Simulation Solutions

• 
  • 
  • 는 unitary
  • 
• Simulation Solutions
  • 
• orthogonal matrix 는 항상 diagonal 위에는 모두 이 나오는 를 선택할 수 있다.
  • 는 causal operator가 된다.

Example 4.1

• Eigenvector들을 이용한 Covariance matrix의  Causal Factorization
• random vector 에 대하여
  • Covariance matrix
  • 가 되는 matrix 를 찾으면
  • 는 를 통해 simulate 될 수 있다.
• 를 구하는 방법
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • By choosing
  • 
  • 

Brute Force Factorization

• 
  
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
• 
  • 
  • 의 eigenvalue들은 의 spectrum이라 부른다.
• 
  • 
  • 의 orthonormaliity를 이용해서
  • 

Random Vectors의 Eigen-Representation

• simulation problem
  • 
  • 
• uncorrelated coefficients와 함께 알려진 벡터들의 random 선형 결합 의 representation를 Karhuenen-Loeve expansion의 finite-dimensional analog라고 한다.

Average Length Measures for Random Vectors

Directional Preference

• 길이가 인 벡터에 대하여
  
  • 의 mean-squared length는 다음과 같다.
  • 
    • 
  • 가 mean-zero real random vector라고 가정하면
    • 
    • 
    • 
  • 의 rms length 는
    • 
  • 의 directional preference 계산은 를 의 eigen-vector들을 선택해서 한다.
  • 
    • 
  • 
    • 
  • 의 rms projection의 maximum과 minimum이 eigen-vector의 방향을 가리킨다.
  • 를 의 eigen-vector들로 쓰면 다음과 같다.
    • 
    • 
  • 는 unit vector
  • 의 eigenvector column들은 orthonormal set
    • 
  • 
    • 
  • 에 대해
    • 
  • 이런 이유로 projection variance는 의 eigenvalue의 largest와 smallest 사이에 존재한다.

Covariance matrix

• 어떤 랜덤 vector의 covariance matrix 는 다음과 같다.
  • 
    • 는 평균벡터
    • 는 conjugate transpose로 켤레전치행렬이 된다. (복소수의 부호를 바꾸고 전치시킨 행렬)
  • 
  • 
  • 

Pseudo-correlation, Pseudo-covariance matrix

• Pseudo-correlation
  • 
• Pseudo-covariance
  • 
• 임의의 벡터 에 대하여
  • 
  • 이러한 성질에 때문에 Covariance matrix 는 non-negative definite라고 한다. 이는 correlation matrix 도 마찬가지다.
    • (non-negative definite은 positive semi definite(양의 준정부호)이라고도 한다)

Theorem

• Correlation function은 non-negative definite이다.
• 증명)
  • 
  • 
  • 
  • 

Linear transformation or random vectors

• 
  
  • 는 랜덤 벡터
• 
  • 는 랜덤 벡터
  • 는 선형변환 (행렬)
• 
  • 
• 
  • 
  • 
• 
  • 
• Thus,
  • 
  • 
    • 
    • 
  • 
    • 
• Centered output vector
  • 
  • 
• Covariance matrix
  • 
• Pseudo-covariance matrix
  • 

Simulation problem

• Real white random vector
  • 
• Complex white random vector
  • 
• Simulation block diagram (다이어그램 이미지 생략)
  • 
  • 
    • 
  • 
  • 
  • 

Covariance Matrix Structure and Factorization

• 
  • 는 eigenvalue, 는 eigenvector
• Hermitian matrix 의 Eigenvalue 는 항상 real이 된다.
  • 
  • 는 자기자신의 conjugate와 같다. conjugate 했는데 자기 자신이 된다는 것은 real이라는 뜻
• non-negative definite matrix 의 eigenvalue 는 항상 non-negative하다.
  • 만일 가 positive definite 하면 는 반드시 positive하다.
• Hermitian matrix 의 distinct한 eigenvalue들은 orthogonal하다.
  • 
  • 
    • 
  • 이므로
• 같은 eigenvalue를 갖는 eigenvector들의 집합은 linear space의 subspace가 된다.
  • 
  • 
• Hermitian matrix들은 항상 대각화 가능하다.

