Tag Archives: 수학

김영길/ 프리드버그 선형대수학/ field, vector space

1.1 개론

Vector

  • 물리에서의 Vector – 크기와 방향이 있는 것
  • 수학에서의 Vector – [ 1 \, 2 \, 3 \, 4 ]

Field (체)

  • 아래의 조건을 만족하는 집합을 Field(체)라고 한다.
    • 2개의 이항 연산을 갖고 있음 (+, \cdot)
      • 예시는 덧셈과 곱셈이지만 항상 덧셈과 곱셈일 필요는 없다. 여하튼 2개의 연산을 갖고 있고, 두 연산이 이하의 조건을 만족하기만 하면 된다.
    • 닫혀 있음
    • 2개의 이항 연산이 모두 교환법칙(commutative)이 성립해야 함
      • a + b = b + a
      • a \cdot b = b \cdot a
    • 2개의 이항 연산이 모두 결합법칙(associative)이 성립해야 함
      • (a + b) + c = a + (b + c)
      • (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) 
    • 2개의 이항 연산에 모두 항등원이 존재해야 함
      • 0 + a = a  (additive identity)
      • 1 \cdot a = a  (multiplicative identity)
      • (연산에 항등원이 존재한다는 것은 해당 연산에 기준점이 존재한다는 의미)
    • 2개의 이항 연산에 모두 역원이 존재해야 함
      • a + (-a) = 0 (additive inverse)
      • b \cdot b^{-1} = 1 (multiplicative inverse)
    • 2개의 연산에 대해 분배법칙(distributive)이 성립해야 함
      • a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Examples of Field

  • Z_{n} 을 정수를 n 으로 나눈 나머지의 집합이라고 가정할 때,
    • Z_{2} 는 체를 만족한다.
    • 마찬가지로 Z_{3}, Z_{5}, Z_{7} 는 체를 만족한다.
    • 일반적으로 n 이 소수인 경우에는 체가 만족된다.
  • 정수 집합, 자연수 집합은 Field가 아니다.

1.2 Vector Space

  • 벡터 공간은 벡터들의 집합이고 다음 조건을 만족한다.
    • (+, \cdot) 연산이 정의되어 있음.
      • + 는 벡터간의 더하기인데 반해
      • \cdot 는 벡터와 스칼라의 곱이기 때문에, \cdot 은 이항연산이라는 표현을 하지 않음
    • x, y \in V, a, b \in F 에 대하여 (x, y 는 벡터의 원소, a, b 는 체의 원소)
      • 닫혀 있음
      • 벡터간 + 연산이 교환법칙이 성립해야 함
        • x + y = y + x
      • 벡터간 + 연산이 결합법칙이 성립해야 함
        • (x + y) + z = x + (y + z)
      • 벡터간 + 연산과 벡터-스칼라의 \cdot 연산이 항등원을 갖고 있어야 함.
        • \exists 0 \in V : x + 0 = x
        • \forall x \in V : 1 \cdot x = x
      • 벡터와 스칼라의 \cdot 연산에 교환법칙이 성립해야 함
        • x \in V, a, b \in F : (a \cdot b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)
        • 스칼라간 \cdot 과 벡터-스칼라간 \cdot 는 서로 다른 연산임에 주의
      • 벡터와 스칼라 연산에 분배법칙이 성립해야 함
        • a(x + y) = ax + ay
        • (a + b) x = ax + bx
  • (일반적으로 벡터와 벡터 공간에 대해 설명할 때, 벡터 공간을 정의하는데 벡터가 필요하고 –벡터와 연산에 대한 집합–, 벡터를 정의하는데 벡터 공간이 필요한데 –벡터는 벡터공간의 원소– 정의가 순환적이라고 느껴진다. 아마도 벡터 공간을 정의할 때 필요한 집합을 임의의 것으로 하고, 그렇게 정의된 벡터 공간에 포함된 원소를 벡터로 정의하는게 맞는 것 같다.)
  • 참고) n-tuple 은 체(F)의 원소가 n개 나열된 것을 의미한다. 
    • (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})
    • (생긴게 비슷하지만 다르니 주의)
  • 행렬도 벡터 공간의 정의를 만족하기 때문에 벡터 공간의 원소라 할 수 있다.
    • M_{m \times n} (F) = \{ [a_{i, j}]_{m \times n} | a_{i, j} \in F \}
    • \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \end{array} \right) \in M_{2 \times 3}(F)

 


(강의는 4판이고, 내가 가진 책은 5판이라 다른 부분이 있어서 책에만 있는 내용 추가)

개론

  • 물리적 개념으로 벡터는 크기와 방향을 가진 물리량을 의미.
    • 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.
  • 두 물리량이 함께 작용할 때, 물리량의 크기 뿐만 아니라 방향을 함께 고려해야 함을 알 수 있는데, 두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다. 
    • 이 합성벡터를 두 벡터의 합(sum)이라 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law)라고 한다.
    • 시점이 P 로 일치하는 두 벡터 x, y 의 합은 점 P 에서 시작하는 벡터이고, 이는 x y 를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.

  • 평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같으므로 벡터 x + y 의 종점 Q 는 점 P 에서 시작하는 벡터 x 의 종점에 벡터 y 의 시점을 이여붙여 도달한 것으로 이해할 수 있다.
  • 벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다. 두 벡터 x y 를 포함하는 평면에 P 를 원점으로 하는 직교좌표를 부여하자.
    • 아래 그림 (a)와 같이 벡터 x 의 종점을 (a_{1}, a_{2}) , 벡터 y 의 종점을 (b_{1}, b_{2}) 라 하면, 벡터 a + b 의 종점은 (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}) 이다.
  • 이제부터 좌표를 사용하여 벡터를 해석할 때 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다. 시점이 원점이면 종점이 벡터를 결정하므로, 시점을 원점으로 하는 벡터 x 의 종점을 간단히 점 x 라 쓰기도 할 것이다.
  • 벡터의 합 이외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있는데, 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수 있는 스칼라 곱(scalar multiplication)이다. 
    • 벡터 x 를 유향선분으로 이해하자. 0이 아닌 실수 t 에 대하여 벡터 tx 의 방향은 t > 0 일 때 x 의 방향과 같고, t < 0 일 때 x 의 방향과 180도 반대이다.
    • 벡터 tx 의 크기는 유향선분 x 의 크기에 |t|를 곱한 것이다.
    • 영이 아닌 두 벡터 x, y 에 대하여 y = tx 0 이 아닌 실수 t 가 존재할 때, 두 벡터는 평행(parallel)하다. 다시 말해 방향이 같거나 180도 반대인 벡터들은 평행하다.
  • 벡터 x 의 시점이 원점이 되도록 하는 좌표평면을 사용하면 스칼라 곱을 대수적으로 설명할 수 있다. 원점을 시점으로 하는 벡터 x 의 종점이 (a_{1}, a_{2}) 일 때, tx 의 종점은 (ta_{1}, ta_{2}) 이다.

  • 공간에서 서로 다른 두 점 A, B 를 지나는 직선을 생각하자. 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을 O 라 표기하자.
    • 시점이 O 이고 종점이 A, B 인 두 벡터를 각각 u, v 라 하자.
    • 시점이 A 이고 종점이 B 인 벡터를 w 라 할 때, 시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 u + w = v, w = v - u 이다.
    • 이때 -u (-1)u 를 의미한다. w 의 스칼라 곱은 w 에 평행하지만 크기는 w 와 다를 수 있다.
  • 두 점 A, B 를 이은 직선 위 임의의 점은 A 를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 t 에 대하여 tw 의 형태로 표현할 수 있다.
    • 반대로 A 를 시점으로 하는 벡터 tw 의 종점은 두 점 A, B 를 지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점 A, B 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

x = u + tw = u + t(v-u)  

  • 단, t 는 임의의 실수이고 x 는 직선 위 임의의 점
  • 한 아래 그림에서 벡터 v - u 의 종점 C 의 좌표는 B 의 좌표에서 A 의 좌표를 뺀 것과 같음을 유념하자.
  • (벡터로 표현한 직선의 방정식에서 u 는 시점의 역할을 하고 v -u 는 직선의 방향을 의미한다. t 는 적절한 실수배로서 벡터의 크기를 결정함)

  • 예제 1) 공간좌표 두 점 A(-2, 0, 1) B(4, 5, 3) 에서 A 가 시점이고 B 가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터 C 의 종점은 (4, 5, 3) - (-2, 0, 1) = (6, 5, 2) 이다. 따라서 두 점 A, B 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
    • x = (-2, 0, 1) + t(6, 5, 2) (단, t 는 임의의 실수)
  • 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 를 생각해 보자. 이 세 점은 하나의 평면을 결정하고, 지금까지 공부한 벡터의 성질을 이용하면 평면의 방정식을 구할 수 있다.
    • 시점이 A 이고 종점이 B, C 인 두 벡터를 각각 u, v 라 하자.
    • 세 점 A, B, C 로 이루어진 평면 위 임의의 점 S A 를 시점으로 하고, su + tv 형태 (이때 s t 는 임의의 실수)인 벡터 x 의 종점이다.
    • 벡터 su 의 종점은 직선 AB 와 점 S 를 지나고 직선 AC 와 평행한 직선의 교점이다. (아래 그림) 같은 방식으로 tv 의 종점도 알 수 있다.
    • 임의의 실수 s, t 에 대하여 벡터 su + tv 는 세 점 A, B, C 를 포함하는 평면에 위치한다. 따라서 세 점 A, B, C 를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.

x = A + su + tv  

  • 단, s, t 는 임의의 실수이고 x 는 평면 위 임의의 점
  • (직선의 방정식과 마찬가지로 A 가 시점이 되고 두 벡터가 각각 방향을 의미하게 된다. 실수는 두 벡터의 크기를 의미. 시점을 구할 때와 달리 면이기 때문에 두 벡터를 합한 것이 벡터로 표현한 평면의 방정식이 된다.)

