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이상엽/ 위상수학/ 분리공리

BY suyeongpark

$T_{0}$ , $T_{1}$ , $T_{2}$ 공간

정의

대표적인 위상적 불변량인 분리공리들을 알아본다.
- 모든 위상공간은 밀착위상공간에서부터 이산위상공간 사이에 스펙트럼처럼 존재한다.
- 밀착위상공간의 열린집합은 공집합이거나 자기 자신만 가능

Def 1. [ $T_{0}$ ]

$(X, \mathfrak{I})$ 가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \vee (x \notin U \wedge y \in U)$

을 만족하면 $X$ 가 $T_{0}$ 라 한다. (단 $x \neq y$ )

$T_{0}$ 를 도식화 하면 다음과 같다.

$T_{0}$ 공간은 밀착위상 공간의 바로 다음 등급

Def 2. [ $T_{1}$ ]

$(X, \mathfrak{I})$ 가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \wedge (x \notin V \wedge y \in V)$

을 만족하면 $X$ 가 $T_{1}$ 라 한다. (단 $x \neq y$ )

$T_{1}$ 를 도식화 하면 다음과 같다.

Def 3. [ $T_{2}$ (하우스도르프)]

$(X, \mathfrak{I})$ 가 위상공간이라 하자.

$\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : x \in U \wedge y \in V \wedge U \cap V = \emptyset$

을 만족하면 $X$ 가 $T_{2}$ 라 한다. (단 $x \neq y$ )

$T_{2}$ 를 도식화 하면 다음과 같다.

$T_{0}, T_{1}$ , 하우스도르프( $T_{2}$ )인 위상공간을 각각 간단히 $T_{0}$ -공간, $T_{1}$ -공간, 하우스도르프공간( $T_{2}$ -공간)이라 한다.
정의에 의해 자명하게 다음이 성립한다.
- 하우스도르프공간 $\Rightarrow T_{1}$ -공간 $\Rightarrow T_{0}$ -공간

ex1) 임의의 집합 $X$ 에 대한 밀착위상공간은 $T_{0}$ -공간이 아니다.

ex2) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 위의 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}$ 에 대하여 위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 는 $T_{0}$ -공간이지만 $T_{1}$ -공간은 아니다.

ex3) 무한집합 $X$ 에 대한 유한여집합위상 공간은 $T_{1}$ -공간이지만 하우스도르프 공간은 아니다.

ex4) 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

하우스도르프 공간부터 위상수학의 의미있는 논의가 가능해짐.
최초에 하우스도르프가 위상공간을 정의했을 때 사용했던 공간.
$T_{0}, T_{1}$ 공간은 값이 하나의 값으로 수렴한다는 것이 보장이 안되지만, $T_{2}$ 공간은 수렴 값이 하나가 보장 됨.

여러 가지 정리

분리공리와 관련한 몇 가지 중요한 정리들을 알아보자.

Thm 1. [위상적불변량]

두 위상 공간 $X, Y$ 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

$X$ 가 $T_{0}$ 이다. $\Leftrightarrow Y$ 가 $T_{0}$ 이다.
$X$ 가 $T_{1}$ 이다. $\Leftrightarrow Y$ 가 $T_{1}$ 이다.
$X$ 가 $T_{2}$ 이다. $\Leftrightarrow Y$ 가 $T_{2}$ 이다.

Thm 2. [부분공간]

$T_{0}$ -공간의 부분공간은 $T_{0}$ 이다.
$T_{1}$ -공간의 부분공간은 $T_{1}$ 이다.
$T_{2}$ -공간의 부분공간은 $T_{2}$ 이다.

Thm 3. [곱공간]

모든 $X_{\alpha}$ 가 $T_{0}$ -공간이면 $\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}$ 도 $T_{0}$ 이다.
모든 $X_{\alpha}$ 가 $T_{1}$ -공간이면 $\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}$ 도 $T_{1}$ 이다.
모든 $X_{\alpha}$ 가 $T_{2}$ -공간이면 $\Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha}$ 도 $T_{2}$ 이다.

Thm 4. [ $T_{0}$ -공간의 성질]

위상공간 $X$ 에 대하여 다음은 동치이다.

$X$ 가 $T_{0}$ 이다.
(단, )
- $\overline{\{x\}}$ 는 $x$ 의 폐포(closure)

Thm 5. [ $T_{1}$ -공간의 성질]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$X$ 가 $T_{1}$ 이다.
- $X - \{ x \}$ 은 $\{x\}^{c}$ 이라는 뜻
- $\{ x \}$ 는 닫힌집합. $T_{1}$ 공간이면 1점 집합은 닫힌집합이 된다.
- $T_{1}$ 은 상당히 상위 클래스이기 때문에 이하 대부분의 공간이 이 성질을 물려 받는다.

Def. [위상공간상의 수렴]

다음을 만족하면 위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 상의 수열 $\{ x_{n} \}$ 이 점 $x \in X$ 로 수렴한다고 한다.

$\forall U \in \mathfrak{I}, x \in U, \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \Rightarrow x_{n} \in U$

Thm 6. [하우스도르프공간의 성질]

하우스도르프공간상의 수렴하는 수열은 유일한 극한을 갖는다.

ex) $X = \{ 1, 2, 3 \}, \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{ 1, 3 \} \}$ 일 때 다음 수열은 여러 극한을 갖는다.

$\{ x_{n} \} : 1, 3, 1, 3, 1, 3 ...$

$T_{3}$ , $T_{4}$ 공간

정의

점의 분리성에서 더 나아가 점을 포함한 집합의 분리성을 등급화한다.
점을 포함하는 최소 크기의 집합(한점집합)은 1.(2).Thm 5.에 의해 $T_{1}$ -공간에서 닫힌집합임을 기억하자.

Def 1. [ $T_{3}$ (정칙)]

$T_{1}$ -공간인 $(X, \mathfrak{I})$ 의 임의의 닫힌집합 $C$ 와 점 $x \in X - C$ 에 대하여 $\exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge x \in V \wedge U \cap V = \emptyset$ 를 만족하면 $X$ 가 $T_{3}$ 라 한다.

$T_{3}$ 를 도식화하면 다음과 같다.

Def 2. [ $T_{4}$ (정규)]

$T_{1}$ -공간인 $(X, \mathfrak{I})$ 의 임의의 서로소인 닫힌집합 $C, D$ 에 대하여 $\exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge D \subset V \wedge U \cap V = \emptyset$ 를 만족하면 $X$ 가 $T_{4}$ 라 한다.

$T_{4}$ 를 도식화하면 다음과 같다.

정칙( $T_{3}$ ), 정규( $T_{4}$ )인 위상공간을 각각 가단히 정칙공간, 정규공간이라 한다.
위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 가 $T_{1}$ 이라는 조건을 놓치지 않도록 유의하자.

ex1) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 에 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2, 3\} \}$ 을 준 위상공간 (정칙 공간이지만 $T_{1}$ 은 아닌 예. 고로 이것은 $T_{3}$ 가 아니다.)

ex2) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 에 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \}$ 을 준 위상공간 (정규 공간이지만 $T_{1}$ 은 아닌 예. 고로 이것은 $T_{4}$ 가 아니다.)

여러 가지 정리

Thm 1. [ $T_{3}$ -공간 $\Rightarrow T_{2}$ -공간]

모든 정칙공간은 하우스도르프이다.

Thm 2. [ $T_{4}$ -공간 $\Rightarrow T_{3}$ -공간]

모든 정규공간은 정칙이다.

Thm 3. [거리공간 $\Rightarrow T_{4}$ -공간]

모든 거리공간은 정규이다.

참고) 위상공간들 사이의 관계

Lemma 1. [전단사 사상의 성질]

두 위상공간 $X, Y$ 사이의 전단사사상 $f : X \to Y$ 가 열린사상이면 $f$ 는 닫힌사상이기도 하다.

Thm 4. [위상적 불변량]

두 위상공간 $X, Y$ 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

$X$ 는 정칙공간 $\Leftrightarrow Y$ 는 정칙공간
$X$ 는 정규공간 $\Leftrightarrow Y$ 는 정규공간

Lemma 2. [부분공간의 닫힌집합]

위상공간 $X$ 의 부분공간 $A$ 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$C \subset A$ 가 $A$ 의 닫힌집합이다.
$C = A \cup D$ 를 만족하는 $X$ 의 닫힌집합 $D$ 가 존재한다.

Lemma 3. [닫힌부분공간의 성질]

위상공간 $X$ 와 $B \subset A \subset X$ 에 대하여 $B$ 가 부분공간 $A$ 의 닫힌집합이고 $A$ 가 $X$ 의 닫힌집합이면 $B$ 는 $X$ 의 닫힌집합이다.

Thm 5. [부분공간]

정칙공간의 부분공간은 정칙이다.
정규공간의 닫힌부분공간은 정규이다.

정규공간의 부분공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.

Lemma 4. [ $T_{3}$ -공간의 또 다른 정의]

다음 조건은 $T_{1}$ -공간 $(X, \mathfrak{I})$ 가 정칙공간이기 위한 필요충분조건이다.

$\forall x \in X, x \in \forall U \in \mathfrak{I}, \exists V \in \mathfrak{I} : x \in V \subset \overline{V} \subset U$

Thm 6. [정칙공간들의 곱공간]

정칙공간들의 곱공간은 정칙이다.

정규공간들의 곱공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.

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이상엽/ 위상수학/ 연속사상

BY suyeongpark

연속사상

실수의 연속함수로부터 위상구조의 연속성을 보존하는 연속사상을 정의한다.

