앞서 가 부분공간 의 생성집합이고, 의 어떤 진부분집합도 를 생성하지 못할 때, 는 일차독립임을 확인하였다.
일차독립인 (의) 생성집합 에는 아주 특별한 성질이 있다. 에 속한 벡터는 반드시 의 일차결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다.
이 성질을 이용하면 일차독립인 생성집합은 주어진 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각이라 할 수 있다.
정의)
벡터공간 와 부분집합 를 생각하자. 가 일차독립이고 를 생성하면 의 기저(basis)라 한다. 가 의 기저일 떄, 의 벡터는 (의) 기저를 형성한다.
예제 1)
이고 은 일차독립이다. 즉, 은 점공간의 기저이다.
예제 2)
벡터공간 에 대해 다음 벡터를 생각하자.
집합 는 의 기저이다. 이 특별한 기저를 의 표준기저(standard basis)라 한다.
예제 3)
행렬 는 행 열 성분만 이고, 나머지 성분은 인 행렬이다. 집합 는 의 기저이다.
예제 4)
집합 은 벡터공간 의 기저이다. 이 특별한 기저를 의 표준기저라 한다.
예제 5)
집합 는 의 기저이다.
예제 5에 따르면 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다. 이번 절의 후반부에서는 의 어떤 기저도 유한집합일 수 없음을 보일 것이다. 기저가 유한집합이 아닌 벡터공간도 존재한다.
기저의 매우 중요한 성질을 설명하는 다음 정리는 특히 다음 장에서 자주 사용한다.
정리 1.8)
벡터공간 와 이 공간에 속한 서로 다른 개의 벡터 를 생각하자. 집합 가 의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 ‘임의의 벡터 를 에 속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다’는 것이다.
즉 유일한 스칼라에 대하여 벡터 는 다음과 같다.
증명)
의 기저를 라 하자. 벡터 에 대하여 이므로 이다. 이제 의 에 대한 일차결합 표현을 두 가지로 표현할 수 있다고 가정하다.
이고
첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 다음과 같다.
가 일차독립이므로 이고 이다. 따라서 에 대한 의 일차결합 표현은 유일하다.
정리 1.8에 의하면 이 의 기저를 형성할 떄 의 모든 벡터는 적절히 스칼라 를 가져와 다음과 같이 유일한 일차결합 형태로 표현할 수 있다.
즉 가 주어지면 스칼라 순서쌍 이 결정된다.
반대로 스칼라 순서쌍이 주어지면 각 성분을 의 일차결합의 계수로 가지는 유일한 벡터 를 생각할 수 있다.
그렇다면 벡터공간 는 벡터공간 와 별반 다를 바 없어 보인다. 이때 은 의 기저를 형성하는 벡터의 개수이다.
2.4절에서는 두 벡터공간이 본질적으로 같음을 확인할 것이다.
이 책은 주로 기저가 유한집합인 경우를 다룬다. 정리 1.9에 의하면 벡터공간의 상당수가 이 범주에 들어간다.
정리 1.9)
유한집합 가 벡터공간 를 생성하면 의 부분집합 중 의 기저가 존재한다. 즉, 에는 유한집합인 기저를 포함한다.
증명)
또는 이면 이다. 는 의 부분집합이면서 의 기저이다.
이제 가 영이 아닌 벡터 이 있다고 가정하자. 명제 2에 따르면 은 일차독립인 부분집합이다. 집합 가 일차독립이 되도록 에서 순차적으로 를 꺼내자.
가 유한집합이므로 이 과정을 유한 번 반복하면 끝난다. 최종적으로 얻은 집합을 이라 하자. 이제 가능한 경우는 두 가지 뿐이다.
일 때 는 일차독립이고 의 생성집합이므로 의 기저이다.
가 의 일차독립인 진부분집합일 때, 에서 다른 벡터를 선택하여 에 추가하는 순간 일차종속이 되면 가 의 기저임을 보이자.