  • 예제 2) 공간에서 세 점 A(1, 0, 2), B(-3, -2, 4), C(1, 8, -5) 를 생각하자.
    • A 가 시점이고 B 가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터의 종점은 (-3, -2, 4) - (1, 0, 2) = (-4, -2, 2) 이다.
    • A 가 시점이고 C 가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터의 종점은 (1, 8, 5) - (1, 0, 2) = (0, 8, -7) 이다.
    • 따라서 세 점을 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
      • x = (1, 0, 2) + s(-4, -2, 2) + t(0, 8, -7)  (단, s, t 는 임의의 실수)

벡터 공간

(벡터 공간의 정의는 위 강의에도 있으니 생략)

  • a_{1}, a_{2}, ... , a_{n} 이 체 F 의 원소일 때 (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 꼴의 수학적 대상을 F 에서 성분을 가져온 n 순서쌍(n -tuple)이라 한다. 
    • F 에서 성분을 가져온 두 n 순서쌍 (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) a_{i} = b_{i} (i = 1, 2, ... , n) 일 때, 같다(equal)고 정의한다.
  • 예제 1) 체 F 에서 성분을 가져온 모든 n 순서쌍의 집합을 F^{n} 이라 표기한다. 
    • u = (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) \in F^{n}, v = (b_{1}, b_{2}, ... , b_{n}) \in F^{n}, c \in F 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F -벡터 공간이다.
      • u + v = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, ... , a_{n} + b_{n})  
      • cu = (ca_{1}, ca_{2}, ... , ca_{n})  
    • 따라서 R_{3} R -벡터 공간이다. 예컨대 R^{3} 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
      • (3, -2, 0) + (-1, 1, 4) = (2, -1, 4)
      • -5(1, -2, 0) = (-5, 10, 0)
    • 같은 방식으로 C^{2} C -벡터 공간이다. 예컨대 C^{2} 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
      • (1 + i, 2) + (2 - 3i, 4i) = (3-2i, 2+4i)
      • i(1 + i, 2) = (-1 + i, 2i)
  • F^{n} 의 벡터는 행백터(row vector) (a_{1}, a_{2}, ... , a_{n}) 보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.

\left( \begin{array}{rrrr} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right)

  • 1 순서쌍은 F 에서 하나의 성분만 가져오므로 체 F 의 원소로 생각할 수 있다. 따라서 F 에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 F^{1} 이라 쓰기보다 편하게 F 라 쓰는 경우가 많다.
  • F 에서 성분을 가져온 m \times n 행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

\left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)

  • 이때 모든 a_{ij} (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) F 의 원소이다. 
    • i = j 인 성분 a_{ij} 는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
    • 성분 a_{i1}, a_{i2}, ... , a_{in} 는 이 행렬의 i 번째 행(row)
    • 성분 a_{1j}, a_{2j}, ... , a_{mj} 는 이 행렬의 j 번째 열(column)
    • 행렬의 각 행은 F^{n} 벡터로, 각 열은 F^{m} 의 벡터로 나타낼 수 있다.
    • 더 나아가 F^{n} 의 행벡터를 1 \times n 행렬로, F^{m} 의 열벡터를 m \times 1 행렬로 나타낼 수 있다.
  • 모든 성분이 0 m \times n 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며 O 로 표기한다.
  • 행렬은 이탤릭 대문자(A, B, C 등)를 사용하여 나타낸다. 
    • A i j 열에 위치한 성분을 A_{ij} 라 표기할 것이다.
    • 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
    • m \times n 행렬 A, B 에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n 에 대하여 A_{ij} = B_{ij} 이면 두 행렬은 같다.
  • 예제 2) 성분이 체 F 의 원소인 모든 m \times n 행렬의 집합은 M_{m \times n}(F) 라 표기한다. A, B \in M_{m \times n}(F), c \in F 일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 M_{m \times n}(F) 는 벡터공간이다.
    • (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
    • (cA)_{ij} = cA_{ij}
    • (단, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n )
  • m \times n 행렬의 합과 스칼라 곱은 F^{n} F^{m} 에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
    • m \times n 행렬을 더하여 얻은 행렬의 i 행은 처음 두 행렬에서 i 번째 행벡터들의 합이고,
    • 스칼라 c 를 곱하여 얻은 행렬 cA 의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
    • 같은 방식으로 두 m \times n 행렬을 더하여 얻은 행렬의 j 열은 처음 두 행렬에서 j 번째 열벡터들의 합이고,
    • 스칼라 c 를 곱하여 얻은 행렬 cA 의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
  • 예제 3) 체 F 의 공집합이 아닌 집합 S 를 생각하자. \mathcal{F}(S, F) S 에서 F 로 가는 모든 함수의 집합이다.
    • \mathcal{F}(S, F) 에서 모든 s \in S 에 대하여 f(s) = g(s) 일 때, 두 함수 f, g 는 같다고 한다.
    • f, g \in \mathcal{F}(S, F), c \in F, s \in S 일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 \mathcal{F} 는 벡터공간이다.
      • (f + g)(s) = f(s) + g(s)
      • (cf)(s) = c[f(s)]
  • 계수가 체 F 의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}

  • 이때 n 은 음이 아닌 정수이고, 각 a_{k} (x^{k} 의 계수(coefficient))는 F 의 원소이다.
    • f(x) = 0 이면 다시 말해 a_{n} = a_{n-1} = ... = a_{0} = 0 이면 F 는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는 -1 로 정의한다.
  • 영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}

  • 이때 다항식의 차수(degree)는 계수가 0 이 아닌 항의 x 의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가 0 인 다항식은 f(x) = c 꼴이다. (단 c 0 이 아닌 스칼라)
  • 두 다항식 F 를 살펴보자.

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}

g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}

  • m = n 이고 모든 i = 0, 1, ... , n 에 대하여 a_{i} = b_{i} 일 때 f, g 는 같다고 한다.
  • F 가 무한집합일 때, F 에서 계수를 가져온 다항식을 F 에서 F 로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때 c \in F 에서 f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0} 의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.

f(c) = a_{n}c^{n} + a_{n-1}c^{n-1} + ... + a_{1}c + a_{0}

  • 다항함수 f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0} 은 간단히 f 또는 f(x) 라 쓴다.
  • 예제 4) F 에서 계수를 가져온 두 다항식 f, g 를 생각하자.
    • f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}
    • g(x) = b_{m}x^{m} + b_{m-1}x^{m-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
    • m \leq n 일 때, b_{m+1} = b_{m+2} = ... = b_{n} = 0 이라 정의하면 g(x) 를 다음과 같이 쓸 수 있다.
      • g(x) = b_{n}x^{n} + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_{1}x + b_{0}
    • 두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면, F 에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
      • f(x) + g(x) = (a_{n} + b_{n})x^{n} + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_{1} + b_{1})x + (a_{0} + b_{0})
      • cf(x) = ca_{n}x^{n} + ca_{n-1}x^{n-1} + ... + ca_{1}x + ca_{0} (이때 c 는 임의의 스칼라)
    • 이 벡터공간을 P(F) 라 쓴다.
  • 다음 예제에서 소개하는 벡터공간과 P(F) 는 본질적으로 같다.
  • 예제 5) (임의의 체) F 위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역, F 를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는 \sigma(n) = a_{n} (n = 1, 2, 3, ...) 인 수열 \sigma (a_{n}) 이라 표기할 것이다.
    • F 에서 정의된 모든 수열의 집합을 V 라 하자. 두 수열 (a_{n}), (b_{n}) 과 스칼라 t 에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면 V 는 벡터 공간이다.
      • (a_{n}) + (b_{n}) = (a_{n} + b_{n})
      • t(a_{n}) = (ta_{n})
  • 예제 6) S = \{ (a_{1}, a_{2} : a_{1}, a_{2} \in R \} 일 때, (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in S c \in R 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
    • (a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} - b_{2})
    • c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, ca_{2})
    • S 는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
      • VS8) 모든 a, b \in F 와 모든 x \in V 에 대하여 (a + b) x = ax + bx 이다.
      • (교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
  • 예제 7) 집합 S 는 예제 6과 같고 (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2}) \in S c \in R 에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
    • (a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, 0)
    • c(a_{1}, a_{2}) = (ca_{1}, 0)
    • 아래 조건이 성립하지 않으므로 S 는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
      • VS3) 모든 x \in V 에 대하여 x + 0 = x 0 \in V 이 존재한다.
      • VS4) 각 x \in V 마다 x + y = 0 y \in V 가 존재한다.
      • VS5) 각 x \in V 에 대하여 1x = x 이다.
  • 정리 1.1) 벡터 합의 소거 법칙
    • x, y, z \in V 이고 x + z = y + z 일 때 x = y 이다.
  • (VS3)을 만족하는 벡터 0 V 의 영벡터(zero vector)라 한다. 
  • (VS4)를 만족하는 벡터 y , 다시 말해 x + y = 0 를 만족하는 유일한 벡터 y 는 덧셈에 의한 x 의 역벡터(additive inverse)라 하며 -x 로 표기한다.
  • 정리 1.2) 모든 벡터공간 V 에 대하여 다음이 성립한다.
    • 모든 벡터 x 에 대하여 0x = 0 이다.
    • 모든 스칼라 a 와 모든 벡터 x 에 대하여 (-a)x = -(ax) = a(-x) 이다.
    • 모든 스칼라 a 에 대하여 a0 = 0 이다.

다시, 수학이 필요한 순간

다시, 수학이 필요한 순간

전작 <수학이 필요한 순간>의 성공에 힘입어 나온 후속작. 전체적인 구성은 전작과 비슷하지만, 전작보다 깊이 있는 주제들에 대해 다루고 있다. 가볍게 읽을 수 있었던 전작에 비해 깊이 있는 주제가 다뤄지고, 여러 물리학 지식도 다뤄지기 때문에 전작만큼 가볍게 읽기는 쉽지 않음.

전작을 재미있게 본 사람이라거나 수학에 대해 지식이 있는 사람이라면 읽어볼 수 있겠지만, 수학과는 거리가 있는 사람이 접하기는 좀 어려울 것 같다.

선형대수와 군/ 행렬과 Gauss 소거법/ Matrix

집합 F 가 실수 전체의 집합 \mathbb{R} 혹은 복소수 전체의 집합 \mathbb{C} 이고 모든 i = 1, 2, ... , m j = 1, 2, ... , n 에 대하여 a_{ij} \in F 일 때

A = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{array} \right)

F 위의 (m \times n) 행렬이라고 부른다.