Def 1. [실변수함수의 연속]

함수 가 에서 연속이다.
- $\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0})| < \epsilon$
- 즉, $x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \Rightarrow f(x) \in (f(x_{0}) - \epsilon, f(x_{0}) + \epsilon)$
가 연속함수다
- $f$ 가 임의의 $x_{0} \in \mathbb{R}$ 에서 연속이다.

Def 2. [연속사상]

사상 가 에서 연속이다.
- $f(x_{0})$ 를 포함하는 임의의 열린집합 $V(\subset Y)$ 에 대하여, $x_{0}$ 를 포함하는 열린집합 $U(\subset X)$ 가 존재해 $f(U) \subset V$ 를 만족한다.
가 연속사상이다.
- $f$ 가 임의의 $x_{0} \in X$ 에서 연속이다.

ex) 집합 $X = \{ 1, 2, 3 \}$ 위의 위상 $\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \}$ 에 대하여, 사상 $f : X \to X$ 를 $f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 3$ 이라 정의하면, $f$ 는 1과 3에서 연속이지만 2에서는 연속이 아니다. 즉, $f$ 는 연속사상이 아니다.

사상에서 연속임을 증명할 때는 공역에서 먼저 시작해서 그 조건을 만족하는 열린집합을 정의역에서 잡아줄 수 있으면 연속사상이 된다.
- 이런 조건은 상당히 일반화된 것이기 때문에 직관적으로 이해하기는 쉽지 않다.

Thm 1. [연속사상의 또 다른 정의]

사상 $f : X \to Y$ 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$f$ 는 연속사상이다.
$Y$ 의 임의의 열린집합 $V$ 의 역상 $f^{-1}(V)$ 가 $X$ 에서 열린집합이다.

정의에 따라 연속임을 증명하려면 열린집합을 일일이 체크해야 하는데, 이게 너무 번거롭기 때문에 일반적으로 이 정의를 따라 연속임을 판명함.
주의할 점은 역함수를 잡을 수 없는 경우 $\emptyset$ 이 되는데, 이것 또한 위상의 정의상 위상의 원소가 되기 때문에 연속이 된다. 정의가 그러한 것

Cor. [닫힌집합과 연속사상]

$f : X \to Y$ 는 연속사상이다. $\Leftrightarrow Y$ 의 임의의 닫힌집합 $C$ 의 역상 $f^{-1}(C)$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합이다.

ex) 실수의 보통위상공간사이의 사상 $f(x) = {1 \over 1 + x^{2}}$ 는 연속사상이지만, 사상 $g(x) = \begin{cases} 1, x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases}$ 는 연속사상이 아니다.

정의역이 이산위상공간이면 공역이 무엇이든지 항상 연속사상이 정의된다.
- 이산위상공간은 모든 부분집합이 열린집합이기 때문에 함수값들이 어떻게 되든간에 상관없이 항상 성립. 애초에 조건에서 근접한 것이 없었기 때문에 그 결과가 근접해 있든 아니든 참이 됨.
- 이런 경우를 공허참이라 한다. 조건식 P -> Q에서 P가 거짓이면 Q는 무조건 참인 것이 같은 맥락.
정의역과 공역이 같을 때 항등사상과 상수사상은 항상 연속사상이다.

Thm 2. [기저와 연속사상]

위상공간 사이의 사상 $f : X \to Y$ 와 $Y$ 의 기저 $\mathcal{B}$ 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

$f$ 는 연속사상이다.
$\mathcal{B}$ 의 임의의 원소 $B$ 의 역상 $f^{-1}(B)$ 는 $X$ 에서 열린집합이다.

ex) 실수의 아래끝위상공간사이의 사상 $f(x) = x + 1$ 는 연속사상이지만, 사상 $g(x) = -x$ 는 연속사상이 아니다.

Thm 3. [연속사상의 합성]

연속사상의 합성사상은 연속사상이다.

위상동형사상

위상수학의 주요 목표 중 하나는 주어진 두 위상공간이 서로 위상동형인지 아닌지를 밝히는 것이다.

Def. [위상동형사상]

두 위상공간 $X, Y$ 사이의 사상 $f$ 가 다음 세 조건을 만족한다고 하자.

$f$ 는 전단사이다.
$f$ 는 연속이다.
$f^{-1}$ 는 연속이다.

이때 $f$ 를 위상동형사상이라 하며, $X$ 와 $Y$ 를 위상동형이라 하고 $X \simeq Y$ 라 표기한다.

위상동형인 $X, Y$ 는 1)에 의해 집합적으로 구별되지 않으며 2), 3)에 의해 위상적으로 구별되지 않는다.
위상동형인 위상공간들이 공통적으로 갖는 성질을 불변량이라 한다.
- 불변하는 성질
위상동형은 동치관계이다.
- 반사적/ 대칭적/ 추이적

부분공간

주어진 하나의 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.

Thm. [부분위상]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 와 $A \subset X$ 에 대하여 $\mathfrak{I}_{A}$ 를 다음과 같이 정의하면 $\mathfrak{I}_{A}$ 는 $A$ 위의 위상이 된다.

$\mathfrak{I}_{A} = \{ A \cap U | U \in \mathfrak{I} \}$

Def. [부분공간]

Thm.에서 설정한 $\mathfrak{I}_{A}$ 를 부분위상이라 하고, 위상공간 $(A, \mathfrak{I}_{A})$ 은 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분공간이라 한다.

전체공간에서는 열린집합이 아니었던 집합이 부분공간에서는 열린집합일 수 있다.
- 위상공간의 부분 집합에 대하여 공집합과 X(전체 집합)는 서로간에 열린집합-닫힌집합의 관계가 된다. 공집합의 여집합은 X가 되고, X의 여집합은 공집합이 되기 때문. 다시 말해 X를 열린집합으로 잡으면 공집합은 닫힌집합이 되고, 공집합을 열린집합으로 잡으면 X는 닫힌 집합이 된다.
- 만일 공집합과 X 외에 위상공간의 부분 집합에서 그러한 관계를 갖는 집합이 또 발생한다면, 기하적인 의미에서 그 둘은 떨어져 있는 관계가 된다.
- 이러한 의미에서 열린집합이라 해서 항상 구간이 열려 있지 않고, –공집합은 원소 1개– 닫힌집합이라고 해서 항상 구간이 닫혀 있지는 않다. –정의상 열린집합의 여집합이기 때문

ex) 실수의 보통 위상공간 $(\mathbb{R}, \mathfrak{I})$ 의 부분공간 $(\mathbb{Z}, \mathfrak{I}_{Z})$ 에서 임의의 한 점 집합 $\{ z \} (z \in \mathbb{Z})$

부분공간의 성질

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 와 $\mathfrak{I}$ 의 기저 $\mathcal{B}$ 그리고 부분위상공간 $(A, \mathfrak{I}_A)$ 에 대하여 $\mathcal{B}_{A} = \{ A \cap B | B \in \mathcal{B} \}$ 는 $\mathfrak{I}_{A}$ 의 기저가 된다.
위상공간 와 그 부분위상공간 사이에는 항상 위상동형사사을 정의할 수 있다. 즉 와 는 위상동형이다.
- ex) 실수의 보통위상공간 $(\mathbb{R}, \mathfrak{I})$ 와 $(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \subset \mathbb{R}$ 에 대해 사상 $f : (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \to \mathbb{R}$ 를 $f(x) = \tan x$ 라 정의하면 $f$ 는 위상동형사상이다.
위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 과 그 부분위상공간 $(A, \mathfrak{I}_{A})$ 에 대해 $A$ 가 $(X, \mathfrak{I})$ 의 열린집합이면 $(A, \mathfrak{I}_{A})$ 의 모든 열린집합들은 동시에 $(X, \mathfrak{I})$ 의 열린집합이기도 하다.

임베딩(Embedding)

공역의 부분공간으로의 사상이 집합적으로도 위상적으로도 겹침이 발생하지 않는 연속사상인 경우를 정의한다.
- 겹침이 발생하지 않는다는 것은 위상 동형이라는 의미. 원래 함수에서 가까웠던 점은 변환된 함수에서도 가깝고, 원래 함수에서 멀었던 점은 변환된 함수에서 멀다면 겹침이 없는 것이지만, 원래 함수에서 가까웠던 점이 변환된 함수에서 멀어지거나 원래 함수에서 멀었던 점이 변환된 함수에서 가까워지면 겹침이 발생한 것이 된다.

Def. [임베딩]

$X$ 에서 $Y$ 로의 연속사상 $f$ 가 다음 두 조건을 만족하면 임베딩이라 한다.

$f$ 는 단사이다.
$\tilde{f} : X \to f(X)$ 가 위상동형사상이다.

ex) $X = \{ 0, 1, 2, ... \}$ 위의 이산위상 $D$ 와 실수의 보통위상 $\mathfrak{I}$ 에 대하여 두 위상공간 $(X, D), (\mathbb{R}, \mathfrak{I})$ 사이의 사상 $f : X \to Y$ 를 $f(x) = \begin{cases} {1 \over x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases}$ 라 정의하면 $f$ 는 임베딩이 아니다.

위 예는 원래 집합의 원소들은 떨어져 있는데, 변환된 함수의 결과에서는 위상적으로 겹침이 발생함

곱공간

주어진 두 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.
- 주어진 두 집합의 곱집합을 이용

Thm 1. [곱위상의 기저]

두 위상공간 $(X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y})$ 에 대하여 $\mathcal{B}$ 를 다음과 같이 정의하면 $\mathcal{B}$ 는 곱집합 $X \times Y$ 상의 위상의 기저가 된다.

