suyeongpark

지성을 추구하는 사람/ suyeongpark@abyne.com

19.08.11

‘빅데이터 없는 인공지능’ 기술이 온다

지난 수십 년의 인공지능 발전 역사를 돌아보면 접근법이 크게 둘로 나뉜다. 하나는 지능의 원리를 분명한 코드로 짜야 한다는 ‘전문가 시스템’파이고, 다른 하나는 지금의 열풍을 가져온 컴퓨터가 스스로 익히도록 하는 ‘기계학습’파이다. 그런데 신경-상징 개념 학습자는 둘을 결합한 ‘하이브리드’ 인공지능이라는 게 특징이다.

이 인공지능은 우선 일부 데이터로부터 학습을 통해 대상의 특징을 뽑아낸다. 그리고 나선 이를 저장해두고 전통의 전문가 시스템 기법을 결합해 문제 해결에 활용하는 것이다. 둘의 결합을 통해 훨씬 적은 수의 데이터만으로도 비슷한 문제 해결 능력을 발휘할 수 있다는 게 연구진의 설명이다.

외국어를 배울 때 그 언어의 문법을 이해하지 못하면, 어마어마한 수준의 데이터가 필요하다. 물론 몇몇 큰 기업들은 그런 데이터 확보가 가능하겠지만, 많은 경우에 현실적이지 않음. 주어진 맥락(context)에서 특징(feature) 을 추출하는 방식으로 가는게 결국 방향일 것 같다. 

사진 찍듯이 통째로 외우는 기억력, 부럽긴 하지만

시각 정보와 공간 학습이 초인적 기억술과 관련이 있는 걸까? 뛰어난 기억술을 지닌 이들은 주로 ‘장소 기억법’(method of loci)이라는 고전적인 기억 증강 방법을 사용하는 것으로 알려졌다. 이 방법은 2500여년 전 고대 그리스의 시모니데스(기원전 556~468)라는 시인이 자신이 강연하던 연회장의 청중을 그들이 앉아 있던 장소와 연계해 모두 기억해낼 수 있었다는 전설 같은 이야기에서 비롯했다고 한다. 이 기억법은 기억하고자 하는 정보들을 자신이 익숙한 가상의 ‘장소’에 배치하고 그 장소의 이미지와 결합함으로써, 빠르고 효과적으로 그 정보들을 떠올리는 방법이다. 그러므로 장소 기억법을 사용하면 시각 이미지와 공간 기억을 처리하는 뇌 부위의 활성이 일반인보다 높게 측정되는 게 당연할 것이다.

루리야가 보고한 ‘에스’도 기억술을 배우지 않았다고 말했지만, 그의 두뇌는 비슷한 전략을 사용한 것으로 보인다. ‘에스’는 기억하고자 하는 정보들을 시각화하는 것을 선호했으며, 어떠한 가상의 ‘길’을 만들고 그 길의 여러곳에 기억할 정보들을 배치하고서, 나중에는 그 길을 걸어가듯이 기억된 정보들을 떠올리곤 했다. 그의 또 다른 능력은 감각기관을 통해 받아들인 정보들을 공감각적으로 해석하는 능력이었다. 예를 들어 어떤 음악 소리를 들으면 음악에서 얻어지는 청각 정보뿐만 아니라 시각, 촉각, 미각적 이미지를 함께 느끼면서, 특정 음악을 ‘말랑하고 노란색의 달콤한 노래’라는 식의 정보로 기억해 나중에 그 음악을 쉽게 연상한다는 것이다. 이처럼 기억 능력이 뛰어난 사람들은 기억하고자 하는 것을 자신에게 이미 익숙한 정보들과 연합해 머리에 저장하고 이를 이용해 쉽게 끄집어내는 듯하다. (중략)

그렇다면 장기 강화 현상을 인위적으로 증강하면 기억력도 높아지지 않을까? 1999년 당시 미국 프린스턴대에 있던 조 첸 박사 연구팀은 장기 강화에 필수인 특정 단백질이 신경세포들에 더 많이 발현하도록 유전자 변형 생쥐를 만들어 그런 실험을 했다. 놀랍게도 기억력을 측정할 수 있는 거의 모든 종류의 행동 시험에서 이 동물들의 기억력이 증강되었음을 확인할 수 있었다. 또한 2005년 로스앤젤레스 캘리포니아대의 알시노 실바 박사 연구팀은 세포 성장을 촉진하는 특정 단백질(Ras)이 과도하게 활성화되도록 유전자를 변형한 생쥐한테서도 높은 기억력과 신경세포 간의 연결성을 관찰할 수 있었다고 보고했다.

하지만 이야기는 여기서 끝나지 않았다. 실험동물의 인위적 기억력 증강에는 종종 예상치 못한 부작용이 뒤따랐다. 유전자 조작으로 기억이 증가한 생쥐들은 정상 생쥐들보다 고통을 더 잘 느꼈으며(하필 기억 저장과 만성 통증은 그 생물학적 메커니즘이 비슷한데, 통증을 느낄 때도 뇌에서 장기 강화 현상이 벌어진다고 알려져 있다), 세포 성장이 과도하게 증가하는 바람에 암 발생률이 높아질 수도 있었다. 현재까지 동물실험을 한 과학자들이 얻은 교훈은 기억만을 증가시키고 다른 생리적 현상은 정상으로 유지할 수 있는 방법은 아직 존재하지 않는다는 것이다.

