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데코수학/ 다변수 실함수의 편미분

개념

  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) : (P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) : 에서 변수 x_{k} 에 대해 편미분 가능 \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} { f(P_{1}, P_{2}, ... P_{k}+h, ... P_{n}) - f(P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) \over h} 가 존재
    • {\partial f \over \partial x_{k}} = \lim_{h \to 0} { f(x_{1}, x_{2}, ... x_{k}+h, ... x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \over h}
      • f x_{k} 에 대해 편미분한 함수
  • 편미분 표기법
    • {\partial \over \partial y} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial y \partial x} f
    • {\partial \over \partial x} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial x^{2}} f
  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 에 대하여
    • {\partial f \over \partial x_{i}}, {\partial f \over \partial x_{j}}, {\partial f \over \partial x_{i} \partial x_{j}} : \vec{P} 에서 연속이면
      • \Rightarrow {\partial^{2} f \over \partial x_{i} \partial x_{j} } (\vec{P}) = {\partial^{2} f \over \partial x_{j} \partial x_{i}} (\vec{P}) (편미분 순서를 바꿔도 결과가 동일하다) – 클레로 정리
  • 평균값 정리
    • 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다.
    • 기하학적 관점에서 곡선의 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선이 구간 내에 존재한다는 뜻이 됨
  • 편미분은 축 방향 (x축 또는 y축) 의 접선의 기울기를 의미, 전미분은 접공간 (tangent space라고도 함)을 구하는 것.

편미분 계산 예

  • {\partial^{2} \over \partial x \partial y} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial x} (x \cos y + e^{x}) = \cos y + e^{x}
    • 삼각함수 미분
      • {d \over dx} \sin x = \cos x
      • {d \over dx} \cos x = -\sin x
      • {d \over dx} \tan x = \sec^{2} x
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial y} (\sin y + y e^{x}) = \cos y + e^{x}
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} x^{y} = {\partial \over \partial y} y \cdot x^{y-1} = x^{y-1} + y \cdot \ln x \cdot x^{y-1}
    • 곱의 미분
      • {d \over dt} f(t) \cdot g(t) = ({d \over dt} f(t)) g(t) + f(t)({d \over dt} g(t))
    • 지수의 미분
      • {d \over dt} a^{t} = \ln a \cdot a^{t} (\ln a = \log_{e} a)

