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이상엽/ 해석학/ 해석함수

테일러급수 전개

  • (테일러 급수는 멱급수 –다항함수의 급수– 의 한 형태)
  • (어떤 함수가 어떤 한 포인트에서 해석적이라는 것은 그 점에서 테일러급수가 수렴한다는 뜻)
    • (해석적인 함수는 항상 그 함수에 대응되는 테일러급수 전개가 가능하다)

Def. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c - \delta, c + \delta) 에서 함수 f f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이면 f x = c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

Thm. [테일러급수 전개]

함수 f 가 구간 I 에서 해석함수이면 무한 번 미분가능하고 임의의 c \in I 에 대하여 구간 (c  -\delta, c + \delta) 에서

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(c) \over n!}(x - c)^{n}

을 만족시키는 \delta > 0 이 존재한다. 이때 우변의 멱급수를 해석함수 f 의 테일러급수라 하고, 특히 c = 0 인 경우에는 매클로린급수라 한다.

  • (멱급수에서 a_{n} = {f^{(n)}(c) \over n!} 형태로 정의한 것이 테일러급수. 함수가 해석적이라면 위와 같이 a_{n}을 변환할 수 있다는 뜻)
  • (함수 f 가 해석적이면 f 는 무한번 미분 가능. 그러나 f 가 무한번 미분 가능하다고 해서 f 가 해석적인 것은 아님)

해석함수와 연산

여러가지 해석함수

  • (아래와 같은 각종 함수를 테일러급수 형태로 전개가 가능함. 다시 말해 다항함수로 표현 가능. 다만 정의된 구간 안에서만 가능)

{1 \over x} = 1 + (1-x) + (1-x)^{2} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty}(1-x)^{n}, (0 < x < 2)

\sqrt{x} = 1 - {1-x \over 2} - {(1-x)^{2} \over 8} - {(1-3)^{3} \over 16} - ... (0 < x < 2)

참고) y = {1 \over x} y = \sum_{k=0}^{n} (1-x)^{k} 의 그래프 비교

e^{x} = 1 + x + {x^{2} \over 2!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {x^{n} \over n!}, (-\infty < x < \infty)

\ln x = (x-1) - {(x-1)^{2} \over 2} + {(x-1)^{3} \over 3} - ... \\= \sum_{n=1}^{\infty} {(-1)^{n+1} \over n}(x-1)^{n}, (0 < x \leq 2)

참고) y = e^{x} y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

참고) y = \ln x y = \sum_{k=0}^{n} {x^{k} \over k!} 의 그래프 비교

\sin x = x - {x^{3} \over 3!} + {x^{5} \over 5!} - {x^{7} \over 7!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n + 1)!} x^{2n+1}, (-\infty < x < \infty)

\cos x = 1 - {x^{2} \over 2!} + {x^{4} \over 4!} - {x^{6} \over 6!} + ... \\= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over (2n)!} x^{2n}, (-\infty < x < \infty)

참고) y = \sin x y = \sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k} x^{2k+1} \over (2k+1)!} 의 그래프 비교

해석함수의 연산

Thm 1. [해석함수의 사칙연산]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적이면 다음이 성립한다.

  1. cf, f \pm g, fg I \cap J 에서 해석적이다. (단 c 는 상수)
  2. g(x_{0}) \neq 0 x_{0} \in I \cap J 에 대해 {f \over g} x = x_{0} 의 근방에서 해석적이다.

Thm 2. [해석함수의 합성]

함수 f 는 개구간 I 에서 해석적이고 g 는 개구간 J 에서 해석적일 때, f(I) \subset J 이면 합성함수 g \circ f I 에서 해석적이다.

이상엽/ 해석학/ 함수열과 멱급수

정의

Def 1. [함수열과 함수열급수]

\emptyset \neq D \subset \mathbb{R} 이고 모든 n \in \mathbb{R} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 일 때 \{f_{n}\} D 에서의 함수열이라 한다.

또한 \{f_{n}\} 이 함수열일 때 \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} 을 함수열 급수라 한다.

  • (쉽게 말해서 수열의 형태로 묶은 함수를 함수열이라고 한다. 그렇게 만들어진 함수열은 급수형태로도 표현 가능)

Def 2. [멱급수]

실수 c 와 수열 \{a_{n}\} 에 대하여 함수열 \{f_{n}\}

f_{n} (x) = a_{n}(x - c)^{n}

과 같이 표현될 때의 함수열 급수

\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

를 멱급수라 한다.

  • (함수열이 다항함수의 형태로 구성될 때 멱급수라고 한다)
  • (멱은 power의 번역인데, 덮어씌워지는 것, 누적되는 것이라 이해하면 된다)

Def 3. [해석함수]

어떤 \delta > 0 에 대하여 (c-\delta, c+\delta) 에서 함수 f 가 멱급수로 표현될 수 있으면,

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x-c)^{n} 이면 f x=c 에서 해석적이라 한다.

또한 함수 f 가 열린구간 I 의 모든 점에서 해석적이면 f I 에서의 해석함수라 한다.

  • (멱급수로 표현 가능한 것을 해석함수라고 한다)

점별, 균등수렴

  • (f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) + f_{3}(x) + ... 과 같은 형태로 분해가 가능할 때 해석함수라고 한다.)
    • (물론 이것이 의미가 있으려면 함수 f(x) 가 수렴성을 가져야 함. 그래서 우선은 수렴성을 판단해야 한다)
  • (이렇게 되면 함수 f(x) 를 보지 않고 그 분해된 각각의 \{f_{n}(x)\} 들을 보고 그 합으로써 f(x) 를 이해할 수 있다.)
  • (라고 수학자들이 최초에 생각했으나, f(x) 의 하위 $latex  f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), … &s=2$이 모두 연속이거나 미분, 적분 가능해도 정작 그 하위 함수들의 합인 함수 f(x) 는 연속이지도, 미분, 적분가능하지 않을 수 있는 Case가 계속 발견되었음)
  • (그래서 어떻게 해야 하위 함수들의 성질을 그대로 원래 함수에도 적용할 수 있을지를 고민했고 그런 것이 적용 가능한 경우를 바이어슈트라스가 발견해서 균등수렴이라고 정의 함. 그것이 안되는 기존의 수렴은 점별수렴이라고 한다.)

함수열의 수렴

Def. [점별수렴과 균등수렴]

\{f_{n}\} \{f_{n}\} 가 각각 \{f_{n}\} 에서 정의된 함수열과 함수라 하자

  1. 임의의 x \in D 와 임의의 \epsilon > 0 에 대해 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 을 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 점별수렴한다고 한다. 이때 f \{f_{n}\} 의 극한함수라 하고, f(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) 로 표현한다.
  2. 임의의 \epsilon > 0 에 대하여 n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon 를 임의의 x \in D 에 대하여 만족시키는 자연수 N 이 존재하면 \{f_{n}\} D 에서 f 로 균등수렴한다고 한다.

Thm. \{f_{n}\} D 에서 균등수렴하면 점별수렴한다.

함수열급수의 수렴

Thm 1. [코시판정법]

f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 떄, 다음 조건을 만족하는 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}

with, m > n \geq \mathbb{N}, \forall x \in D, |\sum_{k=n+1}^{m} f_{k}(x)| < \epsilon

Thm 2. [바이어슈트라스판정법]

n \in \mathbb{N} 에 대하여 f_{n} : D \to \mathbb{R} 이라 할 때, 적당한 양의 상수 M_{n} > 0 이 존재하여 모든 x \in D 에 대하여 |f_{n}(x) | \leq M_{n} 이고 \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty 이면 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} D 에서 균등수렴한다.

멱급수

  • (해석함수는 멱급수로 표현되는 함수)
  • (멱급수란 함수열급수 중에서 다항 함수로 표현되는 급수)

멱급수의 수렴

Thm 1. [근판정법]

모든 n \in \mathbb{N} 에 대하여 a_{n} \geq 0 이고 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = M 일 때 다음이 성립한다.

