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이상엽/ 해석학/ 해석함수

BY suyeongpark

테일러급수 전개

(테일러 급수는 멱급수 –다항함수의 급수– 의 한 형태)
(어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
- (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$ 에 대하여 $(c - \delta, c + \delta)$ 에서 함수 $f$ 가 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이면 $f$ 는 $x = c$ 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$ 가 열린구간 $I$ 의 모든 점에서 해석적이면 $f$ 를 $I$ 에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 $f$ 가 구간 $I$ 에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 $c \in I$ 에 대하여 구간 $(c -\delta, c + \delta)$ 에서

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}$

을 만족시키는 $\delta > 0$ 이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 $f$ 의 테일러급수라 하고, 특히 $c = 0$ 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

(멱급수에서 $a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!}$ 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
(함수 $f$ 가 해석적이면 $f$ 는 무한번 미분 가능. 그러나 $f$ 가 무한번 미분 가능하다고 해서 $f$ 가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

(아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)

${1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)$

$\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)$

참고) $y = {1 \over x}$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k}$ 의 그래프 비교

$e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)$

$\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... \\= \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)$

참고) $y = e^{x}$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}$ 의 그래프 비교

참고) $y = \ln x$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!}$ 의 그래프 비교

$\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)$

$\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)$

참고) $y = \sin x$ 와 $y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!}$ 의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]

함수 $f$ 는 개구간 $I$ 에서 해석적이고 $g$ 는 개구간 $J$ 에서 해석적이면 다음이 성립한다.

$cf, f \pm g, fg$ 는 $I \cap J$ 에서 해석적이다. (단 $c$ 는 상수)
$g(x_{0}) \neq 0$ 인 $x_{0} \in I \cap J$ 에 대해 ${f \over g}$ 도 $x = x_{0}$ 의 근방에서 해석적이다.

Thm 2. [해석함수의 합성]

함수 $f$ 는 개구간 $I$ 에서 해석적이고 $g$ 는 개구간 $J$ 에서 해석적일 때, $f(I) \subset J$ 이면 합성함수 $g \circ f$ 도 $I$ 에서 해석적이다.

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이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

BY suyeongpark

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]

$\emptyset \neq D \subset \mathbb{R}$ 이고 모든 $n \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 일 때 $\{f_{n}\}$ 을 $D$ 에서의 함수열이라 한다.

또한 $\{f_{n}\}$ 이 함수열일 때 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}$ 을 함수열 급수라 한다.

(쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)

Def 2. [멱급수]

실수 $c$ 와 수열 $\{a_{n}\}$ 에 대하여 함수열 $\{f_{n}\}$ 이

$f_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}$

과 같이 표현될 때의 함수열 급수

$\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$

를 멱급수라 한다.

(함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
(멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)

Def 3. [해석함수]

어떤 $\delta > 0$ 에 대하여 $(c-\delta, c+\delta)$ 에서 함수 $f$ 가 멱급수로 표현될 수 있으면,

즉 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n}$ 이면 $f$ 가 $x=c$ 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 $f$ 가 열린구간 $I$ 의 모든 점에서 해석적이면 $f$ 를 $I$ 에서의 해석함수라 한다.

(멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

( $f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ...$ 과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
- (물론 이것이 의미가 있으려면 함수 $f(x)$ 가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
(이렇게 되면 함수 $f(x)$ 를 보지 않고 그 분해된 각각의 $\{f_{n}(x)\}$ 들을 보고 그 합으로써 $f(x)$ 를 이해할 수 있다.)
(라고 수학자들이 최초에 생각했으나, $f(x)$ 의 하위 $latex f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), … &s=2$이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 $f(x)$ 는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
(그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]

$\{f_{n}\}$ 와 $\{f_{n}\}$ 가 각각 $\{f_{n}\}$ 에서 정의된 함수열과 함수라 하자

임의의 $x \in D$ 와 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$ 을 만족시키는 자연수 $N$ 이 존재하면 $\{f_{n}\}$ 은 $D$ 에서 $f$ 로 점별수렴한다고 한다. 이때 $f$ 를 $\{f_{n}\}$ 의 극한함수라 하고, $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)$ 로 표현한다.
임의의 $\epsilon > 0$ 에 대하여 $n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$ 를 임의의 $x \in D$ 에 대하여 만족시키는 자연수 $N$ 이 존재하면 $\{f_{n}\}$ 은 $D$ 에서 $f$ 로 균등수렴한다고 한다.

Thm. $\{f_{n}\}$ 이 $D$ 에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]

$f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $D$ 에서 균등수렴한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}$

$with, m > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon$

Thm 2. [바이어슈트라스판정법]

$n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $f_{n} : D \to \mathbb{R}$ 이라 할 때, 적당한 양의 상수 $M_{n} > 0$ 이 존재하여 모든 $x \in D$ 에 대하여 $|f_{n}(x) | \leq M_{n}$ 이고 $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $D$ 에서 균등수렴한다.

멱급수

(해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
(멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $a_{n} \geq 0$ 이고 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M$ 일 때 다음이 성립한다.

$M < 1$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 은 수렴한다.
$M > 1$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 은 발산한다.

( $M = 1$ 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)

Cor. [멱급수의 수렴]

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 에 대하여 $\alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}$ 일 때, $R = {1 \over \alpha}$ 라 하면 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 은

$|x - c| < R$ 에서 절대수렴한다.
$|x - c| > R$ 에서 발산한다.

$\alpha = 0$ 이면 $R = \infty$ 로 $\alpha = \infty$ 이면 $R = 0$ 으로 간주한다.

(어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
(여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)

Def. [수렴반지름과 수렴구간]

Cor에서 구한 $R$ 을 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이라 하고 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.

Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름을 $R$ 이라 하고 $0 < r < R$ 일 때 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 은 $[c-r, c+r]$ 에서 균등수렴한다.

(수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]

구간 $I$ 에서 연속인 함수열 $\{f_{n}\}$ 이 $f$ 로 균등수렴하면 $f$ 는 $I$ 에서 연속이다.

Cor. [함수열급수의 연속]

구간 $I$ 에서 연속인 함수열 $\{f_{n}\}$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴하면 $f$ 도 $I$ 에서 연속이다.

Lemma. [아벨의 공식]

수열 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 과 임의의 자연수 $n, m (n > m)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}$

Thm 2. [아벨 정리]

수렴반지름이 $R$ 인 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 가 $x = c + R$ 에서 수렴하면 $(c - R, c + R]$ 의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.

Thm 3. [멱급수의 연속]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]

다음을 만족하는 함수열 $\{f_{n}\}$ 은 유계구간 $I$ 에서 균등수렴한다.

임의의 $x_{0} \in I$ 에 대하여 $\{f_{n}(x_{0})\}$ 가 수렴한다. (점별 수렴)
$\{f_{n}\}$ 이 $I$ 에서 미분가능하며, $I$ 에서 $\{f_{n}'\}$ 는 균등수렴한다.

또한 이때 $\{f_{n}\}$ 의 극한함수를 $f$ 라 하면 $f$ 는 $I$ 에서 미분가능하고 임의의 $x \in I$ 에 대하여 $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x)$ 이다.

Cor. [함수열급수의 미분]

다음이 만족하면 함수열급수 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 유계구간 $I$ 에서 균등수렴한다.

임의의 $x_{0} \in I$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0})$ 가 수렴한다.
$\{f_{n}\}$ 이 $I$ 에서 미분가능하며, $I$ 에서 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'$ 은 균등수렴한다.

이때 $f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이라 하면 $f$ 는 $I$ 에서 미분가능하고 임의의 $x \in I$ 에 대하여 $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x)$ 이다.

Lemma.

$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이 $R$ 이면 $\sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}$ 의 수렴반지름도 $R$ 이다.

Thm 3. [멱급수의 미분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 의 수렴반지름이 $R$ 이면 $f$ 는 $(c - R, c + R)$ 에서 미분가능하며, 이때 $f$ 의 도함수는

$f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}$

이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]

$\{f_{n}\}$ 이 $[a, b]$ 에서 $f$ 로 균등수렴하고 $f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f$

이다.

Thm 2. [항별적분]

$f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b]$ 인 $\{f_{n}\}$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 이 $[a, b]$ 에서 $f$ 로 균등수렴하면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}$

이다.

Thm 3. [멱급수의 적분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 $[a, b]$ 에서 수렴하면 $f \in \mathfrak{R}[a, b]$ 이고

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx$

이다.

Thm 4. [멱급수의 특이적분]

함수 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ 이 $[a, b)$ 에서 수렴하고 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1}$ 이 수렴하면 $f$ 는 $[a, b)$ 에서 특이적분가능하고

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx$

이다.

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이상엽/ 해석학/ 수열, 급수의 극한

BY suyeongpark

수열과 극한

(수열은 수를 순서 있게 나열한 것. 현대적으로 보면 결국 함수)

수열의 정의

Def 1. [수열]

함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 를 수열 $\{a_{n}\}$ 이라 하고 $f(m) = a_{m}$ 을 $\{a_{n}\}$ 의 $m$ 번째 항이라 한다.

Def 2. [부분수열]

$\{a_{n}\}$ 에 대하여 자연수 수열 $\{n_{k}\}$ 가

$n_{1} < n_{2} < ... < n_{k} < ...$

이면 $\{a_{n_{k}}\}$ 를 $\{a_{n}\}$ 의 부분 수열이라 한다.

Def 3. [증가(감소)수열]

인 를 단조증가수열이라 한다.
- ( $a_{n} \geq a_{n+1}$ 이면 단조감소수열)
인 를 순증가수열이라 한다.
- ( $a_{n} > a_{n+1}$ 이면 순감소수열)

Def 4. [유게인 수열]

$\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |a_{n}| \leq M$ 이면 $\{a_{n}\}$ 을 유계인 수열이라 한다.

수열의 극한

Def 1. [수열의 수렴]

$\{a_{n}\}$ 이라 하자. $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, | a_{n} - a | < \epsilon$ 이 성립하면 $\{a_{n}\}$ 은 $a$ 로 수렴한다고 하고 이를 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 로 표현한다.

Def 2. [수열의 발산]

적당한 $\epsilon > 0$ 와 모든 $N \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\exists n \geq \mathbb{N} : |a_{n} - a| \geq \epsilon$ 이면 $\{a_{n}\}$ 은 발산한다고 한다.

Thm 1. [수열 극한의 유일성]

$\{a_{n}\}$ 이 수렴하면 그 극한은 유일하다.

Thm 2. [수열 극한의 연산]

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 이고 $\lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ 이면 다음이 성립한다.

$\lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ (복부호 동순)
$\lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab$
$\lim_{n \to \infty} {a_{n} \over b_{n}} = {a \over b} (b \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}, b_{n} \neq 0)$

코시 수열

Def 1. [코시수열의 정의]

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}$

$with, m \geq n > N, |a_{m} - a_{n} | < \epsilon$ 가 성립하면 $\{a_{n}\}$ 을 코시수열이라 한다.

Thm 1. [코시 수열과 수렴판정]

$\{a_{n}\}$ 이 코시수열이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴한다.

Def 2. [실수의 구성적 정의]

유리수 코시수열의 집합 $\mathbb{R}*$ 에 대하여 $\mathbb{R}* \times \mathbb{R}*$ 의 동치관계 $E : \{a_{n}\} E\{b_{n}\} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_{n} - b_{n}) = 0$ 의 동치류 $[\{a_{n}\}]$ 을 실수라 하고, 이들의 집합을 $\mathbb{R}$ 이라 표현한다.
$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha$ 이면 $[\{a_{n}\}] = \alpha$ 라 한다.

Thm 2. [실수의 완비성]

$\mathbb{R}$ 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다.

주요 정리

단조수렴정리

Thm 1. [단조수렴정리]

$\{a_{n}\}$ 이 단조증가(감소)하고 위(아래)로 유계이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴한다.

(그 수렴하는 값은 상한(하한)이 된다)

Thm 2. [축소구간정리]

모든 $n \in \mathbb{N}$ 과 $I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ 에 대하여

$I_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ 이 유계인 폐구간이고
$I_{n+1} \subset I_{n}$ 이며
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 이면

$\cap_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{ \alpha \}$ 인 $\alpha \in \mathbb{R}$ 가 존재한다.

(임의의 구간 잡고 그 구간을 간격을 무한히 좁혀가면, 그 수렴하는 값에 대응되는 실수가 존재한다.)

B-W 정리

Thm 1. [샌드위치 정리]

$L \in \mathbb{R}$ 일 때 모든 $n \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 이고 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L$ 이면 $\lim_{n \to \infty} b_{n} = L$ 이다.

Thm 2. [볼차노-바이어슈트라스 정리]

$\{a_{n}\}$ 이 유계인 수열이면 $\{a_{n}\}$ 은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

Cor. [최대 최소정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속 $\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})$

급수와 극한

급수의 정의

(급수란 수열의 합)

Def 1. [급수]

수열 $\{a_{n}\}$ 에 대하여

$a_{1} + a_{2} + ... = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

을 (무한)급수라 한다.

이때 $a_{n}$ 을 급수의 $n$ 번째 항이라 하며

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}$

을 급수의 부분합이라 한다.

Def 2. [재배열급수]

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 가 전단사 함수일 때 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}$ 의 재배열급수라 한다.

(급수에 대해 순서를 적절하게 재배열할 것을 재배열급수라고 한다)
(수열에서는 순서가 중요하기 때문에 더하는 순서도 중요하다)

급수의 극한

Def 1. [급수의 수렴과 발산]

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 에 대한 부분합의 수열 $\{S_{n}\}$ 이 $S \in \mathbb{R}$ 로 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 은 $S$ 로 수렴한다고 하고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S$ 로 표현한다.

만약 $\{S_{n}\}$ 이 어떤 실수 값으로 수렴하지 않으면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 은 발산한다고 한다.

(수열의 부분합들로 이루어진 수열의 합이 어떤 값으로 수렴하게 되면 급수는 수렴한다고 한다)
(무한급수의 합은 $S_{n} = {a(1 - r^{n}) \over 1 - r}$ 와 같다. 여기서 $a$ 는 첫항, $r$ 는 첫항에 곱해지는 공비. 공비는 1이 되면 안 된다.)

Def 2. [절대수렴과 조건수렴]

$n \in \mathbb{N}$ 에 대하여 $a_{n} \in \mathbb{R}$ 이라 하자

이 수렴하면 은 절대수렴한다고 한다.
- (수열을 재배열 해도 수렴하는 값이 동일. 수열에 절대값을 씌운 후에 합해도 수렴하는 경우에 가능)
은 발산하지만 은 수렴하면 은 조건수렴한다고 한다.
- (수열을 재배열 하면 수렴하는 값이 달라짐)

여러가지 정리

Thm 1.

$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ 이고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \alpha, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \beta$ 이면 $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \alpha \pm \beta$ 이다. (복부호 동순)

Thm 2.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 이다.

Thm 3.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 와 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 의 임의의 재배열 급수 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)}$ 에 대하여

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 이 절대수렴하고 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L$ 이면 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} = L$ 이다.

(절대수렴인 경우 재배열을 어떻게 하더라도 원래 수열과 같은 값으로 수렴한다)

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이상엽/ 해석학/ 리만적분

BY suyeongpark

리만적분

(사실 리만 적분은 다르부의 적분과 동일하고, 오히려 다르부 적분이 더 간편하기 때문에 일반적으로 다르부 적분을 이용해서 적분을 다루지만 안타깝게도 리만이 더 유명하기 때문에 리만 적분이라고 부른다.)

리만적분의 정의

Def 1. [분할과 세분]

$[a, b]$ 가 유계인 폐구간이고 $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b$ 일 때 $\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 을 $[a, b]$ 의 분할이라 한다.

$[a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 와 $\mathcal{P}*$ 에 대하여 $\mathcal{P} \subset \mathcal{P}*$ 이면 $\mathcal{P}*$ 를 $\mathcal{P}$ 의 세분이라 한다.

Def 2. [상합과 하합]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때

$\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 에 대해

$\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}$

$M_{i} = \sup \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}$

$m_{i} = \inf \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}$ 로 나타내자

이때

$U(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}$
$L(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}$

을 각각 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 상합과 하합이라 한다.

( $M_{i}$ 는 구간 내에서 가장 큰 사각형의 면적이고 이것들의 합이 상합 (아래 그림의 왼쪽) $m_{i}$ 은 구간 내에서 가장 작은 사각형의 면적이고 이것들의 합이 하합이다. (아래 그림의 오른쪽))
(실제 구간의 면적은 상합과 하합 사이의 값이 되고, 그 구간의 간격을 극한으로 보내면 상합과 하합의 면적의 차이를 줄일 수 있고 최종적으로 그 줄어든 값이 면적이 된다.)

Def 3. [상적분과 하적분]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때 $[a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 에 대해

$\overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \overline{\int_{a}^{b}} f = inf \{ U(\mathcal{P}, f) \}$
$\underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b}} f = sup \{ L(\mathcal{P}, f) \}$

을 각각 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 상적분과 하적분이라 한다.

(구할 수 있는 상합들 중에서 하한이 상적분, 구할 수 있는 하합들 중에서 상한이 하적분이 된다.)

Thm.

다음 명제들이 성립한다.

가 의 분할 의 세분이면
- $L(\mathcal{P}, f) \leq L(\mathcal{P}*, f) \leq U(\mathcal{P}, f) \leq U(\mathcal{P}, f)$
- (원래 분할 보다 더 세분화 시킨 것(세분)의 하합과 상합은 원래 분할의 하합과 상합의 사이에 온다.)
의 임의의 두 분할 에 대하여 이다.
- (임의의 두 분할에서 한쪽 분할의 상합은 다른쪽 분할의 하합 보다 항상 크다.)
가 에서 유계이면
- $\underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f$

Def 4. [리만적분가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때

$\underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f$

이면 $f$ 가 $[a, b]$ 에서 리만적분가능하다고 하며

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f = \underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f$

로 표현한다. 또한 $[a, b]$ 에서 유계인 리만적분가능한 함수 $f$ 들의 집합을 $\mathfrak{R} [a, b]$ 로 나타낸다 ( $f \in \mathfrak{R} [a, b]$ )

(상적분 값과 하적분 값이 같게 되면 리만적분 가능하다고 한다. 둘이 같게 되지 않은 경우도 있음.)
(리만적분이 불가능하다고 해서 적분 자체가 안되는 것은 아니다. 다른 적분법을 이용하면 적분이 가능할 수 있음.)

주요 정리

Thm 1. [리만적분 판별법]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계일 때 다음이 성립한다. ( $\mathcal{P}$ 는 $[a, b]$ 의 분할)

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$

$\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{P} s.t. U(\mathcal{P}, f) - L(\mathcal{P}, f) < \epsilon$

(상합과 하합의 차이가 $\epsilon$ 보다 작아지면 리만적분 가능하다 = 상적분과 하적분의 값이 같다.)

Thm 2. [연속성과 리만적분가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이다.

(연속이면 리만적분 가능하다. 연속이라고 미분은 안되는데, 연속이면 적분이 됨)
(불연속이어도 리만적분 가능한 경우가 있다)

Thm 3. [적분의 평균값 정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면

$\int_{a}^{b} f = f(c)(b-a)$ 인 $c \in (a, b)$ 가 존재한다.

리만적분의 연산

이면 다음이 성립한다.
- $\int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g$ (복부호동순)
- $\Leftrightarrow \forall c \in (a, b), f \in \mathfrak{R}[a, c] \wedge f \in \mathfrak{R}[c, b]$
- with $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$

미적분학의 기본정리

제 1 기본정리

Def. [부정적분]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 일 때 $x \in [a, b]$ 에 대하여

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

로 정의한 함수 $F$ 를 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 부정적분이라 한다.

Thm. [미적분학의 제 1 기본정리]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이면 $f$ 와 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 부정적분 $F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$F$ 는 $[a, b]$ 에서 균등연속이다.
$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $F$ 는 $[a, b]$ 에서 미분가능하고 $\forall x \in [a, b], F'(x) = f(x)$ 이다.

(미분과 적분의 연산이 역관계를 갖는다는 의미)
(이를 최초로 발견한 사람은 이탈리아 수학자였던 토리첼리. 이를 좀 더 일반화한 사람이 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로)

제 2 기본정리

Def. [역도함수]

$D$ 가 구간이고 $f, F : D \to \mathbb{R}$ 가 모든 $x \in D$ 에 대하여 $F'(x) = f(x)$ 이면 $F$ 를 $f$ 의 역도함수라 한다.

Thm. [미적분학의 제 2 기본정리]

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이고 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 하자. 이때 $F$ 가 $f$ 의 역도함수이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)$

따름정리

Thm 1. [치환적분법]

$g$ 가 $[a, b]$ 에서 미분가능하고 $g' \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이며 $f$ 가 $g([a, b])$ 에서 연속이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx$

Thm 2. [부분적분법]

$f, g: [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하며 $f', g' \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이면 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f' g = \{ f(b)g(b) - f(a)g(a) \} - \int_{a}^{b} f g'$

리만적분의 확장

(리만적분으로는 면적을 구할 수 없는 경우가 많아서 수학자들이 새로 방법을 정의한 것들이 다른적분 방법들)

특이적분

(이상 적분이라고도 함. 적분 구간이 유계인 폐구간이 아니거나 f가 유계가 아닌 경우에도 사용할 수 있는 적분 방법)

Def 1. [ $(a, b]$ 또는 $[a, b)$ 의 경우]

가 임의의 에 대하여 이면 에서 의 특이적분은 로 정의한다.
- $f : [a, b) \to \mathbb{R}$ 의 경우 $\int_{a}^{b} f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c} f$
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 $f$ 는 특이적분가능하다고 한다.
$f : [a, b] - \{ c \} \to \mathbb{R}$ 가 $[a, c)$ 와 $(c, b]$ 에서 특이적분가능하면 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 특이적분가능하다고 하고 $\int_{a}^{b} f = \lim_{p \to c-} \int_{a}^{p} f + \lim_{q \to c+} \int_{q}^{b} f$ 로 정의한다.

(폐구간이 아니기 때문에 중간에 폐구간이 되는 점을 잡고 그 점을 개구간으로 향하는 극한을 취함)

Def 2. [ $[a, \infty)$ 또는 $(-\infty, b]$ 의 경우]

가 인 임의의 에 대하여 이면 에서 의 특이적분은 로 정의한다.
- $f : (-\infty, b] \to \mathfrak{R}$ 의 경우 $\int_{-\infty}^{b} f = \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{b} f$
1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 $f$ 는 특이적분가능하다고 한다.
$f$ 가 적당한 $p \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $(-\infty, p]$ 와 $[p, \infty)$ 에서 특이적분가능하면 $f$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 특이적분가능하다고 하고 $\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{p} f + \int_{p}^{\infty} f$ 로 정의한다.

(위와 비슷하게 정의. 폐구간 점보다 큰 임의의 점을 잡아서 적분 가능한지 확인하고 그 임의의 점을 무한으로 향하는 극한을 취함)

스틸체스적분

( $\int f(x) dg(x)$ 의 꼴로 표현되는 형태로 $g(x)$ 는 증가함수로 정의됨)
( $g(x)$ 가 $x$ 가 되면 리만적분의 형태가 되기 때문에 리만적분의 일반화된 버전으로 생각할 수 있다.)
(리만적분은 연속이어야 가능하지만, 스틸체스적분은 불연속적인 것에 대해서도 적분이 가능하다. $g(x)$ 를 불연속적인 함수로 잡으면 되기 때문)

Def 1. [스틸체스 상합과 하합]

$[a, b]$ 에서 유계인 함수 $f$ 와 증가함수 $\alpha, [a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \}$ 과 $\Delta \alpha_{i} = \alpha(x_{i}) - \alpha(x_{i-1}$ 에 대하여

$U(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}$
$L(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}$

을 각각 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스상합, 스틸체스하합이라 한다. ( $i = 1, 2, ... , n$ )

Def 2. [스틸체스 상적분과 하적분]

$[a, b]$ 에서 유계인 함수 $f$ 와 증가함수 $\alpha, [a, b]$ 의 분할 $\mathcal{P}$ 에 대하여

$\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \inf \{ U(\mathcal{P}, f, \alpha) \}$
$\underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \sup \{ L(\mathcal{P}, f, \alpha) \}$

을 각각 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스 상적분과 스틸체스 하적분이라 한다.

Def 3. [스틸체스 적분 가능성]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계이고 $\alpha$ 가 $[a, b]$ 에서 증가함수 일 때

$\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha$

이면 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 $\alpha$ 에 관하여 스틸체스적분가능하다고 하며

$\int_{a}^{b} f d\alpha = \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha$

로 표현하고 이를 $\alpha$ 에 관한 $f$ 의 스틸체스적분이라 한다. ( $f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ )

Thm.

$f \in \mathfrak{R} [a, b]$ 이고 $\alpha$ 가 $[a, b]$ 에서 증가하고 미분가능한 함수이며 $\alpha ' \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ 이면 $f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b]$ 이고 다음이 성립한다.

$\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) \alpha '(x) dx$

(리만 적분은 스틸체스 적분의 $\alpha = x$ 인 지점이므로 $\int_{a}^{b} f(x) x' dx$ 이 되고 $x' = 1$ 이므로 결과적으로 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 의 꼴이 된다)

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이상엽/ 해석학/ 미분

BY suyeongpark

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]

함수 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 에 대하여

${\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$

를 $a$ 에서 $b$ 로 변할 때의 함수 $y = f(x)$ 의 평균 변화율이라 한다.

Def 2. [미분계수와 미분가능]

함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ 와 $c \in (a, b)$ 에 대해

$f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x}$

$= \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}$

를 $x = c$ 에서의 함수 $y = f(x)$ 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 $f$ 가 $x = c$ 에서 미분가능하다고 한다.

미분계수란 순간변화율
순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.

Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]

함수 에 대하여 의 에서의 우미분계수
- $f'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}$
- 가 존재하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우미분가능하다고 한다.
함수 에 대하여 의 에서의 우미분계수
- $f'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}$
- 가 존재하면 $f$ 는 $x = b$ 에서 좌미분가능하다고 한다.

Def 4. [미분가능함수]

함수 $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ 가 $(a, b)$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $f$ 를 $(a, b)$ 에서 미분가능 함수라고 한다.
함수 가 다음 조건들을 만족하면 를 에서의 미분가능 함수라고 한다.
- $f$ 는 $(a, b)$ 에서의 미분가능함수이다.
- $f$ 는 $x = a$ 에서 우미분가능하다
- $f$ 는 $x = b$ 에서 좌미분가능하다.

미분계수의 연산

$f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 $a \in D$ 에서 미분가능하면 $f + g, f - g, fg, {f \over g} (g \neq 0)$ 도 미분가능하고 다음이 성립한다.

$(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)$
$(f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)$
$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ (곱의 미분법)
$({f \over g})'(a) = {f'(a)g(a) - f(a)g'(a) \over \{g(a)\}^{2}}$ (몫의 미분법)

주요 정리

Thm 1. [미분가능성과 연속성]

$f$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 연속이다. (불연속이면 미분 불가)

Thm 2. [극점과 미분계수]

$f : D \to \mathbb{R}$ 일 때 $f$ 가 $D$ 의 내부점 $x = a$ 에서 극값을 갖고 미분가능하면 $f'(a) = 0$ 이다.

Thm 3. [연쇄법칙]

함수 $f$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $f(a)$ 에서 미분가능하면 합성함수 $g \circ f$ 는 $x = a$ 에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

$(g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a)$

Lemma. 함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 이 $x = a(\in D)$ 에서 미분가능하다

$\Rightarrow \exists g, g(a) = f'(a). s.t. \forall x \in D, f(x) = f(a) + g(x) (x - a)$

$g$ 는 $x = a$ 에서 연속

도함수

도함수의 정의

함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 가 임의의 점 $x \in D$ 에서 미분 가능할 때, 함수

$f'(x) = {df \over dx} = \lim_{y \to x} {f(y) - f(x) \over y - x}$

를 함수 $f$ 의 도함수라 한다.

$f''(x)$ 는 이계도함수, $f'''(x)$ 는 삼계 도함수 $f^{(4)}(x)$ 는 사계도함수… $f^{(n)}(x)$ 는 n계 도함수라고 한다.

여러 함수의 도함수

$c' = 0 (c \in \mathbb{R})$
- 실수이므로 무리수에 대해서도 성립 $(x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}$
- 복소수에 대해서는 복소해석학에서 봐야 함
$(a^{x})' = a^{x} \ln a, (e^{x})' = e^{x}$ ( $\because \ln e = 1$ )
$(\log_{a} x)' = {1 \over x \ln a}, (\ln x)' = {1 \over x}$ ( $\because \ln e = 1$ )
$(\sin x)' = \cos x, (\csc x)' = -\csc x \cot x$
$(\cos x)' = - \sin x, (\sec x)' = \sec x \tan x$
$(\tan x)' = \sec^{2} x, (\cot x)' = - \csc^{2} x$
$(x^{x})' = x^{x} (1 + \ln x)$

평균값 정리

평균값 정리란 평균변화율과 순간변화율의 관계에 대한 것
이 정리에서 파생되는 정리가 많기 때문에 대단히 중요한 정리다.

Thm 1. [롤의 정리]

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하다고 할 때, 다음 명제는 참이다.

$f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b), s.t. f'(c) = 0$

연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 그 구간의 시작점과 끝점이 동일할 경우, 순간변화율이 0이 되는 점이 1개 이상 존재한다.

Thm 2. [평균값 정리]

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하면 다음이 성립하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다.

$f'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a}$

평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 버전. 평균값 정리에서 시작점과 끝점의 값이 동일할 경우 롤의 정리가 된다.
연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 구간 내에 구간의 평균변화율과 동일한 순간변화율을 갖는 점이 1개 이상 존재한다.

코시 평균값 정리

코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 확장한 버전

Thm 1. [코시 평균값 정리]

$f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분가능하면 다음이 성립하는 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다.

$\{ f(b) - f(a) \} g'(c) = \{ g(b) - g(a) \} f'(c)$

$\Rightarrow f(x)g'(c) = g(x)f'(c)$ (양변에 분모로 $b - a$ 를 넣어줌)

$\Rightarrow {f(x) \over g(x)} = { f'(c) \over g'(c) }$

두 함수의 도함수의 값을 갖게 해주는 상수가 존재한다.
위의 식에서 $g(x) = x$ 인 경우가 평균값 정리가 된다. 다시 말해 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 $g(x) = x$ 인 특수한 경우가 됨

Thm 2. [로피탈의 정리]

극한이 ${0 \over 0}, {\infty \over \infty}$ 꼴을 가질 때 부정형이라고 하는데, 이러한 꼴을 쉽게 풀 수 있게 해주는 방법
로피탈 정리는 요한 베르누이의 수학 업적 중 하나인데, 이를 귀족이었던 로피탈이 당시 가난에 시달리던 베르누이의 일생의 모든 연구를 모두 사서 자신의 이름으로 발표한 것. 오일러가 바로 이 요한 베르누이의 제자

$f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 다음을 만족한다.

$D$ 에서 연속함수이고 $D - \{a\}$ 에서 미분가능함수이다.
다음 두 명제 중에 하나가 성립한다.
1. $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
2. $\lim_{x \to a} \|f(x)\| = \lim_{x \to a} \|g(x)\| = \infty$

그러면 $a, L \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)} = L \Rightarrow \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = L$

위와 같은 꼴일 때, 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같다
도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같기 때문에, 로피탈 정리를 한 번 써서 해결이 안되면 한 번 더 써도 무방하다. 다시 말해 부정형에서 벗어날 때까지 계속 미분해서 값을 구한다. 바꿔 말하면 부정형이 아닌 상태( ${0 \over 0}, {\infty \over \infty}$ 이 아닌 형태)에서는 로피탈 정리를 써서는 안 된다. 주의!

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이상엽/ 해석학/ 극한과 연속

BY suyeongpark

함수의 극한

무한소와 극한

무한소란 ‘무한히 작은 수’를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
- 아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
- 무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
- 예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 $\epsilon-\delta$ 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
- 초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
- 비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념

극한의 정의

Def 1. [수렴과 극한(값)]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 극한(값) $L$ 로 수렴한다고 하고 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 로 표기한다.

수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.

$\| x - a \|$ 가 0이 되어버리면 $f(a)$ 가 되어버리기 때문에 $\| x - a \|$ 는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
$\forall \epsilon > 0$ 에 대하여 $\| f(x) - L \| < \epsilon$ 가 성립하려면 $\| f(x) - L \|$ 는 0이 되어야 한다.
고로 극한값 $L$ 은 $f(a)$ 의 값과 완전히 동일한다. $L$ 이 $f(a)$ 에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.

Def 2. [우극한과 좌극한]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우극한 $L$ 을 갖는다고 하고 $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L$ 로 표기한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon$

이 성립하면 $\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a{-}) = L$ (좌극한)

우극한은 $x$ 가 $a$ 보다 큰거고, 좌극한은 $x$ 가 $a$ 보다 작은 것

Def 3.

$a, L \in \mathbb{R}$ 라 하자

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow \|f(x) - L\| < \epsilon$ 일 때 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
$\forall M > 0, \exists \delta > 0, s.t. 0 < \|x - a|\ < \delta \Rightarrow f(x) > M$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
$\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow f(x) > M$ 일 때 $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

일반적으로 임의의 작은 양수는 $\epsilon$ 을 쓰고 임의의 큰 양수는 $M$ 을 쓴다.

극한의 연산

$A, B \in \mathbb{R}$ 이고 $f, g : D \to \mathbb{R}$ 이며 $a \in D$ 라 하자.

$\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B$ 이면 다음이 성립한다.

$\lim_{x \to a} { f(x) + g(x) } = A + B$
$\lim_{x \to a} { f(x) - g(x) } = A - B$
$\lim_{x \to a} f(x) g(x) = AB$
$\lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = {A \over B}$

삼각부등식
- $\| a + b \| \leq \|a\| + \|b\|$
- $\| a - b \| \geq \|a\| - \|b\|$

주요 정리

Thm 1. [극한의 유일성]

$f : D \to \mathbb{R}, a \in D$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x)$ 가 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

Thm 2. [샌드위치 정리]

$\forall x \in D, f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ 이고

$L \in \mathbb{R}$ 일 때 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ 이면 $\lim_{x \to a} g(x) = L$ 이다.

함수의 연속

극한과 함수값이 같을 때 연속이라고 정의

연속의 정의

Def 1. [점 연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 연속이라 한다.

$a \in D$ 라는 것이 $f(a)$ 가 정의된다는 뜻
극한과 다른 부분이 $\|x-a\| < \delta$ 부분으로, 극한에서는 0보다 커야 하지만 연속에서는 0이 됨.
$\|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon$ 은 $f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$ 와 동일한 의미. $a$ 에서의 $f(x)$ 의 극한 값이 $f(a)$ 와 동일하다.

ex) $D = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ 일 때, $f : D \to \mathbb{R}, f(x) = -x + 3$ 이면 $f$ 는 $x = 2$ 에서 연속임을 증명하라

$\forall \epsilon > 0, Let. \delta = { 1 \over 2 } ( > 0)$

$Then. \| x - 2 \| < \delta (= {1 \over 2}) \ \forall \epsilon > 0, let \delta = { 1 \over 2 } \Rightarrow x = 2 \in D \$

$\therefore \| f(x) - f(2) \| = |\ f(2) - f(2) | = 0 < \epsilon$

위 정의역의 원소들은 불연속적이지만, $x = 2$ 일때 연속임이 증명된다.

Def 2. [우연속과 좌연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 우연속이라 한다.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $x = a$ 에서 좌연속이라 한다.

Def 3. [연속함수]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $X \subseteq D$ 라 하자.

만약 $f$ 가 $X$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 는 $X$ 에서 연속이라 한다.
만약 가 의 모든 점에서 연속이면 는 연속함수라 한다.
- 모든 점에서 연속임을 증명 하는 방법
  1. $x = a$ 에서 연속임을 보인다.
  2. $a$ 가 정의역에서 임의의 점임을 보인다.

Def 4. [불연속점의 종류]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이고 $a \in D$ 라 하자.

[제 1종 불연속점]

인 를 제거 가능 불연속점이라 한다.
- 그 한 점에서만 새로 정의를 해주면 연속으로 만들 수 있다.
- 전체에서 문제가 되는 점이 한 점 뿐이라면 (수학에서도) 무시할 수 있다.
$\lim_{x \to a^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x)$ 인 $x = a$ 를 비약 불연속점이라 한다.

[제 2종 불연속점]

$\lim_{x \to a^{+}} f(x)$ 와 $\lim_{x \to a^{-}} f(x)$ 중에 적어도 하나가 존재하지 않는다.

균등 연속 (uniformly continuous)

Def. [균등 연속]

$f : D \to \mathbb{R}$ 이라 하자.

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x, y \in D, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \epsilon$

이 성립하면 $f$ 는 $D$ 에서 균등 연속이라 한다.

Thm. $f$ 가 $D$ 에서 균등 연속이면 연속이다.

연속함수의 연산

$a \in D$ 이고 $f, g : D \to \mathbb{R}$ 가 $x = a$ 에서 연속일 때 다음이 성립한다.

$f + g$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$f - g$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$fg$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.
$g(a) \neq 0$ 이면 ${f \over g}$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.

주요 정리

Thm 1. [최대 최소정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속

$\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] s.t. \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})$

연속인 구간 내에서 반드시 최대, 최소를 정의할 수 있다.

Thm 2. [사잇값(중간값) 정리]

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고

$f(a) < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) s.t. f(a) < p < f(b), f(c) = p$

$f(b) < f(a)$ 이면 $f(b) < p < f(a)$

연속인 구간 내의 두 함수 값 사이에 반드시 값이 존재한다.

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이상엽/ 해석학/ 실수체계

BY suyeongpark

자연수

자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

$1 \in \mathbb{N}$
$n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}$
- 1은 자연수의 최소원소
- 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
- 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
- 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
- $1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S)$ 을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
- 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

‘1’과 ‘그 다음 수’는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

$n' = n + 1$ 이라 정의할 때, 명제 $P(n)$ 에 대하여 두 조건

$P(1)$ 이 참
$P(n)$ 이 참 $P(n+1)$ 이 참

이 성립하면 $P(n)$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

정렬성
- 자연수집합 $\mathbb{N}$ 의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
자연수 집합 $\mathbb{N}$ 은 위로 유계가 아니다.
아르키메데스 성질
- $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon$
- 어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다

정리란 참인 명제
성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

정수 집합
- $\mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}$
유리수 집합
- $\mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}$
무리수 집합
- $\mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q}$

(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]

$\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a < r < b$

어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

case 1)
- $a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a)$ (아르키메데스 성질)
- $Let. S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. S \neq \phi$ (위로 유계 아님 성질)
- $\therefore S (\subseteq \mathbb{N})$ 의 최소원소는 $m$ (정렬성 성질)
- $m > na \Leftrightarrow a < {m \over n}$
- $m - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a$
- $\therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b$
case 2)
- 0이 유리수이므로 자명 trivial
case 3)
- $\Rightarrow 0 < -b < -a$
- $\Rightarrow 0 < -b < -a$
- $\therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)$
- $\Rightarrow a < -r < b$

Thm 2. [무리수의 조밀성]

$\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} s.t. a < s < b$

어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

- $\Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}$
- - (유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 $r$ 이 존재)
- $Let. s = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}$
- $Then. a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b$

실수

히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 $S$ 와 $S$ 에 부여된 두 이항연산 $+, \cdot$ 가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 $(S, + \cdot)$ 를 체라 한다.

- 덧셈에 대한 교환법칙
- 덧셈에 대한 결합법칙
- 덧셈에 대한 항등원
- 덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
- 곱셈에 대한 교환법칙
- 곱셈에 대한 결합법칙
- 곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
- 곱셈에 대한 역원
- 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ 와 $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ 는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)

체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 –닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

$\mathbb{R}$ 에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 $P$ 가 존재한다.

- 집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
임의의 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
1. $x \in P$
2. $x = 0$
3. $-x \in P$

위 조건을 만족하면 $P$ 는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]

임의의 $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여

$a - b \in P \Rightarrow a > b \vee b < a$
$a - b \in P \cup \{ 0 \} \Rightarrow a \geq b \vee b \leq a$

순서 공리로부터 부등식을 정리함. $P$ 는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.

Thm. [삼분성질]

임의의 $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.

$a > b$
$a = b$
$a < b$

완비성 공리

Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

$\mathbb{R}$ 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)

Def. [상한] 부분순서집합 $A$ 의 부분집합 $B$ 의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 $B$ 의 상한이라 하고 $sup B$ 로 나타낸다.

유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.

Thm 2. $s \in \mathbb{R}$ 가 집합 $S$ 의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.

$s = sup S$
$\forall \epsilon > 0, \exists x \in S s.t. s - \epsilon < x \leq s$
$\forall \epsilon > 0, S \cap ( s - \epsilon, s ] \neq \phi$

Thm 3. $\mathbb{Q}$ 는 완비성을 갖지 않는다.

완비성 공리로부터 ‘1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2’도 증명 가능하다.

완비성의 예 – 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 $A$ 라 하자 이제

$a_{0} = max \{ x_{0} | x_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}$

$a_{1} = max \{ x_{1} | a_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}$

$...$

$a_{k} = max \{ x_{k} | a_{0}. a_{1} ... a_{k-1} x_{k} x_{k+1} ... \in A \}$

라 하면, 무한소수 $a_{0}. a_{1} a_{2} a_{3} ...$ 은 집합 $A$ 의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.

실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.

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이상엽/ 해석학/ 집합론 복습

BY suyeongpark

집합

현대 수학은 공리 –약속된 명제– 들로부터 논리를 쌓아가는 학문.
수학의 가장 기본이 되는 공리계인 ZFC가 10개의 집합에 대해 서술하고 있음.
대부분의 수학적 대상은 모두 집합으로 정의가 됨.
- 사칙연산은 함수의 일종이고 함수는 집합으로 정의가 됨.

정의

다음 성질들을 만족시키는 원소 $x$ 들의 모임을 집합이라 한다. (아래는 소박한 정의, 현대적 정의는 공리계가 따로 있음)

집합에 속하거나 속하지 않거나 둘 중 하나로써 명확하다.
원소들끼리는 서로 다르다.
원소들끼리는 순서에 따른 구분이 없으며, 연산이 주어지지 않는다.

$x$ 가 집합 $X$ 의 원소이면 $x \in X$ 로 표현하고 원소가 아니면 $x \notin X$ 로 표현한다.
집합 $U$ 의 원소 중에서 명제 $P$ 를 만족시키는 원소로 이루어진 집합 $X$ 를 조건제시법으로 $X = \{ x \in U | P(x) \}$ 라 표현하며, 이때 $U$ 를 전체집합이라 한다.
공집합은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이며, 기호로 $\phi$ 라 표현한다.

집합의 연산

합집합

집합 $I = \{ 1, 2, ... , n \}$ 에 대하여 집합들 $A_{i} (i \in I)$ 의 합집합은 (여기서 $i$ 는 첨수라 하고 그 첨수들 모은 집합인 $I$ 를 첨수족이라 한다)

$\cup_{i \in I} A_{i} = \{ x | \exists i \in I s.t. x \in A_{i} \}$

이고 특히 두 집합 $A$ 와 $B$ 의 합집합을

$A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \}$

라 표현한다.

교집합

집합 $I = \{ 1, 2, ... , n \}$ 에 대하여 집합들 $A_{i} (i \in I)$ 의 교집합은

$\cap_{i \in I} A_{i} = \{ x | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}$

이고 특히 두 집합 $A$ 와 $B$ 의 교집합을

$A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}$

라 표현한다.

곱집합

집합 $I = \{ 1, 2, ... , n \}$ 에 대하여 집합들 $A_{i} (i \in I)$ 의 곱집합은 (데카르트곱 또는 카테시안곱이라고 한다. 카테시안은 데카르트의 라틴어 표현)

$\Pi_{i \in I} A_{i} = \{ (x_{i})_{i \in I} | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}$

여기서 $(x_{i})_{i \in I}$ 는 튜플이라고 한다. 순서쌍이라고도 하는데 순서쌍은 원소가 2개짜리 튜플을 의미.
튜플이란 여러 개 원소를 순서 있게 나열한 것.

이고 특히 두 집합 $A$ 와 $B$ 의 곱집합을

$A \times B = \{ (x_{1}, x_{2}) | x_{1} \in A \wedge x_{2} \in B \}$

라 표현한다.

차집합

집합 $A$ 에 속하지만 집합 $B$ 에는 속하지 않는 원소의 집합을

$A - B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \} = A \cap B^{c}$

라 표현하며, $A$ 와 $B$ 의 차집합이라 한다.

전체집합 $U$ 에 대하여 $U - A = A^{c}$ 라 표현하며 $A$ 의 여집합이라 한다.

다음이 성립한다.
- 드모르간 법칙
  - $(\cup_{i \in I} A_{i})^{c} = \cap_{i \in I} A_{i}^{c}$
  - $(\cap_{i \in I} A_{i})^{c} = \cup_{i \in I} A_{i}^{c}$
- 분배 법칙
  - $A \cap (\cup_{i \in I} B_{i}) = \cup_{i \in I} (A \cap B)$
  - $A \cup (\cap_{i \in I} B_{i}) = \cap_{i \in I} (A \cup B)$
  - $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
  - $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
  - $A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$

포함관계

만약 집합 $A$ 에 속하는 모든 원소가 집합 $B$ 의 원소이기도 하면 $A \subseteq B$ 라 표현하며, $A$ 를 $B$ 의 부분집합이라 한다.
만약 $A \subseteq B$ 이면서 동시에 $B \subseteq A$ 이면 $A = B$ 라 표현하며, $A$ 와 $B$ 가 서로 같다고 한다.
만약 $A \subseteq B$ 이면서 $A \neq B$ 이면 $A \subset B$ 라 표현하며, $A$ 를 $B$ 의 진부분집합이라 한다.
집합 $A$ 의 모든 부분집합들의 집합을 $P(A)$ 라 표현하며 $A$ 의 멱집합이라 한다. (P는 Power Set)
집합 기호
- $\mathbb{N}$ : 모든 자연수의 집합
- $\mathbb{Z}$ : 모든 정수의 집합
- $\mathbb{Q}$ : 모든 유리수의 집합
- $\mathbb{R}$ : 모든 실수의 집합
- $\mathbb{C}$ : 모든 복수수의 집합

함수

정의

두 집합 $X, Y$ 에 대하여 아래 두 조건을 만족하는 $X \times Y$ 의 부분집합 $f$ 를 함수라 한다. (두 집합의 곱집합의 부분집합이 함수가 됨)

- (모든 $x$ 가 $y$ 값을 갖는다)
- ( $x$ 가 $y$ 값을 1개만 갖는다)

이때 함수를 $f : X \to Y$ 라 표현하며, $(x, y) \in f$ 이면 $y = f(x)$ 라 표현한다.

집합 $A \subseteq X$ 및 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여 $f(A) = \{ f(a) | a \in A \}$ 를 $A$ 의 상(Image)이라 한다.
집합 $B \subseteq Y$ 및 함수 $f: : X \to Y$ 에 대하여 $f^{-1}(B) = \{ x \in X | f(x) \in B \}$ 를 $B$ 의 원상(Pre Image)이라 한다.
$f : X \to Y$ 에서 $X$ 를 정의역(Domain) $Dom(f)$ , $Y$ 를 공역(Codomain) $f(X) = \{ f(x) | x \in X \}$ 를 치역(Range) $Rng(f)$ 라 한다.

함수의 종류

함수 $f : X \to Y$ 에 대하여

전사:
- (치역 = 공역, 남는 $y$ 가 없다)
단사:
- ( $y$ 도 $x$ 를 1개씩 갖는다)
전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일대응이라고도 한다.

1
- $Y$ 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
- $Y$ 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
- 고로 전사도 단사도 아님
2
- $Y$ 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
- $Y$ 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
- 고로 단사지만 전사는 아님. 단사 함수.
3
- $Y$ 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
- $Y$ 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
- 고로 전사지만 단사는 아님. 전사 함수
4
- $Y$ 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
- $Y$ 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
- 고로 전단사(일대일 대응) 함수가 됨.

여러 가지 함수

항등함수:
- (자기 자신이 그대로 나오는 함수)
상수함수:
- (어떠한 값을 넣어도 항상 상수가 나옴)
역함수: 전단사인 에 대해
- (함수를 뒤집은 함수인데, 전단사여야만 역함수가 가능)
합성함수: 두 함수 $f : X \to Y, g : Y \to Z$ 와 $\forall x \in X, (g \circ f)(x) = g(f(x))$

집합의 크기

정의

집합의 크기란 집합의 원소 개수에 대한 척도이다.
두 집합 $X, Y$ 에 대하여 전단사함수 $f : X \to Y$ 가 존재하면 $X$ 와 $Y$ 는 동등이며, $X \approx Y$ 라 표현한다.
집합 $X$ 의 적당한 진부분집합 $Y$ 가 $X$ 와 동등하면 $X$ 는 무한집합이다.
무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.
집합 $X$ 가 $X \approx \mathbb{N}$ 일 때 $X$ 를 가부번집합이라 한다.
유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다.
가부번집합이 아닌 무한집합을 비가산집합이라 한다.

여러 가지 정리

$\mathbb{N} \approx \mathbb{Z} \approx \mathbb{Q}$
$\mathbb{R}$ 는 비가부번집합이다.
$\mathbb{R} \approx \mathbb{R} - \mathbb{Q} \approx \mathbb{C}$
칸토어의 정리: 공집합이 아닌 임의의 집합 $X$ 에 대하여 $P(X)$ 의 크기는 $X$ 의 크기보다 크다.
$P(\mathbb{N}) \approx \mathbb{R}$

순서관계

(기본적인 집합에 연산구조, 순서구조, 위상구조 등을 부여할 수 있음)

순서집합

아래 조건들을 만족하는 집합 $X$ 위의 이항 관계 $\leq$ 를 부분순서관계라 한다.

- (반사적, reflexive)
- (추이적, transitive)
- (반대칭적, antisymmetric)

부분순서관계 $\leq$ 를 갖춘 집합을 부분순서집합이라 한다.
부분순서집합 $X$ 의 어떤 두 원소 $x, y$ 가 $x \leq y \vee y \leq x$ 을 만족하면 $x$ 와 $y$ 는 비교가능하다고 한다.
부분순서집합 $X$ 의 임의의 두 원소가 비교가능하면 $X$ 를 전순서집합이라 한다.

상(하)계, 극대(소), 최대(소)

부분순서집합 $X$ 의 부분집합 $A$ 에 대하여

$\forall a \in A, a \leq x$ 를 만족하는 $x \in X$ 를 $A$ 의 상계(upper bound)라 한다.
상계가 존재하는 $A$ 를 ‘위로 유계(bounded)이다’라고 한다.
위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 집합을 유계집합이라 한다.
$a > m$ 인 $a \in A$ 가 존재하지 않을 때 $m \in A$ 를 $A$ 의 극대원소라 한다.
$\forall a \in A, a \leq g$ 인 $g \in A$ 를 $A$ 의 최대원소라 한다.

각 항목의 부등호 방향을 바꿔주면 각각 하계(lower bound), 아래로 유계, 유계집합, 극소원소, 최소원소의 정의가 된다.

집합 A의
- 상계: l, m, n
- 최소상계: l
- 하계: a, d, e, f
- 최대하계: 없음
- 극대: j, k
- 극소: g
- 최대: 없음
- 최소: g

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이상엽/ 선형대수학/ 자료의 처리

BY suyeongpark

우선순위 평가

인접행렬

개념

요소간의 연결 관계를 나타내는 정사각 행렬

참조한 (화살표가 나가는) 쪽은 행에, 참조된 (화살표를 받는) 쪽은 열에 쓴다.
- 1은 2와 3으로 화살표를 쏘고 있으므로, 1행은 2열과 3열에 값이 있음.

권위벡터와 허브벡터

$n \times n$ 인접행렬 $A = (a_{ij})$ 에 대하여

$\left( \begin{array}{rrrr} \sum_{i = 1}^{n} a_{i1} \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i2} \\ ... \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{in} \end{array} \right)$ 와 $\left( \begin{array}{rrrr} \sum_{j = 1}^{n} a_{1j} \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{2j} \\ ... \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{nj} \end{array} \right)$ 을 각각 $A$ 의 권위벡터와 허브벡터라 하며, 각 벡터의 성분을 권위 가중치와 허브가중치라 한다.

가중치로부터 중요도를 판단한다는게 아이디어
- 권위 벡터( $u_{0}$ )는 연관받은 (열) 데이터에 대한 벡터가 된다. 그 각각의 값은 권위 가중치가 된다.
- 허브 벡터( $v_{0}$ )는 연관한 (행) 데이터에 대한 벡터가 된다. 그 각각의 값은 허브 가중치가 된다.
권위 벡터와 허브 벡터는 상호작용을 기반으로 계속 값이 업데이트 된다.
- 업데이트 되는 와중에 어떤 기준선에 도달하여 값이 안정되면 최종적으로 그 벡터를 중요도 평가에 사용한다.

순위평가 원리

인접행렬 $A$ 와 초기권위벡터 $u_{0}$ 와 초기허브벡터 $v_{0}$ 에 대하여

$u_{k} = \begin{cases} u_{0} & k =0 \\ {A_{v_{k}}^{T} \over \|A_{v_{k}}^{T}\|} & k > 0 \end{cases}, v_{k} = \begin{cases} v_{0} & k =0 \\ {A_{v_{k-1}} \over \|A_{v_{k-1}}\|} & k > 0 \end{cases}$

현재 권위 벡터는 이전 허브 벡터의 값을 원본 행렬(의 전치 행렬)에 곱하여 구하고, 마찬가지로 현재 허브 벡터는 이전 권위 벡터의 값을 원본 행렬에 곱하여 구한다.
- 이 곱을 반복하여 값을 업데이트 한다.
다만 이것을 점화식을 이용해서 구성하면 자기 자신만 보면 되는 (권위 벡터는 권위 벡터만으로, 허브 벡터는 허브 벡터만으로) 해석적인 결과가 구성되고, 이를 컴퓨터에 넣어서 계속 돌리면 값이 나온다.

와 같이 새로운 정규화된 권위벡터 $u_{k}$ 와 허브벡터 $v_{k}$ 를 정의한다. ( $k$ 는 정수)

이때 $u_{k}, v_{k}$ 를 연립하면 다음과 같이 정규화된 $u_{k}$ 와 $v_{k}$ 의 점화식을 얻을 수 있다.

$u_{k} = {A_{v_{k}}^{T} \over \|A_{v_{k}}^{T}\|} = {A^{T}({A_{u_{k-1}} \over \|A_{u_{k-1}}\|}) \over \|A^{T}({A_{u_{k-1}} \over \|A_{u_{k-1}}\|})\|} = {(A^{T}A)_{u_{k-1}} \over \|(A^{T}A)_{u_{k-1}}\|}$

마찬가지로 $v_{k} = {(AA^{T})_{v_{k-1}} \over \|(AA^{T})_{v_{k-1}}\|}$

이 벡터들이 안정화가 되었다고 판단되는 상태로부터 각각 최종 중요도를 판별한다.

사례

10개의 인터넷 페이지(ㄱ~ㅊ)들 간의 인접행렬 $latex A &s=2가 다음과 같다고 하자.

앞에서 소개된 절차에 따라 $latex A &s=2의 정규화된 권위벡터가 안정화 될 때까지 반복계산한 결과는 다음과 같다.

위 수식은 소숫점 4자리까지만 연산하는데, 에 도달하면 값의 차이가 없기 때문에 더는 연산을 하지 않고 멈춘다.
- 만일 소숫점 자리를 5자리 이상으로 보면 더 돌 수 있다.

따라서 $latex A &s=2 권위가중치로부터 페이지 ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅈ는 관련이 적고, 그 외의 페이지는 중요도가 높은 것부터 ㅁ > ㅇ > ㄴ > ㅊ > ㄷ = ㄹ 순서대로 검색엔진에서 노출되어야 함을 알 수 있다.

요게 바로 구글 페이지 랭크 연산 방식
주요 키워드) 거듭제곱법(power method), 우세 고유벡터/값(dominant eigen vector/value)

자료압축

특잇값 분해

분해

한 행렬을 여러 행렬들의 곱으로 표현하는 것

ex) QR 분해, LU 분해, LDU 분해, 고윳값 분해, 헤센버그 분해, 슈르 분해, 특잇값 분해 등

특잇값

$m \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{n}$ 이 $A^{T}A$ 의 고윳값일 때

$\sigma_{1} = \sqrt{\lambda_{1}}, \sigma_{2} = \sqrt{\lambda_{2}}, ... \sigma_{n} = \sqrt{\lambda_{n}}$

을 $A$ 의 특잇값이라 한다.

고윳값을 만들려면 정사각 행렬이어야 한다. 반면 특잇값은 임의의 행렬에서도 만들어낼 수 있음.
- 일반적인 행렬을 정사각 행렬로 만들기 위해 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 $A^{T}A$ 를 한 후 거기서 특이값을 추출한다.

ex) 행렬 $A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ 에 대하여

$A^{T}A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)$ 이므로

$A^{T}A$ 의 고유방정식은 $\lambda^{2} - 4 \lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ 이다

따라서 $A$ 의 두 특잇값은 각각 $\sqrt{3}, 1$ 이다.

특잇값 분해

영행렬이 아닌 임의의 $m \times n$ 행렬 $A$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$A = U \Sigma V^{T}$

이때 $U, V$ 는 직교행렬이며, $A$ 는 주대각성분이 $\Sigma$ 의 특잇값이고 나머지 성분들은 $0$ 인 $m \times n$ 행렬이다.

여기서 $\Sigma$ 는 합을 의미하는 것이 아니라 $\sigma$ 의 대문자 형태이다. (벡터를 의미하는 $\sigma$ 의 행렬 형태)

ex) 행렬 $A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$ 는 다음과 같이 특잇값 분해된다.

$\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} {\sqrt{6} \over 3} & 0 & - {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & -{\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & {\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} {\sqrt{2} \over 2} & {\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{2} \over 2} & -{\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right)$

축소된 특잇값 분해

특잇값 분해에서 $0$ 인 성분들로만 이루어진, 대수적으로 무의미한 행 또는 열을 제거한 형태를 축소된 특잇값 분해라고 한다.

즉, $A = U_{1} \Sigma_{1} V_{1}^{T} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k}) \left( \begin{array}{rrrr} \sigma_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \sigma_{k} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} v_{1}^{T} \\ v_{2}^{T} \\ ... \\ v_{k}^{T} \end{array} \right)$

또한 축소된 특잇값 분해를 이용하여 행렬 $A$ 를 다음과 같이 전개한 것을 $A$ 의 축소된 특잇값 전개라 한다.

$A = \sigma_{1}u_{1}v_{1}^{T} + \sigma_{2}u_{2}v_{2}^{T} + ... + \sigma_{k}u_{k}v_{k}^{T}$

ex)

$= \left( \begin{array}{rrr} {\sqrt{6} \over 3} & 0 \\ {\sqrt{6} \over 6} & -{\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{6} \over 6} & {\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} {\sqrt{2} \over 2} & {\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{2} \over 2} & -{\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right)$

$= \sqrt{3}u_{1}v_{1}^{T} + u_{2}v_{2}^{T}$

자료압축 원리

압축되지 않은 $m \times n$ 행렬 $A$ 를 위한 필요 저장 공간은 $mn$ 이다.

$A$ 를 축소된 특잇값 분해한 결과가 $A = \sigma_{1}u_{1}v_{1}^{T} + \sigma_{2}u_{2}v_{2}^{T} + ... + \sigma_{k}u_{k}v_{k}^{T}$ 라면

이제 필요한 저장 공간은 $k + km + kn = k(1 + m + n) (\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq ... \geq \sigma_{k})$ 이다.

$k$ 는 특잇값 개수 = $\Sigma$ 의 행개수 or 열개수
$m$ 은 $U$ 의 행 개수 = $u_{i}$ 의 성분개수
$n$ 은 $V^{T}$ 의 열 개수 = $v_{i}^{T}$ 의 성분개수

충분히 작다고 판단되는 $\sigma_{r+1}, ... \sigma_{k}$ 에 대응하는 항들을 추가로 제거하면, 이때 필요한 저장 공간은 $r(1 + m + n)$ 뿐이다.

배우기

이상엽/ 선형대수학/ 최적화 문제

BY suyeongpark

곡선 적합

보간법

개념

주어진 특징 점들을 포함하는 함수를 구하는 방법

정리) 좌표평면에 있는 임의의 서로 다른 $n$ 개의 점을 지나는 $k$ 차 다항함수는 유일하게 존재한다. (단 $k$ 는 $k < n$ 인 자연수)

사례

네 점 $(1, 3), (2, -2), (3, -5), (4, 0)$ 을 모두 지나는 3차 함수

$f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$

를 구하자. 우선 다음의 방정식을 세운다.

Step 1)

$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & x_{3}^{3} \\ 1 & x_{4} & x_{4}^{2} & x_{4}^{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array} \right)$

Step 2) 네 점을 대입하고 첨가행렬을 만든다.

$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right)$

Step 3) 첨가행렬을 가우스-조던 소거법을 이용하여 풀이한다.

$\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)$

Step 4)

$a_{0} = 4, a_{1} = 3, a_{2} = -5, a_{3} = 1$ 이므로 $f(x) = 4 + 3 x - 5 x^{2} + x^{3}$ 이다.

곡선 접합은 현재 가진 데이터에 대해 분석은 잘 할 수 있지만, 신규 데이터가 현재 그려 놓은 곡선 위에 존재한다는 보증이 없음. 유연성이 매우 떨어진다.
- 애초에 데이터를 모두 포함하는 함수가 존재하지 않는 경우도 많음.

최소제곱법

곡선 접합의 단점을 보완할 수 있는 방법.
가우스가 창안한 방법으로 가우스는 이 방법을 통해 소행성 ‘세레스’ 의 궤도를 정확히 예측해 냄.

개념

특징 점들을 포함하는 함수를 특정 지을 수 없을 때, 실제 해와의 오차 제곱 합이 최소가 되는 근사적인 해를 구하는 방법

정리) 방정식 $Ax = B$ 을 변형한 방정식 $A^{T}Ax = A^{T}B$ (정규방정식)의 모든 해는 $Ax = B$ 의 최소제곱해이다.

요게 결국 선형회귀이다.
$A^{T}Ax = A^{T}B$ (정규방정식)의 모든 해는 $Ax = B$ 의 최소제곱해이라는 부분은 증명이 복잡하므로 강의 상에서는 생략.

사례

네 점 $(0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4)$ 에 근사하는 일차 함수 $f(x) = a_{0} + a_{1} x$ 을 구하자. 우선 다음의 방정식을 세운다.

Step 1) $Ax = B$

$\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \\ 1 & x_{3} \\ 1 & x_{4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{0} \\ a_{1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array} \right)$

Step 2) 네 점을 대입하고 정규방정식 $A^{T}Ax = A^{T}B$ 으로부터 방정식 $x = (A^{T}A)^{-1} A^{T}B$ 을 구성한다.

$A^{T}A = \left( \begin{array}{rr} 4 & 6 \\ 6 & 14 \end{array} \right)$ 이므로

$(A^{T}A)^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 4 & 6 \\ 6 & 14 \end{array} \right)^{-1} = {1 \over 10} \left( \begin{array}{rr} 7 & -3 \\ -3 & 2 \end{array} \right)$

$\therefore x = {1 \over 10} \left( \begin{array}{rr} 7 & -3 \\ -3 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right)$

Step 3) $x = \left( \begin{array}{rr} a_{0} \\ a_{1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} {2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right)$ 이므로 구하고자 하는 함수는 $f(x) = {3 \over 2} + x$ 이다.

n차 일반화

$m$ 개의 자료점 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ... , (x_{m}, y_{m})$ 에 대해 $n$ 차 다항식 $y = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}$ 을 최소제곱법을 이용하여 근사하기 위해서는 $Ax = B$ 를

$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} & ... & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & ... & x_{2}^{n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_{m} & ... & x_{m}^{n} \end{array} \right), x = \left( \begin{array}{rrrr} a_{0} \\ a_{1} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ ... \\ y_{m} \end{array} \right)$

로 설정하면 된다.

두 방법의 비교

	보간법	최소제곱법
목표	데이터를 모두 포함하는 함수	데이터의 경향을 반영하는 함수
데이터의 수	적을 수록 좋음	많아도 무방함
정밀도	매우 높음	상대적으로 낮음
신축성	조절이 어려움	조절이 자유로움

이차형식의 최적화

이차형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 에 대해 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $Q : V \to K$

- $Q(kv) = k^{2} Q(v)$
- $Q(u + v + w) = Q(u + v) + Q(v+w) + Q(u+w) - Q(u) - Q(v) - Q(w)$
- $Q(kv + lv) = k^{2} Q(u) + l^{2} Q(v) + kl Q(u+v) - klQ(u) - klQ(v)$

ex 1) $R^{2}$ 상의 일반적인 이차형식은 다음과 같다.

$a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + 2a_{3}x_{1}x_{2} \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} x_{1} & x_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{1} & a_{3} \\ a_{3} & a_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right)$

ex 2) $R^{3}$ 상의 일반적인 이차형식은 다음과 같다.

$a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + a_{3}x_{3}^{2} + 2a_{4}x_{1}x_{2} + 2a_{5}x_{1}x_{3} + 2a_{6}x_{2}x_{2}$

$\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} a_{1} & a_{4} & a_{5} \\ a_{4} & a_{2} & a_{6} \\ a_{5} & a_{6} & a_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right)$

제약된 극값

개념

특정 제약 하에 결정되는 원하는 식의 최댓값 또는 최솟값

정리) $n \times n$ 행렬 $A$ 의 고윳값을 큰 순서대로 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{n}$ 이라 하자. 이때 $\|v\| = 1$ 제약 하에 $v^{T}Av$ 의 최댓(솟)값은 $\lambda_{1} (\lambda_{n})$ 에 대응하는 단위고유벡터에서 존재한다.

사례

제약 $x^{2} + y^{2} = 1$ 하에서

위 제약 조건은 $\vec{v} = (x, y)$ 로 정한 것과 같다. $\|v\| = 1$ 이 된다.

$z = 5 x^{2} + 5 y^{2} + 4xy$

의 최댓값과 최솟값을 구하자. 우선 $z$ 를 이차형식 $v^{T} Av$ 형태로 변환한다.

Step 1) $a_{1}x^{2} + a_{2}y^{2} + 2a_{3}xy$

$\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} x & y \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{1} & a_{3} \\ a_{3} & a_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right) = v^{T} A v$

즉, $z = \left( \begin{array}{rr} x & y \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)$

Step 2) 행렬 $A = \left( \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right)$ 의 고윳값과 고유벡터를 구한다.

$\Rightarrow \begin{cases} \lambda_{1} = 7 & v_{1} = (1, 1) \\ \lambda_{2} = 3 & v_{2} = (-1, 1) \end{cases}$

Step 3) 고유벡터를 정규화한다.

$\Rightarrow \begin{cases} \lambda_{1} = 7 & v_{1} = ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \\ \lambda_{2} = 3 & v_{2} = (-{1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \end{cases}$

Step 4) 따라서 $(x, y) = ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}})$ 일 때 $z$ 는 최댓값 7을 갖고, $(x, y) = (-{1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}})$ 일 때 $z$ 최솟값 3을 갖는다.

물론 $v_{1} = (-1, -1), v_{2} = (1, -1)$ 등으로 설정해도 무방하며, 최댓(솟)값은 변하지 않는다.