자신의 뇌에 대해서는 이해하지 못할 것이다. 쉽게 말해 2차원의 정보를 처리하기 위해 3차원의 물리적 구조가 필요하다는 것. –물론 현실 속의 우리는 2차원으로 쪼개진 정보를 조합해서 결국 3차원으로 이해할 수는 있기 때문에 꼭 그렇다고 하기 어려울 수는 있다.

튜링의 예측에 대해서는 놀랄 수 있지만, 튜링 테스트를 통과했다고 정말 지능이있다고 할 수 있는가에 대해서는 논란이있을  있고 –그 순간 사람을 속일 수 있다면 테스트는 통과 할 수 있을 것이다. 애슐리 메디슨이라는 바람 피우는 사이트가 그걸 해내지 않았는가– 지금 보기에는 좀 맥을 잘못 짚은게 아닌가 하는 느낌도 있어서 크게 관심있지 않다면 꼭 읽을 필요는 없지 않을까 싶다.

인간이 가지는 여러가지 정신적인 부분에 대한 뇌과학, 심리학적 탐구를 담은 책. 처음 책 제목과 표지만 보고 통계학에 대한 내용인 줄 알았는데, 사실은 우리의 정신적인 부분에 대해 우리가 비정상이라 받아들일 수 있는 것에 대한 논의를 담고 있었다.

여러 다양한 주제에 대해 꽤나 흥미로운 내용들이 곳곳에 담겨 있어서 참 좋았다. –일본인이라도 갓 태어난 아기는 모든 언어의 발음을 이해할 수 있지만, 자라면서 그 나라 언어의 channel에 맞춰지면서 l과 r 발음이 합쳐져서 그 둘을 구분할 수 없게 된다는 이야기 등–

뇌과학에 관심이 많다면 교양삼아 읽어볼만 하다고 생각 함. 개인적으로도 기회가 되면 책 내용을 따로 정리해 둬야겠다는 생각을 했음.