는 구성 방식에 의해 일차독립이다. 이제 가 를 생성함을 보이자. 정리 1.5에 의해 임을 보이면 충분하다.
에 대하여 이면 당연히 이다.
이면 는 일차종속이다. 정리 1.7로부터 이다. 따라서 이다.
정리 1.10) 대체정리(replacement theorem)
개의 벡터로 이루어진 집합 가 벡터공간 를 생성한다고 하자. 이 개의 일차독립인 벡터로 이루어진 의 부분집합이면 이다. 또한 다음 조건을 만족하는 집합 가 존재한다. 는 개의 벡터로 이루어졌으며 는 를 생성한다.
증명)
에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. (즉 )일 때는 로 잡으면 된다.
이제 어떤 정수 에 대하여 위 정리가 성립한다고 가정하고 일 때도 이 정리가 성립함을 증명해 보자.
이 개의 벡터로 이루어진 일차독립인 (의) 부분집합이라 하자. 정리 1.6의 따름정리로부터 은 일차독립이다. 수학적 귀납법의 가정에 의해 집합 이 를 생성하도록 하는 의 부분집합 이 존재한다 (단 )
이제 다음 등식을 만족하는 스칼라 과 스칼라 이 존재한다.
여기서 임을 유념하자. 혹시 이지 않을까? 그렇다면 이 의 일차결합이 되고, 이는 정리 1.7에 의해 이 일차독립이라는 사실에 모순이다. 이므로 이다.
또한 중 이 아닌 스칼라가 반드시 존재한다. 이 스칼라를 이라 하자. (모든 가 모두 이라면 직전과 똑같은 모순이 발생한다) 위식을 에 대하여 풀면 다음과 같다.
이제 이라 잡으면 임을 알 수 있다. 이므로 다음이 성립한다.
이 를 생성하므로 정리 1.5에 의해 이다.
는 개의 벡터를 가진 의 부분집합이므로 이 정리는 일 때도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 주어진 명제는 참이다.
따름정리 1)
벡터공간 가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하자. $latex V &s=2의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수로 이루어져 있다.
증명)
가 개의 벡터로 이루어진 의 기저이고, 가 의 또 다른 기저라 하자.
가 개를 초과하는 벡터로 이루어져 있으면 개의 벡터로 이루어진 의 부분집합 를 생각할 수 있다.
는 일차독립이고 는 를 생성하므로 대체정리에 의해 이 성립해야 한다. 이는 모순이다. 즉 가 개의 벡터로 이루어진 유한집합이면 이다.
와 를 바꾸어 똑같은 논리를 반복하면 을 얻는다. 따라서 이다.
유한집합인 기저를 가지는 벡터공간을 생각하자. 대체정리의 따름정리 1에 따르면 의 기저를 형성하는 벡터의 개수는 벡터공간 의 본질적인 성질임을 알 수 있다. 이제 다음을 정의할 수 있다.
정의)
기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 한다. 의 기저가 개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, 라 표기한다.
유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.
예제 7)
벡터공간 의 차원은 이다.
예제 8)
벡터공간 의 차원은 이다.
예제 9)
벡터공간 의 차원은 이다.
예제 10)
벡터공간 의 차원은 이다.
벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라 차원이 달라질 수 있다.
예제 11)
복소수체 에서 복소수 벡터공간의 차원은 이고, 기저는 이다.
예제 12)
실수체 에서 복소수 벡터공간의 차원은 이고 기저는 이다.
대체정리의 첫 번째 결론에 의하면 유한차원 벡터공간 에서 보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 일차독립일 수 없다.
예제 13)
벡터공간 는 무한차원이다. 예제 5에서 확인했듯이 무한집합 가 존재하기 때문이다.
예제 13에서 다룬 일차독립인 무한집합 은 벡터공간 의 기저이다. 아직 여기서는 무한차원 벡터공간이 반드시 기저를 가짐을 장담할 수 없지만, 1.7절에서 모든 벡터공간은 기저를 가짐을 증명할 것이다.