그리고 앞 (m \times n) 행렬 A 를 간단히는

A = (a_{ij})_{m \times n} = (a_{ij})

로 표기하기로 한다.

이때 a_{ij} 를 행렬 A (i, j) 좌표(coordinate) 혹은 (i, j) 성분(component)이라고 부르고

A i 번째 행(가로줄, row)을 [A]_{i}

A j 번째 열(세로 줄, column)은 [A]^{j}

로 표기한다.

물론 (m \times n) 행렬 A = (a_{ij}) B = (b_{ij}) 가 같다(즉, A = B )는 말은 모든 i, j 에 대하여 a_{ij} = b_{ij} 라는 뜻이다.

F 위의 (m \times n) 행렬 전체의 집합은 \mathfrak{M}_{m, n}(F) 로 표기하기로 한다.

우리는 (m \times n) 행렬 A = (a_{ij}) B = (b_{ij}) 의 덧셈(addition)을

A + B = (a_{ij} + b_{ij})

로 정의한다 (즉, A + B (i , j) 좌표가 a_{ij} + b_{ij} 라는 뜻)

행렬 A = (a_{ij}) 와 scalar c \in F 의 상수곱 (scalar multiplication)은

c A = (ca_{ij})

로 정의한다.

즉, 행렬의 덧셈과 상수곱은 자연스럽게 componentwise 정의 (성분별로 정의) 된다.

그러나 행렬의 곱셉(multiplication)은 지금은 그렇게 자연스러워 보이지 않는다. 행렬 A = (a_{ij}) 의 size가 (m \times n) 이고 행렬 B = (b_{jk}) 의 size가 (n \times r) 일 때, 우리는 (m \times r) 행렬 AB

AB = (c_{ik}), c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} b_{jk}

로 정의한다.

따라서 c_{ik} A 의 i-th row [A]_{i} B 의 k-th column [B]^{k} 의 ‘내적’이라고 생각할 수 있다.

행렬의 곱셉을 왜 이렇게 부자연스럽게 정의하는지를 아는 것이 이 강의 첫 목적인데, 그 본질적인 이유는 5장에서 ‘행렬과 선형사상은 같은 것’이라는 명제를 이해하고 나면 저절로 알게 될 것이다.

영행렬(zero matrix) 0은 모든 좌표가 0인 행렬을 뜻한다. 그리고 n-차 항등행렬(identity matrix) I_{n} = I (i, j) \delta_{ij} (n \times n) 정사각행렬(square matrix)을 나타내기로 한다.

(m \times n) 행렬 A, B 에 대하여

-A = (-1) A

A - B = A + (-B)

로 표기하기로 한다.

다음 관찰은 행렬 연산의 기본적인 규칙들이다. (우리는 이미 (n \times n) 정사각 행렬 A, B 에 대하여 AB = BA (곱셈의 교환법칙)가 언제나 성립하지는 않는다는 사실을 잘 알고 있다)

관찰 1.1.1

행렬 A, B, C 와 scalar r, s \in F 에 대하여, 연산들이 잘 정의되어 있으면 –즉, 행렬들의 size가 연산이 가능하도록 주어져 있으면– 다음 규칙들이 성립한다.

  1. (A + B) + C = A + (B + C) (덧셈의 결합법칙)
  2. A + B = B + A (덧셈의 교환법칙)
  3. A + 0 = A (뎃셈의 항등원)
  4. A - A = 0 (덧셈의 역원)
  5. (r + s)A = rA + sA (분배법칙)
  6. r(A + B) = rA + rB (분배법칙)
  7. r(sA) = (rs)A
  8. 1A = A
  9. (AB)C = A(BC) (곱셈의 결합법칙)
  10. AI = A = IA (곱셈의 항등원)
  11. (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC (분배법칙)
  12. (rA)B = r(AB) = A(rB)

1-8항은 거의 자명하다. 예컨대 1항을 달리 표현하면 행렬의 덧셈은 componentwise 정의되었고, 각각의 component가 –즉 F 의 원소들이– 덧셈의 결합법칙을 만족하므로, 행렬의 덧셈도 결합법칙을 만족한다고 할 수 있다.

9항의 증명도 어렵지는 않지만, 아래의 세련된 notation을 감상하기 바란다. (AB)C = A(BC) 를 보이는 유일한 방법은 양변의 좌표들이 모두 같음을 보이는 방법 뿐이다. 이제 행렬 A (i, j) 좌표를 [A]_{ij} 로 표기하기로 하고 A = (a_{ij}), B = (b_{jk}), C = (c_{kl}) 이라 놓으면

[(AB)C]_{il} = \sum_{k}[AB]_{ik}c_{kl} = \sum_{k}(\sum_{j} a_{ij} b_{jk})c_{kl} = \sum_{k, j} (a_{ij} b_{jk}) c_{kl}

이고 같은 방법으로

[A(BC)]_{il} = \sum_{j,k} a_{ij}(b_{jk} c_{kl})

임을 보일 수 있다.

나머지는 연습문제로 남긴다.

(생략)

보기 1.1.3

c \in F, A \in \mathfrak{M}_{m,n} 이면 당연히

(c I_{m}) A = c (I_{m} A) = cA

가 된다. 즉, 행렬 cI 는 마치 scalar와 같은 구실을 한다. 그런 의미에서 우리는 cI 꼴의 행렬을 scalar matrix라고 한다.

또한 square matrix A 에 대하여

A^{2} = AA, A^{3} = AAA, A^{4} = AAAA, ...

의 표기법을 자연스럽게 해 준다.

물론 

A^{0} = I, A^{1} = A

로 정의하는 것이 우리의 관습이다.

연습문제 1.1.6

[A^{r} = 0, (for some) r \leq 1] 인 square matrix A를 nilpotent matrix라고 부른다.

만약 A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F) 가 nilpotent이고 AB = BA 이면 (A+B) 도 nilpotent임을 보여라

연습문제 1.1.7

A = (a_{ij}) 가 square matrix일 때, 만약 [a_{ij} = 0, (if) i > j] 이면 A를 upper-triangular matrix라고 부른다.

또 이때 [a_{ii} = 0, \forall i] 이면 A를 strictly upper-triangular matrix라고 부르고, [a_{ii} = 1, \forall i] 이면 A를 unipotent upper-triangular matrix라고 부른다.

(가) A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 upper-triangular이면 AB도 upper-triangular임을 보여라. 이때 AB의 대각성분을 묘사하라

(나) A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 strictly upper-triangular 이면 AB도 strictly upper-triangular임을 보여라. 또 A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F) 가 unipotent upper-triangular이면 AB도 unipotent upper-triangular임을 보여라

(다) A \in \mathfrak{M}_{n,n}(F) 가 strictly upper-triangular이면 A^{n} = 0 임을 보여라

A = (a_{ij}) (m \times n) – matrix라고 할 때, (n \times m) -matrix A^{t} = (a_{ji}) 를 A의 전치행렬 (transpose matrix)라고 부른다. 즉 A^{t} (i, j) -좌표가 a_{ji} 라는 뜻이다. 따라서 A^{t} A 의 행은 열로, 열은 행으로 바꾼 행렬이다.

예컨대

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)^{t} = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} \right)

이 된다.

이제 A = A^{t} 인 matrix A 를 대칭행렬(symmetric matrix)라고 부르는 것 또한 매우 자연스럽다. 또 X, Y (n \times 1) -행렬일 때, X^{t} \cdot Y 는 vector의 ‘내적’이고, X \cdot Y^{t} (n \times n) -행렬임을 확인할 수 있다.

A, B \in \mathfrak{M}_{m,n}(F), C \in \mathfrak{M}_{n, r}(F), c \in F 일 때 다음을 보여라

  • (A+B)^{t} = A^{t} + B^{t}
  • (cA)^{t} = cA^{t}
  • (A^{t})^{t} = A
  • (AC)^{t} = C^{t} A^{t}

정의 1.1.9

(n \times n) -square matrix A = (a_{ij}) 에 대하여

tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

를 표기하고 tr(A) 의 행렬을 행렬 A 의 trace라고 부른다. 즉 A 의 trace는 A 의 대각성분(diagonal component)들의 합이다.

tr \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right) = 1 + 5 + 9 = 15

연습문제 1.1.11

(n \times n) 행렬 A, B 와 scalar c \in F 에 대하여 다음이 성립하는 것을 보여라

  • tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c \cdot tr(A)
  • tr(A^{t}) = tr(A)
  • tr(AB) = tr(BA)

Square matrix가 아니면 diagonal component라는 말이 의미가 없으므로, trace는 square matrix의 경우에만 의미를 갖는다. 독자들은 trace라는 단어의 뜻에 유의하기 바란다. n^{2} 개의 component를 데리고 지나간 발자국(흔적)이 고작 n 개 diagonal component의 합이라니!

우리는 뒤에서 trace의 중요성을 배우기 시작할 것이다. 사실 독자들은 이미 행렬 A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) 는 항상

A^{2} - (a + d) A + (ad - bc) I = 0

을 만족시킨다는 것을 배운적이 있을 것이다. (2 \times 2 ) 행렬의 Cayley-Hamilton Theorem)

위 항등식의 1-차항의 계수 (a + d) 가 바로 tr(A) 이다.

그렇다면 상수항의 계수 (ad - bc) 는? 우리는 뒤에 6장에서 (ad - bc) A 의 determinant라고 부르게 된다. 무엇을 결정해 준다는 뜻일까? 독자들은 이미 (ad - bc) 가 역행렬과 관련이 있다는 것을 알고 있을 것이다.

그리고 독자들은 이미 앞의 관찰 1.1.1에서 곱셈의 역원이 항상 존재하지는 않는다는 것을 눈치챘을 것이다. 다음 정의는 고등학교에서 배운 익숙한 것이다.

정의 1.1.14

Square matrix A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 에 대하여

AB = I_{n} = BA

B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 가 존재하면, 우리는 A 를 가역행렬(invertible matrix)라고 부른다. 이때 B A 의 역행렬(inverse matrix)라고 부르고 B = A^{-1} 로 표기한다.

