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러셀 서양철학사/ 플로티노스

  • 플로티노스는 신플라톤 철학의 창시자로 최후의 위대한 고대 철학자였음.
  • 역사적 측면에서 플로티노스는 중세기와 가톨릭 신학의 그리스도교를 형성하는데 영향을 미친 중요한 인물.
  • 플로티노스는 중요한 철학 체계 이론을 내 놓음.
    • 플로티노스가 유물론에 반대하며 펼친 논증은 훌륭하며, 영혼과 육체의 관계에 대한 온전한 개념은 플라톤이나 아리스토텔레스보다 훨씬 명로함.
  • 플라티노스는 스피노자처럼 도덕적 순수와 고결함을 갖춘 인물이었음.
  • 플라티노스의 형이상학은 일자(the one), 정신(spirit), 영혼(soul)의 성 삼위일체에서 시작함.
    • 이 세가지는 그리스도교 삼위일체와 달리 동등하지 않음. 일자가 최고 자리에 존재하고 그 다음이 정신, 그 다음이 영혼이 된다.
  • 일자는 그림자가 여러 개 생기는 조금 어렴풋한 개념인데, 일자는 때로는 신(god)이라 부르고 때로는 선 자체(the good)라 부른다.
    • 일자는 일자에서 비롯되는 최초의 필연적 결과인 존재(being)를 초월한다.
    • 일자는 생성이 없어도 현존할 수 있다. ‘일자는 아무데도 없지만 어디에나 있다.’
    • 일자는 때로 선 자체라 말하지만 선이나 미에 앞선다고 말하기도 한다.
  • 정신은 일자와 꼭 닮은 모습이라 한다. 정신은 일자가 자신을 탐색하는 과정에서 통찰력을 갖게 되기 때문에 발생하며, 이렇게 보는 활동이 정신이다.
    • 신성을 소유하고 신성의 감동을 받을 때 우리는 정신 뿐만 아니라 일자도 보게 된다.
  • 영혼은 정신보다 열등하기는 하지만 살아 있는 모든 것의 조물주이다. 영혼은 태양과 달과 별들을 비롯한 눈에 보이는 전 세계를 만들었다.
    • 영혼은 신의 지성에서 생겨난 자식이며, 두 가지 면이 있다.
    • 한 면은 정신에 열중한 내적인 영혼이고 다른 면은 외부로 향해 있는 영혼이다.
    • 외부로 향한 영혼은 하향운동과 결합되며, 하향운동 속에서 영혼은 자신의 모상을 만들어내는데, 이렇게 생겨난 것이 바로 자연이자 감각의 세계이다.
    • 스토아 학파는 자연과 신을 동일시 했지만, 플로티노스는 자연을 제일 낮은 영역, 정신을 우러러 보는 활동을 잊은 영혼에서 흘러나온 영역으로 생각 했다.
  • 플로티노스는 그리스인의 관점에서는 끝이고 그리스도교 세계의 관점에서는 시작이었다.