러셀 서양철학사/ 아리스토텔레스의 형이상학

  • 아리스토텔레스 사후 2000년 동안 그에 필적할 만한 철학자가 등장하지 않았기 때문에, 그의 권위는 교회의 권위만큼이나 무소불위의 지위를 누렸다.
    • 때문에 철학 뿐만 아니라 과학에서도 진보를 가로막는 심각한 장애요소가 되었음.
    • 17세기가 시작된 이래 지성사에 중요한 획을 그은 거의 모든 사상이 아리스토텔레스의 학설을 공격하면서 시작되었다. 논리학의 경우 이런 경향은 오늘날에도 여전히 나타난다.
  • 아리스토텔레스는 오늘날의 교수처럼 글을 쓴 첫 인물이다. 그가 쓴 논문은 체계를 갖추어 토론 내용이 항목별로 분류되어 있다.
  • 플라톤에게 스며들었던 오르페우스교의 요소가 아리스토텔레스에서는 희석되어 상식이라는 강력한 요소와 혼합되었다.
    • 아리스토텔레스가 플라톤 색채를 나타내는 곳에서는 누구나 그가 받은 가르침으로 인해 타고난 기질이 압도당했다고 생각한다.
    • 그는 종교에 기울지 않은 인물이다.
    • 그는 상세한 서술이나 비판의 측면에서는 최고 수준을 자랑하지만, 기초의 명확성이나 티탄의 광휘가 부족하기 때문에 거대한 체계를 구축하는데 실패한다.
  • 아리스토텔레스의 형이상학을 어떤 논점에서 설명할지 결정하는 일은 어렵지만, 가장 설명하기 좋은 지점은 플라톤의 이상 이론을 비판하고 보편자 이론을 대안으로 제시하는 부분이다.
    • 아리스토텔레스의 형이상학은 상식으로 희석된 플라톤 사상이라고 묘사해도 괜찮다
    • 아리스토텔레스의 형이상학은 플라톤 사상과 상식이 쉽게 섞이지 않기 때문에 이해하기 어렵다.
  • ‘보편자’라는 용어는 여러 실체를 서술하는 본성을 지니기 때문에, ‘개별자’란 용어가 그 속성을 나타내지 못한다는 뜻으로 사용한다.
    • 고유명사가 나타내는 대상은 ‘실체’인 반면, ‘인간답다’나 ‘인간’ 같은 형용사나 집합명사가 나타내는 대상은 ‘보편자’라 부른다.
    • 실체는 ‘이것(this)’ 이지만, 보편자는 ‘이러한 것(such)’에 해당하므로, 현실의 개별(particular) 사물이 아니라 사물의 종류를 가리킨다.
    • 보편자는 ‘이것’이 아니기 때문에 실체가 아니다.
    • 아리스토텔레스의 주장에 따르면 ‘어떤 보편 명사이든 실체를 나타내는 이름이 되지는 못할 듯 하다. 왜냐면 각 사물의 실체는 그 사물의 고유한 것으로서 그 밖의 어떤 사물에도 속하지 않기 때문이다. 그러나 보편자는 사물 하나 이상에 속하도록 되어 있기 때문에 사물들에 공통된 무엇이다’
    • 다시 말해 보편자란 홀로 실존할 수 없고, 특정한 사물들 속에만 존재한다.
  • (러셀의 말)
    • 내가 아리스토텔레스의 보편자 이론을 명료하게 설명하지 못했다면, 그것은 아리스토텔레스의 이론 자체가 명료하지 않기 때문이다.
    • 그러나 아리스토텔레스의 보편자 이론은 플라톤의 이상 이론에서 한 단계 진보한 이론이라 확신하며, 철학의 진정한 문제를 다룬 매우 중요한 이론이라는 점도 확실하다.
  • 아리스토텔레스와 그를 추종한 스콜라 철학자들에게 중요한 용어가 하나 더 있는데, 바로 본질(essence)이다.
    • 본질은 결코 보편자와 동의어가 아니다. 당신의 본질은 ‘당신이 바로 당신의 본성에 따라 존재하게 하는 무엇’이다.
    • 본질은 당신의 속성들 가운데 당신 자신이 아니게 되지 않고서는 잃어버릴 수 없는 속성들이며, 개별 사물뿐만 아니라 종도 본질을 지닌다고 말할 수도 있다. 종의 정의는 그것의 본질을 언급해야만 가능하다.
  • 아리스토텔레스의 다음 논점은 ‘형상(form)’과 ‘질료(matter)’의 구분이다.
    • 대리석은 질료지만 조각가가 틀을 잡은 모양은 형상이다.
    • 그는 형상의 효력으로 질료는 어떤 한정된 사물이 되기 때문에 형상이 그 사물의 실체라고 말한다.
    • 아리스토텔레스는 영혼은 육체의 형상이라고 주장. 영혼이란 육체가 목적과 통일을 이루어서 ‘유기체’라는 말에서 연상되는 특징을 지닌 한 사물이 되도록 만드는 실체라고 주장.
  • 형상이란 질료의 일부를 통일하는 무엇이며, 이러한 통일은 언제나 그렇지는 않지만 목적론과 일치되는 듯 하다.
    • 한 사물의 형상은 그 사물의 본질이자 제일 실체라고 한다. 보편자는 실체가 아니지만, 형상들은 실체들이다.
    • 모든 사물이 다 질료를 갖지는 않는다. 영원한 사물들도 존재하는데, 이 영원한 사물들은 공간 속에서 움직이는 사물들을 제외하면 질료를 갖지 않는다.
    • 사물들이 형상을 얻게 되면 현실성이 증가한다. 말하자면 형상을 얻지 못한 질료는 가능태일 따름이다.
  • 아리스토텔레스의 질료, 형상 이론은 가능태(potentiality)와 현실태(actuality)의 구별과 관계가 있다.
    • 맨 질료(bare matter)는 형상의 가능태이다. 그러니까 변화란 모두 변화된 후에 해당 사물이 이전보다 더 많은 형상을 지닌다는 점에서 ‘진화’라고 부를 만하다. 형상을 더 많이 지닌 존재는 ‘현실성’을 더 많이 지녔다고 생각한다.
    • 신은 순수 형상이자 순수 현실태이다. 그러므로 신 안에서는 결코 변화는 일어나지 않는다.
    • 이 학설은 낙관론과 목적론을 포함하는 듯이 보일 것이다. 그러니까 우주와 우주 안의 만물은 이전보다 더 나아지는 쪽으로 계속 발전한다는 말이다.
  • 아리스토텔레스의 신학은 흥미롭고 형이상학의 나머지 부분과 밀접하게 연결되는데, 사실 ‘신학’은 우리가 ‘형이상학’이라 부르는 학문을 아리스토텔레스가 부르는 명칭이다.
