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선형대수와 군/ 행렬과 Gauss 소거법/ Matrix

집합 F 가 실수 전체의 집합 \mathbb{R} 혹은 복소수 전체의 집합 \mathbb{C} 이고 모든 i = 1, 2, ... , m j = 1, 2, ... , n 에 대하여 a_{ij} \in F 일 때

A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)

F 위의 (m \times n) 행렬이라고 부른다.

그리고 앞 (m \times n) 행렬 A 를 간단히는

A = (a_{ij})_{m \times n} = (a_{ij})

로 표기하기로 한다.

이때 a_{ij} 를 행렬 A (i, j) 좌표(coordinate) 혹은 (i, j) 성분(component)이라고 부르고

A i 번째 행(가로줄, row)을 [A]_{i}

A j 번째 열(세로 줄, column)은 [A]^{j}

로 표기한다.

물론 (m \times n) 행렬 A = (a_{ij}) B = (b_{ij}) 가 같다(즉, A = B )는 말은 모든 i, j 에 대하여 a_{ij} = b_{ij} 라는 뜻이다.

F 위의 (m \times n) 행렬 전체의 집합은 \mathfrak{M}_{m, n}(F) 로 표기하기로 한다.

우리는 (m \times n) 행렬 A = (a_{ij}) B = (b_{ij}) 의 덧셈(addition)을

A + B = (a_{ij} + b_{ij})

로 정의한다 (즉, A + B (i , j) 좌표가 a_{ij} + b_{ij} 라는 뜻)

행렬 A = (a_{ij}) 와 scalar c \in F 의 상수곱 (scalar multiplication)은

c A = (ca_{ij})

로 정의한다.

즉, 행렬의 덧셈과 상수곱은 자연스럽게 componentwise 정의 (성분별로 정의) 된다.

그러나 행렬의 곱셉(multiplication)은 지금은 그렇게 자연스러워 보이지 않는다. 행렬 A = (a_{ij}) 의 size가 (m \times n) 이고 행렬 B = (b_{jk}) 의 size가 (n \times r) 일 때, 우리는 (m \times r) 행렬 AB

AB = (c_{ik}), c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} b_{jk}

로 정의한다.

따라서 c_{ik} A 의 i-th row [A]_{i} B 의 k-th column [B]^{k} 의 ‘내적’이라고 생각할 수 있다.

행렬의 곱셉을 왜 이렇게 부자연스럽게 정의하는지를 아는 것이 이 강의 첫 목적인데, 그 본질적인 이유는 5장에서 ‘행렬과 선형사상은 같은 것’이라는 명제를 이해하고 나면 저절로 알게 될 것이다.

영행렬(zero matrix) 0은 모든 좌표가 0인 행렬을 뜻한다. 그리고 n-차 항등행렬(identity matrix) I_{n} = I (i, j) \delta_{ij} (n \times n) 정사각행렬(square matrix)을 나타내기로 한다.

(m \times n) 행렬 A, B 에 대하여

-A = (-1) A

A - B = A + (-B)

로 표기하기로 한다.

다음 관찰은 행렬 연산의 기본적인 규칙들이다. (우리는 이미 (n \times n) 정사각 행렬 A, B 에 대하여 AB = BA (곱셈의 교환법칙)가 언제나 성립하지는 않는다는 사실을 잘 알고 있다)

관찰 1.1.1

행렬 A, B, C 와 scalar r, s \in F 에 대하여, 연산들이 잘 정의되어 있으면 –즉, 행렬들의 size가 연산이 가능하도록 주어져 있으면– 다음 규칙들이 성립한다.

  1. (A + B) + C = A + (B + C) (덧셈의 결합법칙)
  2. A + B = B + A (덧셈의 교환법칙)
  3. A + 0 = A (뎃셈의 항등원)
  4. A - A = 0 (덧셈의 역원)
  5. (r + s)A = rA + sA (분배법칙)
  6. r(A + B) = rA + rB (분배법칙)
  7. r(sA) = (rs)A
  8. 1A = A
  9. (AB)C = A(BC) (곱셈의 결합법칙)
  10. AI = A = IA (곱셈의 항등원)
  11. (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC (분배법칙)
  12. (rA)B = r(AB) = A(rB)

1-8항은 거의 자명하다. 예컨대 1항을 달리 표현하면 행렬의 덧셈은 componentwise 정의되었고, 각각의 component가 –즉 F 의 원소들이– 덧셈의 결합법칙을 만족하므로, 행렬의 덧셈도 결합법칙을 만족한다고 할 수 있다.

