김영길/ 프리드버그 선형대수학/ field, vector space
1.1 개론
Vector
- 물리에서의 Vector – 크기와 방향이 있는 것
- 수학에서의 Vector –
Field (체)
- 아래의 조건을 만족하는 집합을 Field(체)라고 한다.
- 2개의 이항 연산을 갖고 있음
- 예시는 덧셈과 곱셈이지만 항상 덧셈과 곱셈일 필요는 없다. 여하튼 2개의 연산을 갖고 있고, 두 연산이 이하의 조건을 만족하기만 하면 된다.
- 닫혀 있음
- 2개의 이항 연산이 모두 교환법칙(commutative)이 성립해야 함
- 2개의 이항 연산이 모두 결합법칙(associative)이 성립해야 함
- 2개의 이항 연산에 모두 항등원이 존재해야 함
(additive identity)
(multiplicative identity)
- (연산에 항등원이 존재한다는 것은 해당 연산에 기준점이 존재한다는 의미)
- 2개의 이항 연산에 모두 역원이 존재해야 함
(additive inverse)
(multiplicative inverse)
- 2개의 연산에 대해 분배법칙(distributive)이 성립해야 함
- 2개의 이항 연산을 갖고 있음
Examples of Field
을 정수를
으로 나눈 나머지의 집합이라고 가정할 때,
는 체를 만족한다.
- 마찬가지로
는 체를 만족한다.
- 일반적으로
이 소수인 경우에는 체가 만족된다.
- 정수 집합, 자연수 집합은 Field가 아니다.
1.2 Vector Space
- 벡터 공간은 벡터들의 집합이고 다음 조건을 만족한다.
연산이 정의되어 있음.
는 벡터간의 더하기인데 반해
는 벡터와 스칼라의 곱이기 때문에,
은 이항연산이라는 표현을 하지 않음
에 대하여 (
는 벡터의 원소,
는 체의 원소)
- 닫혀 있음
- 벡터간
연산이 교환법칙이 성립해야 함
- 벡터간
연산이 결합법칙이 성립해야 함
- 벡터간
연산과 벡터-스칼라의
연산이 항등원을 갖고 있어야 함.
- 벡터와 스칼라의
연산에 교환법칙이 성립해야 함
- 스칼라간
과 벡터-스칼라간
는 서로 다른 연산임에 주의
- 벡터와 스칼라 연산에 분배법칙이 성립해야 함
- (일반적으로 벡터와 벡터 공간에 대해 설명할 때, 벡터 공간을 정의하는데 벡터가 필요하고 –벡터와 연산에 대한 집합–, 벡터를 정의하는데 벡터 공간이 필요한데 –벡터는 벡터공간의 원소– 정의가 순환적이라고 느껴진다. 아마도 벡터 공간을 정의할 때 필요한 집합을 임의의 것으로 하고, 그렇게 정의된 벡터 공간에 포함된 원소를 벡터로 정의하는게 맞는 것 같다.)
- 참고) n-tuple 은 체(F)의 원소가 n개 나열된 것을 의미한다.
- (생긴게 비슷하지만 다르니 주의)
- 행렬도 벡터 공간의 정의를 만족하기 때문에 벡터 공간의 원소라 할 수 있다.
(강의는 4판이고, 내가 가진 책은 5판이라 다른 부분이 있어서 책에만 있는 내용 추가)
개론
- 물리적 개념으로 벡터는 크기와 방향을 가진 물리량을 의미.
- 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 벡터가 작용하는 방향은 화살표의 방향으로 나타낸다.
- 두 물리량이 함께 작용할 때, 물리량의 크기 뿐만 아니라 방향을 함께 고려해야 함을 알 수 있는데, 두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다.
- 이 합성벡터를 두 벡터의 합(sum)이라 하며, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙(parallelogram law)라고 한다.
- 시점이
로 일치하는 두 벡터
의 합은 점
에서 시작하는 벡터이고, 이는
와
를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.
- 평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같으므로 벡터
의 종점
는 점
에서 시작하는 벡터
의 종점에 벡터
의 시점을 이여붙여 도달한 것으로 이해할 수 있다.
- 벡터의 합은 해석기하학의 도움을 받아 대수적으로 이해할 수 있다. 두 벡터
와
를 포함하는 평면에
를 원점으로 하는 직교좌표를 부여하자.
- 아래 그림 (a)와 같이 벡터
의 종점을
, 벡터
의 종점을
라 하면, 벡터
의 종점은
이다.
- 아래 그림 (a)와 같이 벡터
- 이제부터 좌표를 사용하여 벡터를 해석할 때 모든 벡터의 시점은 원점이라 가정한다. 시점이 원점이면 종점이 벡터를 결정하므로, 시점을 원점으로 하는 벡터
의 종점을 간단히 점
라 쓰기도 할 것이다.