실제로 초인적인 기억력을 가진 사람들도 모든 것을 기억하는 데 뛰어난 것은 아니었으며, 오히려 뛰어난 기억력에 따른 부작용으로 고생하기도 했다. 앞서 소개한 ‘에이제이’는 자신의 일생을 마치 영화를 보는 것같이 뚜렷하게 기억했지만, 의외로 자신이 갖고 다니는 여러 열쇠가 각각 어느 용도인지 잘 몰랐고, 심지어 최근에 자신을 인터뷰한 사람의 옷차림도 잘 떠올리지 못했다고 한다.

망각도 기억의 일부. 잊지 말아야 할 정보는 어딘가에 기록을 해두면 그만이다. 기억술에 대한 내용도 흥미로워서 추가. 시각화가 얼마나 중요한지 이해할 수 있다.

경제의 교양을 읽는다 – 고전편

제목 그대로 경제학사에 대한 내용을 교양으로써 다루는 책. 제목에도 나오지만 고전 –시기적으로는 베블런까지– 경제학을 다루며, 현대편은 별도의 책으로 구성되어 있다.

교양서지만 경제학자들이 논의한 주요 내용을 꼼꼼히 다루고 있어서 경제학을 잘 모르는 나 같은 사람이라면 공부 삼아 읽어도 좋을만한 책. –내가 요즘 다른 분야에 대한 공부에 관심을 두지 않았더라면 차후에 공부용으로 정리했을 법하다– 경제학도라면 경제학사의 맥락을 잡는 용도로 읽어도 좋을 것 같다.

19.08.04

세계는 더 많은 천연가스를 원한다

하지만 수치를 보면, 진정한 혁명은 천연가스에서 일어나고 있으며, 신재생 에너지의 영향력은 언론이 보도하고 있는 것보다 훨씬 더 작다는 사실을 알 수 있다.

지난해 전 세계 에너지 사용량 증가분 중 43%를 천연가스가 담당한 반면, 신재생 에너지의 비중은 18%에 불과했다. 미국의 경우, 신재생 에너지의 시장 점유율은 3.9%에서 4.2%로 증가했지만, 천연가스 소비량은 7배나 증가해, 시장 점유율이 29.2%에서 31%로 높아졌다. 원유, 석탄, 원자력 및 수력 발전은 모두 완만한 하락세를 보였다.

내가 보기에 차세대 에너지는 여러 면에서 봤을 때 천연가스다. 셰일가스라는 엄청난 공급처가 있을 뿐더러 친환경적이기까지 한데, 다른 신재생 에너지는 여전히 갈길이 멀다. 

내 생각에 차세대 자동차 에너지원도 전기나 수소가 아니라 천연가스가 되지 않을까 싶음.

칼로리를 제한하면 장수하는 이유는?

이들은 돌연변이 초파리의 대사율을 50%까지 낮추자, 많은 돌연변이에서 예상됐던 해로운 영향들이 전혀 발현되지 않았다고 밝혔다. 다른 여러 유전적 돌연변이를 가진 초파리에 대해서도 유사한 실험을 했으나 매번 같은 결과가 나왔다는 것이다. (중략)

카듀와 아마랄 교수는 이제 그 해답이 피드백 제어(feedback control)에 있다고 믿고 있다. 생물학과 공학, 경제학 및 다른 많은 분야에 공통적으로 사용되는 이 피드백 제어는 원하는 응답을 얻기 위해 복잡한 시스템의 가동 성능을 조정할 수 있도록 하는 것이다.

수년 동안에 걸쳐 수백 번의 실험을 완료한 뒤 연구팀은 대사가 느려지면 동물들의 신체 시스템에 오류를 수정할 수 있는 시간을 벌어준다고 믿게 되었다. (중략)

아마랄 교수는 “그러나 당신이 천천히 성장하고 있다면 이런 복잡한 시스템이 필요치 않을 수도 있는데, 그 이유는 이런 실수들을 조정하고 변화에 반응할 수 있는 더 많은 시간을 가질 수 있기 때문”이라고 밝혔다.

시간이라는 자원의 위대함. 타이밍이란 정말 얼마나 중요한 것인가 심지어 손자도 전쟁에서 가장 중요한 것으로 ‘도(道)’를 말하고 그 다음으로 ‘시간(하늘)’을 이야기 했지. –그 다음은 ‘공간(땅)’ 이고 그 다음이 ‘리더(장수)’ 그 다음이 ‘체계(법)’

이상엽/ 선택공리

선택공리

선택함수

집합 X (\neq \emptyset) 의 부분집합들의 집합족을 \{ A_{i} \} 이라 할 때,

\forall i \in I, f(A_{i}) \in A_{i} f : \{ A_{i} \} \to X

선택공리

공집합이 아닌 임의의 집합에 대한 선택함수가 존재한다.

참고) 선택공리는 ‘공집합을 원소로 갖지 않는 서로소인 집합족 \mathcal{F} 의 원소들에서 하나씩 원소를 선택하여 갖는 집합이 존재한다’ 라고도 해석이 가능하다.

동치인 명제

극대원리

임의의 부분순서집합은 극대인 쇄를 갖는다.

조른의 원리

모든 쇄가 위로 유계인 부분순서집합의 극대원소를 갖는다.

정렬원리

모든 집합은 정렬가능하다.

즉, 모든 집합은 적당한 순서관계를 부여하여 정렬집합으로 만들 수 있다.