위에서 A^{-1} 의 표기법을 사용하고 ‘the inverse of A’라고 부르려면 A 의 역행렬은 (존재한다면) 하나 뿐임을 보여야하는 것은 당연하다. (독자들은 역행렬을 정의하자마자 이렇게 생각하도록 훈련하여야 한다)

관찰 1.1.15

Invertible matrix A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 의 inverse는 유일하다.

증명

B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 를 위 정의에서와 같다고 하자. 우리는

AC = I = CA

C \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 가 또 있다고 가정하고, B = C 인 것을 보이면 된다. 이제 BAC 를 생각하면

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

이므로 증명이 끝난다. 

우리는 고교때 2 \times 2 – 행렬 A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) 가 가역일 필요충분조건이

ad - bc \neq 0

이고 이때 A 의 역행렬은

A^{-1} = {1 \over ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -c \\ -b & a \end{array} \right)

인 것을 알고 있다. 이를 모든 n \times n – 행렬의 경우로 확장하는 것도 이 책 전반부의 목표 가운데 하나이다.

다음은 가역행렬의 (초보적인) 성질들이다.

가역행렬 A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) scalar 0 \neq c \in F 에 대하여 다음이 성립하는 것을 보여라

  1. I 는 가역이고 I^{-1} = I
  2. cA 는 가역이고 (cA)^{-1} = {1 \over c} A^{-1}
  3. AB 도 가역이고 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  4. A^{-1} 도 가역이고 (A^{-1})^{-1}) = A
  5. A^{t} 도 가역이고 (A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}

연습문제 1.1.18

O(n) = \{ A \in \mathfrak{M}_{n, n}(\mathbb{R} | A \textrm{ is invertible and} A^{-1} = A^{t} \} 로 정의할 때 다음을 보여라.

  1. I_{n} \in O(n)
  2. A, B \in O(n) 이면 AB \in O(n)
  3. A \in O(n) 이면 A^{-1} \in O(n)
  4. A \in O(n) 이면 A^{t} \in O(n)

연습문제 1.1.19 

A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역이면

tr(U^{-1}AU) = tr(A)

임을 보여라

연습문제 1.1.20

(가) A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역일 때, m \geq 0 이면

(U^{-1}AU)^{m} = U^{-1}A^{m}U

임을 보여라

(나) A, U \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 이고 U 가 가역일 때, 만약 A 가 nilpotent이면 UT{-1}AU 도 nilpotent 임을 보여라

위 연습문젠느 가장 ‘예쁜’ 행렬이 –즉, 가장 다루기 쉬운 행렬이– 대각 행렬(diagonal matrix) 임을 보여주고 있다. 

연습문제 1.1.21

A \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 (단, i = 1, ... , k ), n_{1} + ... + n_{k} = n 이라고 놓자. 우리는 다음

A = diag(A_{1}, ... A_{k}) = \left( \begin{array}{rrrrrr} A_{1} & & & & & \\ & A_{2} & & & 0 & \\ & & . & & & \\ & & & . & & \\ & 0 & & & . & \\ & & & & & A_{k} \end{array} \right) \in \mathfrak{M}_{n, n}(F)

형태의 행렬을 (A_{i} 를 i-th diagonal block으로 갖는) block diagonal matrix라고 부른다. A_{i}, B_{i} \in \mathfrak{M}_{n_{i}, n_{i}}(F) 일 때 다음을 보여라.

  1. diag(A_{1}, ... , A_{k}) \cdot diag(B_{1}, ... , B_{k}) = diag(A_{1}B_{1}, ... , A_{k}B_{k})
  2. A_{i} 가 가역이면, (diag(A_{1}, ... , A_{k}))^{-1} = diag(A_{1}^{-1}, ... , A_{k}^{-1})

우리는 고교시절 3 \times 3 – 행렬 A 의 역행렬을 구하는 연습문제를 풀어 본 경험이 있다. 그때 미지수가 3개인 1차 연립방정식을 세 개 풀어서 AB = I 3 \times 3 -행렬 B 를 구하면 어쩐 일인지 항상 BA = I 가 저절로 성립했던 경험이 있을 것이다.

질문 1.1.22

A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 AB = I 이면 항상 BA = I 인가?

고등학교 수학 책과 대부분의 미적분학 책에서는 이 질문을 고의적으로 숨기고 있다. 따라서 우리의 질문 1.1.22가 ‘대학교 선형대수학’의 출발점이 된다.

우리는 뒤에서 이 답이 ‘예’ 임을 배우가 되는데, 지금 단계에서는 이 질문에 답하는 것의 불가능하기 때문에 10분 이상 투자하지 않기 바란다.

연습문제 1.1.23 

A, B \in \mathfrak{M}_{n, n}(F) 일 때 AB = 0 이면 항상 BA = 0 인가?

수학이 필요한 순간

수학이 필요한 순간

수학자인 저자가 대중을 위해 쓴 수학 대중 교양서. 대중 교양서임에도 다소 딱딱하고 계산적인 내용이 많았던 기존의 수학 교양서와 달리 개념적인 내용을 친절한 문체로 다루기 때문에, 어렵지 않게 읽을 수 있음.

개인적인 느낌으로는 이전에 시간에 대한 물리학을 다뤘던 <시간은 흐르지 않는다>와 비슷하다는 느낌을 많이 받았다. 핵심적인 내용을 잘 짚으면서 전반적으로 대중이 이해하기 쉽고 다소 인문학적인 느낌도 드는 책.

듣기로 외국어를 배우거나 악기를 연주할 때 우리 뇌에서는 오케스트라가 펼쳐진다고 하던데, 이 책을 읽으면서 머리 속에 오케스트라가 펼쳐지는 느낌이 많이 들었다. 기존에 가지고 있던 수학에 대한 생각 –공리로부터 시작해서 연역적으로, 엄밀하게, 일반화된 체계를 구축하는 것이 수학이라는– 이 다시금 도약된 느낌. 그런 의미로만 한정하기에 수학의 범위는 넓다.

수학에 대해 관심 있다면 한 번쯤 읽어볼 만한 책. 

매스매틱스 1

매스매틱스 1

제목이 드러내듯이 수학을 주제로 한 수학 소설. 현대의 고등학생이 과거 수학자들이 살던 시대를 여행하면서 그 시대 수학자들이 다룬 주요한 수학 개념을 다루고 있다.

저자가 수학 강사인 덕에 다뤄지는 수학 개념들이 겉핥기 식이라기보다 좀 더 구체적으로 다뤄지는데, 때문에 해당 수학 개념들에 대한 지식이 전혀 없다면 아주 쉽게 읽기는 어려워 보인다. 그래도 소재가 흥미롭고 –두 인물이 교차하면서 과거를 여행하는 것– 이야기의 흐름이 재미있기 때문에 관심 있는 사람이라면 재미있게 읽을 수 있을 듯. 

1이라는 제목이 암시하듯이 현재 다뤄진 고대 수학자들 이후 계속 이야기가 이어질 것으로 예고 되는데, 이후의 이야기도 기대가 된다.

여담이지만 수학도 예전에 물리학에 대해 그랬던 것처럼 나이가 들고나서 더 흥미를 깨닫게 되었는데, 아무래도 시험을 치르기 위해 배웠던 방식으로는 그 학문의 본연의 모습을 알기는 어렵다는 생각이 든다. 오히려 대중을 물리학 교양이나 수학 교양을 접하면서 그 학문들의 본연의 모습을 깨닫게 되었고 흥미가 생긴 듯.

저자의 유튜브 채널을 즐겨 보고 덕분에 공부도 좀 했는데, 이 사람은 단순히 수학을 가르치는 것을 너머 진심으로 수학의 본 모습을 사랑하고 그것을 대중에게 전파하고자 노력하는 사람으로 보인다. 수학에 대해 잘 모르지만 관심 있다면 꼭 한 번 둘러보기를 권함. 

이상엽Math – YouTube

 

이상엽/ 위상수학/ 분리공리

T_{0} , T_{1} , T_{2} 공간

정의

  • 대표적인 위상적 불변량인 분리공리들을 알아본다.
    • 모든 위상공간은 밀착위상공간에서부터 이산위상공간 사이에  스펙트럼처럼 존재한다.
    • 밀착위상공간의 열린집합은 공집합이거나 자기 자신만 가능

Def 1. [T_{0} ]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \vee (x \notin U \wedge y \in U)

을 만족하면 X T_{0} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{0} 를 도식화 하면 다음과 같다.

  • T_{0} 공간은 밀착위상 공간의 바로 다음 등급

Def 2. [T_{1} ]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : (x \in U \wedge y \notin U) \wedge (x \notin V \wedge y \in V)

을 만족하면 X T_{1} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{1} 를 도식화 하면 다음과 같다.

Def 3. [T_{2} (하우스도르프)]

(X, \mathfrak{I}) 가 위상공간이라 하자.

\forall x, y \in X, \exists U, V \in \mathfrak{I} : x \in U \wedge y \in V \wedge U \cap V = \emptyset

을 만족하면 X T_{2} 라 한다. (단 x \neq y )

  • T_{2} 를 도식화 하면 다음과 같다.

  • T_{0}, T_{1} , 하우스도르프(T_{2} )인 위상공간을 각각 간단히 T_{0} -공간, T_{1} -공간, 하우스도르프공간(T_{2} -공간)이라 한다.
  • 정의에 의해 자명하게 다음이 성립한다.
    • 하우스도르프공간 \Rightarrow T_{1} -공간 \Rightarrow T_{0} -공간

ex1) 임의의 집합 X 에 대한 밀착위상공간은 T_{0} -공간이 아니다.

ex2) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 위의 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 에 대하여 위상공간 (X, \mathfrak{I}) T_{0} -공간이지만 T_{1} -공간은 아니다.

ex3) 무한집합 X 에 대한 유한여집합위상 공간은 T_{1} -공간이지만 하우스도르프 공간은 아니다.

ex4) 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

  • 하우스도르프 공간부터 위상수학의 의미있는 논의가 가능해짐.
  • 최초에 하우스도르프가 위상공간을 정의했을 때 사용했던 공간.
  • T_{0}, T_{1} 공간은 값이 하나의 값으로 수렴한다는 것이 보장이 안되지만, T_{2} 공간은 수렴 값이 하나가 보장 됨.