- 벡터의 합 이외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있는데, 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수 있는 스칼라 곱(scalar multiplication)이다.
- 벡터
를 유향선분으로 이해하자. 0이 아닌 실수
에 대하여 벡터
의 방향은
일 때
의 방향과 같고,
일 때
의 방향과 180도 반대이다.
- 벡터
의 크기는 유향선분
의 크기에
를 곱한 것이다.
- 영이 아닌 두 벡터
에 대하여
인
이 아닌 실수
가 존재할 때, 두 벡터는 평행(parallel)하다. 다시 말해 방향이 같거나 180도 반대인 벡터들은 평행하다.
- 벡터
- 벡터
의 시점이 원점이 되도록 하는 좌표평면을 사용하면 스칼라 곱을 대수적으로 설명할 수 있다. 원점을 시점으로 하는 벡터
의 종점이
일 때,
의 종점은
이다.
- 공간에서 서로 다른 두 점
를 지나는 직선을 생각하자. 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을
라 표기하자.
- 시점이
이고 종점이
인 두 벡터를 각각
라 하자.
- 시점이
이고 종점이
인 벡터를
라 할 때, 시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면
이다.
- 이때
는
를 의미한다.
의 스칼라 곱은
에 평행하지만 크기는
와 다를 수 있다.
- 시점이
- 두 점
를 이은 직선 위 임의의 점은
를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수
에 대하여
의 형태로 표현할 수 있다.
- 반대로
를 시점으로 하는 벡터
의 종점은 두 점
를 지나는 직선 위의 점이다. 따라서 두 점
를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
- 반대로
- 단,
는 임의의 실수이고
는 직선 위 임의의 점
- 한 아래 그림에서 벡터
의 종점
의 좌표는
의 좌표에서
의 좌표를 뺀 것과 같음을 유념하자.
- (벡터로 표현한 직선의 방정식에서
는 시점의 역할을 하고
는 직선의 방향을 의미한다.
는 적절한 실수배로서 벡터의 크기를 결정함)
- 예제 1) 공간좌표 두 점
와
에서
가 시점이고
가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터
의 종점은
이다. 따라서 두 점
를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
(단,
는 임의의 실수)
- 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점
를 생각해 보자. 이 세 점은 하나의 평면을 결정하고, 지금까지 공부한 벡터의 성질을 이용하면 평면의 방정식을 구할 수 있다.
- 시점이
이고 종점이
인 두 벡터를 각각
라 하자.
- 세 점
로 이루어진 평면 위 임의의 점
는
를 시점으로 하고,
형태 (이때
와
는 임의의 실수)인 벡터
의 종점이다.
- 벡터
의 종점은 직선
와 점
를 지나고 직선
와 평행한 직선의 교점이다. (아래 그림) 같은 방식으로
의 종점도 알 수 있다.
- 임의의 실수
에 대하여 벡터
는 세 점
를 포함하는 평면에 위치한다. 따라서 세 점
를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
- 시점이
- 단,
는 임의의 실수이고
는 평면 위 임의의 점
- (직선의 방정식과 마찬가지로
가 시점이 되고 두 벡터가 각각 방향을 의미하게 된다. 실수는 두 벡터의 크기를 의미. 시점을 구할 때와 달리 면이기 때문에 두 벡터를 합한 것이 벡터로 표현한 평면의 방정식이 된다.)
- 예제 2) 공간에서 세 점
를 생각하자.
가 시점이고
가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터의 종점은
이다.
가 시점이고
가 종점인 벡터와 같은 크기와 방향을 가지고 시점이 원점인 벡터의 종점은
이다.
- 따라서 세 점을 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
(단,
는 임의의 실수)
벡터 공간
(벡터 공간의 정의는 위 강의에도 있으니 생략)
이 체
의 원소일 때
꼴의 수학적 대상을
에서 성분을 가져온
순서쌍(
-tuple)이라 한다.
에서 성분을 가져온 두
순서쌍
과
은
일 때, 같다(equal)고 정의한다.
- 예제 1) 체
에서 성분을 가져온 모든
순서쌍의 집합을
이라 표기한다.
일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은
-벡터 공간이다.
- 따라서
는
-벡터 공간이다. 예컨대
에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
- 같은 방식으로
은
-벡터 공간이다. 예컨대
에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.
의 벡터는 행백터(row vector)
보다 다음과 같은 열벡터 (column vector)로 표현한다.
- 1 순서쌍은
에서 하나의 성분만 가져오므로 체
의 원소로 생각할 수 있다. 따라서
에서 성분을 가져온 1 순서쌍으로 이루어진 벡터공간은
이라 쓰기보다 편하게
라 쓰는 경우가 많다.
에서 성분을 가져온
행렬(matrix)는 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.
- 이때 모든
는
의 원소이다.
인 성분
는 이 행렬의 대각성분(diagonal entry)
- 성분
는 이 행렬의
번째 행(row)
- 성분
는 이 행렬의
번째 열(column)
- 행렬의 각 행은
벡터로, 각 열은
의 벡터로 나타낼 수 있다.