그 외의 명제들

  • 라그랑주 원리
  • 타르스키 원리
  • 티호노프 원리
  • 타이히뮐러-투키 원리
  • 임의의 두 기수의 비교가능원리
  • 모든 벡터공간의 기저존재원리

함의되는 명제

  • 괴델의 완전성 원리
  • 베르의 범주원리
  • 한-바나흐 원리
  • 바나흐-타르스키 역설
  • 닐센-슈라이어 원리
  • 모든 체의 대수적 폐포존재 원리

프루스트는 신경과학자였다

뇌에 대한 여러 내용을 다루는 책. 프루스트를 포함하여 신경과학과는 거리가 먼 예술가와 요리사들이 신경과학이 밝혀내기도 전에 깨달았던 사실들과 그 의미에 대해 다루는 책.

개인적으로 신뢰하는 최낙언씨가 추천하는 책이라 읽게 되었는데, 최낙언씨 강의를 많이 들어서인지 책에 있는 내용이 새롭지는 않았다. 그래도 좋은 내용이 담겨 있으니 관심 있으시다면 한 번쯤 읽어볼 만한 책.

19.07.28

인공지능이 인류 난제를 해결?

지난 2013년 일부 사회과학자들을 통해 10년 내 미국의 일자리 47%가 자동화돼 실업난을 불러일으킬 것으로 전망했지만 지금 미국은 사상 최저의 실업률을 기록하고 있다고 말했다.

인공지능이 생산성 향상으로 이어진다는 공식 역시 들어맞지 않고 있다고 주장했다. 실제로 AI를 대거 도입한 구글, 페이스북, 아마존 등 주요 기업들의 생산성이 높아지지 않았으며, 세계 경제 역시 생산성이 감소하는 현상을 보이고 있다고 말했다.

‘Phys.org’는 인공지능과 관련해 이런 모순된 결과가 나타나고 있는 원인을 실제 산업 현장을 도외시한 그릇된 분석 방식 때문이라고 지적했다.

실제 산업 현장에서 사용하고 있는 AI는 많은 양의 데이터 처리에 집중되고 있으며, 사람이 수행하고 있는 일을 대신할 수 있을 정도의 충분한 인지 능력을 지니고 있지 않고 있다고 말했다. 현장에 적용한다 하더라도 많은 시간이 걸린다는 것.

내가 하고 있는 일로 생각해 보자면, 누구나 인정 하듯이 ‘일반 지능’은 아직 먼 얘기고, 특정한 분야에 대한 지식도 아직은 시간이 더 필요해 보인다. 무턱대고 딥러닝을 한다고 답이 나오는게 아니라 해당 도메인을 이해하고 업무의 단계별로 적용해 줘야 하는데, 인공지능 하는 사람들은 도메인에 대해 모르고, 반면 업계 사람은 인공지능을 모르기 때문.

실제로 아직은 뭔가 ‘지능’ 이라는 표현을 하기는 애매한 상태가 아닐까 싶다. 결국 행동 전략은 사람이 생각해 줘야 하고, 인공지능이라 불리는 것은 결국 반복 업무의 자동화를 하는 것 뿐이니까.

뇌영상 보면 당신의 기억과 마음 읽어낼 수 있다?

이런 결과는 기억의 ‘내용’을 읽어낸 것은 아니었지만, 기억을 검색하고 확인하는 과정을 담당하는 뇌 영역의 반응을 살펴보면 그 기억이 직접 경험한 것인지 진위를 알 수 있음을 보여준다. (중략)

완전히 불가능한 일은 아니다. 이와 관련한 초기 연구들은 얼굴이나 장소 등 특정한 범주의 정보에 선택적으로 반응하는 뇌 영역들이 따로 있다는 점에 주목했다. 예를 들어 얼굴에 대한 반응은 ‘방추상 얼굴 영역’이라는 뇌 부위에서, 건물이나 풍경 등은 ‘해마곁 공간 영역’으로 불리는 부위에서 강한 신경 반응이 나타난다. 이를 거꾸로 추적해 매사추세츠공과대학의 낸시 캔위셔 교수는 단순히 각 뇌 영역이 언제 얼마나 활성화되었는지만 봐도 사람들이 얼굴을 봤는지 건물을 봤는지를 85% 이상 예측할 수 있음을 2000년에 일찌감치 보여주었다.

재밌게도 사람들이 아무것도 보지 않고 얼굴이나 건물을 상상만 했을 때에도 ‘방추상 얼굴 영역’이나 ‘해마곁 공간 영역’에서 높은 신경 반응이 나타났다. 실제로 얼굴이나 건물을 볼 때 반응하는 영역과 상상했을 때 반응하는 영역은 90% 가까이 겹쳤다. 즉, 무엇인가를 봤을 때의 뇌 반응 패턴을 미리 알면 사람들이 무엇을 생각했는지도 어느 정도 예측할 수 있다는 것이다.

결국 내용은 모르지만 범위는 예측이 어느 정도는 된다는 얘기. 내 예상으로는 내용을 예측하는 것은 근본적으로 불가능하지 않을까 싶다. CPU 상의 전자의 흐름을 보고 지금 컴퓨터에서 어떤 프로그램이 돌아가는지는 알 수 없다는 것. 그래도 범위라도 알면 의미는 있겠지?

나이 들면 뉴런의 노폐물 청소도 잘 안 된다

흔히 ‘오토파지’라고도 하는 자가포식(autophage)은 세포 내의 유해한 노폐물을 치우는 일종의 쓰레기 재활용 시스템이다.