  1. M < 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 수렴한다.
  2. M > 1 이면 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 은 발산한다.
  • (M = 1 인 경우에서는 수렴, 발산법을 알 수 없음. 직접 계산해 봐야 함)

Cor. [멱급수의 수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 에 대하여 \alpha = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} 일 때, R = {1 \over \alpha} 라 하면 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

  1. |x - c| < R 에서 절대수렴한다.
  2. |x - c| > R 에서 발산한다.

\alpha = 0 이면 R = \infty \alpha = \infty 이면 R = 0 으로 간주한다.

  • (어떤 구간에 대해 수렴 여부 판정. 여기서 R은 수렴 반지름이라고 한다)
  • (여기서 절대수렴은 점별수렴에 대한 것이다)

Def. [수렴반지름과 수렴구간]

Cor에서 구한 R 을 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이라 하고 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 이 수렴하는 점들 전체의 집합을 수렴구간이라 한다.

Thm 1. [수렴반지름과 균등수렴]

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름을 R 이라 하고 0 < r < R 일 때 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [c-r, c+r] 에서 균등수렴한다.

  • (수렴 반지름 안에 속하는 폐구간은 균등수렴한다)

멱급수의 연속

Thm 1. [함수열의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Cor. [함수열급수의 연속]

구간 I 에서 연속인 함수열 \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} f 로 균등수렴하면 f I 에서 연속이다.

Lemma. [아벨의 공식]

수열 \{a_{n}\}, \{b_{n}\} 과 임의의 자연수 n, m (n > m) 에 대하여 다음이 성립한다.

\sum_{k=m}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n} \sum_{k=m}^{n} b_{k} + \sum_{j=m}^{n-1} (a_{j} - a_{j+1}) \sum_{k=m}^{j} b_{k}

Thm 2. [아벨 정리]

수렴반지름이 R \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} x = c + R 에서 수렴하면 (c - R, c + R] 의 임의의 폐부분집합에서 균등수렴한다.

Thm 3. [멱급수의 연속]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 는 수렴구간에서 연속이다.

멱급수의 미분

Thm 1. [함수열의 미분]

다음을 만족하는 함수열 \{f_{n}\} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \{f_{n}(x_{0})\} 가 수렴한다. (점별 수렴)
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \{f_{n}'\} 는 균등수렴한다.

또한 이때 \{f_{n}\} 의 극한함수를 f 라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x) 이다.

Cor. [함수열급수의 미분]

다음이 만족하면 함수열급수 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 은 유계구간 I 에서 균등수렴한다.

  1. 임의의 x_{0} \in I 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} (x_{0}) 가 수렴한다.
  2. \{f_{n}\} I 에서 미분가능하며, I 에서 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}' 은 균등수렴한다.

이때 f = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} 이라 하면 f I 에서 미분가능하고 임의의 x \in I 에 대하여 f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x) 이다.

Lemma.

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1} 의 수렴반지름도 R 이다.

Thm 3. [멱급수의 미분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} 의 수렴반지름이 R 이면 f (c - R, c + R) 에서 미분가능하며, 이때 f 의 도함수는

f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n-1}

이다.

멱급수의 적분

Thm 1. [균등수렴과 적분]

\{f_{n}\} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하고 f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] 이면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} = \int_{a}^{b} f

이다.

Thm 2. [항별적분]

f_{n} \in \mathfrak{R}[a, b] \{f_{n}\} 에 대하여 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} [a, b] 에서 f 로 균등수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}

이다.

Thm 3. [멱급수의 적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b] 에서 수렴하면 f \in \mathfrak{R}[a, b] 이고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.

Thm 4. [멱급수의 특이적분]

함수 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} [a, b) 에서 수렴하고 멱급수 \sum_{n=0}^{\infty} {a_{n} \over n + 1} (b - c)^{n+1} 이 수렴하면 f [a, b) 에서 특이적분가능하고

\int_{a}^{b} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \int_{a}^{b} (x-c)^{n} dx

이다.

이상엽/ 해석학/ 수열, 급수의 극한

수열과 극한

  • (수열은 수를 순서 있게 나열한 것. 현대적으로 보면 결국 함수)

수열의 정의

Def 1. [수열]

함수 f : \mathbb{N} \to \mathbb{R} 를 수열 \{a_{n}\} 이라 하고 f(m) = a_{m} \{a_{n}\} m 번째 항이라 한다.

Def 2. [부분수열]

\{a_{n}\} 에 대하여 자연수 수열 \{n_{k}\}

n_{1} < n_{2} < ... < n_{k} < ...

이면 \{a_{n_{k}}\} \{a_{n}\} 의 부분 수열이라 한다.

Def 3. [증가(감소)수열]

  1. \forall n \in \mathbb{N}, a_{n} \leq a_{n+1} \{n_{k}\} 를 단조증가수열이라 한다.
    • (a_{n} \geq a_{n+1} 이면 단조감소수열)
  2. \forall n \in \mathbb{N}, a_{n} < a_{n+1} \{n_{k}\} 를 순증가수열이라 한다.
    • (a_{n} > a_{n+1} 이면 순감소수열)

Def 4. [유게인 수열]

\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N}, |a_{n}| \leq M 이면 \{a_{n}\} 을 유계인 수열이라 한다.

수열의 극한

Def 1. [수열의 수렴]

\{a_{n}\} 이라 하자. \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq \mathbb{N}, | a_{n} - a | < \epsilon 이 성립하면 \{a_{n}\} a 로 수렴한다고 하고 이를 \lim_{n \to \infty} a_{n} = a 로 표현한다.

Def 2. [수열의 발산]

적당한 \epsilon > 0 와 모든 N \in \mathbb{N} 에 대하여 \exists n \geq \mathbb{N} : |a_{n} - a| \geq \epsilon 이면 \{a_{n}\} 은 발산한다고 한다.

Thm 1. [수열 극한의 유일성]

\{a_{n}\} 이 수렴하면 그 극한은 유일하다.

Thm 2. [수열 극한의 연산]

\lim_{n \to \infty} a_{n} = a 이고 \lim_{n \to \infty} b_{n} = b 이면 다음이 성립한다.

  1. \lim_{n \to \infty}(a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b (복부호 동순)
  2. \lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = ab
  3. \lim_{n \to \infty} {a_{n} \over b_{n}} = {a \over b} (b \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}, b_{n} \neq 0)

코시 수열

Def 1. [코시수열의 정의]

\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \in \mathbb{N}

with, m \geq n > N, |a_{m} - a_{n} | < \epsilon 가 성립하면 \{a_{n}\} 을 코시수열이라 한다.

Thm 1. [코시 수열과 수렴판정]

\{a_{n}\} 이 코시수열이면 \{a_{n}\} 은 수렴한다.

Def 2. [실수의 구성적 정의]

  1. 유리수 코시수열의 집합 \mathbb{R}* 에 대하여 \mathbb{R}* \times \mathbb{R}* 의 동치관계 E : \{a_{n}\} E\{b_{n}\} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}(a_{n} - b_{n}) = 0 의 동치류 [\{a_{n}\}] 을 실수라 하고, 이들의 집합을 \mathbb{R} 이라 표현한다.
  2. \lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha 이면 [\{a_{n}\}] = \alpha 라 한다.

Thm 2. [실수의 완비성]

\mathbb{R} 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다.

주요 정리

단조수렴정리

Thm 1. [단조수렴정리]

\{a_{n}\} 이 단조증가(감소)하고 위(아래)로 유계이면 \{a_{n}\} 은 수렴한다.

