선형변환의 행렬표현

• 정의)
  • 유한차원 벡터공간 의 순서기저(ordered basis)는 순서가 주어진 기저이다. 즉, 일차독립이며 를 생성하는 벡터들로 이루어진 유한 수열을 순서기저라 한다.
• 예제 1)
  • 에서 과 는 모두 순서기저이다. 순서기저로보면 이다.
• 벡터공간 에서 을 의 표준 순서기저(standard ordered basis)라 한다. 비슷한 방식으로 벡터공간 에서 을 의 표준 순서기저라 한다.
• 순서기저의 개념이 등장하였으므로 차원 벡터공간의 추상적인 벡터와 순서쌍을 같게 나타낼 수 있다. 이때 다음에 소개하는 벡터 개념을 사용한다.
• 정의)
  
  • 유한차원 벡터공간 의 순서기저를 이라 하고, 에 대하여 은 를 만족하는 유일한 스칼라라 하자.
  • 에 대한 의 좌표벡터(coordinated vector) 은 다음과 같다.
    • 
• 위 정의에 의하면 이다. 대응 가 에서 으로 가는 선형변환임을 증명하는 것은 여러분의 몫으로 남긴다.
• 예제 2)
  • 순서기저 를 가지는 벡터공간 에 대하여
  • 일 때, 이다.
• 선형변환의 행렬표현을 알아보자.
  • 유한차원 벡터공간 와 각각의 순서기저 , 선형변환 를 생각하자.
  • 일 때, 마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 가 존재한다.
    • (단 )
• 정의)
  • 위의 표기법을 그대로 사용하자. 성분이 인 행렬 를 순서기저 와 에 대한 선형변환 의 행렬표현(matrix representation)이라하고 라 표기한다.
  • 이면 간단히 라 표기한다.
• 의 열은 이다. 또한 선형변환 가 를 만족하면 정리 2.6의 따름정리로부터 이다.
• 예제 3)
  • 다음과 같이 정의한 선형변환 을 생각하자.
    • 
  • 와 의 표준 순서기저를 각각 와 라 할 때 다음이 성립한다.
    • 
    • 
  • 즉, 이다. 
  • 또 다른 순서기저 를 가져오면 이다.
• 예제 4)
  • 선형변환 가 를 만족한다고 하자. 와 의 표준 순서기저를 각각 라 할 때 다음이 성립한다.
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 즉, 이다. 을 의 일차결합으로 표현할 때, 계수를 모으면 의 열이 된다.
• (교재에는 설명이 충분히 안 나와서 연습문제 추가)
  • 선형변환 을 라 정의하자. 가 의 표준기저이고 가 일 때 다음을 구하라.
  • 를 구하라
    • 이므로
    • 
    •  
    • 
  • 일 때 를 구하라
    • 
    •  
    • 
  • 요약하자면 의 기저를 , 의 기저를 라 할 때 
    • 
    • 
    • …
    • 
    • 이 되도록 하는 각 을 찾아서 행렬식으로 표현하면 그게 행렬이 된다.
    • 이때 선형변환으로 만들어지는 행렬의 크기는 일 때 가 된다. 
• 와 는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 이라 하자.
  • 이므로 이다. ( 영행렬)
  • 또한 다음 식이 성립하므로 의 열은 이다.
    • 
  • 따라서 이다. 이 행렬은 항등행렬이다.
• 이제 매우 편리한 표기법인 크로네커 델타를 소개하겠다.
• 정의)
  • 크로네커 델타(Kronecker delta)는 다음과 같이 정의한다.
    • 일 때, 이고 일 때,
  • 항등행렬(identity matrix) 의 성분은 이다. 가리키는 것이 명확하면 항등행렬 아래 첨자를 생략하고 라 표기하기도 한다.
• 예컨대 이다. 즉 영변환의 행렬표현은 영행렬이고, 항등변환의 행렬표현은 항등행렬이다.
• 행렬과 선형변환을 연결하였으므로 정리 2.8에서 이 연결이 합과 스칼라 곱을 보존함을 보일 것이다. 이를 위해 우선 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의하는 것에서 시작하자.
• 정의)
  • -벡터공간 사이에 정의된 임의의 함수 와 스칼라 에 대하여, 두 함수의 합 와 스칼라 곱 을 다음과 같이 정의한다.
    • 합: 모든 에 대하여
    • 스칼라 곱: 모든 에 대하여
• 이는 함수의 합과 스칼라 곱에 대한 보편적인 정의와 같다. 선형변환의 합과 스칼라 곱은 여전히 선형변환임을 다음 정리에서 확인하자.
• 정리 2.7)
  • -벡터공간 와 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
    1. 임의의 에 대하여 는 선형이다.
    2. 위 정의와 같이 선형변환의 합과 스칼라 곱을 정의할 때 에서 로 가는 모든 선형변환의 집합은 -벡터공간이다.
• 증명)
  1. 에 대하여 다음이 성립한다.
     • 
     • 
     • 
     • 
     • 
     • 즉 는 선형이다.
  2. 영변환 는 (에서 로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합에서) 영벡터의 역할을 한다.
     • 에서 로 가는 모든 선형변환을 원소로 가지는 집합이 벡터공간의 공리를 만족함은 쉽게 확인할 수 있다. 즉, 이 집합은 -벡터공간이다.
• 정의)
  • -벡터공간 에 대하여 에서 로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 라 표기한다. 이면 를 간단히 라 표기한다.
• 2.4절에서 와 (이때 와 의 차원은 각각 과 )가 본질적으로 같음을 보이는 과정을 마무리 할 것이다.
• 정리 2.8)
  • 유한차원 벡터공간 와 각각의 순서기저 , 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
    1. 
    2. 모든 스칼라 에 대하여
  • 증명)
    1. 라 하자. 다음 식을 만족하는 유일한 스칼라 가 존재한다.
       • 
       • 즉 이고 이다.
    2. (1)과 비슷한 방식으로 증명할 수 있다.
• 예제 5)
  • 선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
    • 
    • 
  • 와 는 각각 과 의 표준 순서기저이고 다음이 성립한다. (는 예제 3에서 구했다)
    • 
  • 를 앞서 소개한 정의에 따라 계산하면 이다. 이제 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
    • 
  • 정리 2.8에서 설명한 것처럼 와 같다.

• One-to-one mapping (단사함수)
  • 
• Onto mapping (전사함수)
  • 

Thm 2.4 linear

• 
  
  • 가 단사함수면 널공간의 원소는 벡터 뿐이다.
• 증명)
  • 
    • 
    • 
    • 는 단사함수이므로
    • 
  • 
    • 
    • 
    • 이므로
    • 
  • 는 단사함수

Thm 2.5

• 일때
  • (정의역과 공역의 차원이 유한하고 동일할 때)
• 일 때 다음은 모두 동치이다.
  
  • 는 전사 함수
  • 는 단사 함수
  • 
• 증명)
  • 는 단사함수
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

• 증명) 
  • 일 때 가 선형이고 단사함수면 집합 는 선형독립 는 선형독립
  • 
    • 라 하면
    • 
    • 단사이므로
    • 
    • 는 선형독립
  • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 는 선형독립

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

Thm 2.6 

• 가 -벡터공간일 때
  
  • 의 기저 에 대하여
  • 의 원소 를 만드는 선형 변환 는 유일하게 존재한다. ()

Corollary

• 가 -벡터공간일 때
  
  • 의 기저 에 대하여
  • 선형변환 가 이면
  • 기저가 같은 곳으로 매핑되면 다른 원소들은 같은 곳으로 매핑된다.