    • 그는 실체에는 세 종류, 곧 감각되고 소멸되는 실체, 감각되지만 소멸 하지 않는 실체, 감각되지도 소멸되지도 않는 실체가 존재한다고 말한다.
    • 첫째 부류에는 식물과 동물이 포함되고, 둘째 부류에는 천체가 포함되며, 셋째 부류에는 인간의 이성혼을 비롯한 신이 포함된다.
  • 신을 지지하는 주된 논증은 제일 원인 논증이다. 말하자면 운동의 기원이 되는 무엇이 존재함이 틀림없고, 이 무엇 자신은 운동해서는 안 되며, 영원한 실체이자 현실태여야 한다.
    • 아리스토텔레스는 욕망의 대상과 사유의 대상이 바로 이렇게 자신은 운동하지 않으면서 운동을 일으킨다고 말한다.
    • 그래서 신은 사랑받는 존재이기에 운동을 일으키지만, 운동을 일으키는 다른 온갖 원인은 당구공처럼 스스로 운동함으로써 작용한다.
    • 신이 순수 사유인 까닭은 사유가 지고한 존재이기 때문이다. ‘생명도 신에게 속한 까닭은 사유의 현실태가 생명이고 신이 그 현실태이기 때문이다. 또 신이 자기 힘에 의존하려는 현실태는 가장 선하고 영원한 생명이다. 그러므로 신이란 살아 있는 영원한 존재이며 가장 선하기 때문에 생명과 지속은 계속 영원히 신에게 속한다. 이 존재가 바로 신이다.’
    • ‘지금까지 말한 내용에서 영원하기에 운동하지 않고 감각되는 사물과도 분리된 실체가 존재한다는 사실이 명백해진다. 신은 이러한 실체로서 크기를 갖지 않기 때문에 부분이 없고 나뉘지도 않는다는 사실이 입증되었다. 또 신은 고통을 당하지 않으며 변할 수도 없다는 사실도 입증되었다. 왜냐면 다른 변화는 모두 장소가 변한 다음에 일어나기 때문이다’
    • ‘신이 생각하는 사유는 자기 자신에 대한 사유야 하기에 신의 사고는 사고에 대한 사고이다’
    • ‘신은 부동의 원동자(the unmoved mover)’로 정의될 수 없다’
  • 아리스토테렐스는 원인에는 질료인, 형상인, 작용인, 목적인의 4가지 종류가 있다고 함.
    • 현대의 용어법에 따르면 ‘원인’이라는 말은 자굥ㅇ인에 한정되고 부동의 원동자는 목적인으로 간주될 수 있다. 그러니까 부동의 원동자는 변화가 향하는 목적을 제공하며, 변화는 본질적으로 신과 닮아가는 진화로 나타난다.
  • 신은 영원히 순수 사유로서 행복, 즉 완전한 자기충족의 상태에 있어 실현되지 않은 목적이 하나도 없는 존재이다.
    • 이와 반대로 감각 세계는 불완전하지만, 불완전한 생명, 불완전한 욕망, 불완전한 사유에서 비롯된 염원을 드러낸다.
    • 모든 생물은 정도가 크든 작든 신을 의식하기에 신에 대한 염원과 사랑으로 활동하며 신을 향해 움직인다. 따라서 신은 모든 활동의 목적인이다.
    • 변화는 질료에 형상을 부여할 때 일어나지만, 감각 사물이 관련된 경우 질료라는 기체는 언제나 있게 마련이다. 신만이 질료 없는 형상으로 이루어진다.
    • 세계는 등급이 더 높은 형상으로 진화하기 때문에 신과 더 많이 닮은 단계로 계속 진보한다. 그러나 그 과정이 완성되지 못하는 까닭은 질료가 완전히 제거될 수 없는 탓이다.
    • 이것이 진보와 진화의 종교인데, 바로 신의 정적인 완전성(static perfection)은 유한한 존재들이 신을 느끼는 사랑을 통해서만 세계를 움직이기 때문이다.
    • 플라톤은 수학에 기울었지만 아리스토텔레스는 생물학에 기울었다. 이러한 차이가 바로 그들이 제시한 종교의 차이를 설명해 준다
  • 아리스토텔레스는 영혼이 육체와 밀접한 관계가 있다고 보기 때문에 피타고라스 학파의 윤회설을 조롱한다. 영혼은 육체와 함께 소멸하는 듯이 보인다.
  • 아리스토텔레스는 영혼과 정신을 구별하는데, 정신이 영혼보다 등급이 더 높아서 육체와 맺는 관계가 덜 밀접하다고 이야기 한다.
    • 정신은 우리의 일부로서 수학과 철학을 이해한다. 정신의 대상은 시간의 제약을 받지 않으므로 정신 자신도 시간의 제약을 받지 않는다.
    • 영혼은 육체를 움직이고 감각 대상들을 지각하는 존재이다. 영혼은 자가 영양, 감각, 느낌, 원동력(motivity)라는 특징을 지닌다.
    • 그러나 정신은 더 수준 높은 사고 기능으로 육체나 감각기관과 아무 관계도 맺지 않는다. 따라서 정신은 불멸하지만 영혼의 다른 부분은 불멸할 수 없다.
  • (러셀의 말)
    • 아리스토텔레스의 영혼설을 이해하려면, 영혼이 육체의 ‘형상’이며 공간을 차지하는 모양이 ‘형상’의 한 종류라는 점을 기억해야 한다.
      • 영혼의 본질적 특징은 육체의 ‘형상’이 됨으로써 육체를 단일체로서 목적을 가지는 유기적 통일체로 만든다.
  • 영혼은 이성적인 요소와 비이성적인 요소로 이루어져 있다.
    • 비이성적인 요소는 두 부분으로 나뉜다. 살아 있는 만물에서 심지어 식물에서도 발견되는 생장과 모든 동물에게 있는 욕구이다.
    • 만약 이성이 인간보다 신성하다면, 이성에 따르는 삶은 인간적인 삶보다 신성하다.
  • 비이성적인 면은 우리를 분리하고, 이성적인 면은 우리를 통합한다. 따라서 정신 또는 이성의 불멸은 분리된 인간 개인의 불멸이 아니라 불멸하는 신의 일부분이다.
  • 아리스토텔레스는 개인의 영혼 불멸을 믿었던 것처럼 보이지 않는다. 그는 그저 인간이 이성을 지니는 한 불멸하는 신성에 참여한다고 믿었을 따름이다.
    • 자신의 본성 속에 깃들인 신성한 요소를 늘리는 일은 인간에게 열려 있으며, 신성한 요소의 증대가 바로 최고 덕이다.