유한차원 벡터공간 에서 보다 더 많은 벡터를 가지면서 일차독립인 부분집합이 존재하지 않는 것처럼, 생상집합의 크기와 관련된 명제를 생각할 수 있다.
따름정리 2)
를 차원이 인 벡터공간이라 하자
의 유한 생성집합에는 반드시 개 이상의 벡터가 있다. 또한 개의 벡터로 이루어진 (의) 생성집합은 (의) 기저이다.
일차독립이고 개의 벡터로 이루어진 (의) 부분집합은 의 기저이다.
일차독립인 (의) 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다. 다시 말해 이 일차독립이면 인 의 기저 가 존재한다.
증명) 의 기저를 라 하자.
의 유한 생성 집합을 라 하자.
정리 1.9에 따르면 의 부분집합이자 의 기저인 집합 가 존재한다.
대체정리의 따름정리 1에 의해 는 정확히 개의 벡터로 이루어져 있다. 의 부분집합이 개의 원소를 가지므로 에는 개 이상의 벡터가 있다.
또한 가 정확히 개의 벡터를 가지면 이다. 즉 는 의 기저이다.
정확히 개의 벡터로 이루어진 일차독립인 (의) 부분집합을 이라 하자.
대체정리에 의해 다음 조건을 만족하는 의 부분집합 가 존재한다.
는 개의 벡터로 이루어졌으며 가 를 생성한다.
이므로 은 를 생성한다. 조건에서 은 일차독립이므로 은 의 기저이다.
개의 벡터로 이루어진 의 일차독립인 부분집합을 이라 하자.
대체정리에 의해 다음 조건을 만족하는 의 부분집합 가 존재한다.
는 개의 벡터로 이루어졌으며 가 를 생성한다.
에는 기껏해야 개의 벡터가 있다. 1에 의해 는 개의 벡터로 이루어져 있고 는 의 기저이다.
(기저가 일차독립이라고 해서, 유일한 것은 아니다)
기저와 연관 개념
벡터공간 의 부분집합이 기저이기 위해서는 를 생성하고 일차독립이어야 한다.
의 어떤 기저가 유한집합이면, 의 모든 기저는 이 집합과 같은 개수의 벡터를 포함한다.
이 자연수 개수는 의 차원이고 는 유한차원 벡터공간이다.
벡터공간 의 차원이 이면 의 모든 기저는 반드시 개의 벡터로 이루어져 있다.
더 나아가 의 일차독립인 부분집합은 개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며, 적절히 몇 개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다.
의 모든 생성집합은 적어도 개 이상의 벡터를 가지며 몇 개 벡터를 적절히 제외하면 의 기저로 축소할 수 있다.
아래 그림은 이 관계를 묘사한다.
(어떤 벡터 공간 를 생성하는 집합과 일차 독립인 집합의 교집합이 의 기저라는 이야기)
부분공간의 차원
정리 1.11)
유한차원 벡터공간 에 대하여 부분공간 는 유한차원이고 이다. 특히 이면 이다.
증명)
이라 하자. 이면 는 유한차원이고 이다.
그렇지 않으면 는 영이 아닌 벡터 를 가지고 은 일차독립이다. 가 일차독립이 되도록 에서 벡터 를 순차적으로 하나씩 꺼내자.
의 일차독립인 부분집합은 개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으므로 이 과정은 인 에서 멈춘다.
이때 는 일차독립이며 에서 벡터를 하나만 더 꺼내 추가하면 일차종속이 된다.
정리 1.7에 의해 집합 는 를 생성하므로 의 기저이다. 즉 이다.
만약 이면 의 기저는 개의 벡터로 이루어졌으며 일차독립인 의 부분집합이다.
대체정리의 따름정리 2에 의하면 의 기저인 이 집합은 의 기저이기도 하다. 즉 이다.