(예제 생략 – 교재 정리 내용과 동일)

Matrix representation

• 순서기저
  • 에 대하여 이라 할 때
    
    • 는 표준기저
  • 가 순서기저면 그 둘은 같지 않다.
  • 는 의 표준순서기저이고
  • 는 의 표준순서기저이다.
  • 순서기저이기 때문에 순서가 중요하고, 순서가 달라지면 다른 기저가 된다.
• 를 의 순서기저라 할 때
  • 
• 에 대한 좌표벡터 를 정의할 수 있다.
  • 

선형변환, 영공간, 상공간

• 이번 절에서는 다양한 선형변환을 소개할 것이다. 정의역이 이고 공역이 인 함수 를 라 표기한다.
• 정의) 
  • 와 는 모두 -벡터공간이라 하자. 모든 에 대하여 다음을 모두 만족하는 함수 를 에서 로 가는 선형변환(linear transformation)이라 한다.
    1. 
    2. 
• 체 가 유리수 집합이면 1은 2를 함의하지만 일반적으로 1, 2는 서로 독립된 명제이다.
• ‘가 선형변환이다’라는 표현을 간단히 ‘는 선형(linear)이다’ 라고 한다.
  • 성질 1) 가 선형이면 이다.
  • 성질 2) 가 선형이기 위한 필요충분조건은 모든 에 대하여 인 것이다.
  • 성질 3) 가 선형이면 모든 에 대하여 이다.
  • 성질 4) 가 선형이기위한 필요충분조건은 모든 와 에 대하여 다음 식을 만족하는 것이다.
    • 
• 예제 1)
  • 은 이라 정의하자. 가 선형임을 보이기 위해 라 하면 이므로 다음이 성립한다.
    • 
  • 또한 를 구하면 다음과 같다.
    • 
    • 
    • 
  • 따라서 는 선형이다.
• 선형대수학이 기하학에서 매우 넓고 다양하게 사용되는데, 중요한 기하 변환들이 선형이기 때문이다. 대표적인 예로 회전, 대칭 사영을 살펴보자.
• 예제 2)
  • 어떤 각 에 대하여 을 다음과 같이 정의한다.
    • 
    • 는 각 만큼 회전(rotation)하는 선형 변환이다.
  • 에 대한 구체적인 식을 구해보자.
    • 벡터 를 고정하고 벡터 와 축의 양의 방향이 이루는 각을 라 놓는다. 
    • 라 하면 이다.
    • 벡터 의 크기는 고, 축의 양의 방향과 이루는 각은 이므로 벡터 을 성분으로 나타내면 다음과 같다.
    • 
    • 
    • 
  • 인 경우에도 위 식은 성립한다.
  • 예제 1과 비슷한 방식으로 어렵지 않게 가 선형임을 보일 수 있다.
• 예제 3)
  • 을 라 정의하자. 는 축 대칭(reflection about x-axis)라 한다.
• 예제 4)
  • 을 이라 정의하자. 는 축으로 사영(projection on the x-axis)라 한다.

• 예제 5)
  • 를 라 정의하자. 이때 는 의 전치행렬이다. 는 선형변환이다.
• 예제 6)
  • 무한 번 미분가능한 함수 의 집합을 라 하자. 가 -벡터공간임을 쉽게 보일 수 있다.
  • 를 이라 정의하면 함수 와 에 대하여 다음 식이 성립한다.
    • 
  • 성질 2에 의해 는 선형 변환이다.
• 예제 7)
  • 는 에서 정의된 모든 연속함수의 집합이다. 에 대하여 를 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 는 선형변환이다. 일차결합한 함수의 정적분은 각각의 함수를 정적분한 뒤 일차결합한 것과 같기 때문이다.
• 앞으로 이 책에서 자주 등장할 선형변환 두 가지를 살펴보자.
  • -벡터공간 에 대하여
    • 항등변환(identity transformation) 는 모든 에 대하여 라 정의되는 함수이다.
    • 영변환(zero transformation) 는 모든 에 대하여 라 정의되는 함수이다.
  • 항등변환과 영변환 모두 선형이다. 는 간단하게 라 표기하기도 한다.
• 선형변환과 관련된 중요한 두 집합인 상공간과 영공간에 대해 알아보자. 상공간과 영공간을 알면 주어진 선형변환의 본질을 세밀하게 관찰할 수 있다.
• 정의) 벡터공간 와 선형변환 에 대하여
  • 영공간(null space 또는 kernel)은 인 를 원소로 가지는 집합이고, 라 표기한다. 집합으로 나타내면 이다.
  • 상공간(range 또는 image)은 의 함숫값을 원소로 가지는 의 부분집합이고 라 표기한다. 집합으로 나타내면 이다.
• 예제 8)
  • 벡터공간 와 항등변환 , 영변환 에 대하여 다음이 성립한다.
    • 
    • 
    • 
    • 
• 예제 9)
  • 선형변환 을 이라 정의하면 다음이 성립한다.
    • 
    • 
• 정리 2.1)
  • 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 는 각각 의 부분공간이다.
  • 증명)
    • 의 영벡터를 각각 라 하자.
    • 이므로 이다. 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
      • 
      • 
    • 따라서 이므로 는 의 부분공간이다.
      • (는 의 부분집합이고, 덧셈과 스칼라곱에 닫혀 있으므로)
    • 이므로 이다. 에 대하여 인 가 존재한다. 따라서 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
      • 
      • 
    • 따라서 이므로 는 의 부분공간이다.
• 정리 2.2)
  • 벡터공간 와 선형변환 , 의 기저 에 대하여 다음이 성립한다.
    • 
  • 증명)
    • 모든 에 대하여 이다.
    • 가 부분공간이므로 정리 1.5에 의해 이다.
    • 이제 라 하면 인 가 존재한다. 가 의 기저이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
      • (단, )
    • 는 선형이므로 이다. 즉, 다음이 성립한다.
      • 
    • 정리 2.2는 가 무한집합일 때도 성립한다. 즉, 이다.
• 예제 10)
  • 선형변환 를 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 는 의 기저이므로 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
    • 
    • 
    • 
  • 의 기저를 찾았다. 즉 이다.
  • 이제 의 기저를 찾아보자. ( 영행렬) 이므로 와 다음 식은 동치이다.
    • 
  • 이라 하자. 위의 행렬 식으로부터 의 관계식을 얻을 수 있다.
    • 
    • 
  • 이제 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
    • 
      • ( 이므로)
  • 즉 의 기저는 이다. 한편, 이 예제에서 다음 식이 성립함을 알 수 있다.
    • 
  • 이 식은 일반적으로 성립한다.
• 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 와 가 유한차원이라 가정하자.
  • 의 차원을 nullity(영공간의 차원)라 하고, 라 표기한다.
  • 의 차원을 랭크(rank)라 하고, 라 표기한다.
• 정리 2.3) 차원정리 (dimension theorem)
  • 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 가 유한차원이면 다음이 성립한다.
    • 
  • 증명)
    • 라 하고, 의 기저를 라 하자. 정리 1.11의 따름정리로부터 를 확장하여 의 기저 를 얻을 수 있다.
    • 이 의 기저임을 보이고자 한다. 우선 가 를 생성함을 보이자.
    • 에 대하여 라는 사실과 정리 2.2를 이용하면 다음을 얻는다.
      • 
      • 
    • 이제 가 일차독립임을 보이자. 라 가정하면 가 선형이므로 다음 두 식은 서로 동치이다.
      • 
    • 따라서 적절한 가 존재하여 다음 식을 만족한다.
      • 
    • 가 의 기저이므로 모든 에 대하여 이다. 즉 는 일차독립이다.
    • 또한 증명과정에서 이 서로 다른 벡터임도 보였다. 따라서 이다.
• 정리 2.4)
  • 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 다음이 성립한다.
    • 는 단사함수이다.
    • (단사 함수는 공역의 원소가 1개의 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 2개 이상의 원소가 같은 공역의 원소에 대응되지 않는 것)
    • (전사 함수는 모든 공역의 원소가 정의역의 원소와 대응되는 것을 말한다. 정의역의 원소와 대응되는 공역의 원소를 치역이라 하기 때문에 ‘공역=치역’인 것이 전사 함수가 됨)
  • 증명)
    • 가 단사함수이고 라 가정하면 이다. 가 단사이므로 이고 이다.
    • 이제 라 가정하자. 성질 3에 따르면 이므로 다음이 성립한다.
      • 
    • 따라서 는 단사함수이다.
• 정리 2.5)
  • 유한차원 벡터공간 의 차원이 같을 때, 선형변환 에 대하여 다음 세 명제는 동치이다.
    • 는 단사이다.
    • 는 전사이다.
    • 
  • 증명)
    • 차원정리에 의해 이다. 정리 2.4로부터 다음 명제는 동치이다.
      • 가 단사
      • 
      • 
      • 
      • 
  • 정리 1.11에 따르면 위 식의 마지막 등호는 와 동치이다. 전사함수의 정의를 만족하므로 는 전사함수이다.
• 하지만 무한차원 벡터공간 와 선형변환 에 대하여 단사와 전사는 동치가 아니다.
• 정리 2.4와 정리 2.5에서 는 필수적으로 선형이라 가정한다. 전사이지만 단사가 아니거나 단사이지만 전사가 아닌 함수 를 찾는 것은 그리 어렵지 않다.
• 앞의 정리를 사용하면 주어진 선형변환이 단사 또는 전사인지 판별하기 쉽다.
• 예제 11)
  • 선형변환 를 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 를 구하면 다음과 같다.
    • 
    • 
  • 이때 는 일차독립이므로 이다. 이므로 는 전사가 아니다. 차원 정리에 의해 이고 다음이 성립한다. (널공간과 합하는 3은 랭크이고, 결과 3은 )
    • 
  • 따라서 는 정리 2.4에 의해 단사이다.
• 예제 12)
  • 선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 임은 쉽게 보일 수 있다. 는 단사이므로 정리 2.5에 의해 는 전사이다.
• 예제 13)
  • 선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 는 확실히 선형이고 단사이다.
  • 이라 하자. 의 부분집합인 는 일차독립인 것을, 집합 가 에서 일차독립인 것으로부터 쉽게 확인할 수 있다.
• 선형변환의 중요한 성질은 기저에 따라 선형변환이 어떻게 행동하는지 완벽히 결정된다는 점이다. 
• 정리 2.6)
  • -벡터공간 와 의 기저 을 생각하자. 벡터 에 대하여 다음 조건을 만족하는 선형변환 가 유일하게 존재한다.
    • 에 대하여
  • 증명)
    • 에 대하여 다음 일차결합 표현은 유일하다.
      • (는 스칼라)
    • 선형변환 를 라 정의하자.
    • 는 선형인가?
      • 에 대하여 를 다음과 같은 일차 결합의 표현으로 나타낼 수 있다.
        • (단, 과 은 스칼라)
      • 이므로 다음이 성립한다.
        • 
        • 
    • 에 대하여 이다.
    • 는 유일한가?
      • 선형변환 가 에 대하여 를 만족한다고 가정하자.
      • 에 대하여 이다. 
      • 따라서 이다.
• 따름정리)
  • 두 벡터공간 에 대하여 가 유한집합인 기저 를 포함한다고 가정하자.
  • 두 선형변환 가 일 때 를 만족하면 이다.
• 예제 14)
  • 선형변환 을 다음과 같이 정의하자.
    • 
  • 선형변환 이 이면 이다.
  • 은 의 기저이고, 위의 따름정리는 기저에서 함숫값이 같으면 같은 선형변환임을 보장하기 때문이다.
• 연습문제 정의)
  • 벡터공간 와 인 부분공간 에 대하여 다음과 같이 정의한 함수 를 에 대한 위로의 의 사영(projection)이라 한다.
    • 일때 (단, )
• 연습문제 정의)
  