Unitary matrix

• 인 를 unitary matrix라 한다.
  
  • 
  • diagonal matrix 에 루트를 씌우면
    • 
  • 
• 의 다른 factorization도 가능하다.
  • 
  • 는 unitary matrix
• Simulation Solution
  • 

Def

• inner product space 의 nonempty subset 에 대하여, 의 orthogonal complement(직교 여공간)는 다음과 같이 정의한다.
  • 
  • 란 의 벡터 중에 의 모든 벡터들과 orthogonal한 것을 모아 놓은 집합
• Ex 9)
  • 일 때
    • xy plane 

Thm 6.7

• 일 때
  
  • 
• Ex 11)
  • 에서
    • 이면
    • 
    • 
    • 
• Ex 12)
  • (Null space of ) = row space of
    • 의 널공간은 의 모든 row와 수직인 것을 모아 놓은 것이 된다. 
  • (Null space of ) = column space of
    • 이것을 Left Null Space라고도 한다.

LU decomposition

• 정사각행렬 에 대하여
  • 만일 row exchange를 하지 않고 를 만들 수 있으면 
  • 
    • 는 lower triangular matrix
    • 는 upper triangular matrix
• (예시 생략)

Least square solution (최소제곱해)

• overdetermined problems의 least square solution
  • 의 꼴에서 를 구할 수 없을 때
    • 
    • 위와 같은 경우 해가 없다. (Inconsistent system)
  • 이럴 때는 에 최대한 가깝게 를 조정한다.
    • 
  • 이때 와 가장 가까워지는 는 (error vector – 와의 간격이 error값이 된다) 의 모든 벡터와 수직인 값이 된다. (거꾸로 말하면 의 모든 벡터와 수직이 되는 값을 찾으면 된다.)
    • 

Orthogonality principle

• 앞서 살펴본 경우의 와 수직인 벡터를 찾는 방법
• 
  
  • 
  • 
  • 
• 가 full rank일 때
  • 
  • 의 Moore Penrose pseudo-inverse는 가 된다.
• 의 column space로 향하는 의 Projection
  • 
• Projection matrix
  • 
  • 
    • 는 Projection 되었기 때문에 제곱해도 변하지 않는다. 

Ex. Measurements

• 다음과 같이 점이 주어졌을 때
  • 
  • 
  • 
• 가 되는 line을 찾으려고 한다. (error를 최소화하는 직선을 찾는 문제. 제곱은 결국 거리기 때문에 거리를 최소화한다는 의미에서 최소제곱을 찾는 문제이다)
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 

Unitary matrix

• Unitary matrix란 Rows도 orthonormal이고 Columns도 orthonormal한 matrix를 말한다.
  • 
  • 

Matrix in random processes

• Random vectors의 Second-Moment Descriptions
  • Random vector
• Mean vector
  • 
• Correlation matrix
  • 
  • 
  • 
  • 

Inner product space

(지난 강의 설명 생략)

• 일 때, 의 inner product는 다음과 같다.
  • 
  • (뒤에 곱해주는 벡터는 복소수 앞의 부호가 반전 됨을 주의(켤레). 벡터가 에 속할 때는 복소수가 없기 때문에 그냥 곱해줬던 것)
• Ex 3)
  • 
    • (사이의 연속 함수들의 집합일 때)
    • 

Def. Conjugate transpose

• 일 때  의 Conjugate transpose는 라 한다.
• Conjugate transpose는 책마다 adjoint 라고도 하고 Hermitian이라고도 한다. (다 동일한 개념) 각각 기호는 다음과 같다.
  • 
• Conjugate transpose는 대각선 위치에 있는 원소들은 켤레 복소수로 만들고, 그 밖의 원소들은 켤레 복소수로 만들면서 위치를 tranpose 해준다.
  • 