예제 18)
다음과 같이 주어진 벡터공간 는 의 부분공간이다.
의 기저는 이므로 의 차원은 이다.
예제 19)
대각행렬의 집합 는 의 부분공간이다. 의 기저는 (단 는 행 열 성분만 이고 나머지 성분은 모두 인 행렬)이므로 의 차원은 이다.
예제 20)
대칭행렬의 집합 는 의 부분공간이다. 의 기저는 (단 는 행과 열과 행 열의 성분만 이고 나머지 성분은 모두 인 행렬)이므로 의 차원은 다음과 같다.
따름정리)
유한차원 벡터공간 의 부분공간 를 생각하자. 의 임의의 기저를 가져오면 이 기저를 확장하여 의 기저를 얻을 수 있다.
증명)
의 기저를 라 하자. 는 의 일차독립인 부분집합이므로 대체정리의 따름정리 2에 의해 의 기저로 확장할 수 있다.
예제 21)
다음과 같은 형태의 다항식을 원소로 갖는 집합 를 생각하자.
이 집합은 의 부분공간이다. 의 기저는 이고 의 표준기저의 부분집합이다.
정리 1.11을 사용하면 와 의 부분공간을 분류할 수 있다.
은 2차원 벡터공간이므로 부분공간의 차원은 가 될 수 있다. 차원이
인 부분공간은 이고 차원이 인 부분공간은 이다.
차원이 인 부분공간은 (영이 아닌 벡터) 을 하나 선택하고, 벡터의 스칼라 곱인 벡터를 원소로 가지는 집합이다.
자연스러운 방식을 따라 의 점을 유클리드 평면의 점과 일대일대응하면 의 부분공간을 기하학적으로 묘사할 수 있다.
차원이 인 부분공간은 유클리드 평면의 원점이다. 차원이 인 부분공간은 원점을 지나는 직선이다. 차원이 인 부분공간은 유클리드 평면 전체이다.
비슷한 방식으로 의 차원은 이 될 수 있다. 유클리드 차원 공간에서 차원이 인 부분공간은 원점이고, 차원이 인 부분공간은 원점을 지나는 직선, 차원이 인 부분공간은 원점을 포함하는 평면, 차원이 인 부분공간은 유클리드 차원 공간 전체이다.
라그랑주 보간법
지금까지 배운 내용은 실험이나 표본에서 수집한 데이터를 가공하는 고정에 응용할 수 있다.
예컨대 뉴욕에서 런던까지 가는 비행기의 몇 개의 특정한 시간과 위치를 대응한 데이터가 있다고 하자. 나머지 시간에 비행기가 어느 위치에 있는지 추정하려고 한다. 이미 알고 있는 값을 바탕으로 그 사이의 값을 추정하는 방법을 보간법 또는 내삽법(interpolation)이라 한다.
대체정리의 따름정리 2는 데이터를 다항함수로 근사하는 유용한 공식을 얻는데 사용한다.
이 무한체 에서 꺼낸 스칼라일 떄, 다음과 같이 정의한 다항식 를 에 대한 라그랑주 다항식(Lagrange polynomial)이라 한다.
각 다항식 는 차수가 인 다항식이고 의 원소이다. 이제 다항함수 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
라그랑주 다항식의 성질은 집합 이 의 일차독립인 부분집합임을 보이는데 사용된다. 다음 함수가 영함수라 가정하자.
이 함수에 를 입력하면 이다.
한편 (1, 10)에 의해 이다. 따라서 모든 에 대하여 이고 는 일차독립이다.
의 차원이 이므로 대체정리의 따름정리 2로부터 는 의 기저이다.
가 의 기저이므로 에 속하는 모든 다항식 는 의 일차결합 로 표현할 수 있다.
식의 양변에 를 입력하면 는 다음과 같다.
따라서 는 에 의한 유일한 일차결합 표현이다. 이 식을 라그랑주 보간법(Lagrange interpolation formula)이라 한다.