러셀 서양철학사/ 로마 제국의 문화

  • 로마 제국이 문화사에 영향을 미친 역할
    • 로마가 헬레니즘 사상에 미친 직접적인 영향. 이 영향은 별로 중요하지 않고 깊숙이 파고들지도 못함.
    • 그리스와 동방 세계가 로마 제국의 절반을 차지한 서방 지역에 미친 영향. 이 영향은 그리스도교를 포함했기 때문에 깊고도 지속적임.
    • 문화를 널리 보급하고 사람들이 단일 정치와 결합된 단일 문명이라는 생각에 익숙해지도록 기여한 로마의 오랜 평화기
    • 헬레니즘 문명을 이슬람교도들에게 전하고 서유럽에 전달한 역할.
  • (로마의 흥망성쇠 내용 생략)
  • 로마가 그리스 사상에 미친 직접적인 영향
    • 비범한 몇 인물을 제외하면 로마는 대부분 제국의 그리스어권 지역에 어두운 그림자를 드리움. 사상과 예술은 똑같이 쇠퇴함.
  • 그리스와 동방 세계가 로마에 미친 영향
    • 로마가 그리스와 처음 접촉할 때는 그리스가 훨씬 문명화된 상태. 로마가 나았던 점은 군사 전략과 사회 결속 뿐이었음.
    • 로마는 문화의 측면에서 보면 그리스에 기생하는 신세였음. 도로를 닦고, 법전을 편찬하고 군대를 육성했으나 나머지는 그리스에 의지함.
    • 그리스가 서로마 제국의 문화에 미친 영향은 서기 3세기 이후 약화 됨.
    • 반대로 그리스 이외의 나라에서 들어온 종교와 미신은 당시 서로마에서 확고한 지배력을 장악함.
  • 정치와 문화의 통일
    • 그리스의 전성기에 이룩한 업적이 사라지지 않을 수 있었던 공로는 알렉산드로스 대왕과 로마 때문.
    • 문명이 미치는 영역을 확장하는 과정에서 로마는 중요한 역할을 함. 이탈리아 북부, 스페인, 프랑스, 독일 서부 지역은 로마에 정복당함으로써 문명화 됨.
  • 헬레니즘의 매개자 이슬람교도
    • 이슬람인들은 시리아, 이집트, 북아프리카와 스페인까지 정복하였는데, 초기를 제외하면 종교생활을 열성적이지는 않았음. 그리스도교나 유대인들이 공물만 바치면 괴롭히지 않음.
    • 이슬람 지식인들은 그리스어 저술가들의 작품을 번역해 읽었으며, 주석서를 내기도 함.
    • 아리스토텔레스에 대한 세간의 평판은 주로 아랍 지식인들에서 비롯됨.
    • Algebra, Alcohol, Alchemy, Alkali 등의 용어가 아랍어에서 파생 됨.
    • 대수는 알렉산드리아의 그리스인들이 고안했지만, 이슬람교도들이 한층 더 확장시켰음.
    • 철학 분야에서 아랍인들은 독창적이지는 않았지만 훌륭한 주석가였음.
    • 동로마 제국에서만 명맥을 유지하던 그리스 전통의 일부분이나마 직접 계승한 자들은 그리스도교가 아니라 아랍인들이었음.
    • 스페인에서 이슬람교도들과 접촉하고, 시칠리아에서 접촉을 하면서 서유럽에서도 아리스토텔레스의 존재를 알게 되고, 아라비아 숫자와 대수와 화학도 알게 됨.
    • 이러한 접촉을 통해 11세기 지식의 부흥이 시작되어 스콜라 철학에 이르렀음.
    • 유럽 사람들이 그리스어를 배워서 플라톤과 아리스토텔레스와 고대 그리스의 다른 작가들의 원전에 직접 다가가게 된 것은 13세기 이후