Def. Norm of x

• inner product 가 있는 vector space를 inner product space라 한다.
• Norm은 inner product가 있으면 자동적으로 파생된다.
• 벡터 의 norm은 다음과 같이 정의된다.
  • 
    • (자기 자신을 내적한 후에 루트를 씌운 것)
• Ex 6)
  • 일 때
    • 

Thm 6.2

• 
• 인 경우는 인 경우 밖에 없다.
  • 

inequality

• Cauchy-Schwartz inequality
  • 
  • (두 벡터의 내적의 절대값이 각각의 norm의 곱보다 작다)
• Triangular inequality (삼각 부등식)
  • 
  • (두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이 보다 항상 크다)

Def. orthogonal, orthonormal, nomalization

• 의 내적이 0이면 orthogonal이라고 한다. (일반적으로 두 벡터가 수직이다라고 표현하는 개념)
  
  • 
• 벡터들의 집합 에 대해, 집합 내 벡터들 간의 내적이 orthogonal 할 때, 집합 는 orthogonal 하다고 한다.
• 벡터 의 norm이 1일 때 를 unit vector라고 한다.
  • 
• 벡터들의 집합 에 대해 집합이 orthogonal하고 집합 내 모든 벡터가 unit vector일 때 orthonormal이라고 한다.
  • 
  • 
    • (자기 자신과의 내적한 것이 1이고 (=norm), 다른 벡터와 내적은 0)
  • 이때 를 Kronecker delta function이라 한다.
• 벡터 의 normalization이란 방향은 같지만 크기가 인 벡터를 의미한다.
  • 
  • 
• (계산 예제 생략 – 교재 참조)

6.2 Gram-Schmit orthonormalization

• 에서 표준기저 는 orthonormal basis가 된다.
• 는 에서 orthonormal basis가 된다.
• Ex 3)
  • 가 orthonormal set이고
    • 
  • 일때
  • 를 기저의 선형 결합으로 표현하고자 한다면
    • 
  • 이때의 계수는 어떻게 구할 수 있는가
    • 
  • projection을 구하면 된다.
    • 
    • 
      • 양변에 을 대입하면 끼리 곱하면 이 되므로 만 남고 orthonormal이므로 의 내적은 모두 0이 된다. 고로 만 남게 된다.
    • 
    • 같은 식으로 에 대해서도 계산해 주면 된다.

Gram-Schmidt Process

• inner product space의 선형독립인 부분집합 에서 orthonormal하고 인 부분집합 를 찾는 절차 
  1. 을 normalize한다
     • 
  2. 에서 과 평행한 성분을 제거해서 와 수직인 성분만 남겨서 과 orthogonal한 를 구한다.
     • 
       • 을 하면 에서 과 평행한 성분이 나온다.
       • 그 것을 에서 빼주면 결국 에서 과 의 수직인 성분만 남는다.
  3. 는 과 수직이지만 길이가 이 아니기 때문에 normalize해서 를 만든다.
     • 
     • (이런 과정이 성립할 수 있는 이유는 애초에 이 선형독립이었기 때문)
• 위와 같은 것을 에서 찾는 방법 (벡터가 2개일 때와 개념은 동일하다) 
  1. 
  2. 
  3. 
  4. 
  5. 
• 절차
  1. 먼저 벡터 하나를 normalize 해서 orthonormal한 벡터를 만들고,
  2. normalize된 벡터를 이용해서 다음 벡터에서 처음 벡터와 평행한 성분을 제거하고
     • normalize된 벡터와 현재 벡터 사이의 내적에 다시 normalize된 벡터를 곱해서 뺀다
  3. 제거한 벡터를 normalize해서 다음 orthonormal 벡터를 만들고
  4. 모든 벡터에 대해 orthonormal 벡터를 찾을 때까지 2-3 반복
• (Gram-Schmdit Process 예제 생략 – 교재 참조)

