Tag Archives: 선형대수

데코수학/ 부분벡터공간

개념

  • (V, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F} 일때, (W, +', \cdot ') : sub V.S of (V, +', \cdot ') (V.S = Vector Space)
    • \Leftrightarrow
      • W \subseteq V
      • +', \cdot ' W 위에서 그대로 잘 정의되어,  (W, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F}
  • Sub V.S 예시
    • \mathbb{Q}^{n} (over \mathbb{Q} ) : sub V.S of \mathbb{R}^{n} (over \mathbb{Q} )
    • V : sub V.S of V
    • \{ \vec{0}_{V} \} : sub V.S of V
    •  
  • W : sub V.S of V
    • \Leftrightarrow
      • \vec{0}_{V} \in W
      • a, b \in W \Rightarrow a + b \in W
      • \alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W
  • Sub V.S 특징
    • W : sub V.S of V , U : sub V.S of W \Rightarrow U : sub V.S of V
    • W_{\alpha} : sub V.S of V  \Rightarrow \cap W_{\alpha} : sub V.S of V
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} \cup W_{2} : sub V.S of V  \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} + W_{2} : sub V.S of V
        • W_{1}, W_{2} : sub V.S of W_{1} + W_{2}
        • U : sub V.S of V, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U
    • W : sub V.S of V
      • \Leftrightarrow
        • W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)
        • 0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)
  • (V_{1}, +_{1}, \cdot_{1}), (V_{2}, +_{2}, \cdot_{2}) : V.S over \mathbb{F} 일때, 곱집합 
  • 벡터 공간의 External Direct Sum
    • V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2}  \} 에 다음 연산을 정의한다.
      • (a, b) +_{E} (c, d) = (a +_{1} c, b +_{2} d)
      • \alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)
    • 그러면 (V_{1} \times V_{2}, +_{E}, \cdot_{E}) 는 V.S over \mathbb{F} 가 된다.
    • 이 벡터공간을 V_{1} \oplus_{E} V_{2} 이라 한다.
  • 벡터 공간의 Internal Direct Sum
    • (Z, +, \cdot) : V.S over \mathbb{F} , (X, +, \cdot), (Y, +, \cdot) : sub V.S of (Z, +, \cdot) 일 때
      • Z = X \oplus_{I} Y
        • \Leftrightarrow
          • \forall z \in Z, \exists x \in X, y \in Y, z = x + y
          • X \cap Y = {\vec{0}}
  • (Z = X \oplus_{I} Y) \approx X \oplus_{E} Y
    • External, Internal Direct Sum이 Isomorphic 하기 때문에 특별히 구분 하지 않고 X \oplus Y 라 쓴다.
  • 벡터 공간의 Direct Sum의 예
    • \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^{2}
      • \{ (a, 0) | a \in  \mathbb{F} \} \oplus \{ (0, b) | b \in  \mathbb{F} \} \approx \mathbb{F}^{2}
    • \mathbb{F} \oplus (\mathbb{F} \oplus \mathbb{F}) \approx \mathbb{F}^{3}
    • \mathbb{F}^{2} \oplus \mathbb{F}^{3}  \approx \mathbb{F}^{5}
    • \mathbb{R} \oplus_{I} \mathbb{R}_{i} = \mathbb{C} \approx \mathbb{R} \oplus_{E} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}
  • Direct Sum of Many V.S 에 대해서도 정의 가능. 유한한 경우와 무한한 경우 정의가 다른데 생략.