러셀 서양철학사/ 스토아 철학

  • 스토아 철학의 창시자인 제논은 유물론자로서 주로 키니코스 학파의 철학과 헤라클레이토스의 철학을 결합한 학설을 내놓았다.
    • 그러나 스토아 학파는 점차 플라톤 철학과 혼합되면서 유물론을 포기하고 종국에는 유물론의 흔적이 거의 사라져 조금 밖에 남지 않았다.
  • 스토아 철학은 어떤 학파의 철학보다 그리스 색채가 적게 나타난다.
    • 초기 스토아 철학자들은 대부분 시리아 사람들이고, 후기 스토아 철학자들은 대부분 로마 사람들이었다.
  • 소크라테스는 스토아 학파의 역사가 이어지는 처음부터 끝까지 으뜸가는 성인이었다.
    • 재판을 받을 때의 당당한 태도, 탈출 권고를 거절한 일, 죽음과 마주하여 보여준 침착한 태도, 불의를 행하는 자가 불의를 당하는 자보다 더 자신을 해치게 된다는 주장은 모두 스토아 학파의 철학과 완벽하게 일치했다.
  • 그러나 스토아 학파는 플라톤의 이상 이론은 결코 받아들이지 않았으며, 스토아 철학자들은 대부분 플라톤의 영혼 불멸 논증을 거부했다.
    • 다만 후기 스토아 철학자들이 영혼을 비물질적인 존재로 생각한 점에서 플라톤을 추종했을 뿐, 초기 스토아 철학자들은 영혼이 물질적인 불로 이루어져 있다는 헤라클레이토스의 견해에 동조했다.
  • 제논은 형이상학의 미묘하고 세밀한 요소를 참아낼 끈기가 없었다. 그는 덕을 가장 중요한 것으로 생각하여 자연학과 형이상학의 가치도 덕에 기여할 경우에만 인정했다.
    • 그는 상식을 수단으로 삼아 당시의 형이상학적 경향에 대항해 싸우려 했는데, 그리스에서 상식은 유물론을 의미했다. 그는 감각 능력의 신뢰성에 흠집을 내는 의심들을 성가시고 귀찮아 정반대 학설을 극단까지 밀고 나갔다.
  • 스토아 학파에서 처음부터 끝까지 변치 않은 주요 학설은 우주에 관한 결정론과 인간의 자유에 관한 것이다.
    • 제논은 우연이란 존재하지 않으며, 자연의 경로는 자연 법칙에 따라 고정되어 있다고 믿었다.
  • 대부분 스토아 철학자들에 따르면 우주의 대화재는 그리스도교 교리에 나타나는 세상의 멸망과 같은 최후의 종말이 아니라 한 주기의 마지막 단계일 따름이다. 전체 과정은 주기적으로 끝없이 되풀이 된다.
  • 스토아 학파에서 자연의 행로는 18세기 신학에서 주장하듯이 자비로운 섭리라 부르는 입법자가 정해 놓은 것이다.
    • 아주 사소한 세부에 이르기까지 전부가 자연을 수단으로 특정한 목적을 달성하기 위해 마련되었다.
    • 이러한 목적들은 신이나 악마와 관련되지 않는 한, 인간의 삶 속에서 찾아내야 한다.
    • 신은 세계와 분리되어 있지 않다. 신은 세계영혼(soul of the world)이기에 우리 각자가 신성한 불의 일부를 품고 있다.
    • 만물은 자연이라 부르는 단 한 체계를 이루는 부분들이다.
    • 개인의 삶은 자연과 조화를 이룰 때 선한 삶이 된다.
    • 어떤 점에서는 어느 삶이나 다 자연의 법칙에 따라 자연과 조화를 이룬다. 그러나 또 다른 점에서 인간의 삶은 개인의 의지가 자연의 목적으로 향하는 경우에만 자연과 조화를 이룬다.
    • 덕은 자연과 일치하는 의지 속에 존재한다.
    • 개인의 삶 속에서 유일한 선은 덕이다. 건강, 행복, 재산 같은 것들은 결코 선하지 않다.
  • 스토아 학파의 덕 개념에 포함된 냉담의 요소가 어울린다. 나쁜 감정 뿐만 아니라 모든 감정을 비난한다. 현자는 동정심을 느끼지 않는다.
    • 아내와 자식이 죽더라도 현자는 처자의 죽음이 자신의 덕에 방해가 되지 않는다고 생각하기 때문에 그다지 괴로워하지도 않는다.
    • 스토아 학파는 보편적 사랑을 원리로서 가르쳤다.
  • (이후 스토아 철학의 계승자들 내용 생략)
  • 스토아 철학의 2가지 모순
    • 자유의지에 대한 모순
      • 우주에서 일어나는 모든 사건은 앞선 원인들의 결과이고, 개인의 의지는 완벽하게 자율성을 갖는다는 모순이 존재
    • 의지는 자율성을 지니며 덕을 갖춘 의미만이 선하기 때문에 어떤 사람도 남에게 좋은 일을 하지도 못하고 남을 해치지도 못한다. 그러므로 자비란 환상에 지나지 않는다.
  • 스토아 철학자들은 인식론과 자연법, 자연권 학설에 영향을 미침
    • 스토아 철학자들은 플라톤을 무시하고 인식론에 지각을 받아 들임. 그들은 감각의 속임수를 실제로 거짓 판단이라고 주장하고 조금만 주의를 기울이면 피할 수 있다고 주장
  • 스토아 철학자들은 지성의 빛에 따라 명백한, 만인이 인정하는 어떤 원리들이 존재한다고 주장.
    • 이 원리들은 연역법의 기초 명제로 쓰일 가능성이 있었다.
    • 생득 관념들도 비슷하게 정의의 출발점으로 사용되었는데, 이러한 관점을 중세 내내 받아들였고 심지어 데카르트 조차 받아들였다.
  • 16-18세기 자연권 학설은 스토아 학파의 학설을 부활시킨 결과였으나 중요한 수정을 거침. 스토아 철학자들이 자연법과 만민법을 구분.
    • 자연법은 일반적인 모든 지식의 기초를 이루는 제일 원리들에서 도출
    • 스토아 철학자들은 자연에 따라 만인이 동등하다고 주장.
  • 17세기 스토아 학파의 자연법 학설과 자연권 학설은 그리스도교의 옷으로 갈아입고 실천적 힘을 얻음.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