다시 말해, 세포질의 노폐물, 접힘에 이상이 생긴 퇴행성 단백질, 기능이 저하된 세포소기관 등이 자가포식에 의해 제거된다. 자가포식이 일부라도 제대로 작동하지 않으면 쌓이는 쓰레기에 치여 결국 세포가 죽게 된다. (중략)

나이 든 생쥐의 경우 뉴런의 자가포식소체 구조에 현격한 결함이 발생하면, 새로 생성되는 자가포식소체의 개체 수도 급감하는 것으로 관찰됐다. 이렇게 자가포식소체에 결함이 생기면, 뉴런 시냅스(연결 부위)에 노폐물이 쌓이는 것으로 추정됐다. (중략)

연구팀은 또한 나이 든 생쥐에서 WIPI2B 단백질을 활성화하면 뇌의 자가포식소체가 다시 생성되고, 자가포식에 의한 노폐물 정화 시스템도 복원된다는 걸 확인했다. 반대로 어린 생쥐에서 WIPI2B를 제거하자 자가포식소체의 형성은 중단됐다.

스타보에 연구원은 “단백질 하나를 조작해 오토파지를 놀랄 만큼 완전하게 되살릴 수 있다는 건, 노화와 연관된 퇴행성 신경질환의 새로운 치료 표적을 제시한 것”이라고 평가했다.

나이들면 기능 떨어지는 것은 당연하지만, 단백질 조작으로 놀라울 정도로 복구할 수 있다는 이야기. 평균 수명은 늘지만 한계 수명은 늘지 않는다고 하는데, 그래도 건강 수명이 느는 것은 의미 있겠지. 

이상엽/ 집합의 순서

부분순서집합

정의

부분순서관계

반사적, 반대칭적, 추이적인 관계

  • ex 1) 두 집합 A, B 에 대하여 A \subseteq B
  • ex 2) 두 실수 x, y 에 대하여 x \leq x
  • ex 3) 두 자연수 n, m 에 대하여 n m 의 배수인 관계

부분순서집합

집합 A 상에 부분순서관계 \leq 가 주어진 경우 A 를 부분순서집합이라 하고 이를 (A, \leq) 로 나타내기도 한다.

  • 집합 A \leq 관계가 부여 됐을 뿐이지, 집합 A 의 모든 원소들이 순서 관계를 가져야 하는 것은 아니다.
  • ex) A = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \} \} 일 때, 
    • 다음의 관계는 성립하지만
      • \emptyset \to \{ 1 \}  
      • \emptyset \to \{ 2 \}  
      • \emptyset \to \{ 1, 2 \}  
      • \{ 1 \} \to \{ 1, 2 \}  
      • \{ 2 \} \to \{ 1, 2 \}  
    • 다음의 관계는 성립하지 않는다.
      • \{ 1 \} \to \{ 2 \}
      • \{ 2 \} \to \{ 1 \}
    • 즉 모든 원소들이 부분순서 관계를 갖지는 않는다는 것.

극대원소와 극소원소

A 가 부분순서집합이라 할 때,

  • \forall x \in A, x \geq a \Rightarrow x = a 를 만족하는 A 의 원소 a 를 극대원소,
  • \forall x \in A, x \leq b \Rightarrow x = b 를 만족하는 A 의 원소 b 를 극소원소라 한다.
  • ex) 멱집합 P(X) 에서 \emptyset, X
  • 극대, 극소 원소는 유일하지 않다. 극대, 극소는 최대, 최소와는 다르다.
  • ex) 집합 A = \{ a, b, c, d, e \} 의 관계가 다음과 같다면
    • a \to c  
    • b \to c  
    • b \to d  
    • d \to e  
    • c, e는 극대원소가 되고
    • a, b는 극소원소가 된다.

최대원소와 최소원소

A 가 부분순서집합이라 할 때,

  • \forall x \in A, x \leq a 를 만족하는 A 의 원소 a 를 최대원소,
  • \forall x \in A, x \geq b 를 만족하는 A 의 원소 b 를 최소원소라 한다.
  • 극대, 극소와 달리 최대, 최소는 유일하다.

상한과 하한

  • 극대-극소, 최대-최소를 무한집합에 적용하기 어렵기 때문에 만들어진 개념이 상계-하계, 상한-하한
  • 해당 집합을 포함하는 집합을 더 큰 정의하고 그 더 큰 집합을 이용해서 상계-하계와 상한-하한을 정의함. 

상계와 하계

B 가 부분순서집합 A 의 부분집합이라 할 때,

  • \forall x \in B, x \leq a a \in A A 에서 B 의 상계,
  • \forall x \in B, x \geq b b \in A A 에서 B 의 하계라 한다.
  • 상계-하계는 항상 존재하지 않음.

상한과 하한

부분순서집합 A 의 부분집합 B 에 대하여

  • B 의 상계들의 집합이 최소 원소를 가질 때 이 원소를 A 에서 B 의 상한이라 하고, sup B 로 나타낸다.
  • B 의 하계들의 집합이 최대 원소를 가질 때 이 원소를 A 에서 B 의 하한이라 하고, inf B 로 나타낸다.
  • ex) A = [ 0, 1 ) \subset \mathbb{R} 에서 0, 1

절편과 절단

절편

부분순서집합 A 의 원소 a 에 대하여

  • S_{a} = \{ x \in A | x < a \}
    • 집합 아래에 표시된 숫자보다 작은 숫자들을 모은 집합이라고 생각하면 된다.
  • ex 1) \mathbb{R} 의 절편 S_{0} = (- \infty, 0)
  • ex 2) \mathbb{N} 의 절편 S_{3} = \{ 1, 2 \}

절단

  1. B \cap C = \emptyset, B \cup C = A
  2. x \in B \wedge y \leq x \Rightarrow y \in B
  3. x \in C \wedge x \leq y \Rightarrow y \in C

를 만족하는 부분순서집합 A 의 공집합이 아닌 부분집합들의 쌍 (B, C)

  • ex) \mathbb{R} 의 두 부분집합 M = (- \infty, 0), N = [0, \infty) 에 대하여 (M, N)
  • 일종의 분할과 비슷하다.

