Category Archives: 배우기

순서 관계 – 1

개념

  • 수학의 가장 근간을 이루는 분야인 집합과 논리에서 가장 가까운 수학 분야가 대수와 위상
  • 순서 관계란, 관계 R : A → A에 대하여
    • aRa (반사율)
    • aRb ∧ bRa ⇒ a = b (반대칭)
    • aRb ∧ bRc ⇒ aRc (추이율)
      • 위 3가지 조건을 만족하는 경우 R : 반순서
    • aRb ∨ bRa
      • 위 4가지 조건을 모두 만족하는 경우 R : 전순서
  • <A, R> : 반순서 집합
    • (A 자리에 집합, R 자리에 관계 기호를 쓰면 된다.)
  • 오해의 소지가 없다면, 반순서관계 R을 ≤로 표기
  • <A, ≤> : 반순서 일 때
    • a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b
    • a < b ⇒ ¬(a ≥ b)
      • 반대 방향은 성립 안 함
  • <ℝ, ≤> : 전순서 관계
  • <F, ⊆> : 반순서 관계
  • <ℕ, | > : 반순서 관계
    • | 기호는 다음과 같이 정의
    • n | m ⇔ ∃k ∈ ℕ,  m = nk
    • (n은 m의 약수, m은 n의 배수 관계라는 의미)
  • <ℝ2, ≤> : 반순서 관계
  • <ℝ, ℝ> : 반순서 관계
  • 반순서 <A, ≤>, B ⊆ A 일 때
    • <B, ≤> : <A, ≤>의 반순서 부분집합 ⇔ <B, ≤> : A의 반순서
    • <B, ≤> : <A, ≤>의 전순서 부분집합 (사슬) ⇔ <B, ≤> : A의 전순서
    • A 가 반순서 집합이고 B가 A의 부분집합일 때 B는 A의 반순서 집합이거나 A의 사슬이다.
  • 전순서 <A, ≤>, B ⊆ A 일 때 ⇒ <B, ≤> : A의 전순서 (사슬)
    • A가 전순서 집합이고 B가 A의 부분집합일 때 B는 A의 사슬이다.

기수의 지수 – 3

개념

  • Card (C1(ℝ, ℝ)) = ℵc
    • C1(ℝ, ℝ) = { 미분가능 f : ℝ → ℝ } (미분 가능한 함수들의 집합)
    • 미분 가능한 함수들의 집합은 연속인 함수들의 부분집합이다.
  • n ~ (0, 1)
    • cn = (2ℵ0)n = 2ℵ0 × n = 2ℵ0 = ℵc = Card (0, 1)
    • 유클리드 공간은 실수 집합과 대등하다.
  • ℍ = { f : ℕ → ℝ | Σi=1 f(i)2 = 수렴 } 일 때, ℍ ~ ℝ
  • 0ℵ0 = ℵc
  • 연속체 가설
    • ∃x, ℵ0 < x < ℵc 가 존재하는가?
    • 자연수 집합과 실수 집합 사이에 존재하는 무한 집합이 존재하는가?
    • 반증도 증명도 안되는 문제.
      • 괴델이 ZFC 공리계와 모순되지 않는다고 증명
      • 코헨이 ZFC 공리계로 증명불가능함을 증명

기수의 지수 – 2

개념

  • 2ℵ0 = ℵc
    • 2의 자연수집합은 실수 집합과 같다.
  • 0 < ℵc
    • 0 = Card ℕ < Card P(ℕ) = Card (2) = 2ℵ0 = ℵc
  • c × ℵc = ℵc
    • c × ℵc = 2ℵ0 × 2ℵ0 = 2ℵ0 + ℵ0 = 2ℵ0 =  ℵc (∵ ℵ0 + ℵ0 = ℵ0)
  • cℵc = 2ℵc
    • cℵc = (2ℵ0)ℵc = 2ℵ0 × ℵc = 2ℵc (∵ ℵ0 × ℵc = ℵc)
  • C(A, B) = { 연속 f : A → B }, K(A, B) = { 상수 f : A → B } 일 때,
    • C(ℝ, ℝ) ~ C(ℚ, ℝ) ~ K(ℝ, ℝ) ~ ℝ

기수식

  • (Card X × Card Y)Card Z = (Card X)Card Z × (Card Y)Card Z
    • (xy)z = xzyz와 같다.
  • Card P(X) = 2Card X
    • 임의의 집합의 멱집합의 개수는 2의 임의의 집합 원소 개수와 같다