지금까지의 논의에 따르면 개의 스칼라 (중복되는 값이 있을 수도 있다)이 주어질 떄 다항함수 는 인 유일한 다항식()이다.
즉 입력 값이 일 때, 출력 값이 이며 차수가 을 넘지 않는 유일한 다항식을 항상 찾을 수 있다.
그래프가 세 점 을 지나는 이차 이하의 다항함수를 찾아보자. ( 이고 이다.) 에 대한 라그랑주 다항식은 다음과 같다.
찾고자하는 다항식 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
라그랑주 보간법을 바탕으로 확인할 수 있는 중요한 사실을 언급하며 이번 절을 마친다. 다항식 와 서로 다른 개의 스칼라 에 대하여 이면 는 영함수이다.
이러한 집합은 의 모든 벡터를 에서 꺼낸 유한개의 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있기 때문이다. 구체적으로 말하면 가 작아질수록 의 벡터를 일차결합으로 표현하는데 필요한 연산의 횟수가 적어진다.
집합 에서 꺼낸 한 벡터가 의 다른 벡터들의 일차결합으로 표현되는지를 판단하려면 다음이 성립하는지를 보면 된다.
일 때
을 만족하는 이 존재하는지 확인하면 된다.
이 존재하는지 확인하려면 위 계수와 벡터를 이용한 연립방정식의 해가 있는지를 확인하면 되는데, 집합 내의 모든 벡터에 대해 연립방정식을 일일히 확인하는 것은 현실적이지 않다.
위 식의 관점을 바꾸면 과 같이 정리할 수 있는데, 의 어떤 벡터가 다른 벡터의 일차결합이면 영벡터를 의 칠차결합으로 표현할 때, 어떤 계수가 이 아닌 표현이 존재한다. 이 명제의 역도 참이다.
정리하자면 영벡터를 의 벡터의 일차결합으로 표현하는 (모든 계수가 0인 것 외에) 다른 방법이 존재하면, 의 어떤 벡터는 다른 벡터의 일차결합이다.
(좀 더 직관적인 표현을 해보자면, 집합 내의 어떤 벡터는 같은 집합 내의 다른 벡터들의 결합으로 표현할 수 있다는 것이다. 이 말인 즉슨 집합 내에 불필요한 벡터(다른 벡터로 표현하면 되기 때문)가 존재한다는 이야기고, 이게 바로 집합 가 독립적이지 않다는 뜻이 된다. 독립적이면 일차독립 (또는 선형독립), 독립적이지 않으면 일차종속(또는 선형종속) 이라 한다)
정의)
벡터공간 의 부분집합 에 대하여 을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 이 존재하면 집합 는 일차종속(linearly dependent)라 한다. 이때 의 벡터 또한 일차종속이다.
임의의 벡터 에 대하여 이면 이다. 이를 의 일차결합에 대한 ‘영벡터의 자명한 표현(tirivial representation of 0)’이라 한다.
집합이 일차종속이면 적절한 벡터를 택하여 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다. 영벡터 을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. 은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.
정의)
벡터공간의 부분집합 가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이다. 이때 의 벡터 또한 일차독립이다.
일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모든 벡터공간에서 참이다.
명제 1 – 공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다.
명제 2 – 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 만약 가 일차종속이면 이 아닌 스칼라 에 대하여 이다. 양변에 을 곱하면 이므로 가 영벡터가 아니라는 사실에 모순이다.
명제 3 – 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.
정리 1.6)
는 벡터공간이고 이다. 이 일차종속이면 도 일차종속이다.
따름정리)
는 벡터공간이고 이다. 가 일차독립이면 도 일차독립이다.
앞서 집합 가 최소생성집합(의 진부분집합은 생성집합이 아니라는 뜻)인지 확인하는 문제는 의 어떤 벡터가 (의) 다른 벡터의 일차결합으로 표현되는지 판단하는 것과 같은 문제임을 설명하였다.