9항의 증명도 어렵지는 않지만, 아래의 세련된 notation을 감상하기 바란다. (AB)C = A(BC) 를 보이는 유일한 방법은 양변의 좌표들이 모두 같음을 보이는 방법 뿐이다. 이제 행렬 A (i, j) 좌표를 [A]_{ij} 로 표기하기로 하고 A = (a_{ij}), B = (b_{jk}), C = (c_{kl}) 이라 놓으면

[(AB)C]_{il} = \sum_{k}[AB]_{ik}c_{kl} = \sum_{k}(\sum_{j} a_{ij} b_{jk})c_{kl} = \sum_{k, j} (a_{ij} b_{jk}) c_{kl}

이고 같은 방법으로

[A(BC)]_{il} = \sum_{j,k} a_{ij}(b_{jk} c_{kl})

임을 보일 수 있다.

나머지는 연습문제로 남긴다.

(생략)

보기 1.1.3

c \in F, A \in \mathfrak{M}_{m,n} 이면 당연히

(c I_{m}) A = c (I_{m} A) = cA

가 된다. 즉, 행렬 cI 는 마치 scalar와 같은 구실을 한다. 그런 의미에서 우리는 cI 꼴의 행렬을 scalar matrix라고 한다.

또한 square matrix A 에 대하여

A^{2} = AA, A^{3} = AAA, A^{4} = AAAA, ...

의 표기법을 자연스럽게 해 준다.

물론 

A^{0} = I, A^{1} = A

로 정의하는 것이 우리의 관습이다.

연습문제 1.1.6

[A^{r} = 0, (for some) r \leq 1] 인 square matrix A를 nilpotent matrix라고 부른다.

만약 A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F) 가 nilpotent이고 AB = BA 이면 (A+B) 도 nilpotent임을 보여라

연습문제 1.1.7

A = (a_{ij}) 가 square matrix일 때, 만약 [a_{ij} = 0, (if) i > j] 이면 A를 upper-triangular matrix라고 부른다.

또 이때 [a_{ii} = 0, \forall i] 이면 A를 strictly upper-triangular matrix라고 부르고, [a_{ii} = 1, \forall i] 이면 A를 unipotent upper-triangular matrix라고 부른다.

(가) A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 upper-triangular이면 AB도 upper-triangular임을 보여라. 이때 AB의 대각성분을 묘사하라

(나) A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 strictly upper-triangular 이면 AB도 strictly upper-triangular임을 보여라. 또 A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F) 가 unipotent upper-triangular이면 AB도 unipotent upper-triangular임을 보여라

(다) A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 strictly upper-triangular이면 A^{n} = 0 임을 보여라

A = (a_{ij}) (m \times n) – matrix라고 할 때, (n \times m) -matrix A^{t} = (a_{ji}) 를 A의 전치행렬 (transpose matrix)라고 부른다. 즉 A^{t} (i, j) -좌표가 a_{ji} 라는 뜻이다. 따라서 A^{t} A 의 행은 열로, 열은 행으로 바꾼 행렬이다.

예컨대

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} \right)

이 된다.

이제 A = A^{t} 인 matrix A 를 대칭행렬(symmetric matrix)라고 부르는 것 또한 매우 자연스럽다. 또 X, Y (n \times 1) -행렬일 때, X^{t} \cdot Y 는 vector의 ‘내적’이고, X \cdot Y^{t} (n \times n) -행렬임을 확인할 수 있다.

A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F), C \in \mathfrak{M}_{n, r}(F), c \in F 일 때 다음을 보여라

  • (A+B)^{t} = A^{t} + B^{t}
  • (cA)^{t} = cA^{t}
  • (A^{t})^{t} = A
  • (AC)^{t} = C^{t} A^{t}

정의 1.1.9

(n \times n) -square matrix A = (a_{ij}) 에 대하여

tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

를 표기하고 tr(A) 의 행렬을 행렬 A 의 trace라고 부른다. 즉 A 의 trace는 A 의 대각성분(diagonal component)들의 합이다.

tr \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right) = 1 + 5 + 9 = 15

연습문제 1.1.11

(n \times n) 행렬 A, B 와 scalar c \in F 에 대하여 다음이 성립하는 것을 보여라

  • tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c \cdot tr(A)
  • tr(A^{t}) = tr(A)
  • tr(AB) = tr(BA)

Square matrix가 아니면 diagonal component라는 말이 의미가 없으므로, trace는 square matrix의 경우에만 의미를 갖는다. 독자들은 trace라는 단어의 뜻에 유의하기 바란다. n^{2} 개의 component를 데리고 지나간 발자국(흔적)이 고작 n 개 diagonal component의 합이라니!