- 더 나아가
의 행벡터를
행렬로,
의 열벡터를
행렬로 나타낼 수 있다.
- 모든 성분이
인
행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하며
로 표기한다.
- 행렬은 이탤릭 대문자(
등)를 사용하여 나타낸다.
의
행
열에 위치한 성분을
라 표기할 것이다.
- 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)라 한다.
- 두
행렬
에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의한다. 모든
에 대하여
이면 두 행렬은 같다.
- 예제 2) 성분이 체
의 원소인 모든
행렬의 집합은
라 표기한다.
일 때 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면
는 벡터공간이다.
- (단,
)
행렬의 합과 스칼라 곱은
과
에서 정의한 연산이 자연스럽게 확장된 것이다.
- 두
행렬을 더하여 얻은 행렬의
행은 처음 두 행렬에서
번째 행벡터들의 합이고,
- 스칼라
를 곱하여 얻은 행렬
의 각 행은 처음 행렬의 각 행벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
- 같은 방식으로 두
행렬을 더하여 얻은 행렬의
열은 처음 두 행렬에서
번째 열벡터들의 합이고,
- 스칼라
를 곱하여 얻은 행렬
의 각 열은 처음 행렬의 각 열벡터에 스칼라를 곱한 것과 같다.
- 두
- 예제 3) 체
의 공집합이 아닌 집합
를 생각하자.
는
에서
로 가는 모든 함수의 집합이다.
에서 모든
에 대하여
일 때, 두 함수
는 같다고 한다.
일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면
는 벡터공간이다.
- 계수가 체
의 원소인 다항식(polynomial)은 다음과 같이 정의한다.
- 이때
은 음이 아닌 정수이고, 각
(
의 계수(coefficient))는
의 원소이다.
이면 다시 말해
이면
는 영 다항식(zero polynomial)이라 한다. 편의를 위해 영 다항식의 차수는
로 정의한다.
- 영 다항식이 아닌 다항식을 살펴보자.
- 이때 다항식의 차수(degree)는 계수가
이 아닌 항의
의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다. 차수가
인 다항식은
꼴이다. (단
는
이 아닌 스칼라)
- 두 다항식
를 살펴보자.
이고 모든
에 대하여
일 때
는 같다고 한다.
가 무한집합일 때,
에서 계수를 가져온 다항식을
에서
로 가는 함수로 볼 수 있다. 이때
에서
의 함수값은 다음 스칼라를 가리킨다.
- 다항함수
은 간단히
또는
라 쓴다.
- 예제 4)
에서 계수를 가져온 두 다항식
를 생각하자.
일 때,
이라 정의하면
를 다음과 같이 쓸 수 있다.
- 두 다항식의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면,
에서 계수를 가져온 모든 다항식의 집합은 벡터 공간이다.
(이때
는 임의의 스칼라)
- 이 벡터공간을
라 쓴다.
- 다음 예제에서 소개하는 벡터공간과
는 본질적으로 같다.
- 예제 5) (임의의 체)
위에서 정의된 수열(sequence)은 자연수 집합을 정의역,
를 공역으로 하는 함수이다. 이 책에서는
인 수열
를
이라 표기할 것이다.
에서 정의된 모든 수열의 집합을
라 하자. 두 수열
과 스칼라
에 대하여 다음과 같이 합과 스칼라 곱을 정의하면
는 벡터 공간이다.
- 예제 6)
일 때,
와
에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
는 덧셈의 교환법칙, 결합법칙과 아래 조건을 만족하지 않으므로 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
- VS8) 모든
와 모든
에 대하여
이다.
- (교재에 벡터 공간의 조건으로 정의되는 조건. 강의에 나오기 때문에 생략)
- VS8) 모든
- 예제 7) 집합
는 예제 6과 같고
와
에 대하여 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하자.
- 아래 조건이 성립하지 않으므로
는 이 연산에 대하여 벡터공간이 아니다.
- VS3) 모든
에 대하여
인
이 존재한다.
- VS4) 각
마다
인
가 존재한다.
- VS5) 각
에 대하여
이다.
- VS3) 모든
- 정리 1.1) 벡터 합의 소거 법칙
이고
일 때
이다.
- (VS3)을 만족하는 벡터
은
의 영벡터(zero vector)라 한다.
- (VS4)를 만족하는 벡터
, 다시 말해
를 만족하는 유일한 벡터
는 덧셈에 의한
의 역벡터(additive inverse)라 하며
로 표기한다.
- 정리 1.2) 모든 벡터공간
에 대하여 다음이 성립한다.
- 모든 벡터
에 대하여
이다.
- 모든 스칼라
와 모든 벡터
에 대하여
이다.
- 모든 스칼라
에 대하여
이다.
- 모든 벡터