러셀 서양철학사/ 플라톤의 지식과 지각

  • 플라톤이나 다른 특정 학파에 속한 철학자들 사이에는 ‘지식’이라 부를만한 지식은 감각에서 유래하지 않으며, 유일하게 진정한 지식은 개념과 관계를 맺어야 한다는 전혀 다른 학설이 존재한다.
    • 이러한 견해에 따르면 ‘2+2=4’는 진정한 지식이지만, ‘눈은 하얗다’는 진술은 너무 모호하고 불확실해서 철학자의 진리 체계 안에서 어떤 자리도 차지하지 못한다.
  • 플라톤은 프로타고스의 ‘인간은 만물의 척도이다’는 개념을 비판.
    • 돼지나 원숭이도 인간과 마찬가지로 지각하는 동물이므로 만물의 척도로 보아야 한다.
    • 만일 프로타고라스가 옳다면 어느 누구도 다른 사람보다 더 많이 알지는 못한다. 그러니까 프로타고라스는 신들만큼 지혜로울 수 있지만, 바보만큼도 지혜롭지 못할 수 있다.
    • 어떤 판단이 다른 판단보다 더 참될리는 없지만, 더 나은 결과를 낸다는 의미에서 다 나을 수 있다고 주장.
  • 더불어 헤라클레이토스의 ‘만물 유전설’을 비판
    • 만물이 온갖 방식으로 변한다면, 봄(seeing)을 안 봄(not-seeing)이 아니라 봄이라 부를 권리가 없으며, 지각(perception)을 비지각(not-perception)이 아니라 지각이라 부를 권리도 없다.
    • 무엇이 영속적인 흐름 속에 있다 하더라도 말의 의미가 적어도 당분간 고정되어야 하는 까닭은 고정되어 있지 않다면 아무 주장도 하지 못하고 어떤 주장도 거짓이 아니라 참이라고 말하지도 못하기 때문이다.
    • 담론과 지식이 가능하려면 조금이라도 불변하는 무엇이 있어야 한다.
  • 이러한 맥락에서 플라톤은 파르메니데스를 칭송함.
    • 플라톤은 우리가 눈이나 귀로 지각하지 않고 눈과 귀를 통해서 지각한다고 지적하며, 우리가 획득한 어떤 지식은 감각 기관과 아무 관련도 없다고 주장한다.
    • 우리는 촉각으로 딱딱함과 부드러움을 지각하지만 딱딱함과 부드러움이 있다거나 반대되는 성질이라고 판단하는 역할은 바로 정신이 담당한다. 정신만이 존재를 파악하게 되며, 존재를 파악하지 못하면 우리는 진리에 도달하지 못한다.
    • 여기에서 우리가 감각만으로 사물을 인식하지 못하는 까닭은 감각만으로는 사물이 존재한다는 사실을 인식하지 못하기 때문이라는 결론이 도출된다. 그러므로 지식은 인상이 아니라 반성 속에 존재하며, 지각이 지식이 아닌 까닭은 ‘지각이 존재를 파악할 때 아무 역할을 하지 못하고 따라서 진리를 파악할 때도 아무 역할도 하지 못하기’ 때문이다.
  • 러셀의 플라톤 반박
    • ‘지식은 지각이다’에 대한 플라톤의 비판에 대한 비판
      • (상세한 내용 생략)
      • 논리학과 수학이 존재하기는 하지만, 그 밖의 다른 지식에 관한 플라톤의 논증은 전부 오류투성이다.
    • ‘인간은 만물의 척도이다.’에 대한 플라톤의 비판에 대한 비판
      • (상세한 내용 생략)
      • 이 논점에 대해서는 플라톤이 옳은 주장을 한 것으로 판단. 그러나 경험주의자는 지각이란 경험적 자료에 따른 추론의 정확성을 판정하는 시금석이라고 주장할 것이다.
    • ‘만물은 흐름의 상태에 있다.’에 대한 플라톤의 비판에 대한 비판
      • 논리적 대립항은 편의를 위해 고안되었지만, 계속되는 변화는 정량 장치(quantitative apparatus)가 필요한데, 플라톤은 그 가능성을 무시한다. 그러므로 플라톤이 계속되는 변화에 대해 말한바는 대체로 정량 장치가 필요하다는 기준에서 벗어나 있다.
      • 말의 의미가 어느 정도 고정되어 있지 않다면 담론이 불가능해진다는 사실을 인정해야 한다. 하지만 여기서 다시 한 번 지나치게 절대적인 견해에 빠지기 쉽다.
      • 말이 겪는 의미의 변화는 말이 묘사하는 변화 자체보다 더 느려야 할 필요가 있다. 그러나 말의 의미 변화가 전혀 일어나서는 안 될 필요까지는 않다.
  • 플라톤은 피타고라스 학파의 영향을 받아 다른 지식을 지나칠 정도로 수학과 비슷하게 만들어버렸다.