우리는 뒤에서 trace의 중요성을 배우기 시작할 것이다. 사실 독자들은 이미 행렬 A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) 는 항상

A^{2} - (a + d) A + (ad - bc) I = 0

을 만족시킨다는 것을 배운적이 있을 것이다. (2 \times 2 ) 행렬의 Cayley-Hamilton Theorem)

위 항등식의 1-차항의 계수 (a + d) 가 바로 tr(A) 이다.

그렇다면 상수항의 계수 (ad - bc) 는? 우리는 뒤에 6장에서 (ad - bc) A 의 determinant라고 부르게 된다. 무엇을 결정해 준다는 뜻일까? 독자들은 이미 (ad - bc) 가 역행렬과 관련이 있다는 것을 알고 있을 것이다.

그리고 독자들은 이미 앞의 관찰 1.1.1에서 곱셈의 역원이 항상 존재하지는 않는다는 것을 눈치챘을 것이다. 다음 정의는 고등학교에서 배운 익숙한 것이다.

정의 1.1.14

Square matrix A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 에 대하여

AB = I_{n} = BA

B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 가 존재하면, 우리는 A 를 가역행렬(invertible matrix)라고 부른다. 이때 B A 의 역행렬(inverse matrix)라고 부르고 B = A^{-1} 로 표기한다.

위에서 A^{-1} 의 표기법을 사용하고 ‘the inverse of A’라고 부르려면 A 의 역행렬은 (존재한다면) 하나 뿐임을 보여야하는 것은 당연하다. (독자들은 역행렬을 정의하자마자 이렇게 생각하도록 훈련하여야 한다)

관찰 1.1.15

Invertible matrix A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 의 inverse는 유일하다.

증명

B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 를 위 정의에서와 같다고 하자. 우리는

AC = I = CA

C \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 가 또 있다고 가정하고, B = C 인 것을 보이면 된다. 이제 BAC 를 생각하면

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

이므로 증명이 끝난다. 

우리는 고교때 2 \times 2 – 행렬 A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) 가 가역일 필요충분조건이

ad - bc \neq 0

이고 이때 A 의 역행렬은

A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -c \\ -b & a \end{array} \right)

인 것을 알고 있다. 이를 모든 n \times n – 행렬의 경우로 확장하는 것도 이 책 전반부의 목표 가운데 하나이다.

다음은 가역행렬의 (초보적인) 성질들이다.

가역행렬 A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) scalar 0 \neq c \in F 에 대하여 다음이 성립하는 것을 보여라

  1. I 는 가역이고 I^{-1} = I
  2. cA 는 가역이고 (cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
  3. AB 도 가역이고 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  4. A^{-1} 도 가역이고 (A^{-1})^{-1}) = A
  5. A^{t} 도 가역이고 (A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}

연습문제 1.1.18

O(n) = \{ A \in \mathfrak{M}_{n, n}(\mathbb{R} | A \textrm{ is invertible and} A^{-1} = A^{t} \} 로 정의할 때 다음을 보여라.

  1. I_{n} \in O(n)
  2. A, B \in O(n) 이면 AB \in O(n)
  3. A \in O(n) 이면 A^{-1} \in O(n)
  4. A \in O(n) 이면 A^{t} \in O(n)

연습문제 1.1.19 

A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역이면

tr(U^{-1}AU) = tr(A)

임을 보여라

연습문제 1.1.20

(가) A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역일 때, m \geq 0 이면

(U^{-1}AU)^{m} = U^{-1}A^{m}U

임을 보여라

(나) A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역일 때, 만약 A 가 nilpotent이면 UT{-1}AU 도 nilpotent 임을 보여라

위 연습문젠느 가장 ‘예쁜’ 행렬이 –즉, 가장 다루기 쉬운 행렬이– 대각 행렬(diagonal matrix) 임을 보여주고 있다. 