여러 가지 정리

  • 분리공리와 관련한 몇 가지 중요한 정리들을 알아보자.

Thm 1. [위상적불변량]

두 위상 공간 X, Y 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

  1. X T_{0} 이다. \Leftrightarrow Y T_{0} 이다.
  2. X T_{1} 이다. \Leftrightarrow Y T_{1} 이다.
  3. X T_{2} 이다. \Leftrightarrow Y T_{2} 이다.

Thm  2. [부분공간]

  1. T_{0} -공간의 부분공간은 T_{0} 이다.
  2. T_{1} -공간의 부분공간은 T_{1} 이다.
  3. T_{2} -공간의 부분공간은 T_{2} 이다.

Thm 3. [곱공간]

  1. 모든 X_{\alpha} T_{0} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{0} 이다.
  2. 모든 X_{\alpha} T_{1} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{1} 이다.
  3. 모든 X_{\alpha} T_{2} -공간이면 \Pi_{\alpha \in \Lambda} X_{\alpha} T_{2} 이다.

Thm 4. [T_{0} -공간의 성질]

위상공간 X 에 대하여 다음은 동치이다.

  1. X T_{0} 이다.
  2. \forall x, y \in X, \overline{\{x\}} \neq \overline{\{y\}} (단, x \neq y )
    • \overline{\{x\}} 는 x 의 폐포(closure)

Thm 5. [T_{1} -공간의 성질]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. X T_{1} 이다.
  2. \forall x \in X, X - \{ x \} \in \mathfrak{I}
    • X - \{ x \} 은  \{x\}^{c} 이라는 뜻
    • \{ x \} 는 닫힌집합. T_{1} 공간이면 1점 집합은 닫힌집합이 된다.
    • T_{1} 은 상당히 상위 클래스이기 때문에 이하 대부분의 공간이 이 성질을 물려 받는다.

Def. [위상공간상의 수렴]

다음을 만족하면 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 상의 수열 \{ x_{n} \} 이 점 x \in X 로 수렴한다고 한다.

\forall U \in \mathfrak{I}, x \in U, \exists N \in \mathbb{N} : n \geq N \Rightarrow x_{n} \in U

Thm 6. [하우스도르프공간의 성질]

하우스도르프공간상의 수렴하는 수열은 유일한 극한을 갖는다.

ex) X = \{ 1, 2, 3 \}, \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{ 1, 3 \} \} 일 때 다음 수열은 여러 극한을 갖는다.

\{ x_{n} \} : 1, 3, 1, 3, 1, 3 ...

T_{3} , T_{4} 공간

정의

  • 점의 분리성에서 더 나아가 점을 포함한 집합의 분리성을 등급화한다.
  • 점을 포함하는 최소 크기의 집합(한점집합)은 1.(2).Thm 5.에 의해 T_{1} -공간에서 닫힌집합임을 기억하자.

Def 1. [T_{3} (정칙)]

T_{1} -공간인 (X, \mathfrak{I}) 의 임의의 닫힌집합 C 와 점 x \in X - C 에 대하여 \exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge x \in V \wedge U \cap V = \emptyset 를 만족하면 X T_{3} 라 한다.

  • T_{3} 를 도식화하면 다음과 같다.

Def 2. [T_{4} (정규)]

T_{1} -공간인 (X, \mathfrak{I}) 의 임의의 서로소인 닫힌집합 C, D 에 대하여 \exists U, V \in \mathfrak{I} : C \subset U \wedge D \subset V \wedge U \cap V = \emptyset 를 만족하면 X T_{4} 라 한다.

  • T_{4} 를 도식화하면 다음과 같다.

  • 정칙(T_{3} ), 정규(T_{4} )인 위상공간을 각각 가단히 정칙공간, 정규공간이라 한다.
  • 위상공간 (X, \mathfrak{I}) T_{1} 이라는 조건을 놓치지 않도록 유의하자.

ex1) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 에 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2, 3\} \} 을 준 위상공간 (정칙 공간이지만 T_{1} 은 아닌 예. 고로 이것은 T_{3} 가 아니다.)

ex2) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 에 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} 을 준 위상공간 (정규 공간이지만 T_{1} 은 아닌 예. 고로 이것은 T_{4} 가 아니다.)

여러 가지 정리

Thm 1. [T_{3} -공간 \Rightarrow T_{2}-공간]

모든 정칙공간은 하우스도르프이다.

Thm 2. [T_{4} -공간 \Rightarrow T_{3}-공간]

모든 정규공간은 정칙이다.

Thm 3. [거리공간 \Rightarrow T_{4}-공간]

모든 거리공간은 정규이다.

참고) 위상공간들 사이의 관계

Lemma 1. [전단사 사상의 성질]

두 위상공간 X, Y 사이의 전단사사상 f : X \to Y 가 열린사상이면 f 는 닫힌사상이기도 하다.

Thm 4. [위상적 불변량]

두 위상공간 X, Y 가 위상동형이면 다음이 성립한다.

  1. X 는 정칙공간 \Leftrightarrow Y 는 정칙공간
  2. X 는 정규공간 \Leftrightarrow Y 는 정규공간

Lemma 2. [부분공간의 닫힌집합]

위상공간 X 의 부분공간 A 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. C \subset A A 의 닫힌집합이다.
  2. C = A \cup D 를 만족하는 X 의 닫힌집합 D 가 존재한다.

Lemma 3. [닫힌부분공간의 성질]

위상공간 X B \subset A \subset X 에 대하여 B 가 부분공간 A 의 닫힌집합이고 A X 의 닫힌집합이면 B X 의 닫힌집합이다.

Thm 5. [부분공간]

  1. 정칙공간의 부분공간은 정칙이다.
  2. 정규공간의 닫힌부분공간은 정규이다.
  • 정규공간의 부분공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.

Lemma 4. [T_{3} -공간의 또 다른 정의]

다음 조건은 T_{1} -공간 (X, \mathfrak{I}) 가 정칙공간이기 위한 필요충분조건이다.

\forall x \in X, x \in \forall U \in \mathfrak{I}, \exists V \in \mathfrak{I} : x \in V \subset \overline{V} \subset U

Thm 6. [정칙공간들의 곱공간]

정칙공간들의 곱공간은 정칙이다.

  • 정규공간들의 곱공간이 항상 정규가 되는 것은 아니다.

이상엽/ 위상수학/ 연속사상

연속사상

연속사상

  • 실수의 연속함수로부터 위상구조의 연속성을 보존하는 연속사상을 정의한다.

Def 1. [실변수함수의 연속]

  1. 함수 f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} x_{0} \in \mathbb{R} 에서 연속이다.
    • \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - x_{0}| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_{0})| < \epsilon
    • 즉, x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \Rightarrow f(x) \in (f(x_{0}) - \epsilon, f(x_{0}) + \epsilon)
  2. f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 가 연속함수다
    • f 가 임의의 x_{0} \in \mathbb{R} 에서 연속이다.

Def 2. [연속사상]

  1. 사상 f : X \to Y x_{0} \in X 에서 연속이다.
    • f(x_{0}) 를 포함하는 임의의 열린집합 V(\subset Y) 에 대하여, x_{0} 를 포함하는 열린집합 U(\subset X) 가 존재해 f(U) \subset V 를 만족한다.
  2. f : X \to Y 가 연속사상이다.
    • f 가 임의의 x_{0} \in X 에서 연속이다.

ex) 집합 X = \{ 1, 2, 3 \} 위의 위상 \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X, \{1\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \} 에 대하여, 사상 f : X \to X f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 3 이라 정의하면, f 는 1과 3에서 연속이지만 2에서는 연속이 아니다. 즉, f 는 연속사상이 아니다.

  • 사상에서 연속임을 증명할 때는 공역에서 먼저 시작해서 그 조건을 만족하는 열린집합을 정의역에서 잡아줄 수 있으면 연속사상이 된다.
    • 이런 조건은 상당히 일반화된 것이기 때문에 직관적으로 이해하기는 쉽지 않다.

Thm 1. [연속사상의 또 다른 정의]

사상 f : X \to Y 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f 는 연속사상이다.
  2. Y 의 임의의 열린집합 V 의 역상 f^{-1}(V) X 에서 열린집합이다.
  • 정의에 따라 연속임을 증명하려면 열린집합을 일일이 체크해야 하는데, 이게 너무 번거롭기 때문에 일반적으로 이 정의를 따라 연속임을 판명함.
  • 주의할 점은 역함수를 잡을 수 없는 경우 \emptyset 이 되는데, 이것 또한 위상의 정의상 위상의 원소가 되기 때문에 연속이 된다. 정의가 그러한 것

Cor. [닫힌집합과 연속사상]

f : X \to Y 는 연속사상이다. \Leftrightarrow Y 의 임의의 닫힌집합 C 의 역상 f^{-1}(C) X 에서 닫힌 집합이다.

ex) 실수의 보통위상공간사이의 사상 f(x) = {1 \over 1 + x^{2}} 는 연속사상이지만, 사상 g(x) = \begin{cases} 1, x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{cases} 는 연속사상이 아니다.

  • 정의역이 이산위상공간이면 공역이 무엇이든지 항상 연속사상이 정의된다.
    • 이산위상공간은 모든 부분집합이 열린집합이기 때문에 함수값들이 어떻게 되든간에 상관없이 항상 성립. 애초에 조건에서 근접한 것이 없었기 때문에 그 결과가 근접해 있든 아니든 참이 됨.
    • 이런 경우를 공허참이라 한다. 조건식 P -> Q에서 P가 거짓이면 Q는 무조건 참인 것이 같은 맥락.
  • 정의역과 공역이 같을 때 항등사상과 상수사상은 항상 연속사상이다.

Thm 2. [기저와 연속사상]

위상공간 사이의 사상 f : X \to Y Y 의 기저 \mathcal{B} 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f 는 연속사상이다.
  2. \mathcal{B} 의 임의의 원소 B 의 역상 f^{-1}(B) X 에서 열린집합이다.

ex) 실수의 아래끝위상공간사이의 사상 f(x) = x + 1 는 연속사상이지만, 사상 g(x) = -x 는 연속사상이 아니다.

Thm 3. [연속사상의 합성]

연속사상의 합성사상은 연속사상이다.