개념

  • 벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
    • \vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
    • \vec{p} (p_{1}, p_{2}) 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다.\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}),  \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y),  \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
  • \mathbb{R}^{2} 에서 다이버전스 정의
    • 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 퍼지는 정도는 F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) 가 된다.
    • 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
    • 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 \mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
      • {\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
      • = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
  • \mathbb{R}^{2} 에서 커얼 정의
    • 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 돌아가는 정도는 F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) 가 된다.
    • 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} +  {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 \Delta y} +  {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 (- \Delta y)})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
      • = 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
      • 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
      • ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, \hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
    • \mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
      • \mathbb{R}^{3} 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
      • \hat{z} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
      • \hat{y} 를 축으로 돌아간 정도
        • -{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • \hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
        • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} -  {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
        • = \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z})  - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} -  {\partial F_{1} \over \partial y})
        • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &  {\partial \over \partial z}  \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
        • = (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
    • 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

개념

  • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
    • d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
    • = \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right) (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
    • = \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2}  + ... + a_{1n} dx_{n}  \\  a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2}  + ... + a_{2n} dx_{n}  \\ ... \\  a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2}  + ... + a_{mn} dx_{n}  \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\  dx_{2}  \\ ... \\  dx_{n}  \end{array} \right)
    • = J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
      • (J_{\vec{F}} 은 야코비 행렬이라 부른다)
      • 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
  • (J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
  • \vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
    • \Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
      • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
  • \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
    • \Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
  • (J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
    • = {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} +  {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... +  {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
    • = \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
    • = \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
    • = (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
  • 역함수 미분법 (일변수 실함수)
    • f(x) : 미분 가능, \forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
    • f(x) : 미분 가능, f^{-1} 가 존재 \Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
    • f(x) = x^{2} 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 {df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
  • \vec{F}(\vec{x}) 의 역함수 \vec{F}^{-1}(\vec{x})  가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
    • J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1} 이다.