러셀 서양철학사/ 플라톤의 우주론

  • 티마이오스는 플라톤의 우주론이 담겨 있는 저술로 소크라테스가 초기 대화편에서 차지한 지위를 피타고라스가 이어 받고 있다.
    • 수가 세계를 설명하는 원리라는 견해를 어느 정도까지 포함한 피타고라스 학파의 학설들이 주로 채용 됨.
    • 감각 가능한 세계는 영원하지 않으며, 신이 창조한 세계임이 틀림없다. 신은 선하기 때문에 영원한 존재의 원형에 따라 세계를 만들었다. 또한 신은 질투심이 없으므로 만물이 가능한 자신과 닮기를 원했다.
    • 플라톤의 신은 유대교나 그리스도교의 신과 달리 무에서 세계를 창조하지 않고 이전에 존재하던 물질(material)을 재배열했을 따름이다.
    • 신은 영혼 속에 지성을, 육체 속에 영혼을 불어 넣었다. 신은 세계전체를 영혼과 지성을 갖춘 살아 있는 생물로 만들었다.
    • 세계는 하나일 뿐 소크라테스 이전 많은 사상가들이 가르친 바와 달리 세계가 여럿 존재하지는 않는다.
    • 세계가 하나 이상 존재하지 못하는 까닭은 신이 파악한 영원한 원본과 가능한 한 일치하게 설계하여 창조한 모사한 세계이기 때문이다.
    • 신은 4원소를 모두 사용했으므로 세계는 완벽하게 만들어져 나이를 먹지도 병들지도 않는다.
    • 인간이 잘 살면 죽은 다음에 자신의 별에서 행복하게 살게 된다. 그러나 악하게 살면 다음 생에 여자로 태어날 것이다. 만약 남자가 악행을 거듭하면 다음 생에 짐승이 되어 마침내 이성이 승리를 거두는 날까지 윤회를 거듭한다.
  • 원인에는 두 종류가 있다. 즉 지성 원인이 있고 다른 존재에 의해 움직이고 나서 또 다른 존재를 움직일 수 밖에 없게 하는 원인이 있다.
    • 전자는 정신이 부여하기 때문에 공정하고 선한 일을 만들어내는 작용인이지만, 후자는 우연히 질서나 계획 없이 결과를 산출한다.
    • 원인의 두 종류를 모두 연구해야 하는 까닭은 창조가 바로 필연과 정신이 혼합되어 빚어지는 일이기 때문이다.
  • 티마이오스의 주장에 따르면, 물질계를 구성하는 진짜 요소는 흙, 공기, 불, 물이 아니라 두 가지 삼각형인데, 하나는 정사각형의 절반인 직각삼각형이고, 다른 하나는 이등변 삼각형의 절반인 직각삼각형이다.
    • 원래 만물은 혼돈 속에 있었고, ‘여러 요소들은 우주를 형성하도록 배열되기 전에는 각각 다른 곳에 있었다’
    • 위에서 말한 삼각형들은 두 종류 모두 가장 아름다운 형상들이므로, 신은 삼각형의 형상들을 이용해 질료를 빚었다고 한다.
    • 가장 아름다운 두 삼각형들로 5가지 정다면체 가운데 4가지 정다면체를 구성하는 일이 가능하며, 4원소 각각을 구성하는 각 원소는 정다면체이다.
    • 흙을 구성하는 원소는 정육면체이고, 불을 구성하는 원소는 정사면체이며, 공기를 구성하는 원소는 정팔면체이고, 물을 구성하는 원소는 정이십면체이다.
  • 에우클레이데스의 <기하학 원론> 13권에서 설명한 정다면체 이론은 플라톤 시대에는 최신 발견에 속했다. 바로 테아이테토스가 정다면체 이론을 완성했으며, 그의 이름을 딴 플라톤의 대화편에 청년으로 등장한다.
    • 플라톤은 정십이면체에 대해 ‘신이 우주의 본을 뜰 때 다섯 번쨰 조합을 사용했다’고 말할 따름이다. 이 말은 모호한데, 우주가 정십이면체임을 암시한다.
    • 그러나 다른 곳에서는 우주가 구형이라고 말한다.
  • 티마이오스는 인간이 지닌 두 가지 영혼을 설명하는데, 하나는 죽지 않는 영혼이고, 다른 하나는 죽는 영혼이다. 죽지 않는 영혼은 조물주가 창조했고, 죽는 영혼은 신들이 창조했다.
    • 죽지 않는 영혼은 머릿속에 있고, 죽는 영혼은 가슴 속에 있다.