  • (그 수렴하는 값은 상한(하한)이 된다)

Thm 2. [축소구간정리]

모든 n \in \mathbb{N} I_{n} = [a_{n}, b_{n}] 에 대하여

  1.  I_{n} = [a_{n}, b_{n}] 이 유계인 폐구간이고
  2. I_{n+1} \subset I_{n} 이며
  3. lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0 이면

\cap_{n = 1}^{\infty} I_{n} = \{ \alpha \} \alpha \in \mathbb{R} 가 존재한다.

  • (임의의 구간 잡고 그 구간을 간격을 무한히 좁혀가면, 그 수렴하는 값에 대응되는 실수가 존재한다.)

B-W 정리

Thm 1. [샌드위치 정리]

L \in \mathbb{R} 일 때 모든 n \in \mathbb{R} 에 대하여 a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} 이고 \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L 이면 \lim_{n \to \infty} b_{n} = L 이다.

Thm 2. [볼차노-바이어슈트라스 정리]

\{a_{n}\} 이 유계인 수열이면 \{a_{n}\} 은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

Cor. [최대 최소정리]

f [a, b] 에서 연속 \Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] : \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})

급수와 극한

급수의 정의

  • (급수란 수열의 합)

Def 1. [급수]

수열 \{a_{n}\} 에 대하여

a_{1} + a_{2} + ... = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

을 (무한)급수라 한다.

이때 a_{n} 을 급수의 n 번째 항이라 하며

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

을 급수의 부분합이라 한다.

Def 2. [재배열급수]

f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} 가 전단사 함수일 때 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} 의 재배열급수라 한다.

  • (급수에 대해 순서를 적절하게 재배열할 것을 재배열급수라고 한다)
  • (수열에서는 순서가 중요하기 때문에 더하는 순서도 중요하다)

급수의 극한

Def 1. [급수의 수렴과 발산]

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 에 대한 부분합의 수열 \{S_{n}\} S \in \mathbb{R} 로 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} S 로 수렴한다고 하고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = S 로 표현한다.

만약 \{S_{n}\} 이 어떤 실수 값으로 수렴하지 않으면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 발산한다고 한다.

  • (수열의 부분합들로 이루어진 수열의 합이 어떤 값으로 수렴하게 되면 급수는 수렴한다고 한다)
  • (무한급수의 합은 S_{n} = {a(1 - r^{n}) \over 1 - r} 와 같다. 여기서 a 는 첫항, r 는 첫항에 곱해지는 공비. 공비는 1이 되면 안 된다.)

Def 2. [절대수렴과 조건수렴]

n \in \mathbb{N} 에 대하여 a_{n} \in \mathbb{R} 이라 하자

  1.  \sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}| 이 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 절대수렴한다고 한다.
    • (수열을 재배열 해도 수렴하는 값이 동일. 수열에 절대값을 씌운 후에 합해도 수렴하는 경우에 가능)
  2. \sum_{n = 1}^{\infty} |a_{n}| 은 발산하지만 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 수렴하면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 은 조건수렴한다고 한다.
    • (수열을 재배열 하면 수렴하는 값이 달라짐)

여러가지 정리

Thm 1.

\alpha, \beta \in \mathbb{R} 이고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \alpha, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \beta 이면 \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) = \alpha \pm \beta 이다. (복부호 동순)

Thm 2.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 수렴하면 \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 이다.

Thm 3.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 의 임의의 재배열 급수 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} 에 대하여

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} 이 절대수렴하고 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = L 이면 \sum_{n = 1}^{\infty} a_{f(n)} = L 이다.

  • (절대수렴인 경우 재배열을 어떻게 하더라도 원래 수열과 같은 값으로 수렴한다)

이상엽/ 해석학/ 리만적분

리만적분

  • (사실 리만 적분은 다르부의 적분과 동일하고, 오히려 다르부 적분이 더 간편하기 때문에 일반적으로 다르부 적분을 이용해서 적분을 다루지만 안타깝게도 리만이 더 유명하기 때문에 리만 적분이라고 부른다.)

리만적분의 정의

Def 1. [분할과 세분]

[a, b] 가 유계인 폐구간이고 a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < ... < x_{n} = b 일 때 \mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} [a, b] 의 분할이라 한다.

[a, b] 의 분할 \mathcal{P} \mathcal{P}* 에 대하여 \mathcal{P} \subset \mathcal{P}* 이면 \mathcal{P}* \mathcal{P} 의 세분이라 한다.

Def 2. [상합과 하합]

f [a, b] 에서 유계일 때

\mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} 에 대해

\Delta x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}

M_{i} = \sup \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \}

m_{i} = \inf \{ f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_{i} \} 로 나타내자

이때

  1. U(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i}
  2. L(\mathcal{P}, f) = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i}

을 각각 [a, b] 에서 f 의 상합과 하합이라 한다.

  • (M_{i} 는 구간 내에서 가장 큰 사각형의 면적이고 이것들의 합이 상합 (아래 그림의 왼쪽) m_{i} 은 구간 내에서 가장 작은 사각형의 면적이고 이것들의 합이 하합이다. (아래 그림의 오른쪽))
  • (실제 구간의 면적은 상합과 하합 사이의 값이 되고, 그 구간의 간격을 극한으로 보내면 상합과 하합의 면적의 차이를 줄일 수 있고 최종적으로 그 줄어든 값이 면적이 된다.)

Def 3. [상적분과 하적분]

f [a, b] 에서 유계일 때 [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 에 대해

  1. \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \overline{\int_{a}^{b}} f = inf \{ U(\mathcal{P}, f) \}
  2. \underline{\int_{a}^{b}} f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b}} f = sup \{ L(\mathcal{P}, f) \}

을 각각 [a, b] 에서 f 의 상적분과 하적분이라 한다.

  • (구할 수 있는 상합들 중에서 하한이 상적분, 구할 수 있는 하합들 중에서 상한이 하적분이 된다.)

Thm.

다음 명제들이 성립한다.

  1. \mathcal{P}* [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 의 세분이면
    • L(\mathcal{P}, f) \leq L(\mathcal{P}*, f) \leq U(\mathcal{P}, f) \leq U(\mathcal{P}, f) 
    • (원래 분할 보다 더 세분화 시킨 것(세분)의 하합과 상합은 원래 분할의 하합과 상합의 사이에 온다.)
  2. [a, b] 의 임의의 두 분할 \mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2} 에 대하여 L(\mathcal{P}_{1}, f) \leq U(\mathcal{P}_{2}, f) 이다.
    • (임의의 두 분할에서 한쪽 분할의 상합은 다른쪽 분할의 하합 보다 항상 크다.)
  3. f [a, b] 에서 유계이면
    • \underline{\int_{a}^{b}} f \leq \overline{\int_{a}^{b}} f

Def 4. [리만적분가능성]

f [a, b] 에서 유계일 때

\underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f

이면 f [a, b] 에서 리만적분가능하다고 하며

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f = \underline{\int_{a}^{b}} f = \overline{\int_{a}^{b}} f

로 표현한다. 또한 [a, b] 에서 유계인 리만적분가능한 함수 f 들의 집합을 \mathfrak{R} [a, b] 로 나타낸다 (f \in \mathfrak{R} [a, b] )

  • (상적분 값과 하적분 값이 같게 되면 리만적분 가능하다고 한다. 둘이 같게 되지 않은 경우도 있음.)
  • (리만적분이 불가능하다고 해서 적분 자체가 안되는 것은 아니다. 다른 적분법을 이용하면 적분이 가능할 수 있음.)

주요 정리

Thm 1. [리만적분 판별법]

f [a, b] 에서 유계일 때 다음이 성립한다. (\mathcal{P} [a, b] 의 분할)

f \in \mathfrak{R} [a, b]

\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \mathcal{P} s.t. U(\mathcal{P}, f) - L(\mathcal{P}, f) < \epsilon

  • (상합과 하합의 차이가 \epsilon 보다 작아지면 리만적분 가능하다 = 상적분과 하적분의 값이 같다.)