$\mathcal{B} = \{ U \times V | U \in \mathfrak{I}_{X}, V \in \mathfrak{I}_{Y} \}$

Def. [곱공간]

Thm 1.에서 설정한 $\mathcal{B}$ 가 생성하는 위상 $\mathfrak{I}$ 를 $X \times Y$ 위의 곱위상이라 하고, 위상공간 $(X \times Y, \mathfrak{I})$ 를 $X$ 와 $Y$ 의 곱공간이라 한다.

두 거리공간 로부터 유도되는 위상공간을 각각 라 할 때, 곱거리공간 로부터 유도되는 위상공간 은 와 의 곱공간과 일치한다.
- 사실은 애초에 거리 공간을 설정할 때 이게 가능하도록 설정한 것

Thm 2. [기저와 곱공간]

두 위상공간 $(X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y})$ 의 기저를 각각 $\mathcal{B}_{X}, \mathcal{B}_{Y}$ 라 할 때, 집합족 $\delta = \{ U \times V | U \in \mathcal{B}_{X}, V \in \mathcal{B}_{Y} \}$ 은 $X \times Y$ 의 기저이다.

ex) 네 실수 $a, b, c, d$ 에 대해 $\delta = \{ (a, b) \times (c, d) | a < b, c < d \}$ 는 $\mathbb{R}^{2}$ 의 기저이다.

사영사상

Def 1. [열린사상과 닫힌사상]

두 위상공간 $(X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y})$ 사이의 사상을 $f : X \to Y$ 라 하자.

$X$ 의 임의의 열린집합 $U$ 에 대하여 $f(U)$ 가 $Y$ 의 열린집합이면 $f$ 를 열린사상이라 한다.
$X$ 의 임의의 닫힌집합 $C$ 에 대하여 $f(C)$ 가 $Y$ 의 닫힌집합이면 $f$ 를 닫힌사상이라 한다.

1)전단사이고 2)연속인 3)열린사상은 위상동형사상이다.

Def 2. [사영사상]

두 위상공간 $(X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y})$ 과 곱공간 $(X \times Y, \mathfrak{I})$ 에 대하여 $p_{1} (x, y) = x, p_{2}(x, y) = y$ 로 정의한 사상 $p_{1}: X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y$ 를 사영사상이라 한다.

Thm 1. [사영사상의 성질]

사영사상 $p_{1} : X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$p_{1}, p_{2}$ 는 연속사상이다.
$p_{1}, p_{2}$ 는 열린사상이다.

위 조건은 만족하지만 전단사가 보장되지 않기 때문에 사영사상은 위상동형사상이 아니다.

Thm 2.

세 위상공간 $X, Y, Z$ 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$f : Z \to X \times Y$ 가 연속이다.
$p_{1} \circ f : Z \to X$ 와 $p_{2} \circ f : Z \to Y$ 가 모두 연속이다.

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이상엽/ 위상수학/ 위상공간

BY suyeongpark

위상공간

도입

위상수학의 본질은 연속에 대한 이해이며, 실수의 연속성으로부터 시작한다.
- (연속의 핵심은 극한)

Def 1. [ $lim_{n \to \infty} x_{n} = L$ ]

$L \in \mathbb{R}$ 이라 할 때, $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, |x_{n} - L| < \epsilon$

이때 $|x_{n} - L| < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$

$x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)$ 은 $x_{n}$ 이 $L$ 의 근방에 포함된다는 의미

Def 2. [근방]

$N \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R}$ 이라 할 때,

$\exists(a, b) \subset N : L \in (a, b)$ 을 만족하면 $N$ 을 $L$ 의 근방이라 한다.

근방이란 $L$ 을 포함하는 열린구간을 의미. 심지어 $(-\infty, \infty)$ 도 정의상 근방이라고도 할 수 있다.
근방 정의의 핵심은 $L$ 로부터 얼마나 떨어져 있느냐가 아니라 연속성.

Thm 1. [근방(열린구간)의 성질]

의 근방들의 유한교집합은 의 근방이다.
- 닫힌 구간인 경우에는 성립하지 않는다. 닫힌 구간들이 1개의 원소를 공유하는 경우 그 교집합은 1개의 원소가 되기 때문에 근방이 되지 않음.
의 근방들의 무한합집합은 의 근방이다.
- 무한 교집합인 경우에는 성립하지 않는다. 교집합이 1개의 원소로 수렴하기 때문

Def 3. [열린집합]

열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 열린집합이라 한다.

Thm 2. [열린집합의 성질]

$\emptyset$ 은 열린집합이다.
열린집합의 유한교집합은 열린집합이다.
열린집합의 무한합집합은 열린집합이다.

열린구간의 일반화 버전
- 열린집합을 0번 합하면 공집합, 1번 합하면 열린구간이 된다.

위상공간

실수에서의 열린집합 성질을 바탕으로 이를 일반화하여 위상공간을 정의한다.
- 임의의 집합 $X$ 에 열린집합의 성질을 부여한 것이 위상공간

Def 1. [위상과 위상공간]

집합 $X (\neq \emptyset)$ 와 $X$ 의 부분집합의 집합족 $\mathfrak{I}$ 가 다음을 만족한다고 하자.

- $X$ 는 열린집합
- 열린집합의 성질에서 유한 교집합과 같은 내용
- 열린집합의 성질에서 무한 합집합과 같은 내용

이때 $\mathfrak{I}$ 를 $X$ 위의 위상(topology), $(X, \mathfrak{I})$ 를 위상공간이라 한다.

1.(1).Def3에서 정의한 열린집합들의 집합족 $\mathfrak{I}$ 에 대해 $(\mathbb{R}, \mathfrak{I})$ 를 실수의 보통위상공간이라 한다.
정의에 의해 한 집합에는 다양한 위상이 존재함을 알 수 있다.

Def 2. [열린집합 개념의 확장]

$\mathfrak{I}$ 가 집합 $X$ 의 위상일 때 $\mathfrak{I}$ 의 원소를 열린집합이라 한다. 즉, 위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 에 대해 $O \in \mathfrak{I}$ 인 $O (\subset X)$

ex) 집합 $X(\neq \emptyset)$ 에 대하여 다음은 모두 $X$ 위의 위상이다.

$\mathfrak{I} = \{ \emptyset, X \}$ : 밀착위상
$\mathfrak{I} = P(X)$ 이산위상

모든 집합 $X$ 에 대하여
- 공집합과 자기 자신( $X$ )을 포함하는 집합족도 $X$ 의 위상이 되고, (최소) 이거를 밀착 위상이라고 한다.
- 공집합과 자기 자신( $X$ )과 자기 자신의 모든 부분집합을 포함하는 집합족도 $X$ 의 위상이 된다. (최대) – 이게 멱집합이고 이걸 이산 위상이라고 한다.

Def 3. [닫힌집합]

$\mathfrak{I}$ 가 집합 $X$ 의 위상일 때 $C^{c} = X - C \in \mathfrak{I}$ 인 $C$ 를 닫힌집합이라 한다. (열린집합의 여집합)

닫힌집합이라 해서 열린집합이 아닌 것은 아니다. 즉, 열린집합이면서 동시에 닫힌집합인 것도 존재할 수 있다.
- ex) 실수의 보통위상공간에서 $\mathbb{R}$

기저

기저로부터 위상을 효율적으로 파악할 수 있을 뿐 아니라 새로운 위상을 만드는 것도 가능하다.

Def. [기저]

집합 $X$ 위의 위상 $\mathfrak{I}$ 와 $\mathfrak{I}$ 의 부분집합 $\mathcal{B}$ 에 대해 $\mathfrak{I}$ 의 임의의 원소가 $\mathcal{B}$ 의 원소의 합집합으로 표현될 수 있으면 $\mathcal{B}$ 를 $\mathfrak{I}$ 의 기저라 한다.

$\mathcal{B}$ 가 $\mathfrak{I}$ 의 기저일 떄, $\mathcal{B} \subset \mathcal{C} \subset \mathfrak{I}$ 인 $\mathcal{C}$ 도 $\mathfrak{I}$ 의 기저이다.

Thm. [기저의 또 다른 정의]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 와 $\mathfrak{I}$ 의 부분집합 $\mathcal{B}$ 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

$\mathcal{B}$ 는 $\mathfrak{I}$ 의 기저이다.
$\forall p \in X, p \in U \in \mathfrak{I}, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B \subset U$

Cor. [기저의 성질]

집합 $X$ 위에 정의된 위상의 기저 $\mathcal{B}$ 는 다음 두 조건을 만족하며, 그 역도 성립한다.

$\forall p \in X, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B$
$\forall B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}, \forall p \in B_{1} \cap B_{2}, \exists B_{3} \in \mathcal{B} : p \in B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}$

ex) 다음 집합이 생성하는 집합족은 모두 $\mathbb{R}$ 위의 위상이다.

$L = \{ [a, b) \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}$
$U = \{ (a, b] \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}$

위상크기비교

같은 집합위의 서로 다른 두 위상의 크기를 비교가능한 때가 있으며, 이는 각 위상의 기저를 이용해 효율적으로도 가능하다.

Def. [위상크기비교]

집합 $X$ 위의 두 위상 $\mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2}$ 에 대하여 $\mathfrak{I}_{1} \subset \mathfrak{I}_{2}$ 이면 $\mathfrak{I}_{1}$ 이 $\mathfrak{I}_{2}$ 보다 작다 (또는 $\mathfrak{I}_{2}$ 가 $\mathfrak{I}_{1}$ 보다 크다)고 한다.

Thm. [기저를 이용한 위상크기비교]

$\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}$ 가 각각 집합 $X$ 위의 서로 다른 두 위상 $\mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2}$ 의 기저라 하자. 이때 다음 두 명제는 동치이다.