데코수학/ 벡터 공간

개념

  • (V, +, \cdot) : 스칼라 \mathbb{F} 에 대한 벡터 공간 (+ : V \times V \to V, \cdot : \mathbb{F}\times V \to V )
    • \Leftrightarrow
      • \forall u, v \in V, u + v = v + u
      • \forall u, v, w \in V, u + (v + w) = (u + v) + w
      • \exists \vec{0} \in V, \forall \in V, u + \vec{0} = \vec{0} + u
      • \forall u \in V, \exists (-u) \in V, u + (-u) = (-u) + u = \vec{0}
      • \forall u \in V, 1 \cdot u = u
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, \alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u
      • \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall u, v \in V, \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, (\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u
    • 용어
      • \mathbb{F} 의 원소는 스칼라
      • V 의 원소는 벡터
      • + 는 벡터합
      • \cdot 는 스칼라곱
      • (V, +, \cdot) \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간의 예
    • (\mathbb{F}^{n}, +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 스칼라의 카테시안도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (M_{m \times n}(\mathbb{F}), +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 행렬도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{S}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 함수들도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 수열공간도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • 미지수 x 에 대하여, \mathbb{F}[x] = \{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} | n \in \mathbb{N}, a_{i} \in \mathbb{F} \} \ , +' 는 다항식의 덧셈, \cdot ' 는 다항식에 스칼라곱이라 같이 정의하면
      • (\mathbb{F}[x], +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
    • V 를 “합동이면 같은 것으로 보는 유향 선분의 집합”, +' 는 “평행사변형식 덧셈”, 
    • \cdot ' 는 “길이만 스칼라배 늘리기”로 정의하면
      • (V, +', \cdot ') : \mathbb{R} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간이라면 다음이 성립한다.
    • \forall u, v, w \in V, u + w = v + w \Leftrightarrow u = v
    • \vec{0} 는 유일하다.
    • u 마다, (-u) 가 유일하다.
    • 0 u = \vec{0}
    • (- \alpha) u = \alpha (-u)
    • \alpha \vec{0} = \vec{0}
    • \alpha u = \vec{0} \Rightarrow \alpha = 0 \lor u = \vec{0}
    • \alpha x = \beta x (x \neq \vec{0}) \Rightarrow \alpha = \beta
    • \alpha x = \alpha y (\alpha \neq 0) \Rightarrow x = y
  • 벡터공간으로써 구조가 같다.
    • (V, +_{1}, \cdot_{1}), (W, +_{2}, \cdot_{2}) : Vector-space Isomorphic (over \mathbb{F} )
    • \Leftrightarrow
      • \exists \phi : V \to W : 전단사,
        • \phi (a +_{1} b) = \phi (a) +_{2} \phi (b)  
        • \phi(\alpha \cdot_{1} a) = \alpha \cdot_{2} \phi (a)  
    • 이때 \phi 를 VS isomorphism 이라 부른다.
      • \phi : V \approx W
    • \mathbb{F} \approx \mathbb{F}^{1} \approx M_{1 \times 1} (\mathbb{F})
    • \mathbb{F}^{n} \approx M_{n \times 1} (\mathbb{F}) \approx M_{1 \times n} (\mathbb{F})

데코수학/ 연립 1차 방정식 푸는법

개념

  • 연립 1차 방정식
    • 다음과 같은 방정식에 대하여
    • a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... +  a_{1n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... +  a_{2n} x_{n} = b_{2} \\ ... \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + ... +  a_{mn} x_{n} = b_{m}
    • X = \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right) 이라 두면
    • 방정식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
    • \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right)
    • 즉, 방정식을 AX = B 형태로 쓸 수 있다.
    • 이때 B = 0 이면 homogeneous라 하고, B \neq 0 이면 non-homogeneous라 한다.
  • 연립 방정식과 행렬
    • 연립 방정식에 다음 행위를 유한번 해도 해는 바뀌지 않는다.
      1. 두 식의 순서 바꾸기
      2. i번째 식에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 식에 j번째 식 더하기
    • 위 과정으로 방정식을 간단한 형태로 바꾸면 된다.
    • 위 방법을 AX = B 에 대한 행렬의 언어로 쓰면 다음과 같다.
    • 행렬 (A|B) 에 다음 행위를 유한번 해도 X 는 바뀌지 않는다.
      1. 두 행의 순서 바꾸기
      2. i번째 행에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 행에 j번째 행 더하기
    • 위 과정으로 (A|B) 를 ‘간단한 형태’로 만들면 된다.
    • (A|B) A B 를 이어붙여 만든 행렬을 말한다. (argumented matrix)
    • 위 1, 2, 3의 과정을 기본행 연산이라 부르고, A가 기본행연산으로 B가 된다면 A \sim_{R}B 라 쓰고 행동치라 부른다.
    • ‘간단한 형태’란 RRE form을 말한다.
  • A : Row Echelon form
    1. 모든 성분이 0인 행은 아래에 위치한다.
    2. 0이 아닌 성분이 있는 행에 대하여 가장 앞에 있는 것을 pivot 이라 부를 때, pivot이 더 앞에 있는 행일 수록 더 위에 위치한다.
  • A : Reduced Row Echelon form
    1. A: Row Echelon form
    2. pivot 들이 전부 1이고, pivot이 있는 열은 piovt 외엔 전부 0이다.
  • 모든 행렬은 유한번의 기본행연산으로 RRE form으로 만들 수 있고 유일하다.
    • 그렇게 변환시킨 RRE form으로 연립방정식을 쉽게 풀 수 있다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 의 해 X_{1}, X_{2} 에 대하여 cX, X_{1} + X_{2} 도 해가 될 수 있다.
    • 이를 선형성이라 한다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 에서 A m \times n (n > m) 행렬이면, 자명하지 않은 해를 가진다.
  • 기본행연산을 행렬곱으로 정의
    • A의 i번째 행과 j번째 행을 바꾸기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftrightarrow [j]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 0이 아닌 스칼라 C 곱하기
      • \Leftrightarrow I_{c [i]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 j번째 행 더하기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftarrow + [j]} \cdot A
    • 단위행렬에 적절한 변환을 준 후 행렬에 곱하면 기본행 연산이 된다. 위와 같이 변환된 단위행렬을 기본행렬이라 한다.
  • 기본행렬은 가역이고, 역행렬들도 기본행렬이다.
  • 가역인 RRE from은 I 뿐이다.
  • A : 가역
    • \Leftrightarrow A \sim_{R} I
    • \Leftrightarrow A = E_{1} E_{2} ... E_{k} (\exists E_{i} : 기본행렬)
    • \Leftrightarrow AX = 0 의 자명해는 X = 0 뿐이다.
    • \Leftrightarrow AX = B 는 유일해를 가진다.