순서동형

순서보존함수

부분순서집합 A, B 에 대하여

  • 함수 f : A \to B 가 조건 \forall x, y \in A, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) 을 만족하면
  • f 를 순서보존함수라 한다.
  • 순서만 보장되면 되기 때문에, 집합 A와 집합 B의 크기가 달라도 무방하다.

순서동형

부분순서집합 A, B 에 대하여

  • 함수 f : A \to B 가 전단사이고 \forall x, y \in A, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) 이면 f 를 순서동형사상이라 한다.
  • 이때 A, B 는 순서동형이라 하고 A \simeq B 로 나타낸다.
  • ex) 항등함수 I_{A} : A \to A

전순서집합

전순서집합

비교가능

부분순서집합 A 의 두 원소 x, y x \leq y \vee y \leq x 이면 x, y 는 비교가능하다고 한다.

  • ex) 집합 A = \{ a, b, c, d \} 의 관계가 다음과 같을 때
    • a \to c  
    • b \to c  
    • c \to d  
    • 다른 원소들 간에는 비교가 가능하지만 a와 b는 비교가 불가능하다.

전순서집합

부분순서집합 A 의 임의의 두 원소가 비교가능하면 A 를 전순서집합이라고 한다.

  • 집합 내의 모든 원소가 비교 가능한 상태이면 전순서집합이 된다.

부분순서집합 A 의 전순서 부분집합 B A 에서의 쇄라고 한다.

  • ex) 집합 A = \{ a, b, c, d \} 의 관계가 다음과 같을 때
    • a \to c  
    • b \to c  
    • c \to d  
  •  A 는 전순서 집합이 아니지만, 만일 A 의 부분집합을  B = \{ a, c, d \} 로 잡으면 B 는 전순서집합이 되고, 이 때 B A 의 쇄라고 한다.

정렬집합

부분순서집합 A 의 공집합이 아닌 모든 부분집합 B 가 최소원소를 가지면, 그리고 그 때에만 집합  A 를 정렬집합이라 한다.

  • ex)
    • ((0, 1), \leq) 는 전순서집합이긴 하지만, 최소 원소를 갖고 있지 않기 때문에 정렬집합은 아니다.
    • (\mathbb{N}, \leq) 는 전순서집합이기도 하고 정렬집합이기도 하다.
  • 따라서 정렬집합이면 전순서집합이다. 그 역은 성립하지 않는다.

서수

서수의 개념

서수

집합의 길이를 나타내는 수

  1. 모든 정렬집합 A 에 대하여 서수가 존재하며, 모든 순서수 \alpha 에 대하여, o(A) = \alpha 인 정렬집합 A 가 존재한다.
    • 책에 따라 ord(A) 라고 표기하기도 함.
  2. A \approx B \Leftrightarrow o(A) = o(B)
  3. A = \emptyset \Leftrightarrow o(A) = 0
  4. A \approx \{ 1, 2, ... , k \} \Leftrightarrow o(A) = k
  • 기수와 서수의 가장 큰 차이는 구조가 들어가느냐 하는 것.

유한서수와 초한서수

유한서수란 유한정렬집합의 기수이고, 초한서수란 무한정렬집합의 서수이다.

  • <대표적인 초한서수>
    • \omega = o(\mathbb{N})

서수의 순서

정렬집합 A, B 에 대하여 o(A) = \alpha, o(B) = \beta 일 때,

  • A B 의 절편과 순서동형이면 \alpha \beta 보다 작거나 같다고 하며 \alpha \leqslant \beta 로 나타낸다.
  • 이때 특히 \alpha \neq \beta 이면 \alpha < \beta 로 나타낸다.

서수의 연산

서수 합

서로소인 두 집합 A, B 의 서수를 각각 \alpha, \beta 라고 할 때 \alpha + \beta = o(A \cup B)

  • ex) A = \{ 1 \}, B = \{ a, b \} 라면 
    • B B_{1} = \{ 2, 3 \} 로 변환한 후에
    • 그 둘을 합하여 A \cup B = \{ 1, 2, 3 \}   을 만든다.

서수 곱

서로소인 두 집합 A, B 의 서수를 각각 \alpha, \beta 라고 할 때\alpha \beta = o(B \times A)

  • 순서쌍의 순서는 앞의 것을 먼저, 뒤의 것을 그 다음에 보는 것이 자연스럽다 –사전식 순서
  • 뒤의 것을 앞으로 놓고 곱하는 것이 사전식 순서 결과를 만들 수 있기 때문에 서수곱은 뒤의 것을 먼저두는 식으로 한다. 이것은 일종의 수학적 약속.

연산 법칙

임의의 서수 \alpha, \beta, \gamma 에 대하여 다음이 성립한다.