  • 벡터공간 , 선형변환 와 의 부분공간 에 대하여
    • 모든 에 대하여 일 때, 는 -불변(T-invariant)이라 한다. 즉 가 -불변일 때 이다.
    • 가 -불변일 때, 에서 정의된 의 제한(restriction) 는 다음과 같이 정의한다.
      • 모든 에 대하여
• 연습문제 명제)
  • 는 통상적인 체에서의 벡터공간이고, 는 의 기저라하자. 임의의 함수 에 대하여 (단, 는 의 임의의 벡터)인 선형변환 가 유일하게 존재한다.

• Identity transformation
  • 
  • 
  • (자기 자신으로 보내는 변환)
• Zero transformation
  • 
  • 
  • (0으로 보내는 변환)
• 에 대하여 Nullspace 는 다음과 같다.
  • 
  • (에서 로 가는 선형 변환 에 대하여 가 이 되는 원소들의 집합을 Nullspace 라 한다.)
• Range(치역) 의 정의는 다음과 같다.
  • 
• Ex)
  • 일 때
    • 
    • 
  • 일 때 
    • 
    • 

Thm 2.1

• 의 선형변환에서 는 의 부분공간이고,  는 의 부분공간이다.
• (널공간은 에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀있고, 치역은 에서 덧셈과 스칼라 곱이 닫혀 있다는 증명 생략)

Thm 2.2

• 의 선형변환에서 가 의 기저일 때
  
  • 
• 증명)
  • 의 증명
    •  
    • 는 의 부분공간이므로
    • 
  • 의 증명
    • 
    • 는 의 기저이므로
    • 
    • 양변에 를 취하면
    • 
    • 
  • 

Thm 2.3 Dimension Theorem

• 라 하자.
•   일때
  • 
  • 에서 로 가는 선형변환 에서 널공간과 치역의 차원을 합하면 정의역의 차원이 된다.
• 증명)
  • 이라 할 때 이므로
  • 벡터 를 의 기저라 하면, 이를 확장 시켜서 의 기저 를 만들 수 있다.
  • 이때 의 기저 가 되도록 확장시킨 는 의 기저가 된다.
  • 를 span하면 가 되고, 가 선형독립이면 의 기저가 되므로 다음과 같이 증명한다.
    • 가 를 생성한다는 증명 
      • 
      • 
      • 
    • 가 선형 독립이라는 증명
      • 
      • 
      • 
      • 라 하면
      • 
      • 
      • 은 의 기저이므로
      • 
      • 그러므로 는 선형독립
      • 는 의 기저
      • 

일차독립인 극대 부분집합

• 이번 절에서는 1.6절의 중요한 결과를 무한차원 벡터공간에서 성립하는 형태로 일반화한다. 가장 중요한 목표는 ‘모든 벡터공간은 기저가 존재함’을 증명하는 것이다.
  • 무한차원 벡터공간을 다룰 때 이 사실은 매우 중요하다. 무한차원 벡터공간의 기저를 구체적으로 기술하기란 매우 어렵기 때문이다.
  • 유리수체에서 실수 벡터공간을 생각해 보자. 이 벡터공간의 기저는 어떤 모양일까? 구체적인 모양을 생각하기는 무척 힘들지만, 그럼에도 불구하고 기저는 반드시 존재한다.
• 1.6절에서 증명한 결과를 무한차원으로 일반화하는데 가장 큰 걸림돌은 수학적 귀납법을 더는 사용할 수 없다는 점이다. 대신 여기서 하우스도르프 극대원리를 사용할 것이다.
• 정의)
  • 를 집합족(family)이라 하자. 다음 조건을 만족하는 의 멤버 은 (집합의 포함 관계에 대한) 극대(maximal)이다.
    • 을 포함하는 의 멤버는 오직 뿐이다.
• 예제 1)
  • 공집합이 아닌 집합 의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합족 를 생각하자. 이 집합족은 의 멱집합(power set)이라 한다. 집합 는 당연히 의 극대원소(maximal element)이다.
• 예제 2)
  • 공집합이 아닌 두 집합 가 서로소일 때, (두 집합의) 멱집합의 합집합으로 정의한 집합족 를 생각하자. 두 집합 와 는 모두 집합족 의 극대원소이다.
• 예제 3)
  • 무한집합 의 모든 유한 부분집합을 원소로 가지는 집합족 를 생각하자. 집합족 는 극대원소를 가지지 않는다.
  • 왜 그럴까? 집합족 에 속한 어떤 집합 을 가져오더라도 에 속하지 않은 를 사용하여 (의 멤버인) 의 유한 부분집합 을 만들 수 있다. 이 집합은 을 포함하는 더 큰 집합이다.
• 정의)
  • 다음 조건을 만족하는 집합족(collection) 는 사슬(chain)이라 한다.
  • 의 멤버 를 임의로 선택할 때 또는 가 반드시 성립한다.
• 예제 4)
  • 집합 을 생각하자. (단 은 자연수) 집합족(collection) 은 사슬이다. 이기 위한 필요충분조건은 이다.
• 하우스도르프 극대원리(Hausdorff maximal principle)
  • 집합족(family) 에 포함되는 임의의 사슬 를 가져왔을 때, 의 모든 멤버를 포함하는 의 멤버가 존재하면 에는 극대원소가 있다.
• 하우스도르프 극대원리는 집합족이 특정한 조건을 만족하면 극대원소가 반드시 존재함을 보장한다. 이제 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현하자. 정리 1.12에 의하면 다음 정의는 기저의 정의와 같다.
• 정의) 극대원리의 관점에서 기저의 정의를 다른 형태로 표현
  • 벡터공간 의 부분집합 를 생각하자. 의 일차독립인 극대 부분집합(maximal linearly independent subset) 는 다음 두 가지 조건을 마족하는 의 부분집합이다.
    • 집합 는 일차독립이다.
    • 집합 를 포함하고 일차독립인 (의) 부분집합은 오직 뿐이다.
• 예제 5)
  • 1.4절의 예제 2에서는 집합 가 다음과 같이 주어진 집합 의 일차독립인 극대 부분집합임을 보였다.
    • 
  • 더 나아가 두 개의 다항식으로 구성된 의 부분집합은 항상 의 일차독립인 극대 부분집합임을 보일 수 있다. 일반적으로 일차독립인 극대 부분집합은 유일하지 않다.
• 벡터공간 의 기저 는 일차독립인 극대 부분집합이다. 왜 그럴까?
  • 정의에 따르면 는 당연히 일차독립이다.
  • 이면 는 정리 1.7에 의해 일차종속이다. 이기 때문이다.
• 정리 1.12)
  • 는 벡터공간이고, 부분집합 는 를 생성한다. 가 의 일차독립인 극대 부분집합이면 는 의 기저이다.
  • 증명)
    • 가 의 일차독립인 극대 부분집합이라 하자. 는 일차독립이므로 가 를 생성함을 보이면 충분하다.
    • 라 가정하자. 그렇지 않으면 인 가 존재한다.
    • 정리 1.7에 의해 는 일차독립이고 가 극대라는 가정에 모순이다.
    • 따라서 이고 는 를 생성하므로 정리 1.5로부터 이다.
• 기저와 ‘일차독립인 극대 부분집합’은 동치이다. 즉 모든 벡터공간마다 ‘일차독립인 극대 부분집합’이 존재함을 보이는 것과 모든 벡터공간이 기저를 가짐을 보이는 것은 같다. 이 결과는 다음 정리에서 바로 이끌어낼 수 있다.
• 정리 1.13)
  • 벡터공간 와 일차독립인 부분집합 를 생각하자. 를 포함하는 의 (일차독립인) 극대 부분집합이 존재한다.
  • 증명)
    • 를 포함하는 일차독립인 부분집합()을 원소로 가지는 집합족을 라 하자. 가 극대원소를 가짐을 보이고자 한다. 에서 사슬 를 임의로 하나 꺼낼 때, 의 모든 멤버를 포함하는 의 멤버 가 존재함을 보일 것이다.
    • 가 공집합이면 로 잡는다. 가 공집합이 아니면 에 속한 모든 멤버의 합집합을 로 잡는다. 는 확실히 의 모든 멤버를 포함한다. (가 일차독립인 의 부분집합이고 를 포함함)을 보이면 충분하다. 사슬 의 모든 멤버는 를 포함하는 의 부분집합이므로 이다.
    • 가 일차독립임을 보이자. 이고 은 스칼라이며, 이라 가정하자. 이므로, 인 멤버 가 존재한다. 는 사슬이므로 모든 를 포함하는 집합이 존재한다. 이 집합을 라 하자. 즉, 모든 에 대하여 이다. 는 일차독립이므로 은 임을 의미한다. 따라서 는 일차독립이다.
• 하우스도르프 극대원리에 의해 에는 극대원소가 있다. 이 극대원소는 의 일차독립인 극대 부분집합이며 를 포함한다.
• 따름정리) 모든 벡터공간은 기저를 포함한다.
• 두 집합 사이에 일대일대응이 존재할 때, 두 집합은 기수(cardinality)가 같다.
  • 대체정리의 따름정리 1을 무한차원으로 유추하면 다음의 참인 명제를 생각할 수 있다.
  • 무한차원 벡터공간이 주어질 때, 무한차원 벡터공간의 모든 기저는 기수가 같다.

