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데코수학/ 벡터미적분학/ 일변수벡터함수

개념

  • 일변수 벡터함수의 극한
    • 각 성분 함수들의 극한으로 정의
    • \lim_{t \to a} \vec{\gamma}(t) = (\lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{1}(t), \lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{2}(t), ... , \lim_{t \to a} \vec{\gamma}_{n}(t))
  • 일변수 벡터함수의 연속
    • \vec{\gamma}(t) : b에서 연속 \Leftrightarrow  \lim_{t \to b} \vec{\gamma}(t) = \vec{\gamma}(b)
  • 일변수 벡터함수의 미분
    • {d \over dt} \vec{\gamma}(t) = \lim_{h \to 0} {\vec{\gamma}(t+h) - \vec{\gamma}(t) \over h}
  • 일변수 벡터함수의 적분
    • \int_{a}^{b} \vec{\gamma} dt = \vec{\alpha}(b) - \vec{\alpha}(a) ({d \over dt} \vec{\alpha}(t) = \vec{\gamma}(t))
  • \vec{\gamma} 의 극한, 연속, 미분, 적분 … 등은 \vec{\gamma} 의 성분 함수들의 극한, 연속, 미분, 적분 … 등을 따지는 것과 동일하다. (일변수 실함수와 동일)

데코수학/ 벡터미적분학/ 함수에 벡터가 들어가면 어떻게 될까?

개념

  • 일변수 실함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}
      • f(x) = x^{2}
      • f(x) = \sin x
      • f(t) = t^{3} - e^{t}
      • t^{2} + f(t)^{2} = 4 (f(t) \ge 0)
  • 일변수 벡터함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n이 1인 경우)
    • t \in \mathbb{R} \mapsto f(t) \in \mathbb{R}^{n}
    • 파라미터는 1개지만 결과는 벡터로 나오는 경우. 결과가 일변수 실함수를 여러 개.
    • f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t),  ...  f_{n}(t))
    • 매개곡선이라고 부르기도 한다.
    • \vec{\alpha}(t), \vec{\beta}(t), \vec{\gamma}(t)...  등으로 표기
      • \vec{\alpha}(t) = (\cos t, \sin t)
      • \vec{\beta}(t) = (t, t^{2})
      • \vec{\gamma}(t) = (\cos t, \sin t, t^{2})
  • 다변수 실함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 m이 1인 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}
    • 이런 함수를 스칼라장이라고도 부름
    • f(x, y), f(\vec{x}), V(x, y, z), \phi(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  등으로 표기
      • f(x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
      • V(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} - 4x_{1} + x_{2}^{2}
      • \phi (x, y) = x^{2} - y^{2}
      • f(x, y, z) = 3x^{2} - 4y^{2} + 5z^{2}
  • 다변수 벡터함수 f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 형 (f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} 의 형태에서 n과 m이 모두 1이 아닌 경우)
    • (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \mapsto f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n})  \in \mathbb{R}^{m}
    • 즉, f(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}),  f_{2}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}), ... , f_{m}(x_{1}, x_{2}, ... x_{n}))
    • 벡터장이라 부르기도 한다.
    • \vec{F}, \vec{G}, \vec{H} (x_{1}, x_{2}, ... x_{n}) 등으로 표기
      • \vec{F}(x, y) = (x, -y)
      • \vec{F}(x, y, z) = (x, y, z)
      • \vec{F}(x, y) = (2, 3)
      • \vec{F}(x, y) = (x+y, -y, x^{2})
      • \vec{F}(x, y) = (-y, x)
      • \vec{F}(x, y) = (\frac{-x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{-y}{x^{2} + y^{2}} )
      • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = M \left( \begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{array} \right)
        • M : m × n 행렬

