Tag Archives: 벡터

데코수학/ 헬름홀츠 분해정리

개념

  • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : 커얼로 써지는 벡터장
    • \Leftrightarrow \exists \vec{A} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \vec{F} = \nabla \times \vec{A}
    • 이때 \vec{A} 를 벡터포텐셜이라 부른다.
  • \vec{F} : 커얼로 써지는 벡터장 \Rightarrow \vec{F} : 발산하지 않음
    • \vec{F} = \nabla \times \vec{A} \Rightarrow \nabla \cdot \vec{F} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0
  • 헬름홀츠 분해정리 (벡터미적분학의 기본 정리)
    • \vec{F} : \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{3}, 유계 ) \to \mathbb{R}^{3} : C^{2} \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
      • \vec{G} : 보존적 벡터장
      • \vec{H} : 커얼로 써지는 벡터장
  • 헬름홀츠 분해정리 (정의역이 \mathbb{R}^{3}, 전체인 버전)
    • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0
      • \Rightarrow \vec{F} = \vec{G} + \vec{H}
  • 헬름홀츠 분해정리의 따름 정리
    • \vec{F} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} : C^{2}, \lim_{\|\vec{x}\| \to \infty} \||\vec{x}\|^{2} \|\vec{F}(\vec{x})\| = 0 인 경우
      • \nabla \times \vec{F} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{F} = - \nabla \Phi
      • \nabla \cdot \vec{F} = 0 \Leftrightarrow \vec{F} = \nabla \times \vec{A}

데코수학/ 급수전개법

개념

  • f(x) : p에서 해석적 (Analytic, C^{\omega} )
    • \Leftrightarrow (x = p 근처에서) f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} (x-p){k}
  • f(x) : 해석적
    • \Leftrightarrow 정의역에 있는 임의의 x = p에 대하여, p에서 해석적이다.
  • 해석함수의 특징, 종류
    • f(x) : C^{\omega} \Rightarrow f(x) : C^{\infty}
    • sin x, cos x, e^{x}, 3x^{2} + 2x + 7 : C^{\omega}
    • 초등함수는 C^{\omega}
    • erf(x) = {2 \over \sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt : C^{\omega}
  • e^{xi} = i sin x + cos x
    • 위 식의 x 자리에 \pi 를 넣으면 e^{\pi i} = i sin \pi + cos \pi = 0 - 1 = -1 이 된다. (오일러의 공식)
  • 급수전개법
    • 테일러 급수전개 – 무한차 다항식
    • 로랑 급수전개 – 해석적인 항 + 해석적이지 않은 항
    • 푸리에 급수전개 – 주기함수
    • 다중극전개 – 물리학에서 사용

