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데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

개념

  • 다변수 실함수의 리만적분
    • f(\vec{x}) 가 유계인 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) 에서 리만적분 가능 \Leftrightarrow \Omega P_{1}, P_{2}, ... , P_{n} 인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 \vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n} 을 뽑았을 때,
      \sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot (영역 P_{i} 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
    • \Omega : 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n} 라고 표기
  • 다중적분의 성질
    • \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)
      • \Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} =  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)
      • \Rightarrow  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
  • 푸비니 정리
    • 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x) 들로 둘러 쌓여 있을 경우
      • \int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx 가 성립
  • 다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
    • \Omega n 차원 영역일 때,
      \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} 의 의미는
      • \Omega 를 밑면으로 f 를 높이로 하는 n+1 차원의 부피를 의미한다.

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

개념

  • 벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
    • \vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
    • \vec{p} (p_{1}, p_{2}) 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다.\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}),  \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y),  \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
  • \mathbb{R}^{2} 에서 다이버전스 정의
    • 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 퍼지는 정도는 F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) 가 된다.
    • 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
    • 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 \mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
      • {\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
      • = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
  • \mathbb{R}^{2} 에서 커얼 정의
    • 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 돌아가는 정도는 F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) 가 된다.
    • 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} +  {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 \Delta y} +  {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 (- \Delta y)})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
      • = 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
      • 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
      • ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, \hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
    • \mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
      • \mathbb{R}^{3} 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
      • \hat{z} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
      • \hat{y} 를 축으로 돌아간 정도
        • -{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • \hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
        • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} -  {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
        • = \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z})  - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} -  {\partial F_{1} \over \partial y})
        • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &  {\partial \over \partial z}  \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
        • = (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
    • 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

개념

  • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
    • d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
    • = \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right) (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
    • = \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2}  + ... + a_{1n} dx_{n}  \\  a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2}  + ... + a_{2n} dx_{n}  \\ ... \\  a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2}  + ... + a_{mn} dx_{n}  \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\  dx_{2}  \\ ... \\  dx_{n}  \end{array} \right)
    • = J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
      • (J_{\vec{F}} 은 야코비 행렬이라 부른다)
      • 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
  • (J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
  • \vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
    • \Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
      • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
  • \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
    • \Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
  • (J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
    • = {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} +  {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... +  {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
    • = \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
    • = \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
    • = (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
  • 역함수 미분법 (일변수 실함수)
    • f(x) : 미분 가능, \forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
    • f(x) : 미분 가능, f^{-1} 가 존재 \Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
    • f(x) = x^{2} 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 {df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
  • \vec{F}(\vec{x}) 의 역함수 \vec{F}^{-1}(\vec{x})  가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
    • J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1} 이다.

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수실함수의 최적화 문제

개념

  • N_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }
    • f(\vec{p}) : 극대값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})
    • f(\vec{p}) : 극소값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})
  • \Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n}) : 유계, 닫힌집합, f : \Omega \to \mathbb{R} 연속 \Rightarrow f 는 최대값, 최소값을 가진다.
    • 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
    • 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
  • f(x, y) (p, q) 에서 2번 미분가능하고 \nabla f |_{(p, q)} = \vec{0} 일 때,
    • Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}
    • A > 0
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q) : 극대
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q) : 극소
    • A < 0
      • f(p, q) : 안장점
      • 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
  • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능, f(\vec{p}) 극값, g(\vec{p}) = 0
    • \Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 미분

개념

  • 미분의 기본 개념. f(x) x_{0} 에서 미분가능하다.
    • \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} {f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \over h} 가 존재
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) \over x - x_{0}} = a
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = 0
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0, {f(x) - f(x_{0}) - a(x -x_{0}) \over x - x_{0}} = \epsilon (x)
    • \Leftrightarrow \exists a \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\lim_{x \to x_{0}} \epsilon (x) = 0), f(x) = f(x_{0}) + a(x -x_{0}) + \epsilon (x)(x - x_{0})
      • 여기까지 유도된 형식은 다변수를 다루기가 좋다.
      • x_{0} 에 아주 가까워지면 f(x) 가 일차식처럼 보인다.
      • a(x - x_{0}) \epsilon (x) (x - x_{0}) 모두 0에 가까워지는데, a(x - x_{0}) 는 1차식으로 0에 가까워지는 반면, \epsilon (x) (x - x_{0}) 은 훨씬 빠른 속도로 0에 가까워진다.
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능
    • \Leftrightarrow \exists a_{1}, a_{2}, ... a_{n} \in \mathbb{R}, \exists \epsilon : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} (\lim_{\vec{x} \to\vec{p}} \epsilon (\vec{x}) = 0), f(\vec{x}) = f(\vec{p}) + a_{1}(x_{1} - p_{1}) + a_{2}(x_{2} - p_{2}) + ... + a_{n}(x_{n} - p_{n}) + \epsilon(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 \Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
  • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능 \Rightarrow f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 일차식으로 근사시킬 때, 그때 일차항의 계수 a_{1}, a_{2}, ... a_{n} 들은 {\partial f \over \partial x_{1}} |_{(\vec{p})}, {\partial f \over \partial x_{2}} |_{(\vec{p})}, ... {\partial f \over \partial x_{n}} |_{(\vec{p})} 의 값이다.
    • | 는 대입기호. f |_{x} 는 함수 f에 x를 대입한다는 뜻.
  • f(\vec{x}) 의 모든 편미분이 존재하고, 모두연속이면 \Rightarrow f(\vec{x}) 는 미분 가능
  • (결국 전미분은 각 변수에 대해 편미분 한 것들을 다 더하면 된다.)