러셀 서양철학사/ 에피쿠로스 학파

  • 헬레니즘 시대에 새로 출현한 스토아 학파와 에피쿠로스 학파의 사상을 형성한 기초는 같은 시대에 세워졌다.
    • 스토아 학파는 제논이, 에피쿠로스 학파는 에피쿠로스가 창시했다.
  • 에피쿠로스 학파의 공동체 생활은 단순하고 소박했는데, 한편으로는 원칙을 지켰기 때문이고 다른 한편으로는 돈이 부족했기 때문이다.
  • 에피쿠로스는 한평생 건강이 좋지 않아 시달렸지만, 불굴의 정신력으로 이겨내는 법을 터득했다. 인간은 크나큰 고통 속에서도 행복해질 수 있다는 주장을 최초로 한 사람은 스토아 학파가 아니라 에피쿠로스 였다.
  • 에피쿠로스의 철학은 일부 회의주의 철학을 예외로 두면 당시 유행한 모든 철학과 마찬가지로 일차적으로 마음의 평정을 보장하려는 목적으로 기획되었다.
    • 그는 쾌락을 선이라 생각하고, 이 견해에서 나올만한 모든 결론을 일관성 있게 고수했다.
    • 그는 ‘쾌락은 축복받은 삶의 시초이자 목적이다’라고 말했다.
    • 모든 선의 시초이자 근원은 위와 관련된 쾌락이며, 지혜와 문화도 이러한 쾌락에 돌리지 않으면 안 된다.
    • 정신의 쾌락은 육체의 쾌락을 관조하는 활동이라고 한다.
  • 에피쿠로스는 능동적인 쾌락과 수동적인 쾌락, 동적인 쾌락과 정적인 쾌락을 구분하는 점에서 이전의 몇몇 쾌락주의자들과 의견이 다르다.
    • 동적인 쾌락은 바라는 목적을 달성하고 고통이 동반되던 이전의 욕망을 충족할 때 존재한다. 정적인 쾌락은 만약 없으면 바라게 되는 사태가 존재하기 때문에 생기는 평형 상태에 존재한다.
    • 배고픔의 충족이 진행 중이라면 동적인 쾌락이지만, 배고픔이 완전히 충족되어 도달한 활동 없는 상태는 정적인 쾌락이라 할 수 있다.
    • 에피쿠로스는 두 가지 쾌락 가운데 정적인 쾌락을 추구하는 것이 더 현명하다고 주장
    • 우리는 격렬한 기쁨보다 평형 상태와 온화한 쾌락을 추구해야 마땅하다.
    • 에피쿠로스는 실제로 현자의 목표는 쾌락을 주는 것이 아니라 고통을 없애는 일이라고 생각한다.
    • 성적인 사랑은 가장 동적인 쾌락 가운데 하나로 당연히 금지되었다.
    • 사회생활을 통해 얻는 쾌락 가운데 제일 안전한 것은 우정이다.
  • 에피쿠로스는 공포를 불러 일으키는 강력한 근원 두 가지는 종교와 죽음에 대한 두려움이라고 주장.
  • 에피쿠로스는 유물론자였으나 결정론자는 아니었다.
  • 에피쿠로스는 과학 자체에 관심을 갖지 않는다.

러셀 서양철학사/ 키니코스 학파와 회의주의 학파

  • 그리스도교의 내세관을 예비한 정신적인 면은 헬레니즘 시대에 시작되며 도시국가의 쇠퇴와 관련이 있다.
  • 철학의 네 학파는 알렉산드로스 시대 즈음에 창설되
    • 스토아 학파, 에피쿠로스 학파, 키니코스 학파, 회의주의 학파
  • 키니코스 학파는 디오게네스가 창시자이지만, 플라톤보다 20세쯤 연상인 소크라테스의 제자 안티스테네스에서 유래함.
  • 안티스테네스는 세련된 철학은 전부 다 가치 없다고 주장함.
    • 알려질 가능성이 있는 지식은 평범한 사람에게도 알려지는 법이다.
    • 그는 자연 회귀를 믿었으며, 이 믿음을 확장해서 행정권도 없어야 하고, 사유재산도 없어야 하며, 결혼도 해서는 안 되고, 확립된 종교도 존재해서는 안된다고 주장함.
    • 안티테네스는 노예제를 비난하지 않았지만 그의 추종자들은 노예제도 비판함
    • 그는 금욕주의자는 아니었으나 사치와 인위적으로 자극한 감각적 쾌락 추구를 경멸함.
  • 안티스테네스의 제자 디오게네스가 그의 명성을 뛰어 넘음.
    • 디오게네스의 삶의 목적은 세상에 유통되는 모든 화폐제도를 결딴내는 것.
    • 디오게네스는 개처럼 살기로 결심 했기 때문에 견유라고 불리기도 했다.
    • 그는 종교든, 예절이든, 옷차림이든, 집이든, 음식이든, 체면이든 인습이라면 전부 거절했다.
    • 그가 통 속에서 살았다는 말이 전해지지만 와전된 것으로 보인다.
    • 알렉산드로스가 디오게네스를 찾아가 무엇을 원하는지 묻자 ‘햇빛만 가리지 말아 주시오’ 라고 대답한 일화가 유명하다.
  • 디오게네스는 냉소주의를 가르치지 않았으며, 정반대 학설을 설파함.
    • 그는 덕을 성취하려는 열정으로 불탔으며, 덕에 비하면 현세의 좋다는 것들은 가치가 없다고 주장함.
    • 그는 욕망에서 해방됨으로써 덕과 도덕적 자유를 얻으려 했다.
    • 행운이 따라야 얻게 되는 좋은 것들에 냉담해져라. 그러면 두려움을 떨치고 해방되리라.
  • 아리스토텔레스 이후 철학자들은 모두 이런저런 형태로 은둔 철학을 내 놓음. 세상은 악하니 세상에 의존하지 않는 법을 배우라고 가르친다.
  • 키니코스 학파는 3세기 초 한창 인기를 끌었다.
    • 물질을 소유하지 않고 살아가면 얼마나 마음이 편한지, 간소한 음식만으로도 얼마나 행복해 질 수 있는지, 값비싼 음식을 걸치지 않아도 겨울에 따뜻하게 지낼 수 있는지 등을 가르침.
    • 키니코스 학파는 현세의 좋은 것들을 피하라고 가르친 것이 아니라 냉담하라고 가르침
    • 키니코스 학파의 최고 수준에 속한 학설이 스토아 철학 속으로 흘러 들어갔는데, 스토아 철학은 훨씬 더 완전하고 원숙한 철학으로 발전함.
  • 회의주의 학파는 피론이 처음 공표함.
    • 피론은 어떤 행동을 다른 행동보다 더 좋게 볼 합리적인 근거란 결코 존재하지 않는다고 주장함.
    • 이 주장은 어느 나라에 살든 그 나라의 관습을 따라야 한다는 뜻이 됨.
  • 피론의 제자 티몬은 그리스 논리학의 관점에서 답변하기 아주 어려운 몇 가지 지적인 논증들을 내놓음.
    • 그리스인들은 연역법만을 논리학으로 인정했고, 모든 연역법은 에우클레이데스의 기하학처럼 자명하다고 여긴 일반 원리에서 시작했음.
    • 티몬은 일반 원리의 발견 가능성을 부정함. 그러므로 무엇이든지 다른 무엇에 의해 증명되어야 하며, 모든 논증은 순환성을 지니거나 어떤 것에도 의존하지 않는 끝없는 연쇄가 될 것이다. 어느 경우에나 증명은 불가능하다.
    • 이러한 논증은 중세를 지배했던 아리스토텔레스 철학의 근간을 뒤흔들어 놓았음.
    • 티몬의 학설은 흄의 학설과 비슷함. 티몬은 결코 관찰한 적이 없는 무엇, 예컨대 원자들을 타당하게 추론할 수 없지만, 두 가지 현상이 자주 함께 관찰되었을 경우에는 한 현상을 다른 현상에서 추론할 수 있다고 주장.