위상동형사상

  • 위상수학의 주요 목표 중 하나는 주어진 두 위상공간이 서로 위상동형인지 아닌지를 밝히는 것이다.

Def. [위상동형사상]

두 위상공간 X, Y 사이의 사상 f 가 다음 세 조건을 만족한다고 하자.

  1. f 는 전단사이다.
  2. f 는 연속이다.
  3. f^{-1} 는 연속이다.

이때 f 를 위상동형사상이라 하며, X Y 를 위상동형이라 하고 X  \simeq Y 라 표기한다.

  • 위상동형인 X, Y 는 1)에 의해 집합적으로 구별되지 않으며 2), 3)에 의해 위상적으로 구별되지 않는다.
  • 위상동형인 위상공간들이 공통적으로 갖는 성질을 불변량이라 한다.
    • 불변하는 성질
  • 위상동형은 동치관계이다.
    • 반사적/ 대칭적/ 추이적

부분공간

부분공간

  • 주어진 하나의 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.

Thm. [부분위상]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) A \subset X 에 대하여 \mathfrak{I}_{A} 를 다음과 같이 정의하면 \mathfrak{I}_{A} A 위의 위상이 된다.

\mathfrak{I}_{A} = \{ A \cap U | U \in \mathfrak{I} \}

Def. [부분공간]

Thm.에서 설정한 \mathfrak{I}_{A} 를 부분위상이라 하고, 위상공간 (A, \mathfrak{I}_{A}) (X, \mathfrak{I}) 의 부분공간이라 한다.

  • 전체공간에서는 열린집합이 아니었던 집합이 부분공간에서는 열린집합일 수 있다.
    • 위상공간의 부분 집합에 대하여 공집합과 X(전체 집합)는 서로간에 열린집합-닫힌집합의 관계가 된다. 공집합의 여집합은 X가 되고, X의 여집합은 공집합이 되기 때문. 다시 말해 X를 열린집합으로 잡으면 공집합은 닫힌집합이 되고, 공집합을 열린집합으로 잡으면 X는 닫힌 집합이 된다.
    • 만일 공집합과 X 외에 위상공간의 부분 집합에서 그러한 관계를 갖는 집합이 또 발생한다면, 기하적인 의미에서 그 둘은 떨어져 있는 관계가 된다.
    • 이러한 의미에서 열린집합이라 해서 항상 구간이 열려 있지 않고, –공집합은 원소 1개– 닫힌집합이라고 해서 항상 구간이 닫혀 있지는 않다. –정의상 열린집합의 여집합이기 때문

ex) 실수의 보통 위상공간 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 의 부분공간 (\mathbb{Z}, \mathfrak{I}_{Z}) 에서 임의의 한 점 집합 \{ z \} (z \in \mathbb{Z})

부분공간의 성질

  1. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) \mathfrak{I} 의 기저 \mathcal{B} 그리고 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_A) 에 대하여 \mathcal{B}_{A} = \{ A \cap B | B \in \mathcal{B} \} \mathfrak{I}_{A} 의 기저가 된다.
  2. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 와 그 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_A) 사이에는 항상 위상동형사사을 정의할 수 있다. 즉 (X, \mathfrak{I}) (A, \mathfrak{I}_{A}) 는 위상동형이다.
    • ex) 실수의 보통위상공간 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \subset \mathbb{R} 에 대해 사상 f : (-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}) \to \mathbb{R} f(x) = \tan x 라 정의하면 f 는 위상동형사상이다.
  3. 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 과 그 부분위상공간 (A, \mathfrak{I}_{A}) 에 대해 A (X, \mathfrak{I}) 의 열린집합이면 (A, \mathfrak{I}_{A}) 의 모든 열린집합들은 동시에 (X, \mathfrak{I}) 의 열린집합이기도 하다.

임베딩(Embedding)

  • 공역의 부분공간으로의 사상이 집합적으로도 위상적으로도 겹침이 발생하지 않는 연속사상인 경우를 정의한다.
    • 겹침이 발생하지 않는다는 것은 위상 동형이라는 의미. 원래 함수에서 가까웠던 점은 변환된 함수에서도 가깝고, 원래 함수에서 멀었던 점은 변환된 함수에서 멀다면 겹침이 없는 것이지만, 원래 함수에서 가까웠던 점이 변환된 함수에서 멀어지거나 원래 함수에서 멀었던 점이 변환된 함수에서 가까워지면 겹침이 발생한 것이 된다.

Def. [임베딩]

X 에서 Y 로의 연속사상 f 가 다음 두 조건을 만족하면 임베딩이라 한다.

  1. f 는 단사이다.
  2. \tilde{f} : X \to f(X) 가 위상동형사상이다.

ex) X = \{ 0, 1, 2, ... \} 위의 이산위상 D 와 실수의 보통위상 \mathfrak{I} 에 대하여 두 위상공간 (X, D), (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 사이의 사상 f : X \to Y f(x) = \begin{cases} {1 \over x}, x \neq 0 \\ 0, x = 0 \end{cases} 라 정의하면 f 는 임베딩이 아니다.

  • 위 예는 원래 집합의 원소들은 떨어져 있는데, 변환된 함수의 결과에서는 위상적으로 겹침이 발생함

곱공간

곱공간

  • 주어진 두 위상공간으로부터 새로운 위상공간을 만든다.
    • 주어진 두 집합의 곱집합을 이용

Thm 1. [곱위상의 기저]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 에 대하여 \mathcal{B} 를 다음과 같이 정의하면 \mathcal{B} 는 곱집합 X \times Y 상의 위상의 기저가 된다.

\mathcal{B} = \{ U \times V | U \in \mathfrak{I}_{X}, V \in \mathfrak{I}_{Y} \}

Def. [곱공간]

Thm 1.에서 설정한 \mathcal{B} 가 생성하는 위상 \mathfrak{I} X \times Y 위의 곱위상이라 하고, 위상공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) X Y 의 곱공간이라 한다.

  • 두 거리공간 (X, d_{X}), (Y, d_{Y}) 로부터 유도되는 위상공간을 각각 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 라 할 때, 곱거리공간 (X \times Y, d_{X} \times d_{Y}) 로부터 유도되는 위상공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) (X, \mathfrak{I}_{X}) (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 의 곱공간과 일치한다.
    • 사실은 애초에 거리 공간을 설정할 때 이게 가능하도록 설정한 것

Thm 2. [기저와 곱공간]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 의 기저를 각각 \mathcal{B}_{X}, \mathcal{B}_{Y} 라 할 때, 집합족 \delta = \{ U \times V | U \in \mathcal{B}_{X}, V \in \mathcal{B}_{Y} \} X \times Y 의 기저이다.

ex) 네 실수 a, b, c, d 에 대해 \delta = \{ (a, b) \times (c, d) | a < b, c < d \} \mathbb{R}^{2} 의 기저이다.

사영사상

Def 1. [열린사상과 닫힌사상]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 사이의 사상을 f : X \to Y 라 하자.

  1. X 의 임의의 열린집합 U 에 대하여 f(U) Y 의 열린집합이면 f 를 열린사상이라 한다.
  2. X 의 임의의 닫힌집합 C 에 대하여 f(C) Y 의 닫힌집합이면 f 를 닫힌사상이라 한다.
  • 1)전단사이고 2)연속인 3)열린사상은 위상동형사상이다.

Def 2. [사영사상]

두 위상공간 (X, \mathfrak{I}_{X}), (Y, \mathfrak{I}_{Y}) 과 곱공간 (X \times Y, \mathfrak{I}) 에 대하여 p_{1} (x, y) = x, p_{2}(x, y) = y 로 정의한 사상 p_{1}: X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y 를 사영사상이라 한다.

Thm 1. [사영사상의 성질]

사영사상 p_{1} : X \times Y \to X, p_{2} : X \times Y \to Y 에 대하여 다음이 성립한다.

  1. p_{1}, p_{2} 는 연속사상이다.
  2. p_{1}, p_{2} 는 열린사상이다.
  • 위 조건은 만족하지만 전단사가 보장되지 않기 때문에 사영사상은 위상동형사상이 아니다.

Thm 2.

세 위상공간 X, Y, Z 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. f : Z \to X \times Y 가 연속이다.
  2. p_{1} \circ f : Z \to X p_{2} \circ f : Z \to Y 가 모두 연속이다.

이상엽/ 위상수학/ 위상공간

위상공간

도입

  • 위상수학의 본질은 연속에 대한 이해이며, 실수의 연속성으로부터 시작한다.
    • (연속의 핵심은 극한)

Def 1. [lim_{n \to \infty} x_{n} = L ]

L \in \mathbb{R} 이라 할 때, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, |x_{n} - L| < \epsilon

이때 |x_{n} - L| < \epsilon \Leftrightarrow x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon)

  • x_{n} \in (L - \epsilon, L + \epsilon) x_{n} L 의 근방에 포함된다는 의미

Def 2. [근방]

N \subset \mathbb{R}, L \in \mathbb{R} 이라 할 때,

\exists(a, b) \subset N : L \in (a, b) 을 만족하면 N L 의 근방이라 한다.

  • 근방이란 L 을 포함하는 열린구간을 의미. 심지어 (-\infty, \infty) 도 정의상 근방이라고도 할 수 있다.
  • 근방 정의의 핵심은 L 로부터 얼마나 떨어져 있느냐가 아니라 연속성.

Thm 1. [근방(열린구간)의 성질]

  1. L \in \mathbb{R} 의 근방들의 유한교집합은 L 의 근방이다.
    • 닫힌 구간인 경우에는 성립하지 않는다. 닫힌 구간들이 1개의 원소를 공유하는 경우 그 교집합은 1개의 원소가 되기 때문에 근방이 되지 않음.
  2. L \in \mathbb{R} 의 근방들의 무한합집합은 L 의 근방이다.
    • 무한 교집합인 경우에는 성립하지 않는다. 교집합이 1개의 원소로 수렴하기 때문

Def 3. [열린집합]

열린구간들의 합집합으로 표현 가능한 집합을 열린집합이라 한다.