Thm 2. [연속성과 리만적분가능성]

f [a, b] 에서 연속이면 f \in \mathfrak{R} [a, b] 이다.

  • (연속이면 리만적분 가능하다. 연속이라고 미분은 안되는데, 연속이면 적분이 됨)
  • (불연속이어도 리만적분 가능한 경우가 있다)

Thm 3. [적분의 평균값 정리]

f [a, b] 에서 연속이면

\int_{a}^{b} f = f(c)(b-a) c \in (a, b) 가 존재한다.

리만적분의 연산

  • f, g \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.
    • \int_{a}^{b} (f \pm g) = \int_{a}^{b} f \pm \int_{a}^{b} g (복부호동순)
  • f \in \mathfrak{R} [a, b] 
    • \Leftrightarrow \forall c \in (a, b), f \in \mathfrak{R}[a, c] \wedge f \in \mathfrak{R}[c, b]
    • with \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f  + \int_{c}^{b} f

미적분학의 기본정리

제 1 기본정리

Def. [부정적분]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 일 때 x \in [a, b] 에 대하여

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt

로 정의한 함수 F [a, b] 에서 f 의 부정적분이라 한다.

Thm. [미적분학의 제 1 기본정리]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 f [a, b] 에서 f 의 부정적분 F 에 대하여 다음이 성립한다.

  1. F [a, b] 에서 균등연속이다.
  2. f [a, b] 에서 연속이면 F [a, b] 에서 미분가능하고 \forall x \in [a, b], F'(x) = f(x) 이다.
  • (미분과 적분의 연산이 역관계를 갖는다는 의미)
  • (이를 최초로 발견한 사람은 이탈리아 수학자였던 토리첼리. 이를 좀 더 일반화한 사람이 뉴턴의 스승이었던 아이작 배로)

제 2 기본정리

Def. [역도함수]

D 가 구간이고 f, F : D \to \mathbb{R} 가 모든 x \in D 에 대하여 F'(x) = f(x) 이면 F f 의 역도함수라 한다.

Thm. [미적분학의 제 2 기본정리]

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 F : [a, b] \to \mathbb{R} [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하다고 하자. 이때 F f 의 역도함수이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)

따름정리

Thm 1. [치환적분법]

g [a, b] 에서 미분가능하고 g' \in \mathfrak{R} [a, b] 이며 f g([a, b]) 에서 연속이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx

Thm 2. [부분적분법]

f, g: [a, b] \to \mathbb{R} [a, b] 에서 연속이고 (a, b) 에서 미분가능하며 f', g' \in \mathfrak{R} [a, b] 이면 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f' g = \{ f(b)g(b) - f(a)g(a) \} - \int_{a}^{b} f g'

리만적분의 확장

  • (리만적분으로는 면적을 구할 수 없는 경우가 많아서 수학자들이 새로 방법을 정의한 것들이 다른적분 방법들)

특이적분

  • (이상 적분이라고도 함. 적분 구간이 유계인 폐구간이 아니거나 f가 유계가 아닌 경우에도 사용할 수 있는 적분 방법)

Def 1. [(a, b] 또는 [a, b) 의 경우]

  1. f : (a, b] \to \mathbb{R} 가 임의의 c \in (a, b) 에 대하여 f \in \mathfrak{R} [c, b] 이면 (a, b] 에서 f 의 특이적분은 \int_{a}^{b} f = \lim_{c \to a+} \int_{c}^{b} f 로 정의한다.
    • f : [a, b) \to \mathbb{R} 의 경우 \int_{a}^{b} f = \lim_{c \to b-} \int_{a}^{c} f
  2. 1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 f 는 특이적분가능하다고 한다.
  3. f : [a, b] - \{ c \} \to \mathbb{R} [a, c) (c, b] 에서 특이적분가능하면 f [a, b] 에서 특이적분가능하다고 하고 \int_{a}^{b} f = \lim_{p \to c-} \int_{a}^{p} f + \lim_{q \to c+} \int_{q}^{b} f 로 정의한다.
  • (폐구간이 아니기 때문에 중간에 폐구간이 되는 점을 잡고 그 점을 개구간으로 향하는 극한을 취함)

Def 2. [[a, \infty) 또는 (-\infty, b] 의 경우]

  1. f : [a, \infty) \to \mathbb{R} a < c 인 임의의 c \in \mathbb{R} 에 대하여 f \in \mathfrak{R} [a, c] 이면 [a, \infty) 에서 f 의 특이적분은 \int_{a}^{\infty} f = \lim_{c \to \infty} \int_{a}^{c} f 로 정의한다.
    • f : (-\infty, b] \to \mathfrak{R} 의 경우 \int_{-\infty}^{b} f = \lim_{c \to -\infty} \int_{c}^{b} f
  2. 1에서 우변의 극한이 존재하면 각 구간에 대해 f 는 특이적분가능하다고 한다.
  3. f 가 적당한 p \in \mathbb{R} 에 대하여 (-\infty, p] [p, \infty) 에서 특이적분가능하면 f \mathbb{R} 에서 특이적분가능하다고 하고 \int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{p} f + \int_{p}^{\infty} f 로 정의한다.
  • (위와 비슷하게 정의. 폐구간 점보다 큰 임의의 점을 잡아서 적분 가능한지 확인하고 그 임의의 점을 무한으로 향하는 극한을 취함)

스틸체스적분

  • (\int f(x) dg(x) 의 꼴로 표현되는 형태로 g(x) 는 증가함수로 정의됨)
  • (g(x) x 가 되면 리만적분의 형태가 되기 때문에 리만적분의 일반화된 버전으로 생각할 수 있다.)
  • (리만적분은 연속이어야 가능하지만, 스틸체스적분은 불연속적인 것에 대해서도 적분이 가능하다. g(x) 를 불연속적인 함수로 잡으면 되기 때문)

Def 1. [스틸체스 상합과 하합]

[a, b] 에서 유계인 함수 f 와 증가함수 \alpha, [a, b] 의 분할 \mathcal{P} = \{ x_{0}, x_{1}, ... , x_{n} \} \Delta \alpha_{i} = \alpha(x_{i}) - \alpha(x_{i-1} 에 대하여

  1. U(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}
  2. L(\mathcal{P}, f, \alpha) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} \Delta \alpha_{i}

을 각각 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스상합, 스틸체스하합이라 한다. (i = 1, 2, ... , n )

Def 2. [스틸체스 상적분과 하적분]

[a, b] 에서 유계인 함수 f 와 증가함수 \alpha, [a, b] 의 분할 \mathcal{P} 에 대하여

  1. \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \inf \{ U(\mathcal{P}, f, \alpha) \}
  2. \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \sup \{ L(\mathcal{P}, f, \alpha) \}

을 각각 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스 상적분과 스틸체스 하적분이라 한다.

Def 3. [스틸체스 적분 가능성]

f [a, b] 에서 유계이고 \alpha [a, b] 에서 증가함수 일 때

\overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha

이면 f [a, b] 에서 \alpha 에 관하여 스틸체스적분가능하다고 하며

\int_{a}^{b} f d\alpha = \overline{\int_{a}^{b}} f d\alpha = \underline{\int_{a}^{b}} f d\alpha

로 표현하고 이를 \alpha 에 관한 f 의 스틸체스적분이라 한다. (f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] )

Thm.

f \in \mathfrak{R} [a, b] 이고 \alpha [a, b] 에서 증가하고 미분가능한 함수이며 \alpha ' \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] 이면 f \in \mathfrak{R}_{\alpha} [a, b] 이고 다음이 성립한다.