기저와 차원

• 앞서 가 부분공간 의 생성집합이고, 의 어떤 진부분집합도 를 생성하지 못할 때, 는 일차독립임을 확인하였다.
  • 일차독립인 (의) 생성집합 에는 아주 특별한 성질이 있다. 에 속한 벡터는 반드시 의 일차결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다.
  • 이 성질을 이용하면 일차독립인 생성집합은 주어진 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각이라 할 수 있다.
• 정의)
  • 벡터공간 와 부분집합 를 생각하자. 가 일차독립이고 를 생성하면 의 기저(basis)라 한다. 가 의 기저일 떄, 의 벡터는 (의) 기저를 형성한다.
• 예제 1)
  • 이고 은 일차독립이다. 즉, 은 점공간의 기저이다.
• 예제 2)
  • 벡터공간 에 대해 다음 벡터를 생각하자.
    • 
  • 집합 는 의 기저이다. 이 특별한 기저를 의 표준기저(standard basis)라 한다.
• 예제 3)
  • 행렬 는 행 열 성분만 이고, 나머지 성분은 인 행렬이다. 집합 는 의 기저이다.
• 예제 4)
  • 집합 은 벡터공간 의 기저이다. 이 특별한 기저를 의 표준기저라 한다.
• 예제 5)
  • 집합 는 의 기저이다.
• 예제 5에 따르면 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다. 이번 절의 후반부에서는 의 어떤 기저도 유한집합일 수 없음을 보일 것이다. 기저가 유한집합이 아닌 벡터공간도 존재한다.
  • 기저의 매우 중요한 성질을 설명하는 다음 정리는 특히 다음 장에서 자주 사용한다.
• 정리 1.8)
  • 벡터공간 와 이 공간에 속한 서로 다른 개의 벡터 를 생각하자. 집합 가 의 기저가 되기 위한 필요충분조건은 ‘임의의 벡터 를 에 속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다’는 것이다. 
  • 즉 유일한 스칼라에 대하여 벡터 는 다음과 같다.
    • 
  • 증명)
    • 의 기저를 라 하자. 벡터 에 대하여 이므로 이다. 이제 의 에 대한 일차결합 표현을 두 가지로 표현할 수 있다고 가정하다.
      • 이고
    • 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 다음과 같다.
      • 
    • 가 일차독립이므로 이고 이다. 따라서 에 대한 의 일차결합 표현은 유일하다.
• 정리 1.8에 의하면 이 의 기저를 형성할 떄 의 모든 벡터는 적절히 스칼라 를 가져와 다음과 같이 유일한 일차결합 형태로 표현할 수 있다.
  • 
  • 즉 가 주어지면 스칼라 순서쌍 이 결정된다.
  • 반대로 스칼라 순서쌍이 주어지면 각 성분을 의 일차결합의 계수로 가지는 유일한 벡터 를 생각할 수 있다.
  • 그렇다면 벡터공간 는 벡터공간 와 별반 다를 바 없어 보인다. 이때 은 의 기저를 형성하는 벡터의 개수이다.
  • 2.4절에서는 두 벡터공간이 본질적으로 같음을 확인할 것이다.
  • 이 책은 주로 기저가 유한집합인 경우를 다룬다. 정리 1.9에 의하면 벡터공간의 상당수가 이 범주에 들어간다.
• 정리 1.9)
  • 유한집합 가 벡터공간 를 생성하면 의 부분집합 중 의 기저가 존재한다. 즉, 에는 유한집합인 기저를 포함한다.
  • 증명) 
    • 또는 이면 이다. 는 의 부분집합이면서 의 기저이다. 
    • 이제 가 영이 아닌 벡터 이 있다고 가정하자. 명제 2에 따르면 은 일차독립인 부분집합이다. 집합 가 일차독립이 되도록 에서 순차적으로 를 꺼내자. 
    • 가 유한집합이므로 이 과정을 유한 번 반복하면 끝난다. 최종적으로 얻은 집합을 이라 하자. 이제 가능한 경우는 두 가지 뿐이다.
      1. 일 때 는 일차독립이고 의 생성집합이므로 의 기저이다.
      2. 가 의 일차독립인 진부분집합일 때, 에서 다른 벡터를 선택하여 에 추가하는 순간 일차종속이 되면 가 의 기저임을 보이자.
         • 는 구성 방식에 의해 일차독립이다. 이제 가 를 생성함을 보이자. 정리 1.5에 의해 임을 보이면 충분하다.
         • 에 대하여 이면 당연히 이다.
         • 이면 는 일차종속이다. 정리 1.7로부터 이다. 따라서 이다.
• 정리 1.10) 대체정리(replacement theorem)
  • 개의 벡터로 이루어진 집합 가 벡터공간 를 생성한다고 하자. 이 개의 일차독립인 벡터로 이루어진 의 부분집합이면 이다. 또한 다음 조건을 만족하는 집합 가 존재한다. 는 개의 벡터로 이루어졌으며 는 를 생성한다.
  • 증명)
    • 에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. (즉 )일 때는 로 잡으면 된다.
    • 이제 어떤 정수 에 대하여 위 정리가 성립한다고 가정하고 일 때도 이 정리가 성립함을 증명해 보자.
    • 이 개의 벡터로 이루어진 일차독립인 (의) 부분집합이라 하자. 정리 1.6의 따름정리로부터 은 일차독립이다. 수학적 귀납법의 가정에 의해 집합 이 를 생성하도록 하는 의 부분집합 이 존재한다 (단 )
    • 이제 다음 등식을 만족하는 스칼라 과 스칼라 이 존재한다.
      • 
    • 여기서 임을 유념하자. 혹시 이지 않을까? 그렇다면 이 의 일차결합이 되고, 이는 정리 1.7에 의해 이 일차독립이라는 사실에 모순이다. 이므로 이다.
    • 또한 중 이 아닌 스칼라가 반드시 존재한다. 이 스칼라를 이라 하자. (모든 가 모두 이라면 직전과 똑같은 모순이 발생한다) 위식을 에 대하여 풀면 다음과 같다.
      • 
      • 
    • 이제 이라 잡으면 임을 알 수 있다. 이므로 다음이 성립한다.
      • 
    • 이 를 생성하므로 정리 1.5에 의해 이다.
    • 는 개의 벡터를 가진 의 부분집합이므로 이 정리는 일 때도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 주어진 명제는 참이다.
• 따름정리 1)
  • 벡터공간 가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하자. $latex V &s=2의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수로 이루어져 있다.
  • 증명) 
    • 가 개의 벡터로 이루어진 의 기저이고, 가 의 또 다른 기저라 하자. 
    • 가 개를 초과하는 벡터로 이루어져 있으면 개의 벡터로 이루어진 의 부분집합 를 생각할 수 있다.
    • 는 일차독립이고 는 를 생성하므로 대체정리에 의해 이 성립해야 한다. 이는 모순이다. 즉 가 개의 벡터로 이루어진 유한집합이면 이다.
    • 와 를 바꾸어 똑같은 논리를 반복하면 을 얻는다. 따라서 이다.
• 유한집합인 기저를 가지는 벡터공간을 생각하자. 대체정리의 따름정리 1에 따르면 의 기저를 형성하는 벡터의 개수는 벡터공간 의 본질적인 성질임을 알 수 있다. 이제 다음을 정의할 수 있다.
• 정의)
  • 기저가 유한집합인 벡터공간을 유한차원(finite dimension)이라 한다. 의 기저가 개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 은 주어진 벡터공간의 차원(dimension)이고, 라 표기한다. 
  • 유한차원이 아닌 벡터공간은 무한차원(infinite dimension)이다.
• 예제 7)
  • 벡터공간 의 차원은 이다.
• 예제 8)
  • 벡터공간 의 차원은 이다.
• 예제 9)
  • 벡터공간 의 차원은 이다.
• 예제 10)
  • 벡터공간 의 차원은 이다.
• 벡터공간은 어느 체 위에 있는지에 따라 차원이 달라질 수 있다.
• 예제 11)
  • 복소수체 에서 복소수 벡터공간의 차원은 이고, 기저는 이다.
• 예제 12)
  • 실수체 에서 복소수 벡터공간의 차원은 이고 기저는 이다.
• 대체정리의 첫 번째 결론에 의하면 유한차원 벡터공간 에서 보다 더 많은 개수의 벡터를 가지는 부분집합은 절대 일차독립일 수 없다.
• 예제 13)
  • 벡터공간 는 무한차원이다. 예제 5에서 확인했듯이 무한집합 가 존재하기 때문이다.
• 예제 13에서 다룬 일차독립인 무한집합 은 벡터공간 의 기저이다. 아직 여기서는 무한차원 벡터공간이 반드시 기저를 가짐을 장담할 수 없지만, 1.7절에서 모든 벡터공간은 기저를 가짐을 증명할 것이다.
• 유한차원 벡터공간 에서 보다 더 많은 벡터를 가지면서 일차독립인 부분집합이 존재하지 않는 것처럼, 생상집합의 크기와 관련된 명제를 생각할 수 있다.
• 따름정리 2)
  • 를 차원이 인 벡터공간이라 하자
    1. 의 유한 생성집합에는 반드시 개 이상의 벡터가 있다. 또한 개의 벡터로 이루어진 (의) 생성집합은 (의) 기저이다.
    2. 일차독립이고 개의 벡터로 이루어진 (의) 부분집합은 의 기저이다.
    3. 일차독립인 (의) 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다. 다시 말해 이 일차독립이면 인 의 기저 가 존재한다.
  • 증명) 의 기저를 라 하자.
    1. 의 유한 생성 집합을 라 하자.
       • 정리 1.9에 따르면 의 부분집합이자 의 기저인 집합 가 존재한다. 
       • 대체정리의 따름정리 1에 의해 는 정확히 개의 벡터로 이루어져 있다. 의 부분집합이 개의 원소를 가지므로 에는 개 이상의 벡터가 있다.
       • 또한 가 정확히 개의 벡터를 가지면 이다. 즉 는 의 기저이다.
    2. 정확히 개의 벡터로 이루어진 일차독립인 (의) 부분집합을 이라 하자.
       • 대체정리에 의해 다음 조건을 만족하는 의 부분집합 가 존재한다.
       • 는 개의 벡터로 이루어졌으며 가 를 생성한다.
       • 이므로 은 를 생성한다. 조건에서 은 일차독립이므로 은 의 기저이다.
    3. 개의 벡터로 이루어진 의 일차독립인 부분집합을 이라 하자.
       • 대체정리에 의해 다음 조건을 만족하는 의 부분집합 가 존재한다.
       • 는 개의 벡터로 이루어졌으며 가 를 생성한다.
       • 에는 기껏해야 개의 벡터가 있다. 1에 의해 는 개의 벡터로 이루어져 있고 는 의 기저이다.
• (기저가 일차독립이라고 해서, 유일한 것은 아니다)