$\mathfrak{I}_{1}$ 이 $\mathfrak{I}_{2}$ 보다 크다.
$\forall p \in X, \forall B_{2} \in \mathcal{B}_{2} ,with, p \in B_{2}, \exists B_{1} \in \mathcal{B}_{1} : p \in B_{1} \subset B_{2}$

즉, $\mathcal{B}_{1} \supset \mathcal{B}_{2}$ 이면 $\mathfrak{I}_{1} \supset \mathfrak{I}_{2}$ 이다. 단, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

거리공간

위상공간에서 배제된 거리의 개념을 새로이 정의하고, 이를 집합에 부여한 공간을 고려해본다.

Def. [거리]

집합 $X$ 에 대해 함수 $d : X \times X \to \mathbb{R}$ 가 다음 네 조건을 만족한다고 하자.

$\forall x, y \in X, d(x, y) \geq 0$
$d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
$\forall x, y \in X, d(x, y) = d(y, x)$
$\forall x, y, z \in X, d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$

이때 $d$ 를 $X$ 위의 거리(함수), $(X, d)$ 를 거리공간이라 한다.

ex) 다음은 모두 거리공간이다.

과 에 대해
- 여기서 $d$ 는 유클리드 거리라고 하며 $(\mathbb{R}, d)$ 는 유클리드 공간이라 한다. (보통 $d_{E}$ 로 씀)
$\mathbb{R}^{n} = \{ \vec{x} = (x_{1}, ... , x_{n}) | x_{1}, ... , x_{n} \in \mathbb{R} \}$ 과 $d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + ... + (x_{n} - y_{n})^{2}}$ 에 대해 $(\mathbb{R}^{n}, d)$
임의의 집합 $X$ 와 $d(x, y) = \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x = y \end{cases}$ 에 대해 $(X, d)$

주어진 두 거리공간 $(X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2})$ 으로부터 다음과 같은 곱거리함수 $d_{1} \times d_{2}$ 를 이용해 새로운 거리공간 $(X_{1} \times X_{2}, d_{1} \times d_{2})$ 을 만들 수 있다.

$(d_{1} \times d_{2})((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = \sqrt{(d_{1}(x_{1}, y_{1}))^{2} + (d_{2}(x_{2}, y_{2}))^{2}}$

(단, $X_{1} \times X_{2} = \{ (x_{1}, x_{2} | x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2} \}$ )

거리화 가능 공간

모든 거리공간은 위상공간화 가능하다.
- 하지만 위상공간이 거리공간으로 변환할 수 없는 것도 존재하기 때문에, 거리공간이 위상공간에 포함되는 개념이 된다. 거리는 위상공간에서 부차적인 요소이다.
- 거리공간에서 위상공간의 기저가 될 수 있는 것을 만들어 준다.

Def. [열린구]

거리공간 $(X, d)$ 과 임의의 점 $x_{0} \in X$ , 양의 실수 $r$ 에 대하여 $X$ 의 부분집합

$B_{d} (x_{0}, r) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) < r \}$

을 중심이 $x_{0}$ 이고 반지름인 $r$ 인 열린구라하며, 간략히 $B_{r}(x_{0})$ 로 표기하기도 한다. (임의의 점 $x$ 에서 거리 $r$ 안에 포함되는 모든 점을 가져온 것. $r$ 미만 이기 때문에 열린 구가 된다. 이하이면 닫힌구, 거리와 같은 점을 모으면 구면이 된다)

$\overline{B_{r}}(x_{0}) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) \leq r \}$ : 닫힌구
$S_{r}(x_{0}) = \{x \in X | d(x_{0}, x) = r \}$ : 구면

Thm. [거리공간의 위상공간 유도]

거리공간 $(X, d)$ 에 대하여 모든 열린구들의 집합

$\mathcal{B} = \{ B_{r}(x_{0}) | x_{0} \in X, r > 0 \}$

는 항상 집합 $X$ 위의 어떤 위상의 기저가 된다. $\mathcal{B}$ 로부터 생성된 위상을 거리위상, 위상공간을 유도공간이라 한다. (모든 열린 구들의 집합이 어떤 위상의 기저가 된다. 그렇게 만든 기저로 위상공간의 모든 요소들을 만들어낼 수 있음)

어떠한 거리공간으로부터도 유도될 수 없는 위상공간이 존재한다.
- ex) $X = \{ 1, 2 \}$ 에 대한 밀착위상공간
서로 다른 두 거리공간으로부터 동일한 위상공간이 유도되기도 한다.
- ex) $\vec{x} = (x_{1}, x_{2}), \vec{y} = (y_{1}, y_{2}) (\in \mathbb{R}^{2})$
- $d_{E}(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}}$
- $d_{M}(\vec{x}, \vec{y}) = Max(|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|)$
- 일 때 $(\mathbb{R}^{n}, d_{E}), (\mathbb{R}^{n}, d_{M})$
- $d_{E}$ 는 원의 모양이 되고 $d_{M}$ 는 정사각형 모양이 된다. 그런데 이 두 거리공간으로부터 유도되는 위상공간은 동일하다. 다시 말해 원과 사각형이 위상공간에서는 같은 것이라는 것. 이는 실수라는 무한집합을 이용하였기 때문. 이게 위상수학의 유명한 예.

관계를 다음과 같이 도식해 볼 수 있다.

내, 외부와 경계

집적점과 폐포

실수의 극한에 대응하는 위상공간의 개념을 알아본다.
- 집적점은 실수의 극한의 일반화된 버전
- 열린구간의 경계에 해당한다.

Def 1. [집적점]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 에 대해 $A$ 의 $X$ 를 부분집합이라 하자. 점 $x \in X$ 가 $x$ 를 포함하는 임의의 열린집합 $U$ 에 대하여

$(U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset$

를 만족하면 $x$ 를 $A$ 의 집적점이라 한다. ( $x$ 가 $A$ 에 포함되는지 아닌지 여부는 중요하지 않다)

즉 집합 $A$ 의 집적점이란 $A$ 의 원소들이 한없이 가까이 분포하고 있는 점이다.
실수의 보통위상공간과 유리수집합 에 대해 모든 실수는 의 집적점이 될 수 있다.
- 이처럼 위상공간의 모든 원소를 집적점으로 갖는 집합의 성질을 조밀성이라 한다.
- 또한 조밀한 가산부분집합이 존재하는 위상공간은 분해가능공간이라 한다.

Thm 1. [닫힌집합의 의미 1]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

$A$ 는 닫힌집합이다.
의 모든 집적점들은 에 포함된다.
- 닫힌집합은 열린집합의 여집합이기 때문에, 거꾸로 닫힙집합을 찾고 그것의 여집합을 하면 열린집합이 된다. –열린집합을 찾기 어려운 경우 이렇게 한다.
- 열린집합이란 위상의 원소다.

Def 2. [도집합과 폐포]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 $A$ 의 모든 집적점들의 집합을 $A$ 의 도집합 $A'$ 라 하고 $A \cup A'$ 을 $A$ 의 폐포 $\overline{A}$ 라 한다.

집적점이 $A$ 내부에 존재하지 않을 수 있기 때문에 $A$ 의 모든 집적점들의 집합이나 그 집합과 $A$ 의 합집합이 별도의 의미가 있게 된다.

Cor. [닫힌집합의 의미 2]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 다음 세 명제는 동치이다. (도집합과 폐포를 이용해서 닫힌집합을 정의할 수 있음)

$A$ 는 닫힌집합이다.
$A' \subset A$
$\overline{A} = A$

Thm 2. [폐포의 의미]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

$x \in \overline{A}$
$\forall$ 열린집합 $U \ni x, U \cap A \neq \emptyset$

내, 외부와 경계

Def. [내부, 외부, 경계]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해

에 포함되는 모든 열린집합의 합집합을 의 내부 라 한다.
- 위상의 원소들 가운데 $A$ 에 포함되는 모든 것을 $A$ 의 내부라고 한다.
의 내부를 의 외부 라 한다.
- $A$ 의 여집합의 내부(열린집합)가 $A$ 의 외부가 된다.
를 의 경계 라 한다.
- $A$ 의 폐포와 $A$ 여집합의 폐포의 교집합이 $A$ 의 경계가 된다. 폐포는 직접점(경계)를 포함하고 있기 때문에 실제로 경계가 된다.

Thm. [내부, 외부, 경계의 의미]

위상공간 $(X, \mathfrak{I})$ 의 부분집합 $A$ 에 대해 다음이 성립한다. (이 부분 집합 $A$ 는 임의의 부분집합이기 때문에 열린집합일 수도 있고 아닐 수도 있다)

열린집합
- $A$ 의 내부에 속하는 점을 포함하면서 $A$ 의 포함하는 집합이 존재한다.
열린집합
- $A$ 의 외부에 속하는 점을 포함하면서 $A$ 의 포함하는 집합이 존재한다.
$\exists$ 열린집합 $U \ni x, (U \cap A \neq \emptyset) \wedge (U \cap A^{c} \neq \emptyset) \Leftrightarrow x \in \partial A$

Cor. $Int(A) \cup Ext(A) \cup \partial A = X$

내부, 외부, 경계를 합하면 $X$ 가 된다.