Thm 2. [열린집합의 성질]

  1. \emptyset 은 열린집합이다.
  2. 열린집합의 유한교집합은 열린집합이다.
  3. 열린집합의 무한합집합은 열린집합이다.
  • 열린구간의 일반화 버전
    • 열린집합을 0번 합하면 공집합, 1번 합하면 열린구간이 된다.

위상공간

  • 실수에서의 열린집합 성질을 바탕으로 이를 일반화하여 위상공간을 정의한다.
    • 임의의 집합 X 에 열린집합의 성질을 부여한 것이 위상공간

Def 1. [위상과 위상공간]

집합 X (\neq \emptyset) X 의 부분집합의 집합족 \mathfrak{I} 가 다음을 만족한다고 하자.

  1. \emptyset, X \in \mathfrak{I}
    • X 는 열린집합
  2. \forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cap_{i=1}^{n} U_{i} \in \mathfrak{I} (n < \infty)
    • 열린집합의 성질에서 유한 교집합과 같은 내용
  3. \forall U_{i} \in \mathfrak{I}, \cup_{i} U_{i} \in \mathfrak{I}
    • 열린집합의 성질에서 무한 합집합과 같은 내용

이때 \mathfrak{I} X 위의 위상(topology), (X, \mathfrak{I}) 를 위상공간이라 한다.

  • 1.(1).Def3에서 정의한 열린집합들의 집합족 \mathfrak{I} 에 대해 (\mathbb{R}, \mathfrak{I}) 를 실수의 보통위상공간이라 한다.
  • 정의에 의해 한 집합에는 다양한 위상이 존재함을 알 수 있다.

Def 2. [열린집합 개념의 확장]

\mathfrak{I} 가 집합 X 의 위상일 때 \mathfrak{I} 의 원소를 열린집합이라 한다. 즉, 위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대해 O \in \mathfrak{I} O (\subset X)

ex) 집합 X(\neq \emptyset) 에 대하여 다음은 모두 X 위의 위상이다.

  1. \mathfrak{I} = \{ \emptyset, X \} : 밀착위상
  2. \mathfrak{I} = P(X) 이산위상
  • 모든 집합 X 에 대하여
    • 공집합과 자기 자신(X )을 포함하는 집합족도 X 의 위상이 되고, (최소) 이거를 밀착 위상이라고 한다.
    • 공집합과 자기 자신(X )과 자기 자신의 모든 부분집합을 포함하는 집합족도 X 의 위상이 된다. (최대) – 이게 멱집합이고 이걸 이산 위상이라고 한다.

Def 3. [닫힌집합]

\mathfrak{I} 가 집합 X 의 위상일 때 C^{c} = X - C \in \mathfrak{I} C 를 닫힌집합이라 한다. (열린집합의 여집합)

  • 닫힌집합이라 해서 열린집합이 아닌 것은 아니다. 즉, 열린집합이면서 동시에 닫힌집합인 것도 존재할 수 있다.
    • ex) 실수의 보통위상공간에서 \mathbb{R}

기저

기저

  • 기저로부터 위상을 효율적으로 파악할 수 있을 뿐 아니라 새로운 위상을 만드는 것도 가능하다.

Def. [기저]

집합 X 위의 위상 \mathfrak{I} \mathfrak{I} 의 부분집합 \mathcal{B} 에 대해 \mathfrak{I} 의 임의의 원소가 \mathcal{B} 의 원소의 합집합으로 표현될 수 있으면 \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저라 한다.

  • \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저일 떄, \mathcal{B} \subset \mathcal{C} \subset \mathfrak{I} \mathcal{C} \mathfrak{I} 의 기저이다.

Thm. [기저의 또 다른 정의]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) \mathfrak{I} 의 부분집합 \mathcal{B} 에 대하여 다음 두 명제는 동치이다.

  1. \mathcal{B} \mathfrak{I} 의 기저이다.
  2. \forall p \in X, p \in U \in \mathfrak{I}, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B \subset U

Cor. [기저의 성질]

집합 X 위에 정의된 위상의 기저 \mathcal{B} 는 다음 두 조건을 만족하며, 그 역도 성립한다.

  1. \forall p \in X, \exists B \in \mathcal{B} : p \in B
  2. \forall B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}, \forall p \in B_{1} \cap B_{2}, \exists B_{3} \in \mathcal{B} : p \in B_{3} \subset B_{1} \cap B_{2}

ex) 다음 집합이 생성하는 집합족은 모두 \mathbb{R} 위의 위상이다.

  1. L = \{ [a, b) \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}
  2. U = \{ (a, b] \subset \mathbb{R} | a, b \in \mathbb{R}, a < b \}

위상크기비교

  • 같은 집합위의 서로 다른 두 위상의 크기를 비교가능한 때가 있으며, 이는 각 위상의 기저를 이용해 효율적으로도 가능하다.

Def. [위상크기비교]

집합 X 위의 두 위상 \mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2} 에 대하여 \mathfrak{I}_{1} \subset \mathfrak{I}_{2} 이면 \mathfrak{I}_{1} \mathfrak{I}_{2} 보다 작다 (또는 \mathfrak{I}_{2} \mathfrak{I}_{1} 보다 크다)고 한다.

Thm. [기저를 이용한 위상크기비교]

\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2} 가 각각 집합 X 위의 서로 다른 두 위상 \mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{I}_{2} 의 기저라 하자. 이때 다음 두 명제는 동치이다.

  1. \mathfrak{I}_{1} \mathfrak{I}_{2} 보다 크다.
  2. \forall p \in X, \forall B_{2} \in \mathcal{B}_{2} ,with, p \in B_{2}, \exists B_{1} \in \mathcal{B}_{1} : p \in B_{1} \subset B_{2}

즉, \mathcal{B}_{1} \supset \mathcal{B}_{2} 이면 \mathfrak{I}_{1} \supset \mathfrak{I}_{2} 이다. 단, 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

거리공간

거리공간

  • 위상공간에서 배제된 거리의 개념을 새로이 정의하고, 이를 집합에 부여한 공간을 고려해본다.

Def. [거리]

집합 X 에 대해 함수 d : X \times X \to \mathbb{R} 가 다음 네 조건을 만족한다고 하자.

  1. \forall x, y \in X, d(x, y) \geq 0
  2. d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y
  3. \forall x, y \in X, d(x, y) = d(y, x)
  4. \forall x, y, z \in X, d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)

이때 d X 위의 거리(함수), (X, d) 를 거리공간이라 한다.

ex) 다음은 모두 거리공간이다.

  1. \mathbb{R} d(x, y) = |x - y| 에 대해 (\mathbb{R}, d)  
    • 여기서 d 는 유클리드 거리라고 하며 (\mathbb{R}, d)  는 유클리드 공간이라 한다. (보통 d_{E} 로 씀)
  2. \mathbb{R}^{n} = \{ \vec{x} = (x_{1}, ... , x_{n}) | x_{1}, ... , x_{n} \in \mathbb{R} \} d(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + ... + (x_{n} - y_{n})^{2}} 에 대해 (\mathbb{R}^{n}, d)  
  3. 임의의 집합 X d(x, y) = \begin{cases} 1, x \neq y \\ 0, x = y \end{cases}  에 대해 (X, d)  

주어진 두 거리공간 (X_{1}, d_{1}), (X_{2}, d_{2}) 으로부터 다음과 같은 곱거리함수 d_{1} \times d_{2} 를 이용해 새로운 거리공간 (X_{1} \times X_{2}, d_{1} \times d_{2}) 을 만들 수 있다.

(d_{1} \times d_{2})((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = \sqrt{(d_{1}(x_{1}, y_{1}))^{2} + (d_{2}(x_{2}, y_{2}))^{2}}

(단, X_{1} \times X_{2} = \{ (x_{1}, x_{2} | x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2} \} )

거리화 가능 공간

  • 모든 거리공간은 위상공간화 가능하다.
    • 하지만 위상공간이 거리공간으로 변환할 수 없는 것도 존재하기 때문에, 거리공간이 위상공간에 포함되는 개념이 된다. 거리는 위상공간에서 부차적인 요소이다.
    • 거리공간에서 위상공간의 기저가 될 수 있는 것을 만들어 준다.

Def. [열린구]

거리공간 (X, d) 과 임의의 점 x_{0} \in X , 양의 실수 r 에 대하여 X 의 부분집합

B_{d} (x_{0}, r) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) < r \}

을 중심이 x_{0} 이고 반지름인 r 인 열린구라하며, 간략히 B_{r}(x_{0}) 로 표기하기도 한다. (임의의 점 x 에서 거리 r 안에 포함되는 모든 점을 가져온 것. r 미만 이기 때문에 열린 구가 된다. 이하이면 닫힌구, 거리와 같은 점을 모으면 구면이 된다)

  • \overline{B_{r}}(x_{0}) = \{ x \in X | d(x_{0}, x) \leq r \} : 닫힌구
  • S_{r}(x_{0}) = \{x \in X | d(x_{0}, x) = r \} : 구면

Thm. [거리공간의 위상공간 유도]

거리공간 (X, d) 에 대하여 모든 열린구들의 집합

\mathcal{B} = \{ B_{r}(x_{0}) | x_{0} \in X, r > 0 \}

는 항상 집합 X 위의 어떤 위상의 기저가 된다. \mathcal{B} 로부터 생성된 위상을 거리위상, 위상공간을 유도공간이라 한다. (모든 열린 구들의 집합이 어떤 위상의 기저가 된다. 그렇게 만든 기저로 위상공간의 모든 요소들을 만들어낼 수 있음)

  • 어떠한 거리공간으로부터도 유도될 수 없는 위상공간이 존재한다.
    • ex) X = \{ 1, 2 \} 에 대한 밀착위상공간
  • 서로 다른 두 거리공간으로부터 동일한 위상공간이 유도되기도 한다.
    • ex) \vec{x} = (x_{1}, x_{2}), \vec{y} = (y_{1}, y_{2}) (\in \mathbb{R}^{2})
    • d_{E}(\vec{x}, \vec{y}) = \sqrt{(x_{1} - y_{1})^{2} + (x_{2} - y_{2})^{2}}
    • d_{M}(\vec{x}, \vec{y}) = Max(|x_{1} - y_{1}|, |x_{2} - y_{2}|)
    • 일 때 (\mathbb{R}^{n}, d_{E}), (\mathbb{R}^{n}, d_{M})
    • d_{E} 는 원의 모양이 되고 d_{M} 는 정사각형 모양이 된다. 그런데 이 두 거리공간으로부터 유도되는 위상공간은 동일하다. 다시 말해 원과 사각형이 위상공간에서는 같은 것이라는 것. 이는 실수라는 무한집합을 이용하였기 때문. 이게 위상수학의 유명한 예.