기저와 연관 개념

• 벡터공간 의 부분집합이 기저이기 위해서는 를 생성하고 일차독립이어야 한다.
• 의 어떤 기저가 유한집합이면, 의 모든 기저는 이 집합과 같은 개수의 벡터를 포함한다.
• 이 자연수 개수는 의 차원이고 는 유한차원 벡터공간이다.
• 벡터공간 의 차원이 이면 의 모든 기저는 반드시 개의 벡터로 이루어져 있다.
• 더 나아가 의 일차독립인 부분집합은 개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며, 적절히 몇 개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다.
• 의 모든 생성집합은 적어도 개 이상의 벡터를 가지며 몇 개 벡터를 적절히 제외하면 의 기저로 축소할 수 있다.
• 아래 그림은 이 관계를 묘사한다.
  • (어떤 벡터 공간 를 생성하는 집합과 일차 독립인 집합의 교집합이 의 기저라는 이야기)

부분공간의 차원

• 정리 1.11)
  • 유한차원 벡터공간 에 대하여 부분공간 는 유한차원이고 이다. 특히 이면 이다.
  • 증명)
    • 이라 하자. 이면 는 유한차원이고 이다.
    • 그렇지 않으면 는 영이 아닌 벡터 를 가지고 은 일차독립이다. 가 일차독립이 되도록 에서 벡터 를 순차적으로 하나씩 꺼내자.
    • 의 일차독립인 부분집합은 개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으므로 이 과정은 인 에서 멈춘다.
    • 이때 는 일차독립이며 에서 벡터를 하나만 더 꺼내 추가하면 일차종속이 된다.
    • 정리 1.7에 의해 집합 는 를 생성하므로 의 기저이다. 즉 이다.
    • 만약 이면 의 기저는 개의 벡터로 이루어졌으며 일차독립인 의 부분집합이다. 
    • 대체정리의 따름정리 2에 의하면 의 기저인 이 집합은 의 기저이기도 하다. 즉 이다.
• 예제 18)
  • 다음과 같이 주어진 벡터공간 는 의 부분공간이다.
    • 
  • 의 기저는 이므로 의 차원은 이다.
• 예제 19)
  • 대각행렬의 집합 는 의 부분공간이다. 의 기저는 (단 는 행 열 성분만 이고 나머지 성분은 모두 인 행렬)이므로 의 차원은 이다.
• 예제 20)
  • 대칭행렬의 집합 는 의 부분공간이다. 의 기저는 (단 는 행과 열과 행 열의 성분만 이고 나머지 성분은 모두 인 행렬)이므로 의 차원은 다음과 같다.
    • 
• 따름정리)
  • 유한차원 벡터공간 의 부분공간 를 생각하자. 의 임의의 기저를 가져오면 이 기저를 확장하여 의 기저를 얻을 수 있다.
  • 증명)
    • 의 기저를 라 하자. 는 의 일차독립인 부분집합이므로 대체정리의 따름정리 2에 의해 의 기저로 확장할 수 있다.
• 예제 21)
  • 다음과 같은 형태의 다항식을 원소로 갖는 집합 를 생각하자.
    • 
  • 이 집합은 의 부분공간이다. 의 기저는 이고 의 표준기저의 부분집합이다.
• 정리 1.11을 사용하면 와 의 부분공간을 분류할 수 있다.
  • 은 2차원 벡터공간이므로 부분공간의 차원은 가 될 수 있다. 차원이
  • 인 부분공간은 이고 차원이 인 부분공간은 이다. 
  • 차원이 인 부분공간은 (영이 아닌 벡터) 을 하나 선택하고, 벡터의 스칼라 곱인 벡터를 원소로 가지는 집합이다.
• 자연스러운 방식을 따라 의 점을 유클리드 평면의 점과 일대일대응하면 의 부분공간을 기하학적으로 묘사할 수 있다.
  • 차원이 인 부분공간은 유클리드 평면의 원점이다. 차원이 인 부분공간은 원점을 지나는 직선이다. 차원이 인 부분공간은 유클리드 평면 전체이다.
  • 비슷한 방식으로 의 차원은 이 될 수 있다. 유클리드 차원 공간에서 차원이 인 부분공간은 원점이고, 차원이 인 부분공간은 원점을 지나는 직선, 차원이 인 부분공간은 원점을 포함하는 평면, 차원이 인 부분공간은 유클리드 차원 공간 전체이다.