  • 결합법칙
    • (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)
    • \alpha (\beta \gamma) = (\alpha \beta) \gamma
  • 분배법칙
    • \alpha (\beta + \gamma) = \alpha \beta + \alpha \gamma
    • 단 (\alpha + \beta) \gamma \neq \alpha \gamma + \beta \gamma
      • 좌측 분배 법칙은 성립하지만, 우측 분배 법칙은 성립하지 않는다.
      • 2 \cdot (\omega + 1) = 2 \cdot \omega + 2
      • (\omega + 1) \cdot 2 \neq \omega \cdot 2 + 2
  • 일반적으로 서수는 합과 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다.
    • 1 + \omega \neq \omega + 1
    • 2 \cdot \omega \neq \omega \cdot 2
  1.  

운동화 신은 뇌

제목에서 알 수 있듯 운동과 뇌에 대한 책. 한 줄로 요약하자면 운동은 뇌에 좋다는 것. –한 줄 더 추가하면 낮은 수준의 스트레스는 우리 몸에 좋다는 것도 있다.

현대 사회에서 지능에 초점에 맞춰져 있다보니 뇌는 생각하는 기관이라는 착각을 하게 마련인데, 사실 뇌는 몸을 움직이기 위해 필요한 기관이라는 것을 이해하면 –생각하는 것은 올바른 방향으로 움직이기 위해 정보를 처리하는 과정에서 발달된 것일 뿐. 멍게가 더는 움직일 필요가 없어질 때 뇌를 소화 시켜 버리는 것이 그러한 맥락– 뇌가 우리 몸과 얼마나 긴밀히 연결되어 있는지를 이해할 수 있고, 그러면 다시 운동이 우리 뇌에 좋을 수 밖에 없는 이유를 이해할 수 있게 된다.

우리가 수렵 채집을 해왔던 시기를 생각해 보면 인간의 신체 구조는 결국 오래 달리기 위해 만들어진 구조임을 생각해 볼 수 있고, 그 점에서 생각해 보면 가장 좋은 운동은 역시 달리기인 것 같다. 단 하나의 운동을 해야 한다면 달리기를 해라. 물론 위에서도 언급했지만, 자신에게 스트레스가 될 정도의 강도는 되어야 효과가 좋음. –감당할 수 있는 리스크는 우리를 더 성장 시킨다.

19.07.21

한국 경제 1%대 성장 시대 도달

결국 한국은행의 금리 인하에도 불구하고 대외 불확실성 리스크가 완화되지 못하고 오히려 확대될 경우 하반기 수출 및 설비투자의 동반 부진이 지속되면서 국내 성장률이 1%대를 기록할 것으로 전망된다.

현세대는 격차가 벌어지는 세대고, 이는 전세계적인 차원의 문제이기 때문에, 미국과 같은 패권국가는 성장이 계속될지라도 그렇지 않은 나라들은 앞으로도 계속 어려워질 수 밖에 없음.

좋게 보자면 옥석이 가려지는 시기라고 할 수 있을까? 하지만 바다에 물고기가 많아야 고래도 살아갈 수 있듯이, 시장 환경이 좋아지지 않으면 선도 하는 기업도 어려워질 수 밖에 없지. 다들 살아남기 바쁜 시기다.

한국에 드리워진 인구 고령화 물결

유감스럽게도, 출산율을 실질적으로 높일 수 있는 정책은 없다. 이코노미스트 라이먼 스톤이 발표한 것처럼, 출산에 경제적 인센티브를 제공하고, 무료 육아 서비스를 제공하는 방식은 그다지 효과가 없다. (중략)

이민을 받아들이는 전략에 근본적인 문제가 있다. 전 세계적으로는 불가능하다는 점이다. 대부분의 국가에서 출산율이 떨어지고 있다. 한국에서 이민들 받아들일 수 있는 중국의 경우에도 매년 노동 연령 인구가 수백만 명씩 줄어들고 있다. 인도도 그렇게 될 것이다. 다음 세대 세계 인구 증가의 대부분을 담당할 것으로 예상되는 아프리카에서조차 저 출산율로 전환되고 있다.

놀랍게도 아프리카 조차 출산율이 낮아지는 추세라니. 일단 개발이 되는 국가는 예외없이 출산율이 떨어지고, 이것은 복지로 해결이 불가능하다.

애초에 물리적으로 여성의 사회진출이 활발해지면 출산율이 떨어질 수 밖에 없음. 가계 입장에서 여성이 아이를 낳는게 유리한 구조에서는 출산율이 높지만 가계 입장에서 여성이 사회진출을 하는게 유리한 경우에는 출산율이 낮을 수 밖에 없다. –이래서 선진국의 이민자 가족이 출산율이 높다. 현실적으로 이민자 여성은 사회 진출이 쉽지 않은 반면 자식을 낳아 그 중에 사회에서 성공을 거두는 자식이 나오면 그 가계에는 큰 보상이 돌아오니까– 가계의 최적점과 국가의 최적점이 다르기 때문에 발생하는 문제.

그렇다고 사회가 이렇게 변했는데 국가가 출산율을 높이기 위해 여성의 사회 진출을 막는 것은 시계를 거꾸로 돌리는 일이고 앞으로 나아갈 수 있는 유일한 방법은 국가가 직접 아이를 낳아서 기르는 것 뿐이다.  <멋진 신세계> 같은 사회가 되는거지. 아이의 부모는 개인이 아니라 국가가 되는 것.