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이상엽/ 해석학/ 해석함수

BY suyeongpark

테일러급수 전개

(테일러 급수는 멱급수 –다항함수의 급수– 의 한 형태)
(어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
- (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$ 에 대하여 $(c - \delta, c + \delta)$ 에서 함수 $f$ 가 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이면 $f$ 는 $x = c$ 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$ 가 열린구간 $I$ 의 모든 점에서 해석적이면 $f$ 를 $I$ 에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 $f$ 가 구간 $I$ 에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 $c \in I$ 에 대하여 구간 $(c -\delta, c + \delta)$ 에서

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}$

을 만족시키는 $\delta > 0$ 이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 $f$ 의 테일러급수라 하고, 특히 $c = 0$ 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

(멱급수에서 $a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!}$ 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
(함수 $f$ 가 해석적이면 $f$ 는 무한번 미분 가능. 그러나 $f$ 가 무한번 미분 가능하다고 해서 $f$ 가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

(아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)

${1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)$

$\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)$

참고) $y = {1 \over x}$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k}$ 의 그래프 비교

$e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)$

$\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... \\= \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)$

참고) $y = e^{x}$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}$ 의 그래프 비교

참고) $y = \ln x$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}$ 의 그래프 비교

$\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)$

$\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)$

참고) $y = \sin x$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!}$ 의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]

함수 $f$ 는 개구간 $I$ 에서 해석적이고 $g$ 는 개구간 $J$ 에서 해석적이면 다음이 성립한다.

$cf, f \pm g, fg$ 는 $I \cap J$ 에서 해석적이다. (단 $c$ 는 상수)
$g(x_{0}) \neq 0$ 인 $x_{0} \in I \cap J$ 에 대해 ${f \over g}$ 도 $x = x_{0}$ 의 근방에서 해석적이다.

Thm 2. [해석함수의 합성]

함수 $f$ 는 개구간 $I$ 에서 해석적이고 $g$ 는 개구간 $J$ 에서 해석적일 때, $f(I) \subset J$ 이면 합성함수 $g \circ f$ 도 $I$ 에서 해석적이다.

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이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

BY suyeongpark

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]

$\emptyset \neq D \subset \mathbb{R}$ 이고 모든 $n \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 일 때 $\{f_{n}\}$ 을 $D$ 에서의 함수열이라 한다.

또한 $\{f_{n}\}$ 이 함수열일 때 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}$ 을 함수열 급수라 한다.

(쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)

Def 2. [멱급수]

실수 $c$ 와 수열 $\{a_{n}\}$ 에 대하여 함수열 $\{f_{n}\}$ 이

$f_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}$

과 같이 표현될 때의 함수열 급수

$\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$

를 멱급수라 한다.

(함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
(멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)

Def 3. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$ 에 대하여 $(c-\delta, c+\delta)$ 에서 함수 $f$ 가 멱급수로 표현될 수 있으면,

즉 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n}$ 이면 $f$ 가 $x=c$ 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$ 가 열린구간 $I$ 의 모든 점에서 해석적이면 $f$ 를 $I$ 에서의 해석함수라 한다.

(멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

( $f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ...$ 과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
- (물론 이것이 의미가 있으려면 함수 $f(x)$ 가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
(이렇게 되면 함수 $f(x)$ 를 보지 않고 그 분해된 각각의 $\{f_{n}(x)\}$ 들을 보고 그 합으로써 $f(x)$ 를 이해할 수 있다.)
(라고 수학자들이 최초에 생각했으나, $f(x)$ 의 하위 $latex f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), … &s=2$이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 $f(x)$ 는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
(그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]

$\{f_{n}\}$ 와 $\{f_{n}\}$ 가 각각 $\{f_{n}\}$ 에서 정의된 함수열과 함수라 하자

임의의 $x \in D$ 와 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$ 을 만족시키는 자연수 $N$ 이 존재하면 $\{f_{n}\}$ 은 $D$ 에서 $f$ 로 점별수렴한다고 한다. 이때 $f$ 를 $\{f_{n}\}$ 의 극한함수라 하고, $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)$ 로 표현한다.
임의의 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$ 를 임의의 $x \in D$ 에 대하여 만족시키는 자연수 $N$ 이 존재하면 $\{f_{n}\}$ 은 $D$ 에서 $f$ 로 균등수렴한다고 한다.

Thm. $\{f_{n}\}$ 이 $D$ 에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]

$f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $D$ 에서 균등수렴한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}$

$with, m > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon$

Thm 2. [바이어슈트라스판정법]

$n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 이라 할 때, 적당한 양의 상수 $M_{n} > 0$ 이 존재하여 모든 $x \in D$ 에 대하여 $|f_{n}(x) | \leq M_{n}$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $D$ 에서 균등수렴한다.

멱급수

(해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
(멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $a_{n} \geq 0$ 이고 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M$ 일 때 다음이 성립한다.

$M < 1$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 은 수렴한다.
$M > 1$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 은 발산한다.

( $M = 1$ 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)

Cor. [멱급수의 수렴]

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 에 대하여 $\alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}$ 일 때, $R = {1 \over \alpha}$ 라 하면 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 은

$|x - c| < R$ 에서 절대수렴한다.
$|x - c| > R$ 에서 발산한다.

$\alpha = 0$ 이면 $R = \infty$ 로 $\alpha = \infty$ 이면 $R = 0$ 으로 간주한다.

(어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
(여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)

Def. [수렴반지름과 수렴구간]

Cor에서 구한 $R$ 을 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이라 하고 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.

Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름을 $R$ 이라 하고 $0 < r < R$ 일 때 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 은 $[c-r, c+r]$ 에서 균등수렴한다.

(수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]

구간 $I$ 에서 연속인 함수열 $\{f_{n}\}$ 이 $f$ 로 균등수렴하면 $f$ 는 $I$ 에서 연속이다.

Cor. [함수열급수의 연속]

구간 $I$ 에서 연속인 함수열 $\{f_{n}\}$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴하면 $f$ 도 $I$ 에서 연속이다.

Lemma. [아벨의 공식]

수열 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 과 임의의 자연수 $n, m (n > m)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}$

Thm 2. [아벨 정리]

수렴반지름이 $R$ 인 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 가 $x = c + R$ 에서 수렴하면 $(c - R, c + R]$ 의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.

Thm 3. [멱급수의 연속]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]

다음을 만족하는 함수열 $\{f_{n}\}$ 은 유계구간 $I$ 에서 균등수렴한다.

임의의 $x_{0} \in I$ 에 대하여 $\{f_{n}(x_{0})\}$ 가 수렴한다. (점별 수렴)
$\{f_{n}\}$ 이 $I$ 에서 미분가능하며, $I$ 에서 $\{f_{n}'\}$ 는 균등수렴한다.

또한 이때 $\{f_{n}\}$ 의 극한함수를 $f$ 라 하면 $f$ 는 $I$ 에서 미분가능하고 임의의 $x \in I$ 에 대하여 $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x)$ 이다.

Cor. [함수열급수의 미분]

다음이 만족하면 함수열급수 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 유계구간 $I$ 에서 균등수렴한다.

임의의 $x_{0} \in I$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0})$ 가 수렴한다.
$\{f_{n}\}$ 이 $I$ 에서 미분가능하며, $I$ 에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'$ 은 균등수렴한다.

이때 $f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이라 하면 $f$ 는 $I$ 에서 미분가능하고 임의의 $x \in I$ 에 대하여 $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x)$ 이다.

Lemma.

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이 $R$ 이면 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}$ 의 수렴반지름도 $R$ 이다.

Thm 3. [멱급수의 미분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이 $R$ 이면 $f$ 는 $(c - R, c + R)$ 에서 미분가능하며, 이때 $f$ 의 도함수는

$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}$

이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]

$\{f_{n}\}$ 이 $[a, b]$ 에서 $f$ 로 균등수렴하고 $f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f$

이다.

Thm 2. [항별적분]

$f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b]$ 인 $\{f_{n}\}$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이 $[a, b]$ 에서 $f$ 로 균등수렴하면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}$

이다.

Thm 3. [멱급수의 적분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 $[a, b]$ 에서 수렴하면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx$

이다.

Thm 4. [멱급수의 특이적분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 $[a, b)$ 에서 수렴하고 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1}$ 이 수렴하면 $f$ 는 $[a, b)$ 에서 특이적분가능하고

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx$

이다.

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이상엽/ 해석학/ 수열, 급수의 극한

BY suyeongpark

수열과 극한

(수열은 수를 순서 있게 나열한 것. 현대적으로 보면 결국 함수)

수열의 정의

Def 1. [수열]

함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 를 수열 $\{a_{n}\}$ 이라 하고 $f(m) = a_{m}$ 을 $\{a_{n}\}$ 의 $m$ 번째 항이라 한다.

Def 2. [부분수열]

$\{a_{n}\}$ 에 대하여 자연수 수열 $\{n_{k}\}$ 가

$n_{1} < n_{2} < ... < n_{k} < ...$

이면 $\{a_{n_{k}}\}$ 를 $\{a_{n}\}$ 의 부분 수열이라 한다.

Def 3. [증가(감소)수열]

인 를 단조증가수열이라 한다.
- ( $a_{n} \geq a_{n+1}$ 이면 단조감소수열)
인 를 순증가수열이라 한다.
- ( $a_{n} > a_{n+1}$ 이면 순감소수열)

Def 4. [유게인 수열]

$\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |a_{n}| \leq M$ 이면 $\{a_{n}\}$ 을 유계인 수열이라 한다.

수열의 극한

Def 1. [수열의 수렴]

$\{a_{n}\}$ 이라 하자. $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, | a_{n} - a | < \epsilon$ 이 성립하면 $\{a_{n}\}$ 은 $a$ 로 수렴한다고 하고 이를 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 로 표현한다.

Def 2. [수열의 발산]

적당한 $\epsilon > 0$ 와 모든 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\exists n \geq \mathbb{N} : |a_{n} - a| \geq \epsilon$ 이면 $\{a_{n}\}$ 은 발산한다고 한다.