데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터의 가위곱

개념

  • 3차원 직교좌표계 (a, b, c) = a \hat{x} + b \hat{y} + c \hat{z} 에 대한 Cross Product는
    • \vec{u} \times \vec{v}
      • = \left| \begin{array}{rrr}  \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3   \end{array} \right|
      • = \left| \begin{array}{rr} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3  \end{array} \right| \hat{x} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3  \end{array} \right| \hat{y} + \left| \begin{array}{rr} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2  \end{array} \right| \hat{z}
      • = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \hat{x} + (u_1 v_3 - u_3  v_1) \hat{y} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \hat{z}
      • = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_1 v_3 - u_3  v_1, u_1 v_2 - u_2 v_1)
      • \because \left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right| = ad - bc  로 계산
  • \vec{u} \times \vec{v} 의 기하학적 정의
    • 크기: \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin \theta
      • 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 됨
    • 방향: \vec{u} 에서 \vec{v} 방향으로 돌아가는 오른손 엄지 방향
      • Cross Product가 오른손 방향인 이유는 2차원일 때 이미 오른손 방향을 따랐기 때문. 거기서 Cross Product를 하면 3차원의 방향이 자연스럽게 결정된다.
      • 180도를 넘으면 방향이 반대가 됨
  • Cross Product는 회전력 (Torque)을 구하기 위해 사용
  • 두 벡터를 Dot Product를 하면 스칼라가 나오지만, 두 벡터를 Cross Product 하면 벡터가 나온다.

벡터식

  • (Cross Product는 안되는 연산이 많다)
  • \vec{u} \times \vec{0} = \vec{0} \times \vec{u} = \vec{0}
  • \vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}
  • (\alpha \vec{u}) \times \vec{v} = \alpha (\vec{u} \times \vec{v})
  • \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} \times \vec{v}) + (\vec{u} \times \vec{w})
  • \vec{u} \times \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} // \vec{v}
    • // 는 평행
  • \|\vec{u} \times \vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} \|\vec{v}\|^{2} - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}
  • \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})
    • 스칼라 3중곱. 결과가 스칼라가 되기 때문
  • \vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}
    • 벡터 3중곱. 결과가 벡터가 됨. 우변의 괄호 안의 결과가 스칼라가 되기 때문에 괄호 안의 결과와 벡터의 곱은 dot product가 아니라 상수곱이 된다.
  • \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{v} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{0}
    • 다른 벡터와 cross product를 한 후에 다시 자기 자신과 dot product를 하면 0벡터가 된다. 수직이라는 이야기.

데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터의 점곱

개념

  • 벡터의 점곱(Dot Product) – 좌표적 정의
    • \vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} +  u_{2} \cdot v_{2} +  u_{3} \cdot v_{3} + ... +  u_{n} \cdot v_{n})
      • 두 벡터 사이의 ⋅ 곱은 스칼라가 된다.
  • 벡터의 점곱(Dot Product)  – 다른 정의
    • \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\|\cos \theta
      • \|\vec{u}\| 는 벡터의 크기
      • \theta \vec{u} \vec{v} 의 사이각
  • 위 2가지 곱의 결과는 동치다
  • 벡터의 크기 (norm)
    • \|\vec{u}\|
      • = \sqrt{(u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2})}
      • = \sqrt{(u_{1} \cdot u_{1} + u_{2} \cdot u_{2} + ... + u_{n} \cdot u_{n})}
      • = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}
      • 벡터의 크기는 각 항의 제곱을 더한 후 제곱근을 취하는 것
      • 각 항을 제곱한 후 더한 것은 벡터의 Dot Product가 된다. 벡터의 크기는 벡터의 Dot Product를 한 후 제곱근을 취한 것
  • 벡터간 거리
    • \|\vec{u}-\vec{v}\|
  • 단위벡터 \hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}
    • 단위벡터란 벡터 A의 길이가 1이 되도록 축소한 것을 의미. (정규화 normalization이라고도 한다)
    • 벡터를 벡터의 크기로 나눈 값
  • proj_{\vec{v}} \vec{u} = \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v}
    • (\vec{v} 에 대한 \vec{u} 의 프로젝션을 proj_{\vec{v}} \vec{u} 이라 표기하고 그 값은 \|\vec{u}\| \cdot \cos \theta \hat{v} 이 된다.)
  • n차원 벡터는 n개의 방향이 서로 다른 벡터들의 합으로 나타낼 수 있다.
    • \vec{u} = (3, 4, 5), \vec{x} = (1, 0, 0), \vec{y} = (0, 1, 0), \vec{z} = (0, 0, 1) 이라고 할 때
      • \vec{u} = 3\vec{x} + 4\vec{y} + 5\vec{z} 와 같은식으로 나타낼 수 있음
      • 이때의 x, y, z를 각각 \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} 라고 표시한다.
  • 단위벡터는 좌표축들과 각도를 알면
    (\cos \theta_{1},  \cos \theta_{2}, ... , \cos \theta_{n}) 으로 나타낼 수 있다.