\int_{a}^{b} f d \alpha = \int_{a}^{b} f(x) \alpha '(x) dx

  • (리만 적분은 스틸체스 적분의 \alpha = x 인 지점이므로 \int_{a}^{b} f(x) x' dx 이 되고 x' = 1 이므로 결과적으로 \int_{a}^{b} f(x) dx 의 꼴이 된다)

이상엽/ 해석학/ 미분

미분계수

미분계수의 정의

Def 1. [평균변화율]

함수 f : [a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여

{\Delta y \over \Delta x} = {f(b) - f(a) \over b - a} = {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}

a 에서 b 로 변할 때의 함수 y = f(x) 의 평균 변화율이라 한다.

Def 2. [미분계수와 미분가능]

함수 f : (a, b) \to \mathbb{R} c \in (a, b) 에 대해

f'(c) = \lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x}

= \lim_{x \to c} {f(x) - f(c) \over x - c}

= \lim_{\Delta x \to 0} {f(c + \Delta x) - f(c) \over \Delta x}

x = c 에서의 함수 y = f(x) 의 미분계수라 하며, 미분계수가 존재하면 f x = c 에서 미분가능하다고 한다.

  • 미분계수란 순간변화율
  • 순간의 변화율을 보기 위해 극한을 이용한다.
  • 순간변화율은 접선의 기울기와 동일하다는 것은 그래프로 표현 가능할 때 가능한 표현이지만, 실제 수학에서는 그래프로 표현 불가능한 부분이 있고, 그런 부분에서도 미분이 가능한 경우가 존재하기 때문에 엄밀히 말해서 미분계수를 접선의 기울기라고 보기는 어렵다.

Def 3. [우미분계수와 좌미분계수]

  • 함수 f : [a, b) \to \mathbb{R} 에 대하여 f  x = a 에서의 우미분계수
    • f'+(a) = \lim_{\Delta x \to 0+} {f(a + \Delta x) - f(a) \over \Delta x}
    • 가 존재하면 f x = a 에서 우미분가능하다고 한다.
  • 함수 f : (a, b] \to \mathbb{R} 에 대하여 f  x = b 에서의 우미분계수
    • f'-(b) = \lim_{\Delta x \to 0-} {f(b + \Delta x) - f(b) \over \Delta x}
    • 가 존재하면 f x = b 에서 좌미분가능하다고 한다.

Def 4. [미분가능함수]

  • 함수 f : (a, b) \to \mathbb{R} (a, b) 의 모든 점에서 미분가능하면 f (a, b) 에서 미분가능 함수라고 한다.
  • 함수 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가 다음 조건들을 만족하면 f [a, b] 에서의 미분가능 함수라고 한다.
    • f (a, b) 에서의 미분가능함수이다.
    • f x = a 에서 우미분가능하다
    • f x = b 에서 좌미분가능하다.

미분계수의 연산

f, g : D \to \mathbb{R} a \in D 에서 미분가능하면 f + g, f - g, fg, {f \over g} (g \neq 0) 도 미분가능하고 다음이 성립한다.

  1.  (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a)
  2.  (f - g)'(a) = f'(a) - g'(a)
  3. (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a) (곱의 미분법)
  4. ({f \over g})'(a) = {f'(a)g(a) - f(a)g'(a) \over \{g(a)\}^{2}} (몫의 미분법)

주요 정리

Thm 1. [미분가능성과 연속성]

f 가  x = a 에서 미분가능하면  f 는  x = a 에서 연속이다. (불연속이면 미분 불가)

Thm 2. [극점과 미분계수]

f : D \to \mathbb{R} 일 때  f 가  D 의 내부점  x = a 에서 극값을 갖고 미분가능하면  f'(a) = 0 이다.

Thm 3. [연쇄법칙]

함수  f 가  x = a 에서 미분가능하고  g 가  f(a) 에서 미분가능하면 합성함수  g \circ f x = a 에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

 (g \circ f)'(a) = g'(f(a))f'(a)

Lemma. 함수 f : D \to \mathbb{R} x = a(\in D) 에서 미분가능하다

\Rightarrow \exists g, g(a) = f'(a). s.t. \forall x \in D, f(x) = f(a) + g(x) (x - a)

g x = a 에서 연속

도함수

도함수의 정의

함수  f : D \to \mathbb{R} 가 임의의 점  x \in D 에서 미분 가능할 때, 함수

 f'(x) = {df \over dx} = \lim_{y \to x} {f(y) - f(x) \over y - x}

를 함수  f 의 도함수라 한다.

  • f''(x) 는 이계도함수, f'''(x) 는 삼계 도함수 f^{(4)}(x) 는 사계도함수… f^{(n)}(x) 는 n계 도함수라고 한다.

여러 함수의 도함수

  •  c' = 0 (c \in \mathbb{R})
  •  (x^{c})' = c x^{c-1} (c \in \mathbb{R})
    • 실수이므로 무리수에 대해서도 성립  (x^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}
    • 복소수에 대해서는 복소해석학에서 봐야 함
  •  (a^{x})' = a^{x} \ln a, (e^{x})' = e^{x} (\because \ln e = 1 )
  •  (\log_{a} x)' = {1 \over x \ln a}, (\ln x)' = {1 \over x} (\because \ln e = 1 )
  • (\sin x)' = \cos x, (\csc x)' = -\csc x \cot x
  • (\cos x)' = - \sin x, (\sec x)' = \sec x \tan x
  • (\tan x)' = \sec^{2} x, (\cot x)' = - \csc^{2} x
  • (x^{x})' = x^{x} (1 + \ln x)

평균값 정리

평균값 정리

  • 평균값 정리란 평균변화율과 순간변화율의 관계에 대한 것
  • 이 정리에서 파생되는 정리가 많기 때문에 대단히 중요한 정리다.

Thm 1. [롤의 정리]

 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하다고 할 때, 다음 명제는 참이다.

 f(a) = f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b), s.t. f'(c) = 0

  • 연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 그 구간의 시작점과 끝점이 동일할 경우, 순간변화율이 0이 되는 점이 1개 이상 존재한다.

Thm 2. [평균값 정리]

 f : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하면 다음이 성립하는  c 가  (a, b) 에 존재한다.

 f'(c) = {f(b) - f(a) \over b - a}

  • 평균값 정리는 롤의 정리의 일반화된 버전. 평균값 정리에서 시작점과 끝점의 값이 동일할 경우 롤의 정리가 된다.
  • 연속이고 미분 가능한 함수의 어떤 구간을 잡을 때, 구간 내에 구간의 평균변화율과 동일한 순간변화율을 갖는 점이 1개 이상 존재한다.

코시 평균값 정리

  • 코시의 평균값 정리는 평균값 정리를 확장한 버전

Thm 1. [코시 평균값 정리]

 f, g : [a, b] \to \mathbb{R} 가  [a, b] 에서 연속이고  (a, b) 에서 미분가능하면 다음이 성립하는  c 가  (a, b) 에 존재한다.

 \{ f(b) - f(a) \} g'(c) = \{ g(b) - g(a) \} f'(c)

\Rightarrow f(x)g'(c) = g(x)f'(c) (양변에 분모로 b - a 를 넣어줌)

\Rightarrow {f(x) \over g(x)} = { f'(c) \over g'(c) }

  • 두 함수의 도함수의 값을 갖게 해주는 상수가 존재한다.
  • 위의 식에서 g(x) = x 인 경우가 평균값 정리가 된다. 다시 말해 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 g(x) = x 인 특수한 경우가 됨

Thm 2. [로피탈의 정리]

  • 극한이 {0 \over 0}, {\infty \over \infty} 꼴을 가질 때 부정형이라고 하는데, 이러한 꼴을 쉽게 풀 수 있게 해주는 방법
  • 로피탈 정리는 요한 베르누이의 수학 업적 중 하나인데, 이를 귀족이었던 로피탈이 당시 가난에 시달리던 베르누이의 일생의 모든 연구를 모두 사서 자신의 이름으로 발표한 것. 오일러가 바로 이 요한 베르누이의 제자

 f, g : D \to \mathbb{R} 가 다음을 만족한다.