기수의 지수 1

개념

  • BA := { f | f : A → B 함수 }
    • A에서 B로 가는 모든 함수를 모아 놓은 집합
    • 그럼 함수들의 개수가 BA개가 된다.
    • A가 3개, B가 2개의 원소를 가진 집합이라면 A에서 B로 가는 함수의 개수는 23개가 되어서 8개가 된다.
  • (Card B)Card A := Card (BA)
  • A ~ A1, B ~ B1 이면
    • Card (BA) = Card (B1A1)

기수식

  • (Card X)Card Y × (Card X)Card Z = (Card X)Card Y + Card Z
    • xyxz = xy+z 와 같다.
  • ((Card X)Card Y)Card Z = (Card X)Card Y × Card Z
    • (xy)z = xy × z 와 같다.

기수의 곱


개념

  • Card A × Card B = Card A × B
  • A ~ A1, B ~ B1 일 때, Card (A × B) = Card(A1 × B1)
  • Card X × Card Y = Card Y × Card X
    • 기수의 곱에 대하여 교환법칙이 성립
  • Card X × (Card Y × Card Z) = (Card X × Card Y) × Card Z
    • 기수의 곱에 대하여 결합법칙이 성립
  • Card Y ∩ Card Z = ∅ 일때,
    • Card X × (Card Y + Card Z) = Card X × Y + Card X × Z
    • 기수의 곱에 대하여 분배법칙이 성립
  • Card X ≤ Card Y ⇒ Card X × Card Z ≤ Card Y × Card Z
  • Card X × Card Y = 0 ⇒ Card X = 0 ∨ Card Y = 0

기수식

  • 1 × Card X = Card X
    • 기수의 곱에 대하여 항등원이 존재. 항등원은 1
  • 0 × Card X = 0
  • 0 × ℵ0 = ℵ0
    • 자연수 집합과 자연수 집합의 곱은 자연수 집합
  • c × ℵc = ℵc
    • 실수 집합과 실수 집합의 곱은 실수 집합

기수의 합

개념

  • A ~ B, A ⊆ X ⊆ B ⇒ X ~ A
    • A와 B가 대등한 조건이었으므로 X ~ B 도 성립
  • A ⊆ B ⇒ Card A ≤ Card B
  • ∃단사 f : A → B ⇔ Card A ≤ Card B
  • (칸토어 정리) Card X < Card P(X)
    • P(X)는 멱집합. X의 부분집합들을 모은 집합
  • 가장 큰 기수는 존재하지 않는다
    • Card A를 가장 큰 기수로 가정할 때, 칸토어의 정리에 따라 Card A < Card P(A)가 되어야 하므로 Card A가 가장 큰 기수가 될 수는 없음. 가정이 모순
  • Card (ℕ) = ℵ0 라고 표기. Card (ℝ) = ℵc 라고 표기.
  • Card X + Card Y = Card Y + Card X
    • 기수의 합에 대하여 교환법칙이 성립
  • Card X + (Card Y + Card Z) = (Card X + Card Y) + Card Z
    • 기수의 합에 대하여 결합법칙이 성립
  • Card X + 0 = Card X
    • 기수의 합에 대하여 항등원이 존재. 항등원은 0
  • Card X ≤ Card Y ⇒ Card X + Card Z ≤ Card Y + Card Z
    • Card X < Card Y ⇒ Card X + Card Z < Card Y + Card Z 는 성립하지 않는데, Card Z가 무한집합(ℵ0)인 경우가 반례가 된다.
    • 같은 맥락에서 Card X + Card Z = Card Y + Card Z 일 때 Card X = Card Y 도 성립하지 않는다. Card Z가 무한집합(ℵ0)인 경우

기수식

  • A ∩ B = ∅ 일때
    • Card A + Card B = Card (A ∪ B)
  • A ~ A1, B ~ B1, A ∩ B = ∅, A1 ∩ B1 = ∅ 일 때
    • Card (A ∪ B) = Card (A1 ∪ B1)
  • 0 + ℵ0 = ℵ0
    • 자연수 집합과 자연수 집합의 합은 자연수 집합
  • c + ℵc = ℵc
    • 실수 집합과 실수 집합의 합은 실수 집합
  • 0 + ℵc = ℵc
    • 자연수 집합과 실수 집합의 합은 실수 집합
  • n + ℵ0 = ℵ0
    • 자연수와 자연수 집합의 합은 자연수 집합
  • n + ℵc = ℵc
    • 자연수와 실수 집합의 합은 실수 집합