라그랑주 보간법

• 지금까지 배운 내용은 실험이나 표본에서 수집한 데이터를 가공하는 고정에 응용할 수 있다.
  • 예컨대 뉴욕에서 런던까지 가는 비행기의 몇 개의 특정한 시간과 위치를 대응한 데이터가 있다고 하자. 나머지 시간에 비행기가 어느 위치에 있는지 추정하려고 한다. 이미 알고 있는 값을 바탕으로 그 사이의 값을 추정하는 방법을 보간법 또는 내삽법(interpolation)이라 한다.
• 대체정리의 따름정리 2는 데이터를 다항함수로 근사하는 유용한 공식을 얻는데 사용한다.
  • 이 무한체 에서 꺼낸 스칼라일 떄, 다음과 같이 정의한 다항식 를 에 대한 라그랑주 다항식(Lagrange polynomial)이라 한다.

• 각 다항식 는 차수가 인 다항식이고 의 원소이다. 이제 다항함수 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 라그랑주 다항식의 성질은 집합 이 의 일차독립인 부분집합임을 보이는데 사용된다. 다음 함수가 영함수라 가정하자.

• 이 함수에 를 입력하면 이다.
  • 한편 (1, 10)에 의해 이다. 따라서 모든 에 대하여 이고 는 일차독립이다.
  • 의 차원이 이므로 대체정리의 따름정리 2로부터 는 의 기저이다.
• 가 의 기저이므로 에 속하는 모든 다항식 는 의 일차결합 로 표현할 수 있다.
  • 식의 양변에 를 입력하면 는 다음과 같다.

• 따라서 는 에 의한 유일한 일차결합 표현이다. 이 식을 라그랑주 보간법(Lagrange interpolation formula)이라 한다.
• 지금까지의 논의에 따르면 개의 스칼라 (중복되는 값이 있을 수도 있다)이 주어질 떄 다항함수 는 인 유일한 다항식()이다.
  • 즉 입력 값이 일 때, 출력 값이 이며 차수가 을 넘지 않는 유일한 다항식을 항상 찾을 수 있다.
• 그래프가 세 점 을 지나는 이차 이하의 다항함수를 찾아보자. ( 이고 이다.) 에 대한 라그랑주 다항식은 다음과 같다.

• 찾고자하는 다항식 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• 라그랑주 보간법을 바탕으로 확인할 수 있는 중요한 사실을 언급하며 이번 절을 마친다. 다항식 와 서로 다른 개의 스칼라 에 대하여 이면 는 영함수이다.

일차종속과 일차독립

• 무한체에서 벡터공간 와 부분공간 를 생각하자. 점공간이 아닌 는 무한집합이다.
  • 이때 를 생성하는 (의) ‘조그마한’ 유한 부분집합 를 찾을 수 있으면 좋다. 
  • 이러한 집합은 의 모든 벡터를 에서 꺼낸 유한개의 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있기 때문이다. 구체적으로 말하면 가 작아질수록 의 벡터를 일차결합으로 표현하는데 필요한 연산의 횟수가 적어진다.
• 집합 에서 꺼낸 한 벡터가 의 다른 벡터들의 일차결합으로 표현되는지를 판단하려면 다음이 성립하는지를 보면 된다.
  • 일 때
  • 을 만족하는 이 존재하는지 확인하면 된다.
  • 이 존재하는지 확인하려면 위 계수와 벡터를 이용한 연립방정식의 해가 있는지를 확인하면 되는데, 집합 내의 모든 벡터에 대해 연립방정식을 일일히 확인하는 것은 현실적이지 않다. 
  • 위 식의 관점을 바꾸면 과 같이 정리할 수 있는데, 의 어떤 벡터가 다른 벡터의 일차결합이면 영벡터를 의 칠차결합으로 표현할 때, 어떤 계수가 이 아닌 표현이 존재한다. 이 명제의 역도 참이다.
  • 정리하자면 영벡터를 의 벡터의 일차결합으로 표현하는 (모든 계수가 0인 것 외에) 다른 방법이 존재하면, 의 어떤 벡터는 다른 벡터의 일차결합이다.
    • (좀 더 직관적인 표현을 해보자면, 집합 내의 어떤 벡터는 같은 집합 내의 다른 벡터들의 결합으로 표현할 수 있다는 것이다. 이 말인 즉슨 집합 내에 불필요한 벡터(다른 벡터로 표현하면 되기 때문)가 존재한다는 이야기고, 이게 바로 집합 가 독립적이지 않다는 뜻이 된다. 독립적이면 일차독립 (또는 선형독립), 독립적이지 않으면 일차종속(또는 선형종속) 이라 한다)
• 정의)
  • 벡터공간 의 부분집합 에 대하여 을 만족하는 유한개의 서로 다른 벡터 와 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 이 존재하면 집합 는 일차종속(linearly dependent)라 한다. 이때 의 벡터 또한 일차종속이다.
• 임의의 벡터 에 대하여 이면 이다. 이를 의 일차결합에 대한 ‘영벡터의 자명한 표현(tirivial representation of 0)’이라 한다.
• 집합이 일차종속이면 적절한 벡터를 택하여 영벡터를 자명하지 않은 방식으로 표현할 수 있다. 영벡터 을 포함하는 모든 부분집합은 일차종속이다. 은 영벡터의 자명하지 않은 표현이기 때문이다.
• 정의)
  • 벡터공간의 부분집합 가 일차종속이 아니면 일차독립(linearly independent)이다. 이때 의 벡터 또한 일차독립이다.
• 일차독립인 집합에 대한 다음 명제는 모든 벡터공간에서 참이다.
  • 명제 1 – 공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다.
  • 명제 2 – 영이 아닌 벡터 하나로 이루어진 집합은 일차독립이다. 만약 가 일차종속이면 이 아닌 스칼라 에 대하여 이다. 양변에 을 곱하면 이므로 가 영벡터가 아니라는 사실에 모순이다.
  • 명제 3 – 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 을 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.
• 정리 1.6)
  • 는 벡터공간이고 이다. 이 일차종속이면 도 일차종속이다.
• 따름정리)
  • 는 벡터공간이고 이다. 가 일차독립이면 도 일차독립이다.
• 앞서 집합 가 최소생성집합(의 진부분집합은 생성집합이 아니라는 뜻)인지 확인하는 문제는 의 어떤 벡터가 (의) 다른 벡터의 일차결합으로 표현되는지 판단하는 것과 같은 문제임을 설명하였다.
  • 다시 말해 가 최소생성집합인지 판단하는 것은 집합 가 일차독립인지 확인하는 것과 같다.
• 일반적으로 가 두 개 이상의 벡터를 가지고 일차종속인 집합이라 하자. 를 의 다른 벡터의 일차결합으로 표현할 수 있으면 에서 를 뺸 진부분집합으로도 와 같은 공간을 생성할 수 있다. 
  • 즉, 의 어떤 진부분집합도 와 같은 공간을 생성하지 못하면 는 일차독립이다. 
  • 이 진술을 다르게 표현하면 다음과 같다.
• 정리 1.7)
  • 벡터공간 그리고 일차독립인 부분집합 를 생각하자. 에 포함되지 않는 벡터 에 대하여 가 일차종속이기 위한 필요충분조건은 이다.
  • 증명)
    • 가 일차종속이면 다음 식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다. (단 스칼라 중 적어도 하나는 이 아니다)
      • 
    • 가 일차독립이므로 위 식에 등장한 벡터 중 하나는 반드시 이다. 이 벡터를 이라 하자. 이제 위 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
      • 
    • 는 의 일차결합이므로 이다.
    • 역으로 라 가정하자. 다음 식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다.
      • 
    • 그러므로 이다. 이므로 이다.
    • 이런 이유로 위 일차결합에서 의 계수는 이 아니고 집합 는 일차종속이다. 정리 1.6에 의해 는 일차종속이다.