관계를 다음과 같이 도식해 볼 수 있다.

 

내, 외부와 경계

집적점과 폐포

  • 실수의 극한에 대응하는 위상공간의 개념을 알아본다.
    • 집적점은 실수의 극한의 일반화된 버전
    • 열린구간의 경계에 해당한다.

Def 1. [집적점]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 에 대해 A X 를 부분집합이라 하자. 점 x \in X x 를 포함하는 임의의 열린집합 U 에 대하여

(U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset

를 만족하면 x A 의 집적점이라 한다. (x A 에 포함되는지 아닌지 여부는 중요하지 않다)

  • 즉 집합 A 의 집적점이란 A 의 원소들이 한없이 가까이 분포하고 있는 점이다.
  • 실수의 보통위상공간과 유리수집합 \mathbb{Q} 에 대해 모든 실수는 \mathbb{Q} 의 집적점이 될 수 있다.
    • 이처럼 위상공간의 모든 원소를 집적점으로 갖는 집합의 성질을 조밀성이라 한다.
    • 또한 조밀한 가산부분집합이 존재하는 위상공간은 분해가능공간이라 한다.

Thm 1. [닫힌집합의 의미 1]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. A 는 닫힌집합이다.
  2. A 의 모든 집적점들은 A 에 포함된다.
    • 닫힌집합은 열린집합의 여집합이기 때문에, 거꾸로 닫힙집합을 찾고 그것의 여집합을 하면 열린집합이 된다. –열린집합을 찾기 어려운 경우 이렇게 한다.
    • 열린집합이란 위상의 원소다.

Def 2. [도집합과 폐포]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 A 의 모든 집적점들의 집합을 A 의 도집합 A' 라 하고 A \cup A' A 의 폐포 \overline{A} 라 한다.

  • 집적점이 A 내부에 존재하지 않을 수 있기 때문에 A 의 모든 집적점들의 집합이나 그 집합과 A 의 합집합이 별도의 의미가 있게 된다.

Cor. [닫힌집합의 의미 2]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 세 명제는 동치이다. (도집합과 폐포를 이용해서 닫힌집합을 정의할 수 있음)

  1. A 는 닫힌집합이다.
  2. A' \subset A
  3. \overline{A} = A

Thm 2. [폐포의 의미]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

  1. x \in \overline{A}
  2. \forall 열린집합 U \ni x, U \cap A \neq \emptyset

내, 외부와 경계

Def. [내부, 외부, 경계]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해

  1. A 에 포함되는 모든 열린집합의 합집합을 A 의 내부 Int(A) 라 한다.
    • 위상의 원소들 가운데 A 에 포함되는 모든 것을 A 의 내부라고 한다.
  2. A^{c} (= X \setminus A) 의 내부를 A 의 외부 Ext(A) 라 한다.
    • A 의 여집합의 내부(열린집합)가 A 의 외부가 된다.
  3. \overline{A} \cap \overline{A^{c}} A 의 경계 \partial A 라 한다.
    • A 의 폐포와 A 여집합의 폐포의 교집합이 A 의 경계가 된다. 폐포는 직접점(경계)를 포함하고 있기 때문에 실제로 경계가 된다.

Thm. [내부, 외부, 경계의 의미]

위상공간 (X, \mathfrak{I}) 의 부분집합 A 에 대해 다음이 성립한다. (이 부분 집합 A 는 임의의 부분집합이기 때문에 열린집합일 수도 있고 아닐 수도 있다)

  1. \exists 열린집합 U : x \in U \subset A \Leftrightarrow x \in Int(A)
    • A 의 내부에 속하는 점을 포함하면서 A 의 포함하는 집합이 존재한다.
  2. \exists 열린집합 x \in U \subset A^{c} \Leftrightarrow x \in Ext(A)
    • A 의 외부에 속하는 점을 포함하면서 A 의 포함하는 집합이 존재한다.
  3. \exists 열린집합 U \ni x, (U \cap A \neq \emptyset) \wedge (U \cap A^{c} \neq \emptyset) \Leftrightarrow x \in \partial A

Cor. Int(A) \cup Ext(A) \cup \partial A = X

  • 내부, 외부, 경계를 합하면 X 가 된다.

이상엽/ 해석학/ 해석함수

테일러급수 전개

  • (테일러 급수는 멱급수 –다항함수의 급수– 의 한 형태)
  • (어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
    • (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c - \delta, c + \delta) 에서 함수 f f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이면 f x = c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 f 가 구간 I 에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 c \in I 에 대하여 구간 (c  -\delta, c + \delta) 에서

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}

을 만족시키는 \delta > 0 이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 f 의 테일러급수라 하고, 특히 c = 0 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

  • (멱급수에서 a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!} 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
  • (함수 f 가 해석적이면 f 는 무한번 미분 가능. 그러나 f 가 무한번 미분 가능하다고 해서 f 가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

  • (아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)

{1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)

\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)

참고) y = {1 \over x} y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k} 의 그래프 비교

e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)

\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... \\= \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)

참고) y = e^{x} y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

참고) y = \ln x y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)

\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)

참고) y = \sin x y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!} 의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적이면 다음이 성립한다.

  1. cf, f \pm g, fg I \cap J 에서 해석적이다. (단 c 는 상수)
  2. g(x_{0}) \neq 0 x_{0} \in I \cap J 에 대해 {f \over g} x = x_{0} 의 근방에서 해석적이다.

Thm 2. [해석함수의 합성]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적일 때, f(I) \subset J 이면 합성함수 g \circ f I 에서 해석적이다.

이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]

\emptyset \neq D \subset \mathbb{R} 이고 모든 n \in \mathbb{R} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 일 때 \{f_{n}\} D 에서의 함수열이라 한다.

또한 \{f_{n}\} 이 함수열일 때 \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} 을 함수열 급수라 한다.

  • (쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)

Def 2. [멱급수]

실수 c 와 수열 \{a_{n}\} 에 대하여 함수열 \{f_{n}\}

f_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}

과 같이 표현될 때의 함수열 급수

\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

를 멱급수라 한다.

  • (함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
  • (멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)

Def 3. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c-\delta, c+\delta) 에서 함수 f 가 멱급수로 표현될 수 있으면,

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n} 이면 f x=c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

  • (멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

  • (f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ... 과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
    • (물론 이것이 의미가 있으려면 함수 f(x) 가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
  • (이렇게 되면 함수 f(x) 를 보지 않고 그 분해된 각각의 \{f_{n}(x)\} 들을 보고 그 합으로써 f(x) 를 이해할 수 있다.)
  • (라고 수학자들이 최초에 생각했으나, f(x) 의 하위 $latex  f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), … &s=2$이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 f(x) 는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
  • (그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]

\{f_{n}\} \{f_{n}\} 가 각각 \{f_{n}\} 에서 정의된 함수열과 함수라 하자

  1. 임의의 x \in D 와 임의의 \epsilon > 0 에 대해 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 을 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 점별수렴한다고 한다. 이때 f \{f_{n}\} 의 극한함수라 하고, f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) 로 표현한다.
  2. 임의의 \epsilon > 0 에 대하여 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 를 임의의 x \in D 에 대하여 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 균등수렴한다고 한다.

Thm. \{f_{n}\} D 에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]

f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}

with, m > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon

Thm 2. [바이어슈트라스판정법]

n \in \mathbb{N} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 때, 적당한 양의 상수 M_{n} > 0 이 존재하여 모든 x \in D 에 대하여 |f_{n}(x) | \leq M_{n} 이고 \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty 이면 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

멱급수

  • (해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
  • (멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]

모든 n \in \mathbb{N} 에 대하여 a_{n} \geq 0 이고 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M 일 때 다음이 성립한다.

  1. M < 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 수렴한다.
  2. M > 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 발산한다.
  • (M = 1 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)

Cor. [멱급수의 수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 에 대하여 \alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} 일 때, R = {1 \over \alpha} 라 하면 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

  1. |x - c| < R 에서 절대수렴한다.
  2. |x - c| > R 에서 발산한다.

\alpha = 0 이면 R = \infty \alpha = \infty 이면 R = 0 으로 간주한다.

  • (어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
  • (여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)

Def. [수렴반지름과 수렴구간]

Cor에서 구한 R 을 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이라 하고 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.

Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름을 R 이라 하고 0 < r < R 일 때 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [c-r, c+r] 에서 균등수렴한다.

  • (수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Cor. [함수열급수의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Lemma. [아벨의 공식]

수열 \{a_{n}\}, \{b_{n}\} 과 임의의 자연수 n, m (n > m) 에 대하여 다음이 성립한다.

\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}

Thm 2. [아벨 정리]

수렴반지름이 R \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} x = c + R 에서 수렴하면 (c - R, c + R] 의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.

Thm 3. [멱급수의 연속]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]

다음을 만족하는 함수열 \{f_{n}\} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \{f_{n}(x_{0})\} 가 수렴한다. (점별 수렴)
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \{f_{n}'\} 는 균등수렴한다.

또한 이때 \{f_{n}\} 의 극한함수를 f 라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x) 이다.

Cor. [함수열급수의 미분]

다음이 만족하면 함수열급수 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0}) 가 수렴한다.
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}' 은 균등수렴한다.

이때 f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 이라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x) 이다.

Lemma.

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1} 의 수렴반지름도 R 이다.

Thm 3. [멱급수의 미분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 f (c - R, c + R) 에서 미분가능하며, 이때 f 의 도함수는

f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}

이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]

\{f_{n}\} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하고 f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] 이면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f

이다.

Thm 2. [항별적분]

f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}

이다.

Thm 3. [멱급수의 적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b] 에서 수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.

Thm 4. [멱급수의 특이적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b) 에서 수렴하고 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1} 이 수렴하면 f [a, b) 에서 특이적분가능하고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.