  1.  D 에서 연속함수이고  D - \{a\} 에서 미분가능함수이다.
  2. 다음 두 명제 중에 하나가 성립한다.
    1.  \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0
    2.  \lim_{x \to a} \|f(x)\| = \lim_{x \to a} \|g(x)\| = \infty

그러면  a, L \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} 에 대하여 다음이 성립한다.

 \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)} = L \Rightarrow \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = L

  • 위와 같은 꼴일 때, 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같다
  • 도함수의 극한과 원래 함수의 극한이 같기 때문에, 로피탈 정리를 한 번 써서 해결이 안되면 한 번 더 써도 무방하다. 다시 말해 부정형에서 벗어날 때까지 계속 미분해서 값을 구한다. 바꿔 말하면 부정형이 아닌 상태({0 \over 0}, {\infty \over \infty} 이 아닌 형태)에서는 로피탈 정리를 써서는 안 된다. 주의!

이상엽/ 해석학/ 극한과 연속

함수의 극한

무한소와 극한

  • 무한소란 ‘무한히 작은 수’를 일컫는 직관적인 개념으로 고전적으로 미적분을 설명하기 위해 쓰였다.
    • 아르키메데스가 최초로 정립함. 이를 뉴턴과 라이프니츠가 이용해서 미적분학을 정립
    • 무한소는 미적분을 설명하는 도구이지만, 극한을 설명하는 동구는 아니다.
  • 실수체에는 무한소가 존재하지 않으며 \epsilon-\delta 논법으로 정의된 극한으로써 미적분을 설명한다.
    • 예전에는 무한소를 이용해서 미적분을 설명했지만 \epsilon-\delta 논법이 등장한 이후 극한으로 미적분을 설명함으로써 무한소는 수학계에서 사용되지 않음
  • 초실수체에서는 무한소로써 미적분을 설명 가능하다. (비표준 해석학)
    • 초실수체는 무한소를 공리로 받아들임. 초실수체는 순서체일 뿐 완비순서체가 아님. 조밀성이 성립하지 않음.
    • 비표준 해석학에서는 미적분을 무한소로 정의할 뿐. 극한으로 설명하지는 않는다. 무한소와 극한은 양립 불가능한 개념

극한의 정의

Def 1. [수렴과 극한(값)]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R} 라 하자

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < \| x - a \| < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 극한(값) L 로 수렴한다고 하고 \lim_{x \to a} f(x) = L 로 표기한다.

수렴하지 않는 경우엔 발산한다고 한다.

  • \| x - a \| 가 0이 되어버리면 f(a) 가 되어버리기 때문에 \| x - a \| 는 극한을 정의하기 위해서는 반드시 0보다 커야 함.
  • \forall \epsilon > 0  에 대하여 \| f(x) - L \| < \epsilon 가 성립하려면  \| f(x) - L \| 는 0이 되어야 한다.
  • 고로 극한값 L f(a) 의 값과 완전히 동일한다. L f(a) 에 다가가는 것이 아니다. 둘은 완전히 같다.

Def 2. [우극한과 좌극한]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D, L \in \mathbb{R} 라 하자

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 < x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 우극한 L 을 갖는다고 하고 \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a{+}) = L 로 표기한다.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 <  a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - L \| < \epsilon

이 성립하면 \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a{-}) = L (좌극한)

  • 우극한은 x a 보다 큰거고, 좌극한은 x a 보다 작은 것

Def 3.

a, L \in \mathbb{R} 라 하자

  1. \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow \|f(x) - L\| < \epsilon 일 때 \lim_{x \to \infty} f(x) = L
  2. \forall M > 0, \exists \delta > 0, s.t. 0 < \|x - a|\ < \delta \Rightarrow f(x) > M 일 때 \lim_{x \to a} f(x) = \infty
  3. \forall M > 0, \exists N \in \mathbb{R}, s.t. x \geq N \Rightarrow f(x) > M 일 때 \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty
  • 일반적으로 임의의 작은 양수는 \epsilon 을 쓰고 임의의 큰 양수는 M 을 쓴다.

극한의 연산

A, B \in \mathbb{R} 이고 f, g : D \to \mathbb{R} 이며 a \in D 라 하자.

\lim_{x \to a} f(x) = A, \lim_{x \to a} g(x) = B 이면 다음이 성립한다.

  1. \lim_{x \to a} { f(x) + g(x) } = A + B
  2. \lim_{x \to a} { f(x) - g(x) } = A - B
  3. \lim_{x \to a} f(x) g(x) = AB
  4. \lim_{x \to a} { f(x) \over g(x) } = {A \over B}
  • 삼각부등식
    • \| a + b \| \leq \|a\| + \|b\|
    • \| a - b \| \geq \|a\| - \|b\|

주요 정리

Thm 1. [극한의 유일성]

f : D \to \mathbb{R}, a \in D 일 때 \lim_{x \to a} f(x) 가 수렴하면 그 극한값은 유일하다.

Thm 2. [샌드위치 정리]

\forall x \in D, f(x) \leq g(x) \leq h(x) 이고

L \in \mathbb{R} 일 때 \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L 이면 \lim_{x \to a} g(x) = L 이다.

함수의 연속

  • 극한과 함수값이 같을 때 연속이라고 정의

연속의 정의

Def 1. [점 연속]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 연속이라 한다.

  • a \in D 라는 것이 f(a) 가 정의된다는 뜻
  • 극한과 다른 부분이 \|x-a\| < \delta 부분으로, 극한에서는 0보다 커야 하지만 연속에서는 0이 됨.
  • \|x-a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\| < \epsilon f(a) = \lim_{x \to a} f(x) 와 동일한 의미. a 에서의 f(x) 의 극한 값이 f(a) 와 동일하다.

ex) D = \{ 0, 1, 2, 3 \} 일 때, f : D \to \mathbb{R}, f(x) = -x + 3 이면 f x = 2 에서 연속임을 증명하라

\forall \epsilon > 0, Let. \delta = { 1 \over 2 } ( > 0)

Then. \| x - 2 \| < \delta (= {1 \over 2}) \ \forall \epsilon > 0, let \delta = { 1 \over 2 } \Rightarrow x = 2 \in D \

\therefore \| f(x) - f(2) \| = |\ f(2) - f(2) | = 0 < \epsilon

위 정의역의 원소들은 불연속적이지만, x = 2 일때 연속임이 증명된다.

Def 2. [우연속과 좌연속]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq x - a < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 우연속이라 한다.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x \in D, 0 \leq a - x < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(a)\|< \epsilon

이 성립하면 f x = a 에서 좌연속이라 한다.

Def 3. [연속함수]

f : D \to \mathbb{R} 이고 X \subseteq D 라 하자.

  1. 만약 f X 의 모든 점에서 연속이면 f X 에서 연속이라 한다.
  2. 만약 f X 의 모든 점에서 연속이면 f 는 연속함수라 한다.
    • 모든 점에서 연속임을 증명 하는 방법
      1. x = a 에서 연속임을 보인다.
      2. a 가 정의역에서 임의의 점임을 보인다.

Def 4. [불연속점의 종류]

f : D \to \mathbb{R} 이고 a \in D 라 하자.

[제 1종 불연속점]

  1. \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x) \neq f(a) x = a 를 제거 가능 불연속점이라 한다.
    • 그 한 점에서만 새로 정의를 해주면 연속으로 만들 수 있다.
    • 전체에서 문제가 되는 점이 한 점 뿐이라면 (수학에서도) 무시할 수 있다.
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to a^{-}} f(x) x = a 를 비약 불연속점이라 한다.

[제 2종 불연속점]

\lim_{x \to a^{+}} f(x) \lim_{x \to a^{-}} f(x) 중에 적어도 하나가 존재하지 않는다.