Thm 1. [수열 극한의 유일성]

$\{a_{n}\}$ 이 수렴하면 그 극한은 유일하다.

Thm 2. [수열 극한의 연산]

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 이고 $\lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ 이면 다음이 성립한다.

$\lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ (복부호 동순)
$\lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab$
$\lim_{n \to \infty} {a_{n} \over b_{n}} = {a \over b} (b \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}, b_{n} \neq 0)$

코시 수열

Def 1. [코시수열의 정의]

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}$

$with, m \geq n > N, |a_{m} - a_{n} | < \epsilon$ 가 성립하면 $\{a_{n}\}$ 을 코시수열이라 한다.

Thm 1. [코시 수열과 수렴판정]

$\{a_{n}\}$ 이 코시수열이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴한다.

Def 2. [실수의 구성적 정의]

유리수 코시수열의 집합 $\mathbb{R}*$ 에 대하여 $\mathbb{R}* \times \mathbb{R}*$ 의 동치관계 $E : \{a_{n}\} E\{b_{n}\} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_{n} - b_{n}) = 0$ 의 동치류 $[\{a_{n}\}]$ 을 실수라 하고, 이들의 집합을 $\mathbb{R}$ 이라 표현한다.
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha$ 이면 $[\{a_{n}\}] = \alpha$ 라 한다.

Thm 2. [실수의 완비성]

$\mathbb{R}$ 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다.

주요 정리

단조수렴정리

Thm 1. [단조수렴정리]

$\{a_{n}\}$ 이 단조증가(감소)하고 위(아래)로 유계이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴한다.

(그 수렴하는 값은 상한(하한)이 된다)

Thm 2. [축소구간정리]

모든 $n \in \mathbb{N}$ 과 $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ 에 대하여

$I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ 이 유계인 폐구간이고
$I_{n+1} \subset I_{n}$ 이며
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 이면

$\cap_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{ \alpha \}$ 인 $\alpha \in \mathbb{R}$ 가 존재한다.

(임의의 구간 잡고 그 구간을 간격을 무한히 좁혀가면, 그 수렴하는 값에 대응되는 실수가 존재한다.)

B-W 정리

Thm 1. [샌드위치 정리]

$L \in \mathbb{R}$ 일 때 모든 $n \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 이고 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L$ 이면 $\lim_{n \to \infty} b_{n} = L$ 이다.

Thm 2. [볼차노-바이어슈트라스 정리]

$\{a_{n}\}$ 이 유계인 수열이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

Cor. [최대 최소정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속 $\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})$

급수와 극한

급수의 정의

(급수란 수열의 합)

Def 1. [급수]

수열 $\{a_{n}\}$ 에 대하여

$a_{1} + a_{2} + ... = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

을 (무한)급수라 한다.

이때 $a_{n}$ 을 급수의 $n$ 번째 항이라 하며

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

을 급수의 부분합이라 한다.

Def 2. [재배열급수]

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 가 전단사 함수일 때 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}$ 의 재배열급수라 한다.

(급수에 대해 순서를 적절하게 재배열할 것을 재배열급수라고 한다)
(수열에서는 순서가 중요하기 때문에 더하는 순서도 중요하다)

급수의 극한

Def 1. [급수의 수렴과 발산]

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 에 대한 부분합의 수열 $\{S_{n}\}$ 이 $S \in \mathbb{R}$ 로 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 은 $S$ 로 수렴한다고 하고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S$ 로 표현한다.

만약 $\{S_{n}\}$ 이 어떤 실수 값으로 수렴하지 않으면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 은 발산한다고 한다.

(수열의 부분합들로 이루어진 수열의 합이 어떤 값으로 수렴하게 되면 급수는 수렴한다고 한다)
(무한급수의 합은 $S_{n} = {a(1 - r^{n}) \over 1 - r}$ 와 같다. 여기서 $a$ 는 첫항, $r$ 는 첫항에 곱해지는 공비. 공비는 1이 되면 안 된다.)

Def 2. [절대수렴과 조건수렴]

$n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $a_{n} \in \mathbb{R}$ 이라 하자

이 수렴하면 은 절대수렴한다고 한다.
- (수열을 재배열 해도 수렴하는 값이 동일. 수열에 절대값을 씌운 후에 합해도 수렴하는 경우에 가능)
은 발산하지만 은 수렴하면 은 조건수렴한다고 한다.
- (수열을 재배열 하면 수렴하는 값이 달라짐)

여러가지 정리

Thm 1.

$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 이고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \alpha, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \beta$ 이면 $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \alpha \pm \beta$ 이다. (복부호 동순)

Thm 2.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 이다.

Thm 3.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 의 임의의 재배열 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}$ 에 대하여

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴하고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L$ 이면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} = L$ 이다.

(절대수렴인 경우 재배열을 어떻게 하더라도 원래 수열과 같은 값으로 수렴한다)

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이상엽/ 해석학/ 리만적분

BY suyeongpark

리만적분

(사실 리만 적분은 다르부의 적분과 동일하고, 오히려 다르부 적분이 더 간편하기 때문에 일반적으로 다르부 적분을 이용해서 적분을 다루지만 안타깝게도 리만이 더 유명하기 때문에 리만 적분이라고 부른다.)

리만적분의 정의

Def 1. [분할과 세분]

$[a, b]$ 가 유계인 폐구간이고 $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b$ 일 때 $\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 을 $[a, b]$ 의 분할이라 한다.

$[a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 와 $\mathcal{P}*$ 에 대하여 $\mathcal{P} \subset \mathcal{P}*$ 이면 $\mathcal{P}*$ 를 $\mathcal{P}$ 의 세분이라 한다.

Def 2. [상합과 하합]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때

$\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 에 대해

$\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$

$M_{i} = \sup \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}$

$m_{i} = \inf \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}$ 로 나타내자

이때

$U(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}$
$L(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}$

을 각각 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 상합과 하합이라 한다.

( $M_{i}$ 는 구간 내에서 가장 큰 사각형의 면적이고 이것들의 합이 상합 (아래 그림의 왼쪽) $m_{i}$ 은 구간 내에서 가장 작은 사각형의 면적이고 이것들의 합이 하합이다. (아래 그림의 오른쪽))
(실제 구간의 면적은 상합과 하합 사이의 값이 되고, 그 구간의 간격을 극한으로 보내면 상합과 하합의 면적의 차이를 줄일 수 있고 최종적으로 그 줄어든 값이 면적이 된다.)

Def 3. [상적분과 하적분]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때 $[a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 에 대해

$\overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \overline{\int_{a}^{b}} f = inf \{ U(\mathcal{P}, f) \}$
$\underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b}} f = sup \{ L(\mathcal{P}, f) \}$

을 각각 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 상적분과 하적분이라 한다.

(구할 수 있는 상합들 중에서 하한이 상적분, 구할 수 있는 하합들 중에서 상한이 하적분이 된다.)

Thm.

다음 명제들이 성립한다.

가 의 분할 의 세분이면
- $L(\mathcal{P}, f) \leq L(\mathcal{P}*, f) \leq U(\mathcal{P}, f) \leq U(\mathcal{P}, f)$
- (원래 분할 보다 더 세분화 시킨 것(세분)의 하합과 상합은 원래 분할의 하합과 상합의 사이에 온다.)
의 임의의 두 분할 에 대하여 이다.
- (임의의 두 분할에서 한쪽 분할의 상합은 다른쪽 분할의 하합 보다 항상 크다.)
가 에서 유계이면
- $\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f$

Def 4. [리만적분가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때

$\underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f$

이면 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 리만적분가능하다고 하며

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f = \underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f$

로 표현한다. 또한 $[a, b]$ 에서 유계인 리만적분가능한 함수 $f$ 들의 집합을 $\mathfrak{R} [a, b]$ 로 나타낸다 ( $f \in \mathfrak{R} [a, b]$ )

(상적분 값과 하적분 값이 같게 되면 리만적분 가능하다고 한다. 둘이 같게 되지 않은 경우도 있음.)
(리만적분이 불가능하다고 해서 적분 자체가 안되는 것은 아니다. 다른 적분법을 이용하면 적분이 가능할 수 있음.)

주요 정리

Thm 1. [리만적분 판별법]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때 다음이 성립한다. ( $\mathcal{P}$ 는 $[a, b]$ 의 분할)

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$

$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{P} s.t. U(\mathcal{P}, f) - L(\mathcal{P}, f) < \epsilon$

(상합과 하합의 차이가 $\epsilon$ 보다 작아지면 리만적분 가능하다 = 상적분과 하적분의 값이 같다.)

Thm 2. [연속성과 리만적분가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이다.

(연속이면 리만적분 가능하다. 연속이라고 미분은 안되는데, 연속이면 적분이 됨)
(불연속이어도 리만적분 가능한 경우가 있다)

Thm 3. [적분의 평균값 정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면

$\int_{a}^{b} f = f(c)(b-a)$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

리만적분의 연산

이면 다음이 성립한다.
- $\int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g$ (복부호동순)
- $\Leftrightarrow \forall c \in (a, b), f \in \mathfrak{R}[a, c] \wedge f \in \mathfrak{R}[c, b]$
- with $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$

미적분학의 기본정리

제 1 기본정리

Def. [부정적분]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 일 때 $x \in [a, b]$ 에 대하여

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

로 정의한 함수 $F$ 를 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 부정적분이라 한다.

Thm. [미적분학의 제 1 기본정리]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이면 $f$ 와 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 부정적분 $F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$F$ 는 $[a, b]$ 에서 균등연속이다.
$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $F$ 는 $[a, b]$ 에서 미분가능하고 $\forall x \in [a, b], F'(x) = f(x)$ 이다.