(대각화 가능 판별 예제 생략 – 교재 참조)

(행렬의 n승을 구하는 예제 생략 – eigenvalue, eigenvector를 이용해서 대각화하면 계산 된다)

System of differential equations

• 주어진 연립 미분 방정식이 다음과 같을 때, 해를 구하는 방법
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
    • 에서 파생 는 Diagonal matrix
  • 
  • 
  • 
    • 로 치환
  • 
  • 
  • 
• 각 함수는 독립적 (system is decoupled)
  • 
  • 
  • 
  • 했던 것을 되돌려준다.
  • 
• eigenvalue, eigenvector를 이용해서 system을 decoupling 시킨 후에 decoupling된 1차 미분 방정식을 풀고 다시 coupling된 상태로 만들어주면 된다. 이렇게 연립 미분 방정식을 풀 수 있다.

Thm 5.23 Cayley-Hamilton theorem

• 선형변환 에 대하여
  • 가 의 특성 방정식이고
  • 일 때
  • 
• Ex 7)
  • 
    • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 의 특성 방정식은
    • 
  • Cayley-Hamilton 정리에 의해
    • 
• 에 대해
  • 의 특성 방정식은
    • 
    • 
    • 

Inner product space

Inner product and norm

• Ex 1)
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 

Corollary

• 개의 차원을 가진 선형변환 에 대하여
  • 만일 가 개의 distinct eigenvalue를 갖고 있다면, 는 대각화가능하다.
  • eigenvector를 볼 필요도 없다.
• Ex 1)
  • 
  • 
  • 는 의 특성다항식이므로 eigenvalue는 이 된다. 
  • 는 행렬이었기 때문에, 는 대각화 가능하다.

Thm 5.5의 역은 성립하지 않는다.

• 가 대각화 가능하다 개의 distinct eigenvalues
• Ex)
  • 
  • 이때 의 eigenvalue는 1개 뿐이다.
    • 
  • 하지만 는 항상 대각화가능하다.

Split

• Split이란 주어진 다항식을 1차 다항식으로 쪼개는 것을 말한다.
• 이 되므로 는 에서 split 가능하다.
• 는 에서 split 가능하지 않지만 에서는 split 가능하다.
  • 
• 개의 distinct eigenvalue가 있으면 대각화 가능하고 는 에서 split 가능하다.
  • 하지만 일반적으로 역은 성립하지 않는다.
• 결국 특성다항식에 중근이 생길 때는 대각화 가능 한지 판단이 어렵다. 즉 중근이 있을 때 대각화가능한지 판별하려면 eigenvector를 모두 구해보는 방법 밖에 없다.

(Ex 2. 생략 – 행렬이 대각화 가능한지 판별하는 문제 – 교재로 대체)

• 중근이 되는 eigenvalue의 경우에 몇 개의 eigenvector를 구할 수 있는가?
  • Algebraic multiplicity(대수적 중복도) 만큼의 eigenvector만 나오면 대각화 가능

Def

• 선형변환 에 대하여
  
  • 가 의 eigenvalue일 때
  • Eigenspace는 에 상응한다.
    • 
    • 는 Eigenspace를 의미한다
    • Eigenspace는 가 되는 를 모아 놓은 집합
    • 의 널공간이 Eigenspace가 된다.
    • Eigenvector는 결국 Eigenspace의 기저이다.

Thm 5.7

• 선형변환 에 대하여
  
  • 가 대수적 중복도 을 갖는 선형변환 의 eigenvalue일 때
    • 
    • Eigenspace의 차원(=Eigenvector의 개수)은 과 사이에 존재한다.
    • 이때 는 의 geometric multiplicity(기하적 중복도)라고 한다
    • geometric multiplicity가 algebraic multiplicity와 같으면 행렬은 대각화 가능하다. geometric multiplicity가 algebraic multiplicity보다 작으면 대각화 불가능

(algebraic multiplicity와 geometric multiplicity를 이용해서 행렬의 대각화 가능 판별 여부 구하는 예제 생략 – 교재 참조)

의 대각화가능 조건

• 가 에서 split 가능해야 하고
• 모든 에 대해 가 algebraic multiplicity이고 geometric multiplicity 일 때 
• 는 대각화 가능하다.