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 편미분

개념

  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) : (P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) : 에서 변수 x_{k} 에 대해 편미분 가능 \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} { f(P_{1}, P_{2}, ... P_{k}+h, ... P_{n}) - f(P_{1}, P_{2}, ... P_{n}) \over h} 가 존재
    • {\partial f \over \partial x_{k}} = \lim_{h \to 0} { f(x_{1}, x_{2}, ... x_{k}+h, ... x_{n}) - f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \over h}
      • f x_{k} 에 대해 편미분한 함수
  • 편미분 표기법
    • {\partial \over \partial y} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial y \partial x} f
    • {\partial \over \partial x} ({\partial \over \partial x} f) = {\partial^{2} \over \partial x^{2}} f
  • f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 에 대하여
    • {\partial f \over \partial x_{i}}, {\partial f \over \partial x_{j}}, {\partial f \over \partial x_{i} \partial x_{j}} : \vec{P} 에서 연속이면
      • \Rightarrow {\partial^{2} f \over \partial x_{i} \partial x_{j} } (\vec{P}) = {\partial^{2} f \over \partial x_{j} \partial x_{i}} (\vec{P}) (편미분 순서를 바꿔도 결과가 동일하다) – 클레로 정리
  • 평균값 정리
    • 구간에 정의된 함수는 평균 변화율과 같은 순간 변화율을 갖는다.
    • 기하학적 관점에서 곡선의 두 끝점을 잇는 선과 평행하는 접선이 구간 내에 존재한다는 뜻이 됨
  • 편미분은 축 방향 (x축 또는 y축) 의 접선의 기울기를 의미, 전미분은 접공간 (tangent space라고도 함)을 구하는 것.

편미분 계산 예

  • {\partial^{2} \over \partial x \partial y} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial x} (x \cos y + e^{x}) = \cos y + e^{x}
    • 삼각함수 미분
      • {d \over dx} \sin x = \cos x
      • {d \over dx} \cos x = -\sin x
      • {d \over dx} \tan x = \sec^{2} x
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} (x \sin y + y e^{x}) = {\partial \over \partial y} (\sin y + y e^{x}) = \cos y + e^{x}
  • {\partial^{2} \over \partial y \partial x} x^{y} = {\partial \over \partial y} y \cdot x^{y-1} = x^{y-1} + y \cdot \ln x \cdot x^{y-1}
    • 곱의 미분
      • {d \over dt} f(t) \cdot g(t) = ({d \over dt} f(t)) g(t) + f(t)({d \over dt} g(t))
    • 지수의 미분
      • {d \over dt} a^{t} = \ln a \cdot a^{t} (\ln a = \log_{e} a)

데코수학/ 벡터미적분학/ 다변수 실함수의 극한, 연속

개념

  • 다변수 실함수의 극한
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a
    • \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, (0 < \|\vec{x} - \vec{p}\| < \delta \Rightarrow | f(x) - a | < \epsilon)
    • \Leftrightarrow \vec{x} \vec{p} 에 가까울수록, f(\vec{x}) a 에 가까운 값이다. (엄밀하지 않은 정의)
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} x = a
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} y = b
      • \lim_{(x, y) \to (a, b)} c = c (c는 상수)
      • \lim_{(x, y) \to (1, 2)} x + y = 3
    • 경로에 따라 일변수 극한값이 달라진다면, 그 함수는 극한이 존재하지 않는다.
  • 다변수 실함수의 연속
    • f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속 \Leftrightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = f(\vec{p}) 에서 연속
    • f(\vec{x}) : 연속 \forall \vec{p}, f(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
    • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} : \vec{p} 에서 연속 일 때
      • f(\vec{x}) + g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 연속
      • {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} : \vec{p} 에서 연속 (\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) \neq 0)
    • h(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : f(\vec{p}) 에서 연속, f(\vec{x}) = \vec{p} 에서 연속 \Rightarrow h(f(\vec{x})) : \vec{p} 에서 연속

다변수 실함수식

  • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) = a, \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} g(\vec{x}) = b  일 때
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) = a + b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x}) = a \cdot b
    • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} {f(\vec{x}) \over g(\vec{x})} = {a \over b} (b \neq 0)
    • h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \lim_{t \to a} h(t) = c \Rightarrow \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} h(f(\vec{x})) = c