다시 말해 가 최소생성집합인지 판단하는 것은 집합 가 일차독립인지 확인하는 것과 같다.
일반적으로 가 두 개 이상의 벡터를 가지고 일차종속인 집합이라 하자. 를 의 다른 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있으면 에서 를 뺸 진부분집합으로도 와 같은 공간을 생성할 수 있다.
즉, 의 어떤 진부분집합도 와 같은 공간을 생성하지 못하면 는 일차독립이다.
이 진술을 다르게 표현하면 다음과 같다.
정리 1.7)
벡터공간 그리고 일차독립인 부분집합 를 생각하자. 에 포함되지 않는 벡터 에 대하여 가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 이다.
증명)
가 일차종속이면 다음 식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다. (단 스칼라 중 적어도 하나는 이 아니다)
가 일차독립이므로 위 식에 등장한 벡터 중 하나는 반드시 이다. 이 벡터를 이라 하자. 이제 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
는 의 일차결합이므로 이다.
역으로 라 가정하자. 다음 식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다.
그러므로 이다. 이므로 이다.
이런 이유로 위 일차결합에서 의 계수는 이 아니고 집합 는 일차종속이다. 정리 1.6에 의해 는 일차종속이다.
대수학에서는 부분집합과 처음 주어진 집합이 대수적 구조가 서로 같은지의 여부가 주요 화제다. 이번 절에서는 벡터공간에서 부분집합의 대수적 구조를 살펴본다.
정의)
-벡터공간 의 부분집합 를 생각하자. 이 부분집합 가 에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 -벡터공간일 때, 의 부분공간(subspace)이라 한다.
모든 벡터공간 에 대하여 와 은 부분공간이다.
특히 은 점공간인 부분공간(zero subspace)이라 한다.
다행히 어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요는 없다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)이 성립하면 부분집합의 모든 벡터에 대해서도 당연히 성립하기 때문이다.
부분집합 가 의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지 성질을 만족하는 것이다.
모든 에 대하여 이다. (는 덧셈에 대하여 닫혀있다)
모든 와 모든 에 대하여 이다. (는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다)
는 영벡터를 포함한다.
에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 의 원소이다.
다음 정리에 따르면 의 영벡터와 의 영벡터는 반드시 같으며, 부분공간인지 확인할 때 성질 4는 굳이 확인할 필요가 없다.
정리 1.3)
벡터공간 와 부분집합 를 생각하자. 가 의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때 연산은 에서 정의된 것과 같다.
증명)
가 의 부분공간이면 는 에서 정의된 합과 스칼라 곱을 그대로 물려받은 벡터공간이므로 두 조건 2, 3이 성립한다.
의 영벡터를 이라 하면 에 대하여 이다. 한편 이므로 도 성립한다. 정리 1.1에 의해 이다. 따라서 조건 1이 성립한다.
역으로 세 조건 1, 2, 3이 성립한다고 가정하자. 직전의 논의에 따르면 (의) 부분공간 에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 의 원소임을 보이면 충분하다. 조건 3으로부터 이면 이고 정리 1.2에 의해 이다. 즉 는 의 부분공간이다.
정리 1.3을 이용하면 주어진 부분집합이 부분공간인지 쉽게 판별할 수 있다. 앞으로 주어진 집합이 부분공간임을 증명해야 할 때, 이 방법을 자주 사용할 것이다.
행렬 의 전치행렬(transpose matrix) 는 의 행과 열을 바꾸어 얻은 행렬이다. 즉 이다.
전치행렬의 예는 다음과 같다.
대칭행렬(symmetric matrix)는 인 행렬이다. 위에 소개한 행렬은 대칭행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. 의 모든 대칭행렬을 원소로 하는 집합 는 부분공간이다. 확인해 보자.
영행렬의 전치행렬은 영행렬이다. 즉 영행렬은 의 원소이다.
이면 이고 이다. 즉 이다.
이면 이고 임의의 스칼라 에 대하여 이다. 즉 이다.
