김영길/ 선형대수학/ Directional preference of covariance matrix for random process
Simulation Solutions
는 unitary
- Simulation Solutions
- orthogonal matrix
는 항상 diagonal 위에는 모두
이 나오는
를 선택할 수 있다.
는 causal operator가 된다.
Example 4.1
- Eigenvector들을 이용한 Covariance matrix의 Causal Factorization
- random vector
에 대하여
- Covariance matrix
가 되는 matrix
를 찾으면
는
를 통해 simulate 될 수 있다.
- Covariance matrix
를 구하는 방법
- By choosing
Brute Force Factorization
의 eigenvalue들은
의 spectrum이라 부른다.
의 orthonormaliity를 이용해서
Random Vectors의 Eigen-Representation
- simulation problem
- uncorrelated coefficients와 함께 알려진 벡터들의 random 선형 결합
의 representation를 Karhuenen-Loeve expansion의 finite-dimensional analog라고 한다.
Average Length Measures for Random Vectors
Directional Preference
- 길이가
인 벡터에 대하여
의 mean-squared length는 다음과 같다.
가 mean-zero real random vector라고 가정하면
의 rms length 는
의 directional preference 계산은
를
의 eigen-vector들을 선택해서 한다.
의 rms projection의 maximum과 minimum이 eigen-vector의 방향을 가리킨다.
를
의 eigen-vector들로 쓰면 다음과 같다.
는 unit vector
의 eigenvector column들은 orthonormal set
에 대해
- 이런 이유로 projection variance는
의 eigenvalue의 largest와 smallest 사이에 존재한다.