균등 연속 (uniformly continuous)

Def. [균등 연속]

f : D \to \mathbb{R} 이라 하자.

\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t. \forall x, y \in D, \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(y)\| < \epsilon

이 성립하면 f D 에서 균등 연속이라 한다.

Thm. f D 에서 균등 연속이면 연속이다.

연속함수의 연산

a \in D 이고 f, g : D \to \mathbb{R} x = a 에서 연속일 때 다음이 성립한다.

  1. f + g x = a 에서 연속이다.
  2. f - g x = a 에서 연속이다.
  3. fg x = a 에서 연속이다.
  4. g(a) \neq 0 이면 {f \over g} x = a 에서 연속이다.

주요 정리

Thm 1. [최대 최소정리]

f [a, b] 에서 연속

\Rightarrow \exists a_{0}, b_{0} \in [a, b] s.t. \forall x \in [a, b], f(a_{0}) \leq f(x) \leq f(b_{0})

  • 연속인 구간 내에서 반드시 최대, 최소를 정의할 수 있다.

Thm 2. [사잇값(중간값) 정리]

f [a, b] 에서 연속이고

f(a) < f(b) \Rightarrow \exists c \in (a, b) s.t. f(a) < p < f(b), f(c) = p

f(b) < f(a) 이면 f(b) < p < f(a)

  • 연속인 구간 내의 두 함수 값 사이에 반드시 값이 존재한다.

이상엽/ 해석학/ 실수체계

자연수

  • 자연수로부터 실수체계를 단계적으로 구성 가능하다는 것을 바이어슈트라스, 데데킨트가 증명 함

페아노 공리계

자연수는 다음의 다섯 가지 공리로 이루어진 페아노 공리계를 만족하는 수체계이다.

  1. 1 \in \mathbb{N}
  2. n \in \mathbb{N} \Rightarrow n' \in \mathbb{N}
  3. \forall n \in \mathbb{N}, 1 \neq n'
    • 1은 자연수의 최소원소
  4. \forall m \in \mathbb{N}, n' \neq m' \Rightarrow n = m
    • 자연수의 순서 구조가 순환하는 것을 방지하기 위한 공리
    • 만일 1 다음이 2, 2 다음이 3, 3 다음이 4, 4 다음이 2라는 집합이 있다면 1의 다음수와 4의 다음수가 같아져 버리는 경우가 발생. 그래서 다음 수가 같다면 두 수는 같다고 정의가 필요.
  5. 1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq S
    • 집합 내에 1이 존재하고 집합 내 모든 원소가 다음 수를 갖는 집합은 자연수 집합을 포함한다.
    • 1 \in S \wedge (\forall n \in S, n' \in S) 을 만족하는 집합을 계승집합이라고 한다.
    • 자연수 집합은 가장 작은 계승집합이다.

‘1’과 ‘그 다음 수’는 무정의 용어이다. (primitive notion, 더는 정의를 할 수 없는 근본 원리)

Thm. [수학적 귀납법]

n' = n + 1 이라 정의할 때, 명제 P(n) 에 대하여 두 조건

  1. P(1) 이 참
  2. P(n) 이 참 P(n+1) 이 참

이 성립하면 P(n) 은 모든 자연수 n 에 대하여 참이다.

(수학적 귀납법의 이론적 근거가 페아노 공리계의 5번째 공리)

자연수의 성질

  1. 정렬성
    • 자연수집합 \mathbb{N} 의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 최소원소를 갖는다.
  2. 자연수 집합 \mathbb{N} 은 위로 유계가 아니다.
  3. 아르키메데스 성질
    • \forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. {1 \over n} < \epsilon
    • 어떤 양수든 그보다 더 작은 유리수가 적어도 1개 존재한다
  • 정리란 참인 명제
  • 성질은 정리로부터 자연스럽게 파생되는 것들
  • 법칙은 연산의 규칙

유리수와 무리수

  • 바빌로니아인들이 유리수를 사용했다는 증거가 있음
  • 무리수는 기원전 500년경 등장

집합의 구성

  1. 정수 집합
    • \mathbb{Z} = (-\mathbb{N}) \cup \{ 0 \} \cup \mathbb{N}
  2. 유리수 집합
    • \mathbb{Q} = \{ {m \over n} | m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \}
  3. 무리수 집합
    • \mathbb{I} = \mathbb{R} - \mathbb{Q} 

(위는 간략한 표현일 뿐 엄밀한 정의는 아님)

조밀성

Thm 1. [유리수의 조밀성]

\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a < r < b

어떤 두 실수 사이에도 유리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

  • case 1) 0 < a < b
    • a < b \Leftrightarrow 0 < b - a \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} (s.t. {1 \over n} < b - a) (아르키메데스 성질)
    • Let. S = \{ m \subseteq \mathbb{N} | m > na \} Then. S \neq \phi (위로 유계 아님 성질)
    • \therefore S (\subseteq \mathbb{N}) 의 최소원소는 m (정렬성 성질)
    • m > na \Leftrightarrow a < {m \over n}
    • m - 1 \notin S \Rightarrow m - 1 \leq na \Rightarrow {m - 1 \over n} \leq a
    • \therefore a < {m \over n} = {m -1 \over n} + {1 \over n} \leq a + {1 \over n} < b
  • case 2) a < 0 < b
    • 0이 유리수이므로 자명 trivial
  • case 3) a < b < 0
    • \Rightarrow 0 < -b < -a
    • \Rightarrow 0 < -b < -a
    • \therefore r \in \mathbb{Q} (s.t. - b < r < -a, \because case 1)
    • \Rightarrow a < -r < b

Thm 2. [무리수의 조밀성]

\forall a, b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \exists s \in \mathbb{I} s.t. a < s < b

어떤 두 실수 사이에도 무리수가 적어도 1개 존재한다.

증명)

  • a < b
    • \Rightarrow a + \sqrt{2} < b + \sqrt{2}
    • \exists r \in \mathbb{Q} s.t. a + \sqrt{2} < r <  b + \sqrt{2}
      • (유리수 조밀성, 어떤 두 실수 사이에도 유리수가 유리수 r 이 존재)
    • Let. s = r - \sqrt{2} \in \mathbb{I}
    • Then. a + \sqrt{2} < r < b + \sqrt{2} \Rightarrow a < s < b

실수

  • 히파소스가 수론적인 접근이 아니라 직각 이등변 삼각형을 이용해서 무리수를 발견하자. 그 전까지는 수론적인 논의가 융성했던 수학 흐름이 기하학으로 넘어감.
  • 그러나 기하적인 수 체계의 정의는 직관에 기댄 것이기 때문에 현대 수학에 이르러 수학적 엄밀성을 위해 실수 체계에 대한 공리가 만들어짐.

체 공리

집합 S S 에 부여된 두 이항연산 +, \cdot 가 다음 9개의 공리를 만족하면, 대수구조 (S, + \cdot) 를 체라 한다.

  1. x, y \in S \Rightarrow x + y = y + x
    • 덧셈에 대한 교환법칙
  2. x, y, z \in S \Rightarrow x + (y + z) = (x + y) + z
    • 덧셈에 대한 결합법칙
  3. \forall x \in S, \exists 0 \in S s.t. 0 + x = x
    • 덧셈에 대한 항등원
  4. \forall x \in S, \exists -x \in S s.t. x + (-x) = 0
    • 덧셈에 대한 역원 (연산 결과가 항등원이 나오게 하는 것)
  5. x, y \in S \Rightarrow x \cdot y = y \cdot x
    • 곱셈에 대한 교환법칙
  6. x, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z
    • 곱셈에 대한 결합법칙
  7. \forall x \in S, \exists 1(\neq 0) S s.t. 1 \cdot x = x
    • 곱셈에 대한 항등원. 곱셈의 항등원과 덧셈의 항등원이 달라야 하는 것이 공리
  8. \forall x (\neq 0) \in S, \exists x^{-1} \in S s.t. x \cdot (x^{-1}) = 1
    • 곱셈에 대한 역원
  9. x, y, z \in S \Rightarrow x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z
    • 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

(\mathbb{Q}, +, \cdot) (\mathbb{R}, +, \cdot) 는 모두 체다. (유리수 체, 실수 체)

  • 체 공리는 실수의 대수적 성질에 대한 것
  • 집합에 연산을 부여한 것을 대수적 구조라고 한다.
  • 이항연산은 집합 내의 원소들에 대해 연산을 한 결과가 집합 내에 존내하는 연산을 의미 –닫혀있는 연산

순서공리

순서 공리

\mathbb{R} 에는 다음 두 조건을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 P 가 존재한다.