(미분과 적분의 연산이 역관계를 갖는다는 의미)
(이를 최초로 발견한 사람은 이탈리아 수학자였던 토리첼리. 이를 좀 더 일반화한 사람이 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로)

제 2 기본정리

Def. [역도함수]

$D$ 가 구간이고 $f, F : D \to \mathbb{R}$ 가 모든 $x \in D$ 에 대하여 $F'(x) = f(x)$ 이면 $F$ 를 $f$ 의 역도함수라 한다.

Thm. [미적분학의 제 2 기본정리]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이고 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 하자. 이때 $F$ 가 $f$ 의 역도함수이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)$

따름정리

Thm 1. [치환적분법]

$g$ 가 $[a, b]$ 에서 미분가능하고 $g' \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이며 $f$ 가 $g([a, b])$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx$

Thm 2. [부분적분법]

$f, g: [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하며 $f', g' \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f' g = \{ f(b)g(b) - f(a)g(a) \} - \int_{a}^{b} f g'$

리만적분의 확장

(리만적분으로는 면적을 구할 수 없는 경우가 많아서 수학자들이 새로 방법을 정의한 것들이 다른적분 방법들)

특이적분

(이상 적분이라고도 함. 적분 구간이 유계인 폐구간이 아니거나 f가 유계가 아닌 경우에도 사용할 수 있는 적분 방법)

Def 1. [ $(a, b]$ 또는 $[a, b)$ 의 경우]

가 임의의 에 대하여 이면 에서 의 특이적분은 로 정의한다.
- $f : [a, b) \to \mathbb{R}$ 의 경우 $\int_{a}^{b} f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c} f$
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 $f$ 는 특이적분가능하다고 한다.
$f : [a, b] - \{ c \} \to \mathbb{R}$ 가 $[a, c)$ 와 $(c, b]$ 에서 특이적분가능하면 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 특이적분가능하다고 하고 $\int_{a}^{b} f = \lim_{p \to c-} \int_{a}^{p} f + \lim_{q \to c+} \int_{q}^{b} f$ 로 정의한다.

(폐구간이 아니기 때문에 중간에 폐구간이 되는 점을 잡고 그 점을 개구간으로 향하는 극한을 취함)

Def 2. [ $[a, \infty)$ 또는 $(-\infty, b]$ 의 경우]

가 인 임의의 에 대하여 이면 에서 의 특이적분은 로 정의한다.
- $f : (-\infty, b] \to \mathfrak{R}$ 의 경우 $\int_{-\infty}^{b} f = \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{b} f$
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 $f$ 는 특이적분가능하다고 한다.
$f$ 가 적당한 $p \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $(-\infty, p]$ 와 $[p, \infty)$ 에서 특이적분가능하면 $f$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 특이적분가능하다고 하고 $\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{p} f + \int_{p}^{\infty} f$ 로 정의한다.

(위와 비슷하게 정의. 폐구간 점보다 큰 임의의 점을 잡아서 적분 가능한지 확인하고 그 임의의 점을 무한으로 향하는 극한을 취함)

스틸체스적분

( $\int f(x) dg(x)$ 의 꼴로 표현되는 형태로 $g(x)$ 는 증가함수로 정의됨)
( $g(x)$ 가 $x$ 가 되면 리만적분의 형태가 되기 때문에 리만적분의 일반화된 버전으로 생각할 수 있다.)
(리만적분은 연속이어야 가능하지만, 스틸체스적분은 불연속적인 것에 대해서도 적분이 가능하다. $g(x)$ 를 불연속적인 함수로 잡으면 되기 때문)

Def 1. [스틸체스 상합과 하합]

$[a, b]$ 에서 유계인 함수 $f$ 와 증가함수 $\alpha, [a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 과 $\Delta \alpha_{i} = \alpha(x_{i}) - \alpha(x_{i-1}$ 에 대하여

$U(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}$
$L(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}$

을 각각 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스상합, 스틸체스하합이라 한다. ( $i = 1, 2, ... , n$ )

Def 2. [스틸체스 상적분과 하적분]

$[a, b]$ 에서 유계인 함수 $f$ 와 증가함수 $\alpha, [a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 에 대하여

$\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \inf \{ U(\mathcal{P}, f, \alpha) \}$
$\underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \sup \{ L(\mathcal{P}, f, \alpha) \}$

을 각각 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스 상적분과 스틸체스 하적분이라 한다.

Def 3. [스틸체스 적분 가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계이고 $\alpha$ 가 $[a, b]$ 에서 증가함수 일 때

$\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha$

이면 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 $\alpha$ 에 관하여 스틸체스적분가능하다고 하며

$\int_{a}^{b} f d\alpha = \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha$

로 표현하고 이를 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스적분이라 한다. ( $f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ )

Thm.

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이고 $\alpha$ 가 $[a, b]$ 에서 증가하고 미분가능한 함수이며 $\alpha ' \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ 이면 $f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ 이고 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) \alpha '(x) dx$

(리만 적분은 스틸체스 적분의 $\alpha = x$ 인 지점이므로 $\int_{a}^{b} f(x) x' dx$ 이 되고 $x' = 1$ 이므로 결과적으로 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 의 꼴이 된다)

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이상엽/ 해석학/ 미분

BY suyeongpark

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]

함수 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 에 대하여

${\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$

를 $a$ 에서 $b$ 로 변할 때의 함수 $y = f(x)$ 의 평균 변화율이라 한다.

Def 2. [미분계수와 미분가능]

함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ 와 $c \in (a, b)$ 에 대해

$f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x}$

$= \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}$

를 $x = c$ 에서의 함수 $y = f(x)$ 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 $f$ 가 $x = c$ 에서 미분가능하다고 한다.

미분계수란 순간변화율
순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.

Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]

함수 에 대하여 의 에서의 우미분계수
- $f'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$
- 가 존재하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우미분가능하다고 한다.
함수 에 대하여 의 에서의 우미분계수
- $f'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}$
- 가 존재하면 $f$ 는 $x = b$ 에서 좌미분가능하다고 한다.

Def 4. [미분가능함수]

함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ 가 $(a, b)$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $f$ 를 $(a, b)$ 에서 미분가능 함수라고 한다.
함수 가 다음 조건들을 만족하면 를 에서의 미분가능 함수라고 한다.
- $f$ 는 $(a, b)$ 에서의 미분가능함수이다.
- $f$ 는 $x = a$ 에서 우미분가능하다
- $f$ 는 $x = b$ 에서 좌미분가능하다.

미분계수의 연산

$f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 $a \in D$ 에서 미분가능하면 $f + g, f - g, fg, {f \over g} (g \neq 0)$ 도 미분가능하고 다음이 성립한다.

$(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$
$(f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)$
$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ (곱의 미분법)
$({f \over g})'(a) = {f'(a)g(a) - f(a)g'(a) \over \{g(a)\}^{2}}$ (몫의 미분법)

주요 정리

Thm 1. [미분가능성과 연속성]

$f$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 연속이다. (불연속이면 미분 불가)

Thm 2. [극점과 미분계수]

$f : D \to \mathbb{R}$ 일 때 $f$ 가 $D$ 의 내부점 $x = a$ 에서 극값을 갖고 미분가능하면 $f'(a) = 0$ 이다.

Thm 3. [연쇄법칙]

함수 $f$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $f(a)$ 에서 미분가능하면 합성함수 $g \circ f$ 는 $x = a$ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

$(g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a)$

Lemma. 함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 이 $x = a(\in D)$ 에서 미분가능하다

$\Rightarrow \exists g, g(a) = f'(a). s.t. \forall x \in D, f(x) = f(a) + g(x) (x - a)$

$g$ 는 $x = a$ 에서 연속

도함수

도함수의 정의

함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 가 임의의 점 $x \in D$ 에서 미분 가능할 때, 함수

$f'(x) = {df \over dx} = \lim_{y \to x} {f(y) - f(x) \over y - x}$

를 함수 $f$ 의 도함수라 한다.

$f''(x)$ 는 이계도함수, $f'''(x)$ 는 삼계 도함수 $f^{(4)}(x)$ 는 사계도함수… $f^{(n)}(x)$ 는 n계 도함수라고 한다.

여러 함수의 도함수

$c' = 0 (c \in \mathbb{R})$
- 실수이므로 무리수에 대해서도 성립 $(x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}$
- 복소수에 대해서는 복소해석학에서 봐야 함
$(a^{x})' = a^{x} \ln a, (e^{x})' = e^{x}$ ( $\because \ln e = 1$ )
$(\log_{a} x)' = {1 \over x \ln a}, (\ln x)' = {1 \over x}$ ( $\because \ln e = 1$ )
$(\sin x)' = \cos x, (\csc x)' = -\csc x \cot x$
$(\cos x)' = - \sin x, (\sec x)' = \sec x \tan x$
$(\tan x)' = \sec^{2} x, (\cot x)' = - \csc^{2} x$
$(x^{x})' = x^{x} (1 + \ln x)$

평균값 정리

평균값 정리란 평균변화율과 순간변화율의 관계에 대한 것
이 정리에서 파생되는 정리가 많기 때문에 대단히 중요한 정리다.

Thm 1. [롤의 정리]

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 할 때, 다음 명제는 참이다.

$f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b), s.t. f'(c) = 0$

연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 그 구간의 시작점과 끝점이 동일할 경우, 순간변화율이 0이 되는 점이 1개 이상 존재한다.

Thm 2. [평균값 정리]

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하면 다음이 성립하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다.

