프리드버그 선형대수학/ 선형변환과 행렬/ 선형변환의 행렬표현
선형변환의 행렬표현
- 정의)
- 유한차원 벡터공간
의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다. 즉, 일차독립이며
를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을 순서기저라 한다.
- 유한차원 벡터공간
- 예제 1)
에서
과
는 모두 순서기저이다. 순서기저로보면
이다.
- 벡터공간
에서
을
의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다. 비슷한 방식으로 벡터공간
에서
을
의 표준 순서기저라 한다.
- 순서기저의 개념이 등장하였으므로
차원 벡터공간의 추상적인 벡터와
순서쌍을 같게 나타낼 수 있다. 이때 다음에 소개하는 벡터 개념을 사용한다.
- 정의)
- 유한차원 벡터공간
의 순서기저를
이라 하고,
에 대하여
은
를 만족하는 유일한 스칼라라 하자.
에 대한
의 좌표벡터(coordinated vector)
은 다음과 같다.
- 유한차원 벡터공간
- 위 정의에 의하면
이다. 대응
가
에서
으로 가는 선형변환임을 증명하는 것은 여러분의 몫으로 남긴다.
- 예제 2)
- 순서기저
를 가지는 벡터공간
에 대하여
일 때,
이다.
- 순서기저
- 선형변환의 행렬표현을 알아보자.
- 유한차원 벡터공간
와 각각의 순서기저
, 선형변환
를 생각하자.
일 때,
마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라
가 존재한다.
(단
)
- 유한차원 벡터공간
- 정의)
- 위의 표기법을 그대로 사용하자. 성분이
인
행렬
를 순서기저
와
에 대한 선형변환
의 행렬표현(matrix representation)이라하고
라 표기한다.
이면 간단히
라 표기한다.
- 위의 표기법을 그대로 사용하자. 성분이
의
열은
이다. 또한 선형변환
가
를 만족하면 정리 2.6의 따름정리로부터
이다.
- 예제 3)
- 다음과 같이 정의한 선형변환
을 생각하자.
와
의 표준 순서기저를 각각
와
라 할 때 다음이 성립한다.
- 즉,
이다.
- 또 다른 순서기저
를 가져오면
이다.
- 다음과 같이 정의한 선형변환
- 예제 4)
- 선형변환
가
를 만족한다고 하자.
와
의 표준 순서기저를 각각
라 할 때 다음이 성립한다.
- 즉,
이다.
을
의 일차결합으로 표현할 때, 계수를 모으면
의
열이 된다.
- 선형변환
- (교재에는 설명이 충분히 안 나와서 연습문제 추가)
- 선형변환
을
라 정의하자.
가
의 표준기저이고
가 일 때 다음을 구하라.
를 구하라
이므로
일 때
를 구하라
- 요약하자면
의 기저를
,
의 기저를
라 할 때
- …
- 이 되도록 하는 각
을 찾아서 행렬식으로 표현하면 그게 행렬이 된다.
- 이때 선형변환으로 만들어지는 행렬의 크기는
일 때
가 된다.
- 선형변환
와
는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각
이라 하자.
이므로
이다. (
영행렬)
- 또한 다음 식이 성립하므로
의
열은
이다.
- 따라서
이다. 이 행렬은
항등행렬이다.
- 이제 매우 편리한 표기법인 크로네커 델타를 소개하겠다.
- 정의)
- 크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
일 때,
이고
일 때,
항등행렬(identity matrix)
의 성분은
이다. 가리키는 것이 명확하면 항등행렬 아래 첨자를 생략하고
라 표기하기도 한다.
- 크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
- 예컨대
이다. 즉 영변환의 행렬표현은 영행렬이고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이다.
- 행렬과 선형변환을 연결하였으므로 정리 2.8에서 이 연결이 합과 스칼라 곱을 보존함을 보일 것이다. 이를 위해 우선 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의하는 것에서 시작하자.
- 정의)
-벡터공간
사이에 정의된 임의의 함수
와 스칼라
에 대하여, 두 함수의 합
와 스칼라 곱
을 다음과 같이 정의한다.
- 합: 모든
에 대하여
- 스칼라 곱: 모든
에 대하여
- 합: 모든
- 이는 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 보편적인 정의와 같다. 선형변환의 합과 스칼라 곱은 여전히 선형변환임을 다음 정리에서 확인하자.
- 정리 2.7)
-벡터공간
와 선형변환
에 대하여 다음이 성립한다.
- 임의의
에 대하여
는 선형이다.
- 위 정의와 같이 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때
에서
로 가는 모든 선형변환의 집합은
-벡터공간이다.
- 임의의
- 증명)
에 대하여 다음이 성립한다.
- 즉
는 선형이다.
- 영변환
는 (
에서
로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합에서) 영벡터의 역할을 한다.
에서
로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합이 벡터공간의 공리를 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 이 집합은
-벡터공간이다.
- 정의)
-벡터공간
에 대하여
에서
로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을
라 표기한다.
이면
를 간단히
라 표기한다.
- 2.4절에서
와
(이때
와
의 차원은 각각
과
)가 본질적으로 같음을 보이는 과정을 마무리 할 것이다.
- 정리 2.8)
- 유한차원 벡터공간
와 각각의 순서기저
, 선형변환
에 대하여 다음이 성립한다.
- 모든 스칼라
에 대하여
- 증명)
라 하자. 다음 식을 만족하는 유일한 스칼라
가 존재한다.
- 즉
이고
이다.
- (1)과 비슷한 방식으로 증명할 수 있다.
- 유한차원 벡터공간
- 예제 5)
- 선형변환
을 다음과 같이 정의하자.
와
는 각각
과
의 표준 순서기저이고 다음이 성립한다. (
는 예제 3에서 구했다)
를 앞서 소개한 정의에 따라 계산하면
이다. 이제
는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- 정리 2.8에서 설명한 것처럼
와 같다.
- 선형변환