  1. \forall x, y \in P, x + y \in P \wedge xy \in P
    • 집합 원소 간 덧셈과 곱셈이 모두 집합 내에 존재. 덧셈과 곱셈에 대해 닫힌 집합
  2. 임의의 x \in \mathbb{R} 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.
    1. x \in P
    2. x = 0
    3. -x \in P

위 조건을 만족하면 P 는 양의 실수 집합이 됨

삼분성질

Def. [부등식의 정의]

임의의 a, b \in \mathbb{R} 에 대하여

  1. a - b \in P \Rightarrow a > b \vee b < a
  2. a - b \in P \cup \{ 0 \} \Rightarrow a \geq b \vee b \leq a

순서 공리로부터 부등식을 정리함. P 는 양의 실수 집합이기 때문에 위와 같이 됨.

Thm. [삼분성질]

임의의 a, b \in \mathbb{R} 에 대하여 다음 중 단 하나만 성립한다.

  1. a > b
  2. a = b
  3. a < b

완비성 공리

  • Completeness. 연속성 공리라고도 함. 유리수의 조밀성을 뛰어넘는 실수의 조밀성.

완비성 공리

\mathbb{R} 의 공집합이 아닌 부분집합이 위로 유계이면 그 부분집합은 상한을 갖는다. (완비성 공리를 만족한다는 것은 부분집합의 상한을 원래 집합 내에서 잡을 수 있다는 것)

Def. [상한] 부분순서집합 A 의 부분집합 B 의 상계들의 집합이 최소원소를 가질 때 그 최소원소를 B 의 상한이라 하고 sup B 로 나타낸다.

유리수 집합은 완비성 공리를 만족하지 못함

주요 정리

Thm 1. 상한은 유일하다.

Thm 2. s \in \mathbb{R} 가 집합 S 의 상계일 때 다음 세 명제는 동치이다.

  1. s = sup S
  2. \forall \epsilon > 0, \exists x \in S s.t. s - \epsilon < x \leq s
  3. \forall \epsilon > 0, S \cap ( s - \epsilon, s ] \neq \phi

Thm 3. \mathbb{Q} 는 완비성을 갖지 않는다.

완비성 공리로부터 ‘1. 자연수 > (2) 자연수의 성질 > 2’도 증명 가능하다.

완비성의 예 – 무한소수

위로 유계인 임의의 무한소수 부분집합을 A 라 하자 이제

a_{0} = max \{ x_{0} | x_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}

a_{1} = max \{ x_{1} | a_{0}. x_{1} x_{2} x_{3} ... \in A \}

...

a_{k} = max \{ x_{k} | a_{0}. a_{1} ... a_{k-1} x_{k} x_{k+1} ... \in A \}

라 하면, 무한소수 a_{0}. a_{1} a_{2} a_{3} ... 은 집합 A 의 상한이다. 즉, 무한소수의 집합은 완비성 공리를 만족한다.

실수는 완비성, 순서성을 만족하는 체. 완비순서체라고도 한다.

이상엽/ 해석학/ 집합론 복습

집합

  • 현대 수학은 공리 –약속된 명제– 들로부터 논리를 쌓아가는 학문.
  • 수학의 가장 기본이 되는 공리계인 ZFC가 10개의 집합에 대해 서술하고 있음.
  • 대부분의 수학적 대상은 모두 집합으로 정의가 됨.
    • 사칙연산은 함수의 일종이고 함수는 집합으로 정의가 됨.

정의

다음 성질들을 만족시키는 원소 x 들의 모임을 집합이라 한다. (아래는 소박한 정의, 현대적 정의는 공리계가 따로 있음)

  1. 집합에 속하거나 속하지 않거나 둘 중 하나로써 명확하다.
  2. 원소들끼리는 서로 다르다.
  3. 원소들끼리는 순서에 따른 구분이 없으며, 연산이 주어지지 않는다.
  • x 가 집합 X 의 원소이면 x \in X 로 표현하고 원소가 아니면 x \notin X 로 표현한다.
  • 집합 U 의 원소 중에서 명제 P 를 만족시키는 원소로 이루어진 집합 X 를 조건제시법으로 X = \{ x \in U | P(x) \} 라 표현하며, 이때 U 를 전체집합이라 한다.
  • 공집합은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이며, 기호로 \phi 라 표현한다.

집합의 연산

합집합

집합 I = \{ 1, 2, ... , n \} 에 대하여 집합들 A_{i} (i \in I) 의 합집합은 (여기서 i 는 첨수라 하고 그 첨수들 모은 집합인 I 를 첨수족이라 한다)

\cup_{i \in I} A_{i} = \{ x | \exists i \in I s.t. x \in A_{i} \}

이고 특히 두 집합 A B 의 합집합을

A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \}

라 표현한다.

교집합

집합 I = \{ 1, 2, ... , n \} 에 대하여 집합들 A_{i} (i \in I) 의 교집합은

\cap_{i \in I} A_{i} = \{ x | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}

이고 특히 두 집합 A B 의 교집합을

A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \}

라 표현한다.

곱집합

집합 I = \{ 1, 2, ... , n \} 에 대하여 집합들 A_{i} (i \in I) 의 곱집합은 (데카르트곱 또는 카테시안곱이라고 한다. 카테시안은 데카르트의 라틴어 표현)

\Pi_{i \in I} A_{i} = \{ (x_{i})_{i \in I} | \forall i \in I s.t. x \in A_{i} \}

  • 여기서 (x_{i})_{i \in I} 는 튜플이라고 한다. 순서쌍이라고도 하는데 순서쌍은 원소가 2개짜리 튜플을 의미.
  • 튜플이란 여러 개 원소를 순서 있게 나열한 것.

이고 특히 두 집합 A B 의 곱집합을

A \times B = \{ (x_{1}, x_{2}) | x_{1} \in A \wedge x_{2} \in B \}

라 표현한다.

차집합

집합 A 에 속하지만 집합 B 에는 속하지 않는 원소의 집합을

A - B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B \} = A \cap B^{c}

라 표현하며, A B 의 차집합이라 한다.

전체집합 U 에 대하여 U - A = A^{c} 라 표현하며 A 의 여집합이라 한다.

  • 다음이 성립한다.
    • 드모르간 법칙
      • (\cup_{i \in I} A_{i})^{c} = \cap_{i \in I} A_{i}^{c}
      • (\cap_{i \in I} A_{i})^{c} = \cup_{i \in I} A_{i}^{c}
    • 분배 법칙
      • A \cap (\cup_{i \in I} B_{i}) = \cup_{i \in I} (A \cap B)
      • A \cup (\cap_{i \in I} B_{i}) = \cap_{i \in I} (A \cup B)
      • A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
      • A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)
      • A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

포함관계

  • 만약 집합 A 에 속하는 모든 원소가 집합 B 의 원소이기도 하면 A \subseteq B 라 표현하며, A B 의 부분집합이라 한다.
  • 만약 A \subseteq B 이면서 동시에 B \subseteq A 이면 A = B 라 표현하며, A B 가 서로 같다고 한다.
  • 만약 A \subseteq B 이면서 A \neq B 이면 