$f'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a}$

평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 버전. 평균값 정리에서 시작점과 끝점의 값이 동일할 경우 롤의 정리가 된다.
연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 구간 내에 구간의 평균변화율과 동일한 순간변화율을 갖는 점이 1개 이상 존재한다.

코시 평균값 정리

코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 확장한 버전

Thm 1. [코시 평균값 정리]

$f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하면 다음이 성립하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다.

$\{ f(b) - f(a) \} g'(c) = \{ g(b) - g(a) \} f'(c)$

$\Rightarrow f(x)g'(c) = g(x)f'(c)$ (양변에 분모로 $b - a$ 를 넣어줌)

$\Rightarrow {f(x) \over g(x)} = { f'(c) \over g'(c) }$

두 함수의 도함수의 값을 갖게 해주는 상수가 존재한다.
위의 식에서 $g(x) = x$ 인 경우가 평균값 정리가 된다. 다시 말해 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 $g(x) = x$ 인 특수한 경우가 됨

Thm 2. [로피탈의 정리]

극한이 ${0 \over 0}, {\infty \over \infty}$ 꼴을 가질 때 부정형이라고 하는데, 이러한 꼴을 쉽게 풀 수 있게 해주는 방법
로피탈 정리는 요한 베르누이의 수학 업적 중 하나인데, 이를 귀족이었던 로피탈이 당시 가난에 시달리던 베르누이의 일생의 모든 연구를 모두 사서 자신의 이름으로 발표한 것. 오일러가 바로 이 요한 베르누이의 제자

$f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족한다.

$D$ 에서 연속함수이고 $D - \{a\}$ 에서 미분가능함수이다.
다음 두 명제 중에 하나가 성립한다.
1. $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
2. $\lim_{x \to a} \|f(x)\| = \lim_{x \to a} \|g(x)\| = \infty$

그러면 $a, L \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)} = L \Rightarrow \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = L$

위와 같은 꼴일 때, 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같다
도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같기 때문에, 로피탈 정리를 한 번 써서 해결이 안되면 한 번 더 써도 무방하다. 다시 말해 부정형에서 벗어날 때까지 계속 미분해서 값을 구한다. 바꿔 말하면 부정형이 아닌 상태( ${0 \over 0}, {\infty \over \infty}$ 이 아닌 형태)에서는 로피탈 정리를 써서는 안 된다. 주의!

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이상엽/ 해석학/ 극한과 연속

BY suyeongpark

함수의 극한

무한소와 극한

무한소란 ‘무한히 작은 수’를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
- 아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
- 무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
- 예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 $\epsilon-\delta$ 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
- 초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
- 비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념

극한의 정의

Def 1. [수렴과 극한(값)]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 극한(값) $L$ 로 수렴한다고 하고 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 로 표기한다.

수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.

$\| x - a \|$ 가 0이 되어버리면 $f(a)$ 가 되어버리기 때문에 $\| x - a \|$ 는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
$\forall \epsilon > 0$ 에 대하여 $\| f(x) - L \| < \epsilon$ 가 성립하려면 $\| f(x) - L \|$ 는 0이 되어야 한다.
고로 극한값 $L$ 은 $f(a)$ 의 값과 완전히 동일한다. $L$ 이 $f(a)$ 에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.

Def 2. [우극한과 좌극한]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우극한 $L$ 을 갖는다고 하고 $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L$ 로 표기한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a{-}) = L$ (좌극한)

우극한은 $x$ 가 $a$ 보다 큰거고, 좌극한은 $x$ 가 $a$ 보다 작은 것

Def 3.

$a, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow \|f(x) - L\| < \epsilon$ 일 때 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
$\forall M > 0, \exists \delta > 0, s.t. 0 < \|x - a|\ < \delta \Rightarrow f(x) > M$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
$\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow f(x) > M$ 일 때 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

일반적으로 임의의 작은 양수는 $\epsilon$ 을 쓰고 임의의 큰 양수는 $M$ 을 쓴다.

극한의 연산

$A, B \in \mathbb{R}$ 이고 $f, g : D \to \mathbb{R}$ 이며 $a \in D$ 라 하자.

$\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$ 이면 다음이 성립한다.

$\lim_{x \to a} { f(x) + g(x) } = A + B$
$\lim_{x \to a} { f(x) - g(x) } = A - B$
$\lim_{x \to a} f(x) g(x) = AB$
$\lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = {A \over B}$

삼각부등식
- $\| a + b \| \leq \|a\| + \|b\|$
- $\| a - b \| \geq \|a\| - \|b\|$

주요 정리

Thm 1. [극한의 유일성]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x)$ 가 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

Thm 2. [샌드위치 정리]

$\forall x \in D, f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ 이고

$L \in \mathbb{R}$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ 이면 $\lim_{x \to a} g(x) = L$ 이다.

함수의 연속

극한과 함수값이 같을 때 연속이라고 정의

연속의 정의

Def 1. [점 연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 연속이라 한다.

$a \in D$ 라는 것이 $f(a)$ 가 정의된다는 뜻
극한과 다른 부분이 $\|x-a\| < \delta$ 부분으로, 극한에서는 0보다 커야 하지만 연속에서는 0이 됨.
$\|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon$ 은 $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ 와 동일한 의미. $a$ 에서의 $f(x)$ 의 극한 값이 $f(a)$ 와 동일하다.

ex) $D = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ 일 때, $f : D \to \mathbb{R}, f(x) = -x + 3$ 이면 $f$ 는 $x = 2$ 에서 연속임을 증명하라

$\forall \epsilon > 0, Let. \delta = { 1 \over 2 } ( > 0)$

$Then. \| x - 2 \| < \delta (= {1 \over 2}) \ \forall \epsilon > 0, let \delta = { 1 \over 2 } \Rightarrow x = 2 \in D \$

$\therefore \| f(x) - f(2) \| = |\ f(2) - f(2) | = 0 < \epsilon$

위 정의역의 원소들은 불연속적이지만, $x = 2$ 일때 연속임이 증명된다.

Def 2. [우연속과 좌연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우연속이라 한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 좌연속이라 한다.

Def 3. [연속함수]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $X \subseteq D$ 라 하자.

만약 $f$ 가 $X$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 는 $X$ 에서 연속이라 한다.
만약 가 의 모든 점에서 연속이면 는 연속함수라 한다.
- 모든 점에서 연속임을 증명 하는 방법
  1. $x = a$ 에서 연속임을 보인다.
  2. $a$ 가 정의역에서 임의의 점임을 보인다.

Def 4. [불연속점의 종류]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

[제 1종 불연속점]

인 를 제거 가능 불연속점이라 한다.
- 그 한 점에서만 새로 정의를 해주면 연속으로 만들 수 있다.
- 전체에서 문제가 되는 점이 한 점 뿐이라면 (수학에서도) 무시할 수 있다.
$\lim_{x \to a^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x)$ 인 $x = a$ 를 비약 불연속점이라 한다.

[제 2종 불연속점]

$\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ 와 $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ 중에 적어도 하나가 존재하지 않는다.

균등 연속 (uniformly continuous)

Def. [균등 연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x, y \in D, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $D$ 에서 균등 연속이라 한다.

Thm. $f$ 가 $D$ 에서 균등 연속이면 연속이다.

연속함수의 연산

$a \in D$ 이고 $f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 $x = a$ 에서 연속일 때 다음이 성립한다.

$f + g$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$f - g$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$fg$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$g(a) \neq 0$ 이면 ${f \over g}$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.

주요 정리

Thm 1. [최대 최소정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속

$\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] s.t. \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})$

연속인 구간 내에서 반드시 최대, 최소를 정의할 수 있다.

Thm 2. [사잇값(중간값) 정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고

$f(a) < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) s.t. f(a) < p < f(b), f(c) = p$

$f(b) < f(a)$ 이면 $f(b) < p < f(a)$

연속인 구간 내의 두 함수 값 사이에 반드시 값이 존재한다.

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이상엽/ 해석학/ 실수체계

BY suyeongpark

자연수

자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

$1 \in \mathbb{N}$
$n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}$
- 1은 자연수의 최소원소
- 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
- 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
- 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
- $1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S)$ 을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
- 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

‘1’과 ‘그 다음 수’는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

$n' = n + 1$ 이라 정의할 때, 명제 $P(n)$ 에 대하여 두 조건

$P(1)$ 이 참
$P(n)$ 이 참 $P(n+1)$ 이 참

이 성립하면 $P(n)$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

정렬성
- 자연수집합 $\mathbb{N}$ 의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
자연수 집합 $\mathbb{N}$ 은 위로 유계가 아니다.
아르키메데스 성질
- $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon$
- 어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다

정리란 참인 명제
성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

정수 집합
- $\mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}$
유리수 집합
- $\mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$
무리수 집합
- $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$

(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]

$\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a < r < b$

어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

case 1)
- $a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a)$ (아르키메데스 성질)
- $Let. S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. S \neq \phi$ (위로 유계 아님 성질)
- $\therefore S (\subseteq \mathbb{N})$ 의 최소원소는 $m$ (정렬성 성질)
- $m > na \Leftrightarrow a < {m \over n}$
- $m - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a$
- $\therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b$
case 2)
- 0이 유리수이므로 자명 trivial
case 3)
- $\Rightarrow 0 < -b < -a$
- $\Rightarrow 0 < -b < -a$
- $\therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)$
- $\Rightarrow a < -r < b$

Thm 2. [무리수의 조밀성]

$\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} s.t. a < s < b$

어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

- $\Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}$
- - (유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 $r$ 이 존재)
- $Let. s = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}$
- $Then. a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b$

실수

히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.