미 하원이 ‘리브라’를 걱정하는 이유

브래드 셔먼 의원 또한 리브라가 대중들을 위한 혁신 대신 범죄자들에게 자유를 주는 도구로 전락할 수도 있다는 염려를 나타냈습니다. 셔먼 의원은 “혁신이 좋은 것이라 다들 이야기한다. 그러나 오사마 빈 라덴은 혁신적인 비행기를 이용해 테러를 일으켰다”라고 지적하며, 비트코인 또한 마약 구매에 사용되는 등 범죄자들이 즐겨 이용했던 수단이었음을 지적했습니다. 더불어 “대외적으로 리브라라고 불리고 있지만, 리브라는 ‘저커버그의 버킷(Zuckerberg Bucket)’이 될 것”이라며 리브라가 미국에 위협을 가할 것이라 주장했습니다. 그리고 리브라 백서에는 사용자의 실제 신원과 연결되지 않는다는 부분이 있는데, 사용자가 여러 계정을 개설해 악용하면 어떡할 것이냐 지적하기도 했습니다.

기술만 아는 사람들은 사회나 경제에 대해 모르기 때문에 리브라와 같은 화폐를 긍정적으로 볼 수 있지만, 사회는 사람들의 신용과 신뢰에 의해 돌아가는 시스템이기 때문에 기술만 갖고는 사회를 바꿀 수가 없다. 기존의 신뢰 체계를 대체할 수 있는 새로운 체계를 만들어 내야 함.

일단 리브라는 비트코인과 같은 상품에 가까운 것이 아니라 가치를 달러에 연동시켜서 진짜 화폐에 가까운데, 민간 기업이 화폐라는 공공의 성격을 갖는 물건을 컨트롤 할 수 있는 상태 –물론 페이스북은 그렇게 주장하지 않겠지만– 를 받아들일 수 없을 것이며, 특히나 달러 패권에 도전하는 것을 절대 용납하지 않는 미국이 –사실 누구라도 달러와 같은 막강한 힘을 갖고 있으면 그에 대한 도전을 용납하지 않을 것이다. 정작 리브라가 달러의 위치에 올라오게 되면 저커버그도 마찬가지로 행동할 걸– 그것을 허용할 리가 없음.

뇌-컴퓨터 연결? 실체 드러낸 머스크 비밀병기

뉴럴링크는 기자회견에서 쥐와 원숭이의 뇌에 미세한 전자칩을 이식해 컴퓨터와 연결하는 데 성공했다고 밝히며, 실험내용과 함께 관련 기술과 장비를 공개했다. (중략)

두개골을 뚫고 뇌에 전극을 넣는 행위는 공포스러워 보이지만, 이미 이런 시술을 한 사람이 14만명 이상이다. 미국 식품의약품국 승인을 받은 뇌심부 자극장치는 뇌에 심는 바늘모양 전극인데 전류를 흘려보내면 파킨슨병이나 수전증 환자의 떨림을 개선하고 우울증도 완화해준다. 한양대 임창환 교수가 펴낸 <바이오닉맨>에 따르면, 2004년 미국 브라운대 존 도너휴 교수는 사지마비 환자의 대뇌에 96개의 전극이 달린 마이크로칩을 이식해, 생각만으로 두뇌 외부와 연결된 컴퓨터 마우스를 움직이는 실험에 성공한 바 있다.

뇌-컴퓨터 연결의 목표는 신체 마비나 척추 손상, 시각장애 등을 극복할 수 있는 기술적 플랫폼을 만드는 것이다. 뉴럴링크의 최종 목표는 사람 두뇌를 컴퓨터와 연결시켜 디지털 정보를 뇌에 업로드하거나 사람의 생각을 컴퓨터로 다운로드하는 공상과학속 현실이다. 머스크는 강한 인공지능의 위협에 대처하기 위해서는 뇌를 컴퓨터에 연결해 “생물학적 지능을 디지털 지능과 결합할 필요가 있다”고 주장해왔는데, 실제 이를 구현할 기업을 설립한 것이다.

아직은 더 두고 봐야겠지만 흥미로운 내용이라 정리

인텔의 뉴로모픽 컴퓨터 시스템 Pohoiki Beach

인텔은 64개의 로이히 칩으로 구성된 포호이키 비치 (Pohoiki Beach) 뉴로모픽 시스템을 공개했는데 대략 800백만 개의 뉴런으로 구성되어 있습니다. 인텔에 의하면 포호이키 비치 시스템은 통상적인 컴퓨팅 작업에서는 특별히 빠르지 않지만, 특정 작업(sparse coding, graph search and constraint-satisfaction problems)에서 기존의 CPU 보다 1000배 빠르며 1만배 더 효율적입니다.

뉴로모픽 시스템은 기존의 CPU나 GPU와 달리 수학적 연산으로 뉴런을 흉내내는 방법이 아니라 하드웨어적으로 뉴런을 모방하는 방식입니다. 그런 만큼 기존의 머신러닝/딥러닝 방법으로는 어려운 모방이 가능하다는 장점이 있습니다. 하지만 아직 개발 초기 단계인 기술이라 정확히 평가하기는 어려운 부분이 있습니다.