예제 1)
음이 아닌 정수 에 대하여 을 이하의 차수를 가진 다항식이라 하자. 은 의 부분집합이다.
영 다항식의 차수는 이므로 에 속한다.
차수가 이하인 두 다항식을 더하면 차수가 이하이다.
차수가 이하인 두 다항식에 스칼라 곱을 해도 차수는 바뀌지 않는다.
따라서 은 의 부분공간이다.
예제 2)
실수집합 에서 로 가는 모든 연속함수의 집합을 라 하자. 명백히 는 벡터공간 의 부분집합이다. 이제 가 의 부분공간임을 보이자.
에 속한 영함수 는 모든 실수 에 대하여 함숫값이 인 상수함수이다. 상수함수는 연속함수이므로 이다.
두 연속함수의 합은 연속함수이고, 연속함수의 스칼라곱도 연속함수이므로 은 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있다.
따라서 은 의 부분공간이다.
다음 두 종류의 행렬은 특히 중요하다.
행렬 는 대각성분 아래의 모든 성분이 이면 상삼각행렬 또는 위삼각행렬(upper triangular matrix)이라 한다. 즉 일 때 인 행렬이다. (아래 행렬 )
대각성분을 제외한 모든 성분이 인 정사각행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다. 다시 말해 일 때 인 행렬 이다. (아래 행렬 )
예제 3)
영행렬은 (모든 성분이 이므로) 대각행렬이다. 대각행렬 와 는 일때 임의의 스칼라 에 대하여 다음을 만족한다.
따라서 정리 1.3으로부터 대각행렬의 집합은 의 부분공간이다.
예제 4)
행렬 의 대각합(trace)은 모든 대각성분의 합이고 으로 표기한다.
대각합이 인 행렬의 집합은 의 부분공간이다.
예제 5)
모든 음이 아닌 실수 의 행렬의 집합은 의 부분공간이 아니다. 이 집합은 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.
정리 1.4)
벡터공간 의 부분공간들을 생각하자. 이 부분공간들의 임의의 교집합은 의 부분공간이다.
증명)
의 부분공간을 원소로 하는 집합족(collection)을 라 하고 에 속한 모든 부분공간의 교집합을 라 하자.
영벡터는 모든 부분공간에 속하므로 이다. 스칼라 와 벡터 에 대하여 는 에서 꺼낸 임의의 부분공간에 속한다. 벡터공간은 합과 스칼라 곱에 닫혀 있으므로 와 도 부분공간에 속한다.
즉 이므로 는 정리 1.3에 의해 의 부분공간이다.
벡터공간 의 임의의 교집합이 부분공간임을 확인하였으니 합집합 또한 부분공간인지 아닌지 확인해 보자.
부분공간의 합집합이 영벡터를 포함하고, 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있음을 어렵지 않게 보일 수 있다. 아쉽게도 합에 대해서는 닫혀있다고 보장할 수 없다.
사실 의 두 부분공간의 합집합이 의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 한 부분공간이 다른 부분공간에 포함되는 것이다.
두 부분공간 과 가 주어질 때 두 부분공간을 결합하여 과 를 포함하는 더 큰 부분공간을 만드는 자연스러운 방법이 있다. 앞서 설명한 것처럼 이 방법의 핵심은 벡터 합에 대하여 닫힌 공간을 만드는 것이다.
연습문제 정의)
공집합이 아닌 과 는 벡터공간 의 부분집합이다. 두 집합의 합(sum) 는 다음과 같이 정의한다.
벡터공간 와 부분공간 에 대하여 이고 이면
는 와 의 직합(direct sum)이라 하고 라 표기한다.
인 행렬 을 skew-symmetric matrix(반대칭 행렬)이라 한다. skew-symmetric 행렬은 정사각행렬이다.
-벡터공간 와 부분공간 를 생각하자. 임의의 에 대하여 다음 집합을 를 포함하는 의 coset(잉여류)라고 한다.