데코수학/ 원통좌표계 , 구면좌표계

개념

  • 원통좌표계 (R, \theta, z )
    • R : xy 평면상에서 원점부터의 거리
    • \theta : x축에서 y축으로 돌아간 각도 (0 \leq \theta < 2 \pi )
    • z : 높이
  • 직교 좌표계의 단위 벡터 \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} 를 원통좌표계의 단위벡터 \hat{R}, \hat{\theta}, \hat{z} 로 고치기
    • \hat{R} = \cos \theta \hat{x} + \sin \theta \hat{y}
    • \hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}
    • \hat{z} = \hat{z}
    • \hat{x} = \cos \theta \hat{R} - \sin \theta \hat{\theta}
    • \hat{y} = \sin \theta \hat{R} + \cos \theta \hat{\theta}
    • \hat{z} = \hat{z}
  • 미소량 dx, dy, dz, dx \wedge dy, dy \wedge dz... 등을 dR, d\theta, dz 로 고치기
    • dx = \cos \theta dR - R \sin \theta d\theta
    • dy = \sin \theta dR + R \cos \theta d\theta
    • dz = dz
    • dx \wedge dy = R dR \wedge d\theta
    • dx \wedge dy \wedge dz = R dR \wedge d\theta \wedge dz
    • d \vec{l} = dR \hat{R} + R d\theta \hat{\theta} + dz \hat{z}
  • 직교좌표계의 편미분 {\partial f \over \partial x},  {\partial f \over \partial z} {\partial \over \partial R}, {\partial \over \partial \theta} 로 고치기
    • {\partial f \over \partial x} = \cos \theta {\partial f \over \partial R} - {\sin \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}
    • {\partial f \over \partial y} = \sin \theta {\partial f \over \partial R} + {\cos \theta \over R} {\partial f \over \partial \theta}
    • {\partial f \over \partial z} = {\partial f \over \partial z}
  • \nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f 를 원통좌표계 표현법으로 고치기
    • \nabla f = {\partial f \over \partial R} \hat{R} + {1 \over R} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {\partial f \over \partial z} \hat{z}
    • \nabla \cdot \vec{F} = div(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})
      • = {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R F_{R}) + {1 \over R} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {\partial F_{z} \over \partial z}
    • \nabla \times \vec{F} = curl(F_{R}\hat{R} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{z}\hat{z})
      • = ({1 \over R} {\partial F_{z} \over \partial \theta} - {\partial F_{\theta} \over \partial z}) \hat{R} + ({\partial F_{R} \over \partial z} - {\partial F_{R} \over \partial R}) \hat{\theta} + {1 \over R} ({\partial \over \partial R} (R F_{\theta}) - {\partial F_{R} \over \partial \theta}) \hat{z}
    • \nabla^{2} f = div(\nabla f)
      • = {1 \over R} {\partial \over \partial R} (R {\partial f \over \partial R}) + {1 \over R^{2}} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {\partial^{2} f \over \partial z^{2}})
  • 구면좌표계 (r, \theta, \phi )
    • r : 원점부터의 거리
    • \theta : xy 평면상에서 x축에서 y축으로 돌아간 각도 (0 \leq \theta < 2 \pi )
    • \phi : z축과 r사이의 각도 (z축에서 xy평면으로 내려오는 각도 (0 \leq \phi < \pi )
  • 좌표 변환
    • x = r \sin \phi \cos \theta
    • y = r \sin \phi \sin \theta
    • z = r \cos \phi
    • r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}
    • \theta = \arctan {y \over x}
    • \phi = \arctan {\sqrt{x^{2} + y^{2}} \over z}
  • 단위벡터 변환
    • \hat{r} = \sin \phi \cos \theta \hat{x} + \sin \phi \sin \theta \hat{y} + \cos \phi \hat{z}
    • \hat{\theta} = - \sin \theta \hat{x} + \cos \theta \hat{y}
    • \phi = \hat{\theta} \times \hat{r} = \cos \theta \cos \phi \hat{x} + \sin \theta \cos \phi \hat{y} + \sin \phi \hat{z}
    • \hat{x} = \cos \theta \sin \phi \hat{r} - \sin \theta \hat{\theta} + \cos \theta \cos \phi \hat{\phi}
    • \hat{y} =  \sin \theta \sin \phi \hat{r} + \cos \theta \hat{\theta} + \sin \theta \cos \phi \hat{\phi}
    • \hat{z} = \cos \phi \hat{r} - \sin \phi \hat{\phi}
  • 미소량 표현
    • dx, dy, dz \leftrightarrow dr, d\theta, d\phi
    • dx \wedge dy \wedge dz = r^{2} \sin \phi dr \wedge d\theta \wedge d\phi = dv
    • d\vec{l} = dr\hat{r} + r \sin \phi d\theta \hat{\theta} + r d\phi \hat{\phi}
    • {\partial f \over \partial x} = \cos \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\cos \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
    • {\partial f \over \partial y} = \sin \theta \sin \phi {\partial f \over \partial r} - {\cos \theta \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} + {\sin \theta \cos \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
    • {\partial f \over \partial z} = \cos \phi {\partial f \over \partial r} - {\sin \phi \over r} {\partial f \over \partial \phi}
  • \nabla f, \nabla \cdot \vec{F}, \nabla \times \vec{F}, \nabla^{2} f 를 구면좌표계 표현법으로 고치기
    • \nabla f = {\partial f \over \partial r} \hat{r} + {1 \over r \sin \phi} {\partial f \over \partial \theta} \hat{\theta} + {1 \over r} {\partial f \over \partial \phi} \hat{\phi}
    • \nabla \cdot \vec{F} = div(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})
      • = {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} F_{r}) + {1 \over r \sin \phi} {\partial F_{\theta} \over \partial \theta} + {1 \over r \sin \phi} {\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\phi})
    • \nabla \times \vec{F} = curl(F_{r}\hat{r} + F_{\theta}\hat{\theta} + F_{\phi}\hat{\phi})
      • = {1 \over r \sin \phi} ({\partial \over \partial \phi} (\sin \phi F_{\theta}) - {\partial F_{\theta} \over \partial \theta}) \hat{r} + {1 \over r} ({\partial \over \partial r} (r F_{\phi}) - {\partial F_{r} \over \partial \phi}) \hat{\theta} + {1 \over r} ({1 \over \sin \phi} {\partial F_{r} \over \partial \theta} - {\partial \over \partial r} (r F_{\theta})) \hat{\phi}
    • \nabla^{2} f = div(\nabla f)
      • = {1 \over r^{2}} {\partial \over \partial r} (r^{2} {\partial f \over \partial r}) + {1 \over r^{2} \sin^{2} \phi} {\partial^{2} f \over \partial \theta^{2}} + {1 \over r^{2} \sin \phi} {\partial \over \partial \phi}(\sin \phi {\partial f \over \partial \phi})
  • 좌표계와 무관한 div, curl의 정의
    • div \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \cdot d\vec{A}
    • curl \vec{F} = \lim_{v \to 0} {1 \over v} \int_{\partial v} \vec{F} \times d\vec{A}