기수 (칸토어-베른슈타인 정리)

개념

  • 기수 (Cardinal Number)의 정의
    1. 집합 A에 대하여 Card A가 결부된다.
      기수 a에 대하여, a = Card A인 A가 존재한다.
    2. A = ∅ ⇔ Card A = 0
    3. A ~ ℕ⇔ Card A = K
    4. A ~ B ⇔ Card A = Card B
  • Card A < Card B ⇔ (∃B0 ⊆ B, A ~ B0) ∧ (∄A0 ⊆ A, B ~ A0)
  • 칸토어-베른슈타인 정리
    • Card A = Card B ⇔ (∃B0 ⊆ B, A ~ B) ∧ (∃A0 ⊆ A, B ~ A)
  • A ⊆ B, 단사 f : B → A ⇒ ∃g : B ~ A
    • A가 B의 부분집합이고 B에서 A로 가는 단사 함수가 존재하면 B와 A는 대등하다.
  • A ∩ B = ∅ ⇒ f(A) ∩ f(B) = ∅

가산 집합 – 2

개념

  • ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 까지는 가산집합.
    • 그런데 ℝ도 가산집합일까? 어디까지 가산집합일까? 이 문제가 한때 가장 어려운 문제 중 하나 였음.
  • (0, 1)의 실수는 비가산. 이는 칸토어가 대각선 논법으로 증명 함.
    • 0과 1 사이의 모든 소수를 나열해도 그 나열에 포함되지 않는 0보다 크고 1보다 작은 실수가 존재함. 다시 말해 나열할 수 없는 실수가 존재. 고로 0, 1사이의 실수는 가산집합이 아니다.
  • ℝ : 비가산
    • (0, 1) ~ ℝ
  • ℝ ∖ ℚ : 비가산
    • 실수에서 유리수를 뺀 집합. 다시 말해 무리수 집합은 비가산이다.

가산 집합 1

개념

  • X : 가산 ⇔ X ~ ℕ
    • X : 가산 or 가산 ⇔ 기껏가산
  • X : 가산, Y : 무한, Y ⊆ X ⇒ Y : 가산
    • X가 가산이고, Y가 무한집합인데, Y가 X의 부분집합이면 Y는 가산집합
  • A, B : 가산 ⇒ A ∪ B : 가산
    • A, B가 가산이면 그 둘의 합집합도 가산
  • Ak : 가산 ⇒ ∪k=1n Ak : 가산
    • Ak가 가산이면 Ak의 합집합도 가산
  • ℤ : 가산
  • A, B : 가산 ⇒ A × B : 가산
    • A, B가 가산이면 A, B의 카테시안 곱도 가산
  • Ak : 가산 ⇒ Πk=1n Ak : 가산
    • Ak가 가산이면 Ak의 카테시안곱도 가산
    • 만일 n이 아니라 ∞까지 카테시안곱을 하면 가산이 안 된다.
  • ℚ ~ ℕ
    • 유리수 집합은 자연수 집합과 대등하다
    • ℚ = { n / m | n, m ∈ ℤ } (m ≠ 0)
    • 자연수가 실수보다는 작은데 유리수와는 대등하다. 신기함.
    • (양의) 유리수를 n / m 으로 표현하면, 결국 ℕ × ℕ 형태로 대응 시킬 수 있다.

무한 집합 2

개념

  • X : 무한, X ~ Y ⇒ Y : 무한
    • X : 유한, X ~ Y ⇒ Y : 유한
  • X : 무한, x0 ∈ X ⇒ X ∖ { x0 } : 무한
  • k : 유한 (ℕk = { 1, 2, 3 … k })
  • X : 유한 ⇔ X ~ ∅ ∨ X ~ ℕk (ℕk = { 1, 2, 3 … k }) 
    • X가 유한집합이면 공집합과 대등하거나 어떤 k까지 자연수 집합과 대등하다.
  • X × Y ~ Y × X
    • X 카테시안 곱 Y는 Y 카테시안 곱 X와 대등하다.
  • X, Y : 유한일 때,
    • X ∪ Y : 유한
    • X × Y : 유한