데코수학/ 다변수 실함수의 극한, 연속

개념

  • 다변수 실함수의 극한
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a
    • \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, (0 < \|\vec{x} - \vec{p}\| < \delta \Rightarrow | f(x) - a | < \epsilon)
    • \Leftrightarrow \vec{x} \vec{p} 에 가까울수록, f(\vec{x}) a 에 가까운 값이다. (엄밀하지 않은 정의)
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} x = a
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} y = b
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} c = c (c는 상수)
      • \lim_{(x, y) \to (1, 2)} x + y = 3
    • 경로에 따라 일변수 극한값이 달라진다면, 그 함수는 극한이 존재하지 않는다.
  • 다변수 실함수의 연속
    • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속 \Leftrightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = f(\vec{p}) 에서 연속
    • f(\vec{x}) : 연속 \forall \vec{p}, f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
    • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} : \vec{p} 에서 연속 일 때
      • f(\vec{x}) + g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} : \vec{p} 에서 연속 (\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) \neq 0)
    • h(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f(\vec{p}) 에서 연속, f(\vec{x}) = \vec{p} 에서 연속 \Rightarrow h(f(\vec{x})) : \vec{p} 에서 연속

다변수 실함수식

  • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a, \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) = b  일 때
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) = a + b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) = a \cdot b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} = {a \over b} (b \neq 0)
    • h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{t \to a} h(t) = c \Rightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} h(f(\vec{x})) = c

데코수학/ 일변수벡터함수

개념

  • 일변수 벡터함수의 극한
    • 각 성분 함수들의 극한으로 정의
    • \lim_{t \to a} \vec{\gamma}(t) = (\lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{1}(t), \lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{2}(t), ... , \lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{n}(t))
  • 일변수 벡터함수의 연속
    • \vec{\gamma}(t) : b에서 연속 \Leftrightarrow  \lim_{t \to b} \vec{\gamma}(t) = \vec{\gamma}(b)
  • 일변수 벡터함수의 미분
    • {d \over dt} \vec{\gamma}(t) = \lim_{h \to 0} {\vec{\gamma}(t+h) - \vec{\gamma}(t) \over h}
  • 일변수 벡터함수의 적분
    • \int_{a}^{b} \vec{\gamma} dt = \vec{\alpha}(b) - \vec{\alpha}(a) ({d \over dt} \vec{\alpha}(t) = \vec{\gamma}(t))
  • \vec{\gamma} 의 극한, 연속, 미분, 적분 … 등은 \vec{\gamma} 의 성분 함수들의 극한, 연속, 미분, 적분 … 등을 따지는 것과 동일하다. (일변수 실함수와 동일)

데코수학/ 함수에 벡터가 들어가면 어떻게 될까?

개념

  • 일변수 실함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}
      • f(x) = x^{2}
      • f(x) = \sin x
      • f(t) = t^{3} - e^{t}
      • t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)
  • 일변수 벡터함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n이 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}
    • 파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
    • f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t),  ...  f_{n}(t))
    • 매개곡선이라고 부르기도 한다.
    • \vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)...  등으로 표기
      • \vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)
      • \vec{\beta}(t) = (t, t^{2})
      • \vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})
  • 다변수 실함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 m이 1인 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • 이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
    • f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  등으로 표기
      • f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
      • V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}
      • \phi (x, y) = x^{2} - y^{2}
      • f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}
  • 다변수 벡터함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}^{m}
    • 즉, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}),  f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))
    • 벡터장이라 부르기도 한다.
    • \vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
      • \vec{F}(x, y) = (x, -y)
      • \vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)
      • \vec{F}(x, y) = (2, 3)
      • \vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})
      • \vec{F}(x, y) = (-y, x)
      • \vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )
      • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)
        • M : m × n 행렬

러셀 서양철학사/ 플라톤의 영혼 불멸설

  • <파이돈>에 등장하는 소크라테스는 최고 현명하고 선하며 죽음을 조금도 두려워 하지 않는 플라톤의 이상적인 인간형.
  • 소크라테스는 철학자가 일상생활에서 추구하는 쾌락을 전부 피해야 한다고 하지 않고, 쾌락의 노예가 되지 말아야 한다고 주장할 따름이다.
    • 플라톤은 아마 주의를 기울이지 않았기 때문에 육체가 느끼는 쾌락만 쾌락이라는 견해를 묵인한 것으로 보인다. 이 부류에 포함된 도덕주의자들은 감각에 속한 쾌락을 추구하지 않는 사람은 쾌락을 전부 다 피해야만 유덕하게 살게 된다고 주장하였는데, 이 주장은 해로운 결과를 초래한 오류이다.
    • 정신과 신체가 분리되어 있다는 견해를 수용하게 되면 최선의 쾌락뿐만 아니라 최악의 쾌락, 예컨대 선망이나 여러 형태의 잔혹한 행위와 권력욕도 정신에 속할 것이다.
    • 밀턴의 <실낙원>에 등장한 악마는 육체의 고통을 초월해서 온전히 정신에 속한 쾌락을 얻기 위해 파괴 행동을 일삼으며, 유명한 여러 성직자는 감각에 속한 쾌락은 포기하지만 다른 쾌락을 경계하지 않아서 권력욕에 사로잡혔고 종교 박해를 저질렀다. 오늘날 히틀러도 그러한 유형에 속하는 인물인데, 그는 감각에 속한 쾌락을 아주 하찮게 여겼다.
  • 만물을 다 바꿀 수 있는 진짜 화폐는 지혜다
  • 진정한 철학자의 영혼은 사는 동안 육체의 속박에서 벗어나 해방감을 맛보고 죽은 다음에는 눈에 보이지 않는 세계로 떠나 신들과 더불어 천국의 기쁨을 누리려 할 것이다.