데코수학/ 곡면적분

개념

  • 곡면을 나타내는 법
    • 매개곡면 \vec{\alpha} (t_{1}, t_{2}): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{n} 로 나타내는 법
      • 곡면 위에 각 점의 위치: \vec{\alpha} (t_{1}, t_{2})
      • (미분 가능한 곡면의 경우엔) 곡면 위의 각 점에서 단위법선벡터: \hat{({\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times {\partial vector-alpha \over \partial t_{2}})} (vector-alpha는 \vec{\alpha} 인데, Latex 에러로 표기가 안되서 대체 표기)
      • 곡면 위 각 점에서 넓이 조각: \|{\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{1}} \times  {\partial \vec{\alpha} \over \partial t_{2}} \| dt_{1} \land dt_{2}
    • \mathbb{R}^{3} 에서 F(x, y, z) = 0 이나 z = f(x, y) 로 나타내는 법
      • 곡면 F(x, y, z) = 0 에 대하여 곡면상의 점 (x, y, z) 에서
        • 법선: \nabla F
        • 면적조각: d A

데코수학/ 그린 정리

개념

  • 영역 (\Omega ), 경계 (\partial \Omega )
    • 2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.
  • 조르당 곡선정리
    • 평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)
  • 폐곡선의 방향과 부호
    • 영역 (\Omega )의 경계 (\partial \Omega ) 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.
      • 영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.
      • 좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.
  • 그린 정리
    • \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2}) : 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 으로 둘러 쌓인 영역 (c_{2}, ... c_{n} c_{1} 내부에 있고, c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 들은 서로 겹치지 않음)
      • 내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미
      • 조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음
    • 그리고 \vec{F} \Omega 에서 미분 가능하면
    • \Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}

데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • \vec{F}(\vec{x}) : 보존적 (conservative)
    • \Leftrightarrow  \exists \phi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, \vec{F} = \nabla \phi
    • 보존적인 벡터장이란, 벡터장 F를 어떤 다변수 실함수의 그레디언트로 나타낼 수 있는 경우를 말함.
    • 그레디언트를 취해서 보존적인 벡터장이 되는 스칼라 함수를 포텐셜 함수라고 한다. 역으로 말해서 보존적인 벡터장은 포텐셜 함수가 존재하는 벡터장이라고 할 수 있다.
  • \vec{F} : 보존적
    • \Leftrightarrow \vec{F} 의 선적분이 시작점과 끝점으로 결정되고, 경로와 무관하다.
    • \Leftrightarrow 폐곡선 경로에선, \vec{F} 의 선적분이 0이다.
  • \vec{F} : 모든 편미분이 연속, 보존적
    • \Rightarrow {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
  • \vec{F} : \Omega 에서 미분가능, \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} : 단순 연결 영역(simply connected), {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
    • \Rightarrow \vec{F} : 보존적
    • simply connected란 영역 안에서 잡아 당겼을 때 한점으로 만들 수 있는 영역이 존재하는 경우 말함. 영역 안에 구멍이 있으면(도넛 모양) 잡아 당겼을 때 한 점으로 모을 수 없으므로 단순 연결 영역이 아님.
  • 선적분은 물리학과 연결이 되는데, 일을 한 양을 구하는데 사용된다. 선적분 하는 것이 결국 일을 한 양이 됨. (위치 에너지의 차이를 구하는 것이 선적분). 포텐셜 함수는 위치 에너지가 된다.
  • \phi: \vec{F} 의 포텐셜 함수 \Rightarrow \phi + c : \vec{F} 의 포텐셜 함수
  • 벡터미적분은 물리학자들이 만든 수학. 그걸 수학자들이 더 엄밀하게 만들어서 미분 기하학이 됨.

데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • 벡터장 \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} , 곡선 C \subseteq \mathbb{R}^{n} (C : 조각적으로 미분가능, \vec{F} : 연속)
    • 선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을 \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n} 으로 분할 하면 i번째 조각은 \vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} 이 되고,
    • 이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은 \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 가 된다.
    • 그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은 \sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 이다.
    • 조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면 \int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x} 가 된다.
  • C : \vec{\alpha}(t), a \leq t \leq b 로 매개화 된 경우, C를 \vec{\alpha}(t_{0}), \vec{\alpha}(t_{1}),  ... , \vec{\alpha}(t_{n})  로 분할
    • \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))
    • = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))
    • = \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt