Tag Archives: 수학

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데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

BY suyeongpark

개념

벡터장 , 곡선 ( : 조각적으로 미분가능, : 연속)
- 선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을 $\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n}$ 으로 분할 하면 i번째 조각은 $\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}$ 이 되고,
- 이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은 $\vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1})$ 가 된다.
- 그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은 $\sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1})$ 이다.
- 조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면 $\int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x}$ 가 된다.
로 매개화 된 경우, C를 로 분할
- $\sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))$
- $= \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))$
- $= \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt$

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데코수학/ 다변수 실함수의 곡선적분

BY suyeongpark

개념

선 C를 점 으로 분할 하면 C의 i번째 조각의 길이는 가 된다. 이때 i번째 조각에서 뽑은 함수 값을 로 두면 선적분은 다음과 같이 정의 된다.
- $\lim_{n \to \infty} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}_{i}) \|\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} \|$
- $= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{x}_{i}) \|\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} \|$
- $= \int_{\vec{x} \in C} f(\vec{x}) \|d\vec{x} \|$
로 매개화 된 경우, 가 되고
- $\lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \|$
- $= \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i}^{n} f(\vec{\alpha} (t_{i})) \|{\vec{\alpha} (t_{i}) - \vec{\alpha} (t_{i-1}) \over t_{i} - t_{i-1}} \| \|t_{i} - t_{i-1} \|$
- $= \int_{a \leq t \leq b} f(\vec{\alpha}(t)) \|{d \over dt} \vec{\alpha}(t)\| dt$
- $= \int_{a}^{b} f(\vec{\alpha}(t)) \| \dot{\vec{\alpha}} (t) \| dt$

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데코수학/ 다변수 실함수의 다중적분

BY suyeongpark

개념

는 의 영역의 크기가 된다.
- $\Omega$ 의 크기를 A라 하면 $\int_{\Omega} 1 dx_{1} \land dx_{2} \land ... \land dx_{n}$ 는 n+1 차원의 부피가 되고 그 크기는 A가 된다. (단위는 다르지만 크기는 같다)
적분의 평균값 정리
- $\Omega$ : 닫힌, 유계, $f$ : 연속, 유계
- - $f(\vec{p})$ 는 $\Omega$ 에서 평균 높이

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데코수학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

BY suyeongpark

개념

다변수 실함수의 리만적분
- $f(\vec{x})$ 가 유계인 영역 $\Omega(\leq \mathbb{R}^{n})$ 에서 리만적분 가능 $\Leftrightarrow \Omega$ 를 $P_{1}, P_{2}, ... , P_{n}$ 인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 $\vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n}$ 을 뽑았을 때,
  $\sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot$ (영역 $P_{i}$ 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
- $\Omega$ : 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 $\int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n}$ 라고 표기
다중적분의 성질
- - $\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- $\int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- $\int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
- - $\Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}$
푸비니 정리
- 영역 가 들로 둘러 쌓여 있을 경우
  - $\int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx$ 가 성립
다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
- 가 차원 영역일 때,
  의 의미는
  - $\Omega$ 를 밑면으로 $f$ 를 높이로 하는 $n+1$ 차원의 부피를 의미한다.

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데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 2

BY suyeongpark

개념

다변수 벡터함수 에 대하여
- 점 $\vec{x}$ 에서 다이버전스: $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}(\vec{x})$ ( $\mathbb{R}^{n}$ 에서 정의)
- 점 $\vec{x}$ 에서 커얼: $\vec{\nabla} \times \vec{F}(\vec{x})$ ( $\mathbb{R}^{3}$ 에서 정의)

다이버전스, 커얼식

$\nabla \cdot (F+G) = \nabla \cdot F + \nabla \cdot G$
$\nabla \cdot (\alpha F) = \alpha (\nabla \cdot F)$ ( $\alpha$ 는 스칼라)
$\nabla \cdot (f F) = f (\nabla \cdot F) + \nabla f \cdot F$ ( $f$ 는 다변수 실함수)
$\nabla \times (F+G) = \nabla \times F + \nabla \times G$
$\nabla \times (\alpha F) = \alpha (\nabla \times F)$ ( $\alpha$ 는 스칼라)
$\nabla \times (f F) = f (\nabla \times F) + \nabla f \times F$ ( $f$ 는 다변수 실함수)
$\nabla \cdot (F \times G) = (\nabla \times F) \cdot G - F \cdot (\nabla \times G)$
$\nabla \times (F \times G) = (\nabla \cdot G) F + (\nabla F \cdot G) - F \cdot \nabla G - (\nabla \cdot F) G$
$\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$
$\nabla \times (\nabla f) = \vec{0}$
$(\nabla \cdot \nabla) f = \nabla \cdot (\nabla f)$ ( $f$ 의 라플라시안 $\nabla^{2} f$ )
$(\nabla \cdot \nabla) \vec{F} = \nabla^{2} \vec{F}$ ( $F$ 의 라플라시안)
$\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla \cdot (\nabla \vec{F}) - \nabla^{2} \vec{F}$

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데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

BY suyeongpark

개념

벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
- $\vec{p}$ 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
- $\vec{p}$ 를 $(p_{1}, p_{2})$ 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다. $\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y), \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)$
에서 다이버전스 정의
- 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
- 이때 x축으로 퍼지는 정도는 $F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2})$ 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 $F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)$ 가 된다.
- 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
  - ${F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) \over 2 \Delta y}$
- 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
  - $\lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) \over 2 \Delta y}$
  - $= \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta x}) + \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2}) \over 2 \Delta y})$
  - $= {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}$
  - $= {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}$
  - $= ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}$
  - $= ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}$
  - $= \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}$
- 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
  - ${\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}$
  - $= ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})$
  - $= \vec{\nabla} \cdot \vec{F}$
에서 커얼 정의
- 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
- 이때 x축으로 돌아가는 정도는 $F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x})$ 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 $F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})$ 가 된다.
- 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
  - ${F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}$
- 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
  - $\lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}$
  - $= \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) + \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p}) \over 2 \Delta y} + {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta y)})$
  - $= {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}$
  - $= {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}$
  - $= \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|$
  - $= 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}$
  - 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
  - $({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1})$ 은 회전하는 양이 되고, $\hat{z}$ 은 회전하는 방향이 된다.
- 에서 커얼 정의
  - $\mathbb{R}^{3}$ 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
  - 를 축으로 돌아간 정도
    - ${F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}$
  - 를 축으로 돌아간 정도
    - $-{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}$
  - 를 축으로 돌아간 정도
    - ${F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}$
  - 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
    - $= {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} - {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}$
    - $= \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z}) - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial y})$
    - $= \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|$
    - $= (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}$
- 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

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데코수학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

BY suyeongpark

개념

- $d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})$
- $= \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right)$ (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
- $= \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2} + ... + a_{1n} dx_{n} \\ a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2} + ... + a_{2n} dx_{n} \\ ... \\ a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2} + ... + a_{mn} dx_{n} \end{array} \right)$
- $= \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\ dx_{2} \\ ... \\ dx_{n} \end{array} \right)$
- - ( $J_{\vec{F}}$ 은 야코비 행렬이라 부른다)
  - 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
$(J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}$
에서 미분 가능
- - $\lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}$
이고 각각 미분 가능하면
- $\Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}$
- $= {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} + {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... + {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}}$ (∵ 연쇄법칙)
- $= \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}$
- $= \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}$
- $= (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}$
역함수 미분법 (일변수 실함수)
- $f(x)$ : 미분 가능, $\forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
- $f(x)$ : 미분 가능, $f^{-1}$ 가 존재 $\Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}$
- $f(x) = x^{2}$ 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 ${df \over dx} \neq 0$ 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
의 역함수 가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
- $J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1}$ 이다.

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데코수학/ 다변수실함수의 최적화 문제

BY suyeongpark

개념

- $f(\vec{p})$ : 극대값 $\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})$
- $f(\vec{p})$ : 극소값 $\Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})$
: 유계, 닫힌집합, 연속 는 최대값, 최소값을 가진다.
- 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
- 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
가 에서 2번 미분가능하고 일 때,
- $Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}$
- - ${\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q)$ : 극대
  - ${\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q)$ : 극소
- - $f(p, q)$ : 안장점
  - 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
에서 미분가능, 극값,
- $\Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}$

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데코수학/ 다변수실함수의 그래디언트

BY suyeongpark

개념

델 연산자
- $grad f = \vec{\nabla} f = ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}} , ... , {\partial f \over \partial x_{n}})$ (grad는 그레디언트)
표기법
- $= {\partial f \over \partial x_{1}} dx_{1} + {\partial f \over \partial x_{2}} dx_{2} + ... + {\partial f \over \partial x_{n}} dx_{n}$
- $= ({\partial f \over \partial x_{1}}, {\partial f \over \partial x_{2}}, ... , {\partial f \over \partial x_{n}}) \cdot (dx_{1}, dx_{2}, ... , dx_{n})$
- $= \nabla f \cdot d \vec{x}$
방향 미분
- $D_{\hat{u}} f := \lim_{h \to 0} {f(\vec{x} + h \cdot \hat{u}) - f(\vec{x}) \over h}$
- 점 $\vec{x}$ 에서 $\hat{u}$ 방향으로 진행할 때의 접선의 기울기
$D_{\hat{u}} f = \vec{\nabla} f \cdot \hat{u}$
- 그레디언트가 0인 점은 모든 방향으로 가도 접선의 기울기가 0이다.
점 $\vec{x}$ 에서 $f(\vec{x})$ 가 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 $\nabla f$ 의 방향이다.

미분식

$\vec{\nabla} (c \cdot f) = c \cdot \vec{\nabla} f$
$\vec{\nabla} (f + g) = \vec{\nabla} f + \vec{\nabla} g$
$\vec{\nabla} (f \cdot g) = f \cdot \vec{\nabla} g + g \cdot \vec{\nabla} f$

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데코수학/ 다변수 실함수의 미분 (연쇄법칙)

BY suyeongpark

개념

$f, g$ : 미분가능이면, $\Rightarrow f + g, \alpha \cdot f, f \cdot g$ 도 미분가능
연쇄법칙
- 들이 에 대한 함수이면
  - $\Delta f \approx {\partial f \over \partial x_{1}} \Delta x_{1} + {\partial f \over \partial x_{2}} \Delta x_{2} + {\partial f \over \partial x_{n}} \Delta x_{n}$
  - ${\Delta f \over \Delta t_{k}} \approx {\partial f \over \partial x_{1}} {\Delta x_{1} \over \Delta t_{k}} + {\partial f \over \partial x_{2}} {\Delta x_{2} \over \Delta t_{k}} + {\partial f \over \partial x_{n}} {\Delta x_{n} \over \Delta t_{k}}$
  - ${\partial f \over \partial t_{k}} = {\partial f \over \partial x_{1}} {\partial x_{1} \over \partial t_{k}} + {\partial f \over \partial x_{2}} {\partial x_{2} \over \partial t_{k}} + {\partial f \over \partial x_{n}} {\partial x_{n} \over \partial t_{k}}$