벡터식

  • \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
  • (\alpha \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b} = \alpha \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})
  • \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) +  (\vec{a} \cdot \vec{c})
  • \vec{a} \cdot \vec{b} \ge \vec{0}
  • \|\alpha \cdot \vec{a}\| = |\alpha|\cdot \vec{a}
  • \|\vec{a}\|^{2} = (\vec{a})^{2}
  • \|\vec{a}-\vec{b}\|^{2} = (\vec{a})^{2} + (\vec{b})^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b}
  • \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} (\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0})
    • ⊥: 수직
  • \vec{a} \cdot \vec{b} \le \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|
  • \|\vec{a} + \vec{b}\| \le \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|

데코수학/ 벡터미적분학/ 벡터

개념

  • 벡터의 정의 1: n개의 성분으로 나타낼 수 있는 양
    • \vec{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}, ... , u_{n})
    • \vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \forall i, u_{i} = v_{i}
    • \vec{u} + \vec{v} = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, ... , u_{n} + v_{n})
    • \alpha \cdot \vec{u} = (\alpha \cdot u_{1}, \alpha \cdot  u_{2}, ... , \alpha \cdot  u_{n})
  • 벡터의 정의 2: 크기와 방향을 가진 양 (물리학에서 사용하는 정의)
    • 유향 선분 \vec{ab} 로 벡터를 나타낼 수 있다.
    • 크기는 선분의 길이, 방향은 선분의 방향 (크기가 0이면 방향은 고려 안 함)
    • \vec{ab} = \vec{cd} \Leftrightarrow 두 선분의 길이가 같고 두 선분의 방향이 같다
    • \vec{ab} + \vec{cd} = \vec{ae} (\vec{cd} = \vec{be})
    • c \cdot \vec{ab} : 방향은 그대로 길이만 늘린 것
  • 위 2가지 정의는 동치다.
    • AB의 시작점을 원점 O로 옮겼을 때 OP = AB인 벡터로 나타낼 수 있다. 이때 P의 좌표로 벡터 AB를 유일하게 결정할 수 있다.
    • \vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \vec{oa} = \vec{ob}
    • c \cdot \vec{a} \Leftrightarrow c \cdot \vec{oa}

벡터식

  • \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}
  • \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}
  • \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}
    • 벡터의 덧셈에 대하여 항등원이 존재
  • \vec{u} + (-1 \cdot \vec{u}) = \vec{0}
    • 벡터의 덧셈에 대하여 역원이 존재
  • \alpha \cdot (\beta \cdot \vec{u}) =  \beta \cdot (\alpha \cdot \vec{u})
  • 1 \cdot \vec{u} = \vec{u}
    • 벡터의 곱셈에 대하여 항등원이 존재
  • (\alpha + \beta) \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{u}
  • \alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}
  • \vec{0} \cdot \vec{u} = \vec{0}
  • \alpha \cdot \vec{0} = \vec{0}
  • \alpha \cdot \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \alpha = 0 \vee \vec{u} = \vec{0}
  • \vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} + \vec{w} = \vec{v} + \vec{w}
  • \vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \alpha \cdot \vec{u} = \alpha \cdot \vec{v}