러셀 서양철학사/ 플라톤의 이상향

  • <국가>는 플라톤의 가장 중요한 대화편.
    • 이상 국가론에서 도출된 한 가지 결론은 통치자가 철학자가 되어야 한다는 주장.
  • <국가>의 명목상 목적은 ‘정의(justice)’라는 말을 ‘정의(definition)’ 내리는 것이다.
    • 그런데 첫 단계부터 모든 일은 소규모보다 대규모로 살펴보면 더 쉽게 이해할 수 있기 때문에 개인을 정의롭게 만드는 조건보다 국가를 정의롭게 만들기 위한 조건이 무엇인지 탐구하는 방법이 더 낫다고 결정한다.
    • 또 정의는 상상할 수 있는 최선의 국가가 지닌 속성 가운데 포함되어야 하기 때문에 우선 최선의 국가가 어떤 모습인지 묘사하고 나서 최선의 국가가 구비한 완벽한 특징들 가운데 어떤 특징을 ‘정의’라 부를지 결정하게 된다.
  • 플라톤은 시민을 평민/군인/수호자 계급으로 나누고 수호자 계급만 정치 권력을 갖도록 구상했다.
    • 수호자 계급은 보통 세습되지만 열등한 계급에 속한 장래성 있는 아이가 수호자 계급이 되기도 하고, 수호자 계급에 속한 아이나 젊은이가 수호자 자격을 충족하지 못하면 낮은 계급으로 내려가기도 한다.
    • 플라톤은 교육을 중시하는 한편 연극과 음악 등에 대해서는 검열을 주장함.
    • 경제에 대해서는 수호자 계급에 철저한 공산주의를 주장. 추가로 가족에 대해서도 공산주의를 적용함.
    • 이상 국가의 목적은 전체 국가의 선이지 한 계급의 행복이 아니다. 부와 가난은 둘 다 해롭기 때문에 플라톤의 이상 국가에는 어느 것도 존재하지 않는다.
    • 입법자는 여자와 남자를 일정한 수에 맞추어 수호자 계급으로 선출하여 공동 숙소에 살게 함.
    • 통치자들은 혈통이 가장 우수한 아비가 가장 많은 자식을 낳도록 조정할 수 있고 아이들은 출생하자마자 부모와 떨어져 대규모로 양육됨. 부모는 자식이 누구인지 모르고 자식도 부모가 누구인지 모른다.
  • 국가의 정의는 모든 사람이 각자 자기 몫을 하고 남의 일에 참견하지 않는데서 실현된다고 주장.
    • 국가는 상인 계급, 보조 계급, 수호자 계급이 각각 자기 몫을 하고 다른 계급의 일에 간섭하지 않으면 정의롭다.
  • 플라톤은 국가를 통해 무엇을 성취하려 하는가 하고 물으면 국가는 대체로 같은 인구를 가진 나라와 맞선 전쟁에서 승리함으로써 특정한 소수 사람들을 위한 생계를 보장하려 한다.
    • 플라톤의 국가에서는 엄격성으로 말미암아 분명히 에술작품을 창작하지도 학문을 체계적으로 확립하지도 못한다. 다른 점과 마찬가지로 이런 점에서도 스파르타와 유사하다.
  • 플라톤은 선 자체가 존재하며 선의 본성을 식별할 수 있다고 확신한다. 사람들이 선에 관해 의견이 일치하지 않을 때 적어도 한 사람은 지적인 오류를 범한 셈이며, 마치 사실의 문제에 관해서 일어나는 과학적 불일치인 양 취급한다.
  • 플라톤의 국가 건립은 공상에 그치거나 불가능한 일이 아니었다.
    • 실제 스파르타는 이상 국가에 필요한 여러 조건을 갖추고 있었고, 플라톤 추종자들의 무리가 스페인이나 갈리아의 해안가에 이상 국가를 실제로 건설할 수 있었을 수도 있었다.
    • 그러나 당시 전쟁 분위기와 함께 플라톤이 이상 국가를 실천해 보이려던 시도는 성공을 거두지 못했다.