데코수학/ 행렬 – 2

 

개념

  • 전치행렬
    • A = (a_{ij}) 일 때,
      • A^{T} = (a_{ji})
  • 대각합
    • A = (a_{ij}) \in m_{n, n} 일 때,
      • tr(A) = \sum_{x=1}^{n} a_{xx}
  • 가역행렬
    • 가역행렬이란 역행렬을 가지는 행렬
    • A : 가역 
      • \Leftrightarrow \exists B, BA = AB = I
      • 이때 B를 A의 역행렬이라 부른다.
  • 역행렬
    • A 의 역행렬은 A^{-1} 로 표기
    • A 의 역행렬은 유일하다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right) 일 때,
      • A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a  \end{array} \right)
  • 가역행렬과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의 가능.
  • AB = 0 이어도 BA = 0 이 안 될 수 있다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0  \end{array} \right) 일 때 성립 안 함.
  • O(n) = \{ A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) | A^{-1} = A^{T} \} 일 때, (역행렬과 전치행렬이 같은 행렬들의 집합. 직교행렬이라고도 한다)
    • I_{n} = O(n)
    • A, B \in O(n) \Rightarrow AB \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{-1} \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{T} \in O(n)

행렬식

  • (A^{T})^{T} = A
  • (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}
  • (cA)^{T} = cA^{T}
  • (AB)^{T} = B^{T}A^{T}
  • tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c \cdot tr(A)
  • tr(A^{T}) = tr(A)
  • tr(AB) = tr(BA)
  • I^{-1} = I
  • (cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
  • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (A^{-1})^{-1} = A
  • (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}
  • (A^{-1})^{n} = (A^{n})^{-1}
  • (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n}
    • 위 3가지 경우에 의해 n(거듭제곱), -1(역행렬), T(전치행렬)은 순서를 바꿔도 무방하다.

데코수학/ 행렬 – 1

개념

  • 행렬의 정의
    • 행렬이란 벡터공간 위에 있는 선형 함수
    • 행렬이란 숫자들의 2차원 배열
    • i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, a_{ij} \in \mathbb{F} 일 때
      • A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1}  & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \mathbb{F} 위의 m \times n 행렬이라 한다.
  • 행렬 표기법
    • A = a_{ij}
    • M_{m, n}(\mathbb{F}) : \mathbb{F} 위의 모든 m \times n 행렬의 집합
    • [A]_{i} : A의 i번째 행 (1 \times n 벡터)
    • [A]^{j} : A의 j번째 열 (m \times 1 벡터)
  • A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb{F}) 일 때
    • A = B \Leftrightarrow \forall_{i,j}, a_{ij} = b_{ij}
    • A + B := (a_{ij} + b_{ij})
    • c A := (c \cdot a_{ij})
  • A = (a_{ij}) \in M_{m, n}, B = (b_{ij}) \in M_{n, l} 일 때
    • AB := (\sum_{x=1}^{n} a_{ix} b_{xj}) \in M_{m, l}
      • ab_{ij} = [A]_{i} \cdot [B]^{j}
  • 0_{m, n} = (0)
  • I_{n} = (\delta_{ij})
    • \delta_{ij} \Rightarrow 1 (i = j), 0 (i \neq j) 
  • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)
    • \Rightarrow A^{2} - (a + d) A + (ad -bc) I = 0

행렬식

  • A, B 행렬, r, s \in \mathbb{F}
    • A + B = B + A
    • A + (B + C) = (A + B) + C
    • A + 0 = A
    • A + (-A) = 0
    • (r + s)A = rA + sA
    • r(A + B) = rA + rB
    • r(sA) = (rs)A
    • (AB)C = A(BC)
    • AI = IA = A
    • (A + B)C = AC + BC
    • r(A)B = r(AB) = A(rB)
    • A^{n} := A \cdot A^{n-1}
    • A^{0} = I