연습문제 1.1.21

A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 (단, i = 1, ... , k ), n_{1} + ... + n_{k} = n 이라고 놓자. 우리는 다음

A = diag(A_{1}, ... A_{k}) = \left( \begin{array}{rrrrrr} A_{1} & & & & & \\ & A_{2} & & & 0 & \\ & & . & & & \\ & & & . & & \\ & 0 & & & . & \\ & & & & & A_{k} \end{array} \right) \in \mathfrak{M}_{n, n}(F)

형태의 행렬을 (A_{i} 를 i-th diagonal block으로 갖는) block diagonal matrix라고 부른다. A_{i}, B_{i} \in \mathfrak{M}_{n_{i}, n_{i}}(F) 일 때 다음을 보여라.

  1. diag(A_{1}, ... , A_{k}) \cdot diag(B_{1}, ... , B_{k}) = diag(A_{1}B_{1}, ... , A_{k}B_{k})
  2. A_{i} 가 가역이면, (diag(A_{1}, ... , A_{k}))^{-1} = diag(A_{1}^{-1}, ... , A_{k}^{-1})

우리는 고교시절 3 \times 3 – 행렬 A 의 역행렬을 구하는 연습문제를 풀어 본 경험이 있다. 그때 미지수가 3개인 1차 연립방정식을 세 개 풀어서 AB = I 3 \times 3 -행렬 B 를 구하면 어쩐 일인지 항상 BA = I 가 저절로 성립했던 경험이 있을 것이다.

질문 1.1.22

A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 AB = I 이면 항상 BA = I 인가?

고등학교 수학 책과 대부분의 미적분학 책에서는 이 질문을 고의적으로 숨기고 있다. 따라서 우리의 질문 1.1.22가 ‘대학교 선형대수학’의 출발점이 된다.

우리는 뒤에서 이 답이 ‘예’ 임을 배우가 되는데, 지금 단계에서는 이 질문에 답하는 것의 불가능하기 때문에 10분 이상 투자하지 않기 바란다.

연습문제 1.1.23 

A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 AB = 0 이면 항상 BA = 0 인가?

데코수학/ 선형대수학/ 부분벡터공간

개념

  • (V, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F} 일때, (W, +', \cdot ') : sub V.S of (V, +', \cdot ') (V.S = Vector Space)
    • \Leftrightarrow
      • W \subseteq V
      • +', \cdot ' W 위에서 그대로 잘 정의되어,  (W, +', \cdot ') : V.S over \mathbb{F}
  • Sub V.S 예시
    • \mathbb{Q}^{n} (over \mathbb{Q} ) : sub V.S of \mathbb{R}^{n} (over \mathbb{Q} )
    • V : sub V.S of V
    • \{ \vec{0}_{V} \} : sub V.S of V
    •  
  • W : sub V.S of V
    • \Leftrightarrow
      • \vec{0}_{V} \in W
      • a, b \in W \Rightarrow a + b \in W
      • \alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W
  • Sub V.S 특징
    • W : sub V.S of V , U : sub V.S of W \Rightarrow U : sub V.S of V
    • W_{\alpha} : sub V.S of V  \Rightarrow \cap W_{\alpha} : sub V.S of V
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} \cup W_{2} : sub V.S of V  \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}
    • W_{1}, W_{2} : sub V.S of V 
      • \Rightarrow
        • W_{1} + W_{2} : sub V.S of V
        • W_{1}, W_{2} : sub V.S of W_{1} + W_{2}
        • U : sub V.S of V, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U
    • W : sub V.S of V
      • \Leftrightarrow
        • W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)
        • 0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)
  • (V_{1}, +_{1}, \cdot_{1}), (V_{2}, +_{2}, \cdot_{2}) : V.S over \mathbb{F} 일때, 곱집합 
  • 벡터 공간의 External Direct Sum
    • V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2}  \} 에 다음 연산을 정의한다.
      • (a, b) +_{E} (c, d) = (a +_{1} c, b +_{2} d)
      • \alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)
    • 그러면 (V_{1} \times V_{2}, +_{E}, \cdot_{E}) 는 V.S over \mathbb{F} 가 된다.
    • 이 벡터공간을 V_{1} \oplus_{E} V_{2} 이라 한다.
  • 벡터 공간의 Internal Direct Sum
    • (Z, +, \cdot) : V.S over \mathbb{F} , (X, +, \cdot), (Y, +, \cdot) : sub V.S of (Z, +, \cdot) 일 때
      • Z = X \oplus_{I} Y
        • \Leftrightarrow
          • \forall z \in Z, \exists x \in X, y \in Y, z = x + y
          • X \cap Y = {\vec{0}}
  • (Z = X \oplus_{I} Y) \approx X \oplus_{E} Y
    • External, Internal Direct Sum이 Isomorphic 하기 때문에 특별히 구분 하지 않고 X \oplus Y 라 쓴다.
  • 벡터 공간의 Direct Sum의 예
    • \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^{2}
      • \{ (a, 0) | a \in  \mathbb{F} \} \oplus \{ (0, b) | b \in  \mathbb{F} \} \approx \mathbb{F}^{2}
    • \mathbb{F} \oplus (\mathbb{F} \oplus \mathbb{F}) \approx \mathbb{F}^{3}
    • \mathbb{F}^{2} \oplus \mathbb{F}^{3}  \approx \mathbb{F}^{5}
    • \mathbb{R} \oplus_{I} \mathbb{R}_{i} = \mathbb{C} \approx \mathbb{R} \oplus_{E} \mathbb{R} = \mathbb{R}^{2}
  • Direct Sum of Many V.S 에 대해서도 정의 가능. 유한한 경우와 무한한 경우 정의가 다른데 생략.