러셀 서양철학사/ 이상 이론

  • 플라톤 철학에 영향을 많이 준 실재와 현상의 구분은 파르메니데스가 처음 철학 논의 속으로 들여왔다.
    • 파르메니데스의 글귀와 논증이 도처에 나타나는데, 실재에 관해 말할 때 풍기는 종교적 경향은 피타고라스의 논조를 띤다.
    • 파르메니데스의 논리가 내세나 오르페우스교와 결합하면서 지성과 종교적 정서를 둘 다 만족시키는 학설을 만들어 냈다. 그 결과 두 요소를 대단히 강하게 통합한 체계가 형성되고 갖가지 형태로 변모하면서 헤겔을 비롯한 후세의 철학자들에게 영향을 미쳤다.
  • 감각에 나타난 세계에 대해서는 의견을 갖게 될 뿐이지만, 초감각적인 영원한 세계(super-sensible eternal world)에 대해서는 지식을 얻는다는 결론에 이른다.
    • 의견은 아름다운 개별 사물과 관계하지만, 지식은 아름다움 자체와 관계한다.
    • 지식이 틀릴 수 없는 까닭은 논리적으로 오류가 될 수 없다. 반면 의견은 오류가 되기도 한다.
    • 철학자는 아름다운 사물만 사랑하는게 아니라 아름다움 자체를 사랑한다.
  • 한 사물이 아름다우면서 아름답지 않거나 정의로우면서 정의롭지 못하다는 생각이 자기모순에 빠진다고 해도 개별 사물들은 이런 모순된 특징을 지닌다. 그러므로 개별 사물들은 실재하지 않는다.
    • 헤라클레이토스의 주장과 파르메니데스의 주장을 결합하면 플라톤의 결론에 이른다.
  • 플라톤의 학설에는 선대 철학자들에게 돌릴 수 없는 아주 중요한 무엇 바로 ‘이상(ideas)’ 혹은 ‘형상(forms)’ 이론이 있다. 이상 이론의 일부는 논리 부문이고, 일부는 형이상학 부문이다.
    • 이상 이론의 일부는 논리 부문이고, 일부는 형이상학 부문이다. 논리 부문은 일반 명사의 의미와 연결된다.
    • 일반 명사 고양이라는 낱말은 개별 고양이가 태어날 때 태어나지 않으며, 개별 고양이가 죽을 때도 죽지 않는다. 보편 고양이는 공간과 시간을 차지하지 않는 ‘영원한’ 존재이기 때문이다.
    • 이상 이론의 형이상학 부문에 따르면 ‘고양이’라는 낱말은 이상적인 특정한 고양이, 그 고양이(the cat)을 의미하며, 신이 창조한 하나밖에 없는 존재이다. 개별 고양이들은 그 고양이의 본성을 분유하지만, 더하든 덜하든 불완전하게 분유한다.
    • 이런 불완전함 때문에 개별 고양이가 여러 마리 존재하게 된다. 이상적인 고양이는 실재하지만, 개별 고양이들은 현상(appearance)에 지나지 않는다.
  • 플라톤에게 철학은 일종의 통찰, 곧 ‘진리 통찰’이다.
    • 철학은 순수 지성의 활동만이 아니다. 철학은 지혜일 뿐만 아니라 지혜에 대한 사랑이기도 하며, 이러한 사유와 감정의 친밀한 합일은 스피노자가 말한 ‘신에 대한 지적 사랑’과 거의 같다.
  • 지성에 속하는 두 종류는 각각 ‘이성(reason)’과 ‘오성(understanding)’이라 부른다. 두 종류 지성 가운데 이성이 더 뛰어난 능력으로 순수 이상에 관계하며 변증법을 사용한다.
    • 오성은 수학에 쓰이는 지성 능력으로서 진위가 가려지지 않는 가설들을 사용한다는 점에서 이성보다 열등하다.
    • 수학은 존재하는 무엇에 대해 결코 말해주지 않으며, 그저 만약 어떠하다면 성립 가능한 것(what would be)을 말해줄 따름이다. 감각계에는 완벽한 직선들이 존재하지 않는다.
    • 그러므로 만약 수학에 가설적인 진리 이상의 무엇이 있다면, 초감각계에 초감각적인 직선들이 존재한다는 증거를 찾아야 한다. 오성으로는 이런 일을 하지 못하는데, 플라톤에 따르면 그것은 이성이 할 일이다.
    • 이성은 천상에 존재하는 직선으로 둘러싸인 삼각형을 알아보며, 그런 삼각형이 존재해야 비로소 기하학 명제들을 가설적인 명제가 아닌 정언 명제로서 긍정할 수 있다.
    • (러셀은 신이 침대를 하나만 만들었기 때문에 직선 또한 한 개만 만들었을 것이고, 그렇다면 삼각형은 현상이게 되므로 기하학 연구는 현상 연구의 일부일 수 밖에 없다고 플라톤을 까는데, 플라톤은 이 논점에 대해 모호하게 답변하고 넘어간다고 한다)
  • 플라톤 철학에서 선이 누리는 지위는 독특한데, 플라톤은 학문과 진리는 선과 유사하지만, 선이 더 높은 지위를 차지한다고 말한다.
    • 선은 본질이 아니지만, 위계와 권능의 측면에서 더 높은 지위를 차지한다고 말한다.