일차결합과 연립일차방정식

• 앞서 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 를 지나는 평면의 방정식이 임을 설명했다. 가 원점이면 이 평면은 로 나타낼 수 있고, 의 부분공간이다.
  • 라는 표현은 벡터공간을 다룰 때 아주 중요하다. 이 아이디어를 일반화 하여 다음을 정의할 수 있다.
• 정의)
  • 는 벡터공간이고 는 의 공집합이 아닌 부분집합이라 하자. 유한개의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음을 만족하는 벡터 는 의 일차결합(linear combination)이라 한다.
    • 
  • 이때 는 벡터 의 일차결합이고 은 이 일차결합의 계수(coefficient)이다.
• 모든 벡터공간 와 모든 벡터 에 대하여 이다. 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.
• (가우스 소거법 상세 설명 생략)
  1. 두 방정식의 위치를 바꾼다
  2. 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다
  3. 상수배해서 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.
• 3.4절에서 이러한 연산이 처음 주어진 연립방정식의 해를 바꾸지 않음을 증명할 것이다. 이러한 과정을 반복하는 이유는 주어진 연립일차방정식이 다음 성질을 가지도록 하기 위해서이다.
  • 성질 1) 각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
  • 성질 2) 어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음 등장하면 (계수가 처음으로 0이 아니면) 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다. 다시 말해, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
  • 성질 3) 처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.
•  정의)
  • 벡터공간 의 공집합이 아닌 부분집합 를 생각하자. 의 생성공간(span)은 의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 라 표기한다. 편의를 위해 로 정의한다.
• 예컨대 에서 집합 의 생성공간은 형태의 벡터로 이루어진 집합이다. (단 는 스칼라)
  • 의 생성공간은 평면이고 의 부분공간이다.
• 정리 1.5)
  • 벡터공간 의 임의의 부분집합 의 생성공간은 를 포함하는 (의) 부분공간이다. 또한 를 포함하는 의 부분공간은 반드시 의 생성공간을 포함한다.
  • 증명) 
    • 인 경우 이다. 는 를 포함하고 의 모든 부분공간에 포함된다.
    • 가 아닌 경우를 생각하자. 에 대하여 이다.
    • 에 대하여 다음 등식을 만족하는 벡터 와 스칼라 이 존재한다.
      • 
      • 
    • 이때 이다. 임의의 스칼라 에 대하여 은 명백히 의 일차결합이다. 다시 말해 와 는 에 속한다. 따라서 는 의 부분공간이다.
    • 이면 이므로 는 를 포함한다.
    • 이제 의 부분공간 가 를 포함한다고 가정하자. 이면 와 스칼라 에 대하여 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
      • 
    • 이므로 이다. 1.3절 연습문제 20의 결과에 따르면 이다. 는 에서 임의로 꺼낸 벡터이므로 이다.
• 정의)
  • 벡터공간 의 부분집합 에 대하여 이면 는 를 생성한다(generate 또는 span). 이 경우 의 벡터가 를 생성한다고 말하기도 한다.
• 예제 3)
  • 세 벡터 은 을 생성한다. 다시 말해 의 임의의 벡터 은 이 세 벡터의 일차결합이다. 이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 를 찾으면 충분하다.
    • 
  • 이때 는 다음과 같다.
    • 
    • 
    • 
• 예제 4)
  • 다항식 는 를 생성한다. 세 다항식은 모두 에 속하고 임의의 다항식 는 세 다항식의 일차결합이기 때문이다. 이를테면 다음과 같이 나나탤 수 있다.
    • 
• 예제 5)
  • 다음 네 행렬은 를 생성한다.
    • 
  • 다시 말해 임의의 행렬 는 다음과 같이 네 행렬의 일차 결합이다.
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 반면 은 를 생성하지 못한다. 세 행렬의 대각성분이 모두 같기 때문에 일차결합한 행렬도 마찬가지로 대각성분이 같다. 따라서 에 세 행렬의 일차결합으로 표현되지 않은 행렬이 존재한다.
• 앞서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때, 평면의 방정식이 임을 설명했다. 이 의 일차결합이기 위한 필요충분조건은 가 와 를 포함하는 평면에 포함되는 것이다.

• 일반적으로 서로 다른 부분집합이 같은 부분공간 를 생성할 수 있다. 그렇다면 를 생성하는 가장 작은 (의) 부분집합은 무엇일까? 다음 절에서 생성집합에서 불필요한 벡터를 제외하여 더 작은 생성 집합을 얻는 방법을 공부할 것이다.

부분공간

• 대수학에서는 부분집합과 처음 주어진 집합이 대수적 구조가 서로 같은지의 여부가 주요 화제다. 이번 절에서는 벡터공간에서 부분집합의 대수적 구조를 살펴본다.
• 정의)
  • -벡터공간 의 부분집합 를 생각하자. 이 부분집합 가 에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 -벡터공간일 때, 의 부분공간(subspace)이라 한다.
• 모든 벡터공간 에 대하여 와 은 부분공간이다.
  • 특히 은 점공간인 부분공간(zero subspace)이라 한다. 
  • 다행히 어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요는 없다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)이 성립하면 부분집합의 모든 벡터에 대해서도 당연히 성립하기 때문이다.
• 부분집합 가 의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지 성질을 만족하는 것이다.
  1. 모든 에 대하여 이다. (는 덧셈에 대하여 닫혀있다)
  2. 모든 와 모든 에 대하여 이다. (는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다)
  3. 는 영벡터를 포함한다.
  4. 에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 의 원소이다.
• 다음 정리에 따르면 의 영벡터와 의 영벡터는 반드시 같으며, 부분공간인지 확인할 때 성질 4는 굳이 확인할 필요가 없다.
• 정리 1.3)
  • 벡터공간 와 부분집합 를 생각하자. 가 의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 세 가지 조건을 만족하는 것이다. 이때 연산은 에서 정의된 것과 같다.
    1. 
    2. 
    3. 
  • 증명)
    • 가 의 부분공간이면 는 에서 정의된 합과 스칼라 곱을 그대로 물려받은 벡터공간이므로 두 조건 2, 3이 성립한다.
    • 의 영벡터를 이라 하면 에 대하여 이다. 한편 이므로 도 성립한다. 정리 1.1에 의해 이다. 따라서 조건 1이 성립한다.
    • 역으로 세 조건 1, 2, 3이 성립한다고 가정하자. 직전의 논의에 따르면 (의) 부분공간 에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 의 원소임을 보이면 충분하다. 조건 3으로부터 이면 이고 정리 1.2에 의해 이다. 즉 는 의 부분공간이다.
• 정리 1.3을 이용하면 주어진 부분집합이 부분공간인지 쉽게 판별할 수 있다. 앞으로 주어진 집합이 부분공간임을 증명해야 할 때, 이 방법을 자주 사용할 것이다.
• 행렬 의 전치행렬(transpose matrix) 는 의 행과 열을 바꾸어 얻은 행렬이다. 즉 이다.
• 전치행렬의 예는 다음과 같다.

• 대칭행렬(symmetric matrix)는 인 행렬이다. 위에 소개한 행렬은 대칭행렬이다. 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다. 의 모든 대칭행렬을 원소로 하는 집합 는 부분공간이다. 확인해 보자.
  1. 영행렬의 전치행렬은 영행렬이다. 즉 영행렬은 의 원소이다.
  2. 이면 이고 이다. 즉 이다.
  3. 이면 이고 임의의 스칼라 에 대하여 이다. 즉 이다.
• 예제 1)
  • 음이 아닌 정수 에 대하여 을 이하의 차수를 가진 다항식이라 하자. 은 의 부분집합이다.
    • 영 다항식의 차수는 이므로 에 속한다.
    • 차수가 이하인 두 다항식을 더하면 차수가 이하이다.
    • 차수가 이하인 두 다항식에 스칼라 곱을 해도 차수는 바뀌지 않는다.
  • 따라서 은 의 부분공간이다.
• 예제 2)
  • 실수집합 에서 로 가는 모든 연속함수의 집합을 라 하자. 명백히 는 벡터공간 의 부분집합이다. 이제 가 의 부분공간임을 보이자.
    • 에 속한 영함수 는 모든 실수 에 대하여 함숫값이 인 상수함수이다. 상수함수는 연속함수이므로 이다.
    • 두 연속함수의 합은 연속함수이고, 연속함수의 스칼라곱도 연속함수이므로 은 합과 스칼라곱에 대해 닫혀있다.
  • 따라서 은 의 부분공간이다.
• 다음 두 종류의 행렬은 특히 중요하다.
  • 행렬 는 대각성분 아래의 모든 성분이 이면 상삼각행렬 또는 위삼각행렬(upper triangular matrix)이라 한다. 즉 일 때 인 행렬이다. (아래 행렬 )
  • 대각성분을 제외한 모든 성분이 인 정사각행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 한다. 다시 말해 일 때 인 행렬 이다. (아래 행렬 )