(예제 생략 – 교재 참조)

Thm 5.3

• 일 때
  
  • 의 특성 다항식은 최고차항의 계수가 인 차 다항식이다.
  • 는 최대 개의 서로 다른 eigenvalue를 갖는다.
    • (차이기 때문. 아예 없을 수도 있다.)

Thm 5.4

• 가 선형변환 의 eigenvector이고 가 eigenvalue일 때
  
  • 이고 이다.
    • (는 널공간)
• 증명)
  • 
  • 
  • 
• (eigenvalue를 이용해서 eigenvector를 구하는 예제 생략)
• 이므로 을 이용하여 eigenvector를 구한다.
• 가 eigenvector의 a basis consisting이라 할 때 를 의 컬럼으로 쓰면 
  • 
  • Ex)
    • 
    • 

Decoupling by eigen-decomposition

• 
• 
• 1st 컴포넌트의 output은 오로지 1st 컴포넌트의 input에 의해 결정된다.
  • (eigenvalue와 eigenvector를 이용하면 임의의 시스템을 decoupling 할 수 있다는 것)
• (선형변환에서 eigenvalue가 주어졌을 때, eigenvector 구하는 예제 생략)

Diagonalizability

• Thm 5.1에서 가 diagonalizable () 
  • 의 eigenvector의 ordered basis consisting가 존재한다. 
  • (가 대각화 가능하다는 것은 decoupling 가능하다는 것이 된다)
• Question)
  • eigenvector들을 찾았는데 이것이 basis가 되는가? 즉, 개를 찾았는가? 찾은 eigenvector들은 선형독립인가?

Thm 5.5

• 선형변환 에 대하여
  • 가 의 distinct eigenvalue일 때
  • 가 의 eigenvector이면, 는 선형독립이다.
    • 는 와 correspond ()
• 증명)
  • 을 가정하고
  • 이 이고 eigenvector일 때 는 선형독립
  • Thm 5.5가 개의 distinct eigenvalue에 대해 성립한다고 가정
    • 이라고 가정
  • 를 양변에 적용
    • 
    • 
  • Induction hypothesis에 의해
    • 
    • 가 distinct이므로
    • 
    • 따라서 , 는 nonzero vector,
    • 그러므로 독립이다.
• (차원 선형변환 에서 개의 eigenvalue가 존재하고 서로 다르면 그때의 eigenvector끼리는 선형독립이 보장되고 선형변환 는 대각화 가능. 의 eigenvalue가 개가 안되면 복잡하다고 함)

Diagonal

• 행렬 가 Diagonal 하면
  
  • 
• 역으로 순서기저 가 를 만족시키면
  • 

EigenVector, EigenValue

• 선형변환 에 대하여 
  • 영이 아닌 벡터 가 를 만족할 때 
    • 를 eigenvalue라고 하고 를 eigenvector라 한다.
• 행렬에서는 일 때, 를 의 eigenvector라 한다. (eigenvector of )

Thm 5.1

• 선형변환 에대하여
  • 의 eigenvector들로 이루어진 순서기저 를 만들 수 있으면 는 대각화가능이라고 한다.
  • (eigenvector로 를 span하고 선형독립)
• 가 대각화가능이고, 대각행렬 가 일 때 
  • 는 eigenvalue가 된다.
• (예제1 생략  – 교재 참조)
• (예제2 생략 – 교재 참조 – 90도 회전하는 선형변환에서는 eigenvector와 eigenvalue가 없다)

Thm 5.2

• 일 때
  
  • 가 A의 eigenvalue이면 
    • 
• 증명)
  • 가 의 eigenvalue이므로
    • 
    • 
    • 는 not invertible
    • 
• 정의)
  • 일 때
    • 는 A의 characteristic polynomial(특성 다항식)이라 한다.
  • Ex)
    • 
    • 
    • 
    • eigenvalue는
    • (eigenvalue는 위와 같이 계산할 수 있기 때문에 구하기 쉽다)

Similar matrices는 항상 같은 특성 다항식을 갖는다 ()

• 증명)
  • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • similar matrices의 경우에 eigenvalue는 같지만, eigenvector는 같지 않다.