데코수학/ 선형대수학/ 벡터 공간

개념

  • (V, +, \cdot) : 스칼라 \mathbb{F} 에 대한 벡터 공간 (+ : V \times V \to V, \cdot : \mathbb{F}\times V \to V )
    • \Leftrightarrow
      • \forall u, v \in V, u + v = v + u
      • \forall u, v, w \in V, u + (v + w) = (u + v) + w
      • \exists \vec{0} \in V, \forall \in V, u + \vec{0} = \vec{0} + u
      • \forall u \in V, \exists (-u) \in V, u + (-u) = (-u) + u = \vec{0}
      • \forall u \in V, 1 \cdot u = u
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, \alpha \cdot (\beta \cdot u) = (\alpha \cdot \beta) \cdot u
      • \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall u, v \in V, \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v
      • \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}, \forall u \in V, (\alpha + \beta) \cdot u = \alpha \cdot u + \beta \cdot u
    • 용어
      • \mathbb{F} 의 원소는 스칼라
      • V 의 원소는 벡터
      • + 는 벡터합
      • \cdot 는 스칼라곱
      • (V, +, \cdot) \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간의 예
    • (\mathbb{F}^{n}, +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 스칼라의 카테시안도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (M_{m \times n}(\mathbb{F}), +_{c}, \cdot_{c}) : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 행렬도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{S}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 함수들도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • (\mathbb{F}^{\mathbb{N}}, +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
      • 수열공간도 벡터공간이 된다. 위 8가지 조건을 만족함.
    • 미지수 x 에 대하여, \mathbb{F}[x] = \{a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n} | n \in \mathbb{N}, a_{i} \in \mathbb{F} \} \ , +' 는 다항식의 덧셈, \cdot ' 는 다항식에 스칼라곱이라 같이 정의하면
      • (\mathbb{F}[x], +', \cdot ') : \mathbb{F} 에 대한 벡터공간
    • V 를 “합동이면 같은 것으로 보는 유향 선분의 집합”, +' 는 “평행사변형식 덧셈”, 
    • \cdot ' 는 “길이만 스칼라배 늘리기”로 정의하면
      • (V, +', \cdot ') : \mathbb{R} 에 대한 벡터공간
  • 벡터공간이라면 다음이 성립한다.
    • \forall u, v, w \in V, u + w = v + w \Leftrightarrow u = v
    • \vec{0} 는 유일하다.
    • u 마다, (-u) 가 유일하다.
    • 0 u = \vec{0}
    • (- \alpha) u = \alpha (-u)
    • \alpha \vec{0} = \vec{0}
    • \alpha u = \vec{0} \Rightarrow \alpha = 0 \lor u = \vec{0}
    • \alpha x = \beta x (x \neq \vec{0}) \Rightarrow \alpha = \beta
    • \alpha x = \alpha y (\alpha \neq 0) \Rightarrow x = y
  • 벡터공간으로써 구조가 같다.
    • (V, +_{1}, \cdot_{1}), (W, +_{2}, \cdot_{2}) : Vector-space Isomorphic (over \mathbb{F} )
    • \Leftrightarrow
      • \exists \phi : V \to W : 전단사,
        • \phi (a +_{1} b) = \phi (a) +_{2} \phi (b)  
        • \phi(\alpha \cdot_{1} a) = \alpha \cdot_{2} \phi (a)  
    • 이때 \phi 를 VS isomorphism 이라 부른다.
      • \phi : V \approx W
    • \mathbb{F} \approx \mathbb{F}^{1} \approx M_{1 \times 1} (\mathbb{F})
    • \mathbb{F}^{n} \approx M_{n \times 1} (\mathbb{F}) \approx M_{1 \times n} (\mathbb{F})