• 예제 3)
  • 영행렬은 (모든 성분이 이므로) 대각행렬이다. 대각행렬 와 는 일때 임의의 스칼라 에 대하여 다음을 만족한다.
    • 
    • 
  • 따라서 정리 1.3으로부터 대각행렬의 집합은 의 부분공간이다.
• 예제 4)
  • 행렬 의 대각합(trace)은 모든 대각성분의 합이고 으로 표기한다.
    • 
  • 대각합이 인 행렬의 집합은 의 부분공간이다.
• 예제 5)
  • 모든 음이 아닌 실수 의 행렬의 집합은 의 부분공간이 아니다. 이 집합은 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.
• 정리 1.4)
  • 벡터공간 의 부분공간들을 생각하자. 이 부분공간들의 임의의 교집합은 의 부분공간이다.
  • 증명)
    • 의 부분공간을 원소로 하는 집합족(collection)을 라 하고 에 속한 모든 부분공간의 교집합을 라 하자.
    • 영벡터는 모든 부분공간에 속하므로 이다. 스칼라 와 벡터 에 대하여 는 에서 꺼낸 임의의 부분공간에 속한다. 벡터공간은 합과 스칼라 곱에 닫혀 있으므로 와 도 부분공간에 속한다.
    • 즉 이므로 는 정리 1.3에 의해 의 부분공간이다.
• 벡터공간 의 임의의 교집합이 부분공간임을 확인하였으니 합집합 또한 부분공간인지 아닌지 확인해 보자.
  • 부분공간의 합집합이 영벡터를 포함하고, 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있음을 어렵지 않게 보일 수 있다. 아쉽게도 합에 대해서는 닫혀있다고 보장할 수 없다.
  • 사실 의 두 부분공간의 합집합이 의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 한 부분공간이 다른 부분공간에 포함되는 것이다.
  • 두 부분공간 과 가 주어질 때 두 부분공간을 결합하여 과 를 포함하는 더 큰 부분공간을 만드는 자연스러운 방법이 있다. 앞서 설명한 것처럼 이 방법의 핵심은 벡터 합에 대하여 닫힌 공간을 만드는 것이다.
• 연습문제 정의)
  • 공집합이 아닌 과 는 벡터공간 의 부분집합이다. 두 집합의 합(sum) 는 다음과 같이 정의한다.
    • 
  • 벡터공간 와 부분공간 에 대하여 이고 이면
    • 는 와 의 직합(direct sum)이라 하고 라 표기한다.
  • 인 행렬 을 skew-symmetric matrix(반대칭 행렬)이라 한다. skew-symmetric 행렬은 정사각행렬이다.
  • -벡터공간 와 부분공간 를 생각하자. 임의의 에 대하여 다음 집합을 를 포함하는 의 coset(잉여류)라고 한다.
    • 

벡터 공간

• 앞서는 좁은 의미의 벡터에 대해 정의하였는데, 이번 절에서는 보다 넓은 의미를 지닌 대수적 구조로서 벡터의 개념을 소개한다.
•  정의)
  • 체 에서 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) 는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합니다.
    • 합(sum)은 의 두 원소 에 대하여 유일한 원소 를 대응하는 연산이다. 이때 는 와 의 합이라 한다.
    • 스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 의 원소 와 벡터공간 의 원소 마다 유일한 원소 를 대응하는 연산이다. 이때 는 와 의 스칼라 곱(product)이라 한다.
  • (VS1) 모든 에 대하여 이다. (덧셈의 교환 법칙)
  • (VS2) 모든 에 대하여 이다. (덧셈의 결합법칙)
  • (VS3) 모든 에 대하여 인 이 존재한다.
  • (VS4) 각 마다 인 가 존재한다.
  • (VS5) 각 에 대하여 이다.
  • (VS6) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
  • (VS7) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
  • (VS8) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
• 체 의 원소는 스칼라(scalar) 벡터공간 의 원소는 벡터(vector)라 한다.
• 벡터공간은 정확하게 ‘-벡터공간 ‘라 표기해야 한다.
  • 혼란의 여지가 없으면 체 를 생략하고 ‘벡터공간 ‘라 적는다.
• 이 체 의 원소일 때 꼴의 수학적 대상을 에서 성분을 가져온 순서쌍(-tuple)이라 한다. 
  • • 에서 성분을 가져온 두  순서쌍 과 은 일 때, 같다(equal)고 정의한다.
• 예제 1)
  • 체 에서 성분을 가져온 모든 순서쌍의 집합을 이라 표기한다. 
  • 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 -벡터 공간이다.
    •  
    •  
  • 따라서 는 -벡터 공간이다. 예컨대 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
    • 
    • 
  • 같은 방식으로 은 -벡터 공간이다. 예컨대 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
    • 
    • 
• 의 벡터는 행백터(row vector) 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.

• 1 순서쌍은 에서 하나의 성분만 가져오므로 체 의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 이라 쓰기보다 편하게 라 쓰는 경우가 많다.
• 에서 성분을 가져온 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

• 이때 모든 는 의 원소이다. 
  • 인 성분 는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
  • 성분 는 이 행렬의 번째 행(row)
  • 성분 는 이 행렬의 번째 열(column)
  • 행렬의 각 행은 벡터로, 각 열은 의 벡터로 나타낼 수 있다.
  • 더 나아가 의 행벡터를 행렬로, 의 열벡터를 행렬로 나타낼 수 있다.
• 모든 성분이 인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 로 표기한다.
• 행렬은 이탤릭 대문자( 등)를 사용하여 나타낸다. 
  • 의 행 열에 위치한 성분을 라 표기할 것이다.
  • 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
  • 두 행렬 에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 에 대하여 이면 두 행렬은 같다.
• 예제 2)
  • 성분이 체 의 원소인 모든 행렬의 집합은 라 표기한다. 일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 는 벡터공간이다.
  • 
  • 
  • (단, )
• 행렬의 합과 스칼라 곱은 과 에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
  • 두 행렬을 더하여 얻은 행렬의 행은 처음 두 행렬에서 번째 행벡터들의 합이고,
  • 스칼라 를 곱하여 얻은 행렬 의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
  • 같은 방식으로 두 행렬을 더하여 얻은 행렬의 열은 처음 두 행렬에서 번째 열벡터들의 합이고,
  • 스칼라 를 곱하여 얻은 행렬 의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
• 예제 3)
  • 체 의 공집합이 아닌 집합 를 생각하자. 는 에서 로 가는 모든 함수의 집합이다.
  • 에서 모든 에 대하여 일 때, 두 함수 는 같다고 한다.
  • 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 는 벡터공간이다.
    • 
    • 
• 계수가 체 의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.

• 이때 은 음이 아닌 정수이고, 각 (의 계수(coefficient))는 의 원소이다.
  • 이면 다시 말해 이면 는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는 로 정의한다.
• 영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.

• 이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 이 아닌 항의 의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가 인 다항식은 꼴이다. (단 는 이 아닌 스칼라)
• 두 다항식 를 살펴보자.

• 이고 모든 에 대하여 일 때 는 같다고 한다.
• 가 무한집합일 때, 에서 계수를 가져온 다항식을 에서 로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때 에서 의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.

• 다항함수 은 간단히 또는 라 쓴다.
• 예제 4)
  • 에서 계수를 가져온 두 다항식 를 생각하자.
  • 
  • 
  • 일 때, 이라 정의하면 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
    • 
  • 두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, 에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
    • 
    • (이때 는 임의의 스칼라)
  • 이 벡터공간을 라 쓴다.
• 다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 는 본질적으로 같다.
• 예제 5)
  • (임의의 체) 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, 를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는 인 수열 를 이라 표기할 것이다.
  • 에서 정의된 모든 수열의 집합을 라 하자. 두 수열 과 스칼라 에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면 는 벡터 공간이다.
    • 
    • 
• 예제 6)
  • 일 때, 와 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
  • 
  • 
  • 는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
    • VS8) 모든 와 모든 에 대하여 이다.
    • (교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
• 예제 7)
  • 집합 는 예제 6과 같고 와 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
  • 
  • 
  • 아래 조건이 성립하지 않으므로 는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
    • VS3) 모든 에 대하여 인 이 존재한다.
    • VS4) 각 마다 인 가 존재한다.
    • VS5) 각 에 대하여 이다.
• 정리 1.1) 
  • 벡터 합의 소거 법칙
  • 이고 일 때 이다.
  • 증명)
    • (VS4)에 의해 인 벡터 가 존재한다. 따라서 (VS2), (VS3)으로부터 다음이 성립한다.
      • 
      • 
• 따름 정리 1)
  • (VS3)을 만족하는 벡터 은 유일하다.
• 따름정리 2)
  • (VS4)를 만족하는 벡터 는 유일하다.
• (VS3)을 만족하는 벡터 은 의 영벡터(zero vector)라 한다. 
• (VS4)를 만족하는 벡터 , 다시 말해 를 만족하는 유일한 벡터 는 덧셈에 의한 의 역벡터(additive inverse)라 하며 로 표기한다.
• 정리 1.2)
  • 모든 벡터공간 에 대하여 다음이 성립한다.
    1. 모든 벡터 에 대하여 이다.
    2. 모든 스칼라 와 모든 벡터 에 대하여 이다.
    3. 모든 스칼라 에 대하여 이다.
  • 증명)
    1. (VS8), (VS3), (VS1)에 따르면 이다. 정리 1.1에 의해 이다.
    2. 벡터 는 의 유일한 벡터이다. 만약 이면 정리 1.1의 따름 정리 2에 의해 이다.
       • (VS8)과 (1)로부터 이므로 이다. 특히 이다. 이제 (VS6)에 의해 다음이 성립한다.
       • 
    3. (1)의 증명과 비슷하다.