정의

• 선형변환 에 대하여, 가 순서기저일 때
  • 의 특성 다항식 는 
    • 
  • 순서기저 가 무엇이든간에 characteristic polynomial은 변하지 않는다.
• 선형변환 의 eigenvalue 는 행렬 의 와 같다.
  • (가 무엇이든 는 동일하다)
• 선형변환 의 특성 다항식은 라고 쓰기도 한다.
• (예제 생략 – 교재 참조)

Type 2 operation

• 행렬 가 행렬 의 어떤 행에 non-zero인 를 곱해준 행렬이라고 할 때
  • 
  • (Type 2 연산을 한 경우 곱해준 상수만큼 det가 변한다)
• 
  • (행렬에 상수를 곱해준 결과의 determinant는 행렬의 det에 을 곱한 것과 같다. row가 개 이기 때문)

Determinant of upper triangular matrix

• 일 때
  
  • 이것은 대각 원소들의 곱이면서 pivot들의 곱과 같다.
• (계산하는 예제 생략 – upper triangular matrix로 변환하면서 type1 연산을 1회 해줬기 때문에 최종 det값에 -를 곱해주는 것에 주의)
• (cofactor보다 row operation이 determinant를 구하는게 훨씬 쉽다)

4.3 Properties of determinant

• 인 경우
  
  • 단위 행렬의 row exchange matrix이므로
  • (Type 1 연산을 하면 det에 이 곱해진다.)
• 인 경우
  • 단위 행렬에 한 행에 를 곱해준 matrix이므로
  • (Type 2 연산을 하면 det에 가 곱해진다.)
• 인 경우
  • 단위 행렬의 한 행을 곱해서 다른 행에 더해준 matrix이므로
  • (Type 3 연산은 det에 변화가 없다.)

Thm 4.7

• 행렬 일 때
  
  • 이면 (full rank일 때)
  • 
  • 는 elementary matrix들의 곱이 된다.
    • (elementary matrixs는 단위행렬에 elementary row operation을 1회 적용해 준 행렬)
  • 는 nonsingular
    • (nonsingular란 정칙행렬 또는 가역행렬. 가 정칙행렬이면 가 성립한다.)
  • 
  • 
  • 

Thm 4.9 Cramer’s rule

• 일 때
  
  • 이면
  • 
  • 는 의 -th column을 로 치환한 행렬
• Ex 1) 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • (Cramer’s rule은 제약조건도 많고, determinant를 구하는 것도 번거롭고 나눗셈도 해줘야 하기 때문에 유용하지는 않음)

matrix

• 의 의미는 평행 6면체의 부피가 된다.
  
  • 
  • 
  • 
  • 

Diagonalization (대각화)

• Question 1
  • 선형변환 가 있을 때 를 대각행렬로 만드는 순서기저 를 찾을 수 있는가?
  • (대각행렬이란 정사각행렬에서 주대각선을 제외한 나머지 원소가 모두 0인 행렬)
• Question 2
  • 그러한 기저를 찾을 수 있다면 어떻게 찾을 수 있는가?
• (위 조건의 순서기저를 찾을 수 있다면, 그 순서기저를 eigen-basis라 한다)

• 
• 
  • (가 된다는 것은 input을 넣어도 방향이 바뀌지 않는다는 것.)
  • (이때의 가 eigen-vector가 되고, 이때의 가 eigen-value가 된다. 그리고 이 eigen-vector들을 모은 는 eigen-basis가 된다.)