데코수학/ 선형대수학/ 연립 1차 방정식 푸는법

개념

  • 연립 1차 방정식
    • 다음과 같은 방정식에 대하여
    • a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + ... +  a_{1n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + ... +  a_{2n} x_{n} = b_{2} \\ ... \\ a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + ... +  a_{mn} x_{n} = b_{m}
    • X = \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right) 이라 두면
    • 방정식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.
    • \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} b_{1} \\ b_{2} \\ ... \\ b_{m}  \end{array} \right)
    • 즉, 방정식을 AX = B 형태로 쓸 수 있다.
    • 이때 B = 0 이면 homogeneous라 하고, B \neq 0 이면 non-homogeneous라 한다.
  • 연립 방정식과 행렬
    • 연립 방정식에 다음 행위를 유한번 해도 해는 바뀌지 않는다.
      1. 두 식의 순서 바꾸기
      2. i번째 식에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 식에 j번째 식 더하기
    • 위 과정으로 방정식을 간단한 형태로 바꾸면 된다.
    • 위 방법을 AX = B 에 대한 행렬의 언어로 쓰면 다음과 같다.
    • 행렬 (A|B) 에 다음 행위를 유한번 해도 X 는 바뀌지 않는다.
      1. 두 행의 순서 바꾸기
      2. i번째 행에 0이 아닌 스칼라 곱하기
      3. i번째 행에 j번째 행 더하기
    • 위 과정으로 (A|B) 를 ‘간단한 형태’로 만들면 된다.
    • (A|B) A B 를 이어붙여 만든 행렬을 말한다. (argumented matrix)
    • 위 1, 2, 3의 과정을 기본행 연산이라 부르고, A가 기본행연산으로 B가 된다면 A \sim_{R}B 라 쓰고 행동치라 부른다.
    • ‘간단한 형태’란 RRE form을 말한다.
  • A : Row Echelon form
    1. 모든 성분이 0인 행은 아래에 위치한다.
    2. 0이 아닌 성분이 있는 행에 대하여 가장 앞에 있는 것을 pivot 이라 부를 때, pivot이 더 앞에 있는 행일 수록 더 위에 위치한다.
  • A : Reduced Row Echelon form
    1. A: Row Echelon form
    2. pivot 들이 전부 1이고, pivot이 있는 열은 piovt 외엔 전부 0이다.
  • 모든 행렬은 유한번의 기본행연산으로 RRE form으로 만들 수 있고 유일하다.
    • 그렇게 변환시킨 RRE form으로 연립방정식을 쉽게 풀 수 있다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 의 해 X_{1}, X_{2} 에 대하여 cX, X_{1} + X_{2} 도 해가 될 수 있다.
    • 이를 선형성이라 한다.
  • 연립일차방정식 AX = 0 에서 A m \times n (n > m) 행렬이면, 자명하지 않은 해를 가진다.
  • 기본행연산을 행렬곱으로 정의
    • A의 i번째 행과 j번째 행을 바꾸기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftrightarrow [j]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 0이 아닌 스칼라 C 곱하기
      • \Leftrightarrow I_{c [i]} \cdot A
    • A의 i번째 행에 j번째 행 더하기
      • \Leftrightarrow I_{[i] \leftarrow + [j]} \cdot A
    • 단위행렬에 적절한 변환을 준 후 행렬에 곱하면 기본행 연산이 된다. 위와 같이 변환된 단위행렬을 기본행렬이라 한다.
  • 기본행렬은 가역이고, 역행렬들도 기본행렬이다.
  • 가역인 RRE from은 I 뿐이다.
  • A : 가역
    • \Leftrightarrow A \sim_{R} I
    • \Leftrightarrow A = E_{1} E_{2} ... E_{k} (\exists E_{i} : 기본행렬)
    • \Leftrightarrow AX = 0 의 자명해는 X = 0 뿐이다.
    • \Leftrightarrow AX = B 는 유일해를 가진다.