러셀 서양철학사/ 헬레니즘 세계

  • 고대 그리스어 문화권을 3가지 시기로 구분
    • 자유도시국가 시대 -> 알렉산드로스 대왕으로 인해 멸망
    • 마케도니아 통치 시대 -> 로마가 이집트를 합병하면서 소멸
    • 로마 제국 시대
  • 헬레니즘 시대는 2번째 시대에 해당함.
    • 과학과 수학 분야의 성과는 여전히 그리스인들에 의해 성취되며 최고 수준을 자랑함
    • 철학 분야에서는 에피쿠로스 학파와 스토아 학파의 기초를 놓았으며 회의주의를 명확한 형식의 학설로 정립함.
  • 알렉산드로스가 페르시아 제국을 멸망시킨 후 바빌로니아인들의 지식과 고대의 미신이 그리스에 알려짐.
    • 조로아스터교의 이원론과 불교를 비롯한 인도 종교가 전해짐.
  • 알렉산드로스 사후 헬레니즘 세계는 혼돈에 빠짐

데코수학/ 다변수실함수의 최적화 문제

개념

  • N_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }
    • f(\vec{p}) : 극대값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})
    • f(\vec{p}) : 극소값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})
  • \Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n}) : 유계, 닫힌집합, f : \Omega \to \mathbb{R} 연속 \Rightarrow f 는 최대값, 최소값을 가진다.
    • 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
    • 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
  • f(x, y) (p, q) 에서 2번 미분가능하고 \nabla f |_{(p, q)} = \vec{0} 일 때,
    • Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}
    • A > 0
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q) : 극대
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q) : 극소
    • A < 0
      • f(p, q) : 안장점
      • 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
  • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능, f(\vec{p}) 극값, g(\vec{p}) = 0
    • \Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}