5.1 Eigenvalues and Eigenvector

• 일 때,
  • 가 대각행렬이 되게 하는 순서기저 가 존재하면 가 대각화가 가능하다고 한다.
  • (가 되는 non-zero vector 가 개 만큼 존재해야 한다.)

Thm 3.9

• 가 의 해 집합일 때
  
  • 는 의 해 집합이라고 정의
  • 
  • 는 의 해 중 하나
  • (non-homogeneous 방정식을 푸는 방법은 homogeneous 방정식을 먼저 풀고, non-homogeneous의 particular solution을 더해줌으로써 구한다)
• Ex 3)
  • 일 때
  • (반드시 solution이 존재한다)
    • 
  • homogeneous solution은
    • 
  • particular solution을 구하기 위해 free variable에 0을 대입한다.
    • 
    • 
  • 결과 (homogeneous에 non-homogeneous 해를 1개 더해준 값)
    • 
  • (homogeneous의 해가 원점을 지나는 직선이라고 할 때, non-homogeneous의 해는 원점을 지나지 않는 직선이라고 할 수 있다)

4.1 Determinants of order 2

• 행렬 일 때
  • 
    • (행렬의 경우 절댓값 기호를 씌우면 det를 의미하고, 집합에 절댓값 기호를 씌우면 집합의 원소의 개수를 의미한다.)
  • 
• 따라서 는 nonlinear transform이 된다.
  • 

Orientation

• 를 의 순서기저라고 할 때, 의 Orientation은 다음과 같다.
  • 
  • (orientation은 결국 자기 자신의 절댓값으로 나눈 것이기 때문에 또는 이 나올 수 밖에 없다. 기저이기 때문에 분모는 이 아님)
• Ex)
  • 일 때
    • 
    • 
    • 
• orientation 의미는 결국 right-hand system을 만족하느냐를 따지는 것. orientation이 이면 반시계방향으로 회전하고, 이면 시계방향으로 회전한다.
• 임의의 두 벡터 는 평행사변형을 만든다.
  • 이때 를 row로 구성된 행렬의 det의 절댓값은 위 평행사변형의 넓이가 된다.
  • 만일 가 dependent하면 area는 이 된다. (두 벡터의 방향이 같으므로 넓이가 만들어지지 않는다)

Area function (면적 함수)

• 는 벡터 로 만들어 내는 면적이 된다.
  • 또는
  • 
  • 
• Ex)
  • 일 때
    • 
    • 벡터 에서 벡터 는 시계방향으로 180도 이하 각도가 되기 때문에 orientation은 이 된다.

Determinants of order n

• 일 때
  
  • Submatrix  
  • Submatrix란 행렬의 원소 에 대해 행과 열을 제외한 나머지 원소들의 행렬이 된다.
• Def.  
  • 만일  
  • (위 식의 정의는 그 자체가 recursive이다. 재귀이기 때문에 탈출문이 필요한데, 맨 마지막에 이 될 때 자기 자신을 return 함으로써 식을 종료한다) 

Cofactor

• 특별히 는 의 cofactor라 한다.
• 행렬 의 1행을 따라 cofactor을 expansion하면 다음과 같다.
  • 
  • ( 행렬의 det는 cofactor expansion을 통해 구할 수 있다.)
• Ex)
  • 일 때
  • 

Corollary

• 에 대하여
  
  1. 의 행 (또는 열)이 모두 0이면 
  2. 의 2개의 행 (또는 열)이 같다면 (full rank가 아니므로)

Thm 4.5

• 행렬 가 행렬 의 행을 변환해서 만든 것이라면 (type 1)
  • 

Thm 4.6

• 행렬의 한 행에 scalar곱을 해서 다른 행에 더해도 (type 3 operation) det는 변하지 않는다.
  • (행렬을 사다리꼴로 만들면 그 행렬의 det는 pivot들의 곱이 된다. cofactor expansion 보다 간편하다)