데코수학/ 선형대수학/ 행렬 – 2

 

개념

  • 전치행렬
    • A = (a_{ij}) 일 때,
      • A^{T} = (a_{ji})
  • 대각합
    • A = (a_{ij}) \in m_{n, n} 일 때,
      • tr(A) = \sum_{x=1}^{n} a_{xx}
  • 가역행렬
    • 가역행렬이란 역행렬을 가지는 행렬
    • A : 가역 
      • \Leftrightarrow \exists B, BA = AB = I
      • 이때 B를 A의 역행렬이라 부른다.
  • 역행렬
    • A 의 역행렬은 A^{-1} 로 표기
    • A 의 역행렬은 유일하다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d  \end{array} \right) 일 때,
      • A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a  \end{array} \right)
  • 가역행렬과 역행렬은 정사각행렬에서만 정의 가능.
  • AB = 0 이어도 BA = 0 이 안 될 수 있다.
    • A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0  \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0  \end{array} \right) 일 때 성립 안 함.
  • O(n) = \{ A \in M_{n, n}(\mathbb{R}) | A^{-1} = A^{T} \} 일 때, (역행렬과 전치행렬이 같은 행렬들의 집합. 직교행렬이라고도 한다)
    • I_{n} = O(n)
    • A, B \in O(n) \Rightarrow AB \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{-1} \in O(n)
    • A \in O(n) \Rightarrow A^{T} \in O(n)

행렬식

  • (A^{T})^{T} = A
  • (A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}
  • (cA)^{T} = cA^{T}
  • (AB)^{T} = B^{T}A^{T}
  • tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c \cdot tr(A)
  • tr(A^{T}) = tr(A)
  • tr(AB) = tr(BA)
  • I^{-1} = I
  • (cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
  • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (A^{-1})^{-1} = A
  • (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}
  • (A^{-1})^{n} = (A^{n})^{-1}
  • (A^{n})^{T} = (A^{T})^{n}
    • 위 3가지 경우에 의해 n(거듭제곱), -1(역행렬), T(전치행렬)은 순서를 바꿔도 무방하다.

데코수학/ 선형대수학/ 행렬 – 1

개념

  • 행렬의 정의
    • 행렬이란 벡터공간 위에 있는 선형 함수
    • 행렬이란 숫자들의 2차원 배열
    • i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, a_{ij} \in \mathbb{F} 일 때
      • A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1}  & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right) \mathbb{F} 위의 m \times n 행렬이라 한다.
  • 행렬 표기법
    • A = a_{ij}
    • M_{m, n}(\mathbb{F}) : \mathbb{F} 위의 모든 m \times n 행렬의 집합
    • [A]_{i} : A의 i번째 행 (1 \times n 벡터)
    • [A]^{j} : A의 j번째 열 (m \times 1 벡터)
  • A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in M_{m, n}(\mathbb{F}) 일 때
    • A = B \Leftrightarrow \forall_{i,j}, a_{ij} = b_{ij}
    • A + B := (a_{ij} + b_{ij})
    • c A := (c \cdot a_{ij})
  • A = (a_{ij}) \in M_{m, n}, B = (b_{ij}) \in M_{n, l} 일 때
    • AB := (\sum_{x=1}^{n} a_{ix} b_{xj}) \in M_{m, l}
      • ab_{ij} = [A]_{i} \cdot [B]^{j}
  • 0_{m, n} = (0)
  • I_{n} = (\delta_{ij})
    • \delta_{ij} \Rightarrow 1 (i = j), 0 (i \neq j) 
  • A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)
    • \Rightarrow A^{2} - (a + d) A + (ad -bc) I = 0

행렬식

  • A, B 행렬, r, s \in \mathbb{F}
    • A + B = B + A
    • A + (B + C) = (A + B) + C
    • A + 0 = A
    • A + (-A) = 0
    • (r + s)A = rA + sA
    • r(A + B) = rA + rB
    • r(sA) = (rs)A
    • (AB)C = A(BC)
    • AI = IA = A
    • (A + B)C = AC + BC
    • r(A)B = r(AB) = A(rB)
    • A^{n} := A \cdot A^{n-1}
    • A^{0} = I