아직은 더 두고 봐야겠지만 흥미로운 내용이라 정리 2

오토데스크, “AI 기반 디자인으로 제조 혁신 이끌겠다”

제너레이티브 디자인에 대해 김 대표는 “기존에는 개념 설계를 한 다음 이 개념이 공학적으로 가능한 그림인지 검증하고 제작하는 데 어느 정도 비용이 들지 고민한 후 적합하면 생산으로 넘어가지만, 공학적으로 문제가 있거나 생산 비용 제약이 있으면 다시 개념 설계로 돌아가는 반복적 구조의 설계를 지금까지 해왔다”라며 “제너레이티브 디자인은 이 두 가지를 한꺼번에 자동화해서 하는 방식으로 목적식과 제약식을 주면 개념 설계와 공학적, 비용적 고려를 한꺼번에 해서 AI 기반 솔루션 디자인을 여러 개 만들어주는 자동화 방식이다”라고 설명했다.

디자인 자체가 아니라 디자인을 검증하는데 사용한다는 이야기. 굳이 비유하자면 자동 테스트 같은 것이려나. 여튼 인공지능 비즈니스의 핵심은 사람의 반복적인 업무를 줄여주는데 있다. 예전에는 정말로 논리적인 것만 가능했던 반면 요즘은 이미지 같은 비논리적인 것도 처리가 가능해진 것. 물론 그 반복적인 업무를 없애면서 사람의 직접적인 일자리와 전문성을 없애는 어두운 면이 따라 오고 있긴 하지만.

이상엽/ 연속체 가설

집한론의 역설

칸토어의 역설

칸토어의 정리

임의의 집합 X 에 대하여 \#X < \#P(X) 이다.

  • (크거나 같은 것이 아니라 아예 큰 것)
  • (멱집합의 기수는 2^{X} 가 되는데, 원래 집합이 공집합이었을 때 조차도 2^{0} = 1 이 되어서 멱집합은 항상 원래 집합 보다 크게 된다.)

칸토어의 역설

모든 집합들의 집합을 U , 그 기수를 \#U = \kappa 라 하자.

그러면 칸토어의 정리에 따라 U 의 멱집합의 기수 \#P(U) \#P(U) = 2^{\kappa} > \kappa = \#U 이지만, 이는 \#U \geq \#P(U) 이어야 하는 가정에 모순이 된다.

  • (멱집합의 기수가 원래 집합보다 같거나 큰 것이 아니라 항상 크기 때문에 역설이 발생)

러셀의 역설

모든 집합들의 집합을 U 라 하자.

그러면 S = \{ A \in U | A \notin A \} 는 하나의 집합이 된다. (여기서 S는 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합)

만약 S \in S 라 하자. 그러면 S 의 정의에 의해 S \notin S 이다.

만약 S \notin S 라고 하자. 그러면 S 의 정의에 의해 S \in S 이다.

따라서 U 는 존재하지 않는다.

  • (칸토어의 역설이나 러셀의 역설이나 모두 모든 집합들의 집합은 존재하지 않는다는 증명)

공리적 집합론

ZFC

체르멜로(Zermelo)-프렝켈(Fraenkel)의 ZF 공리계에 선택공리(Axiom of choice)가 추가된 공리계.

체르멜로가 확장공리/ 짝공리/ 공집합공리/ 무한공리/ 합집합공리/멱집합공리/분류공리꼴 7개를 만들었고, 이후에 체르멜로 공리계의 허술함을 보완하기 위해 폰노인만의 정칙성공리와 프렝켈의 치환공리꼴이 추가 되어 ZF 공리계가 완성 됨. 최종적으로 선택공리가 추가되어 ZFC가 완성 됨.

현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 다음 10가지 공리 및 공리꼴을 가지고 집합론을 구성한다.

  • 확장공리
    • 두 집합의 모든 원소가 일치하면 두 집합은 동일하다
  • 짝공리
    • 두 집합을 원소로 하는 집합이 존재한다.
  • 공집합공리
    • 아무런 원소도 갖지 않는 집합(공집합)도 존재한다. 
  • 무한공리
    • 무한 집합이 존재한다.
  • 합집합공리
    • 집합족의 합집합도 집합이다.
  • 멱집합공리
    • 집합의 멱집합도 집합이다.
  • 분류공리꼴
    • 명제함수가 참이 되게 하는 집합의 원소들을 갖고 집합을 만들어도 집합이다.
  • 정칙성공리
    • X라는 집합이 공집합이 아니면 X와 서로소인 원소를 갖는 집합도 집합이다.
  • 치환공리꼴
    • 미지수 x, y가 포함된 논리식이 있을 때, 논리식이 참이 되게 하는 y들의 집합도 집합이다.
  • 선택공리 (Axiom of choice)

그 외의 집합론

NBG

ZFC의 보존적 확장 형태로, 고유 모임을 포함하는 집합론.

폰 노이만-베르나이스-괴델의 이름을 따서 만들어짐.

고유 모임(proper class)이란 집합이 아닌 모임을 의미.

MK

NBG에서 재귀적 정의를 허용한 집합론.

모스-켈리의 이름을 따서 만들어짐.

연속체 가설

정의

칸토어의 연속체 가설

두 초한기수 \aleph_{0}, \varsigma 에 대하여, \aleph_{0} < x < \varsigma 를 만족하는 기수 x 는 존재하지 않는다. 

일반화 연속체 가설

임의의 초한기수 \kappa 에 대하여, \kappa < x < 2^{\kappa} 를 만족하는 기수 x 는 존재하지 않는다. 

ZFC 와의 관계

연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC 에서는 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

다른 공리와의 관계

구성 가능성 공리

ZFC에 구성 가능성 공리를 추가하면 일반화 연속체 가설이 참이다.

고유 강제법 공리

고유 강제법 공리를 가정하면 칸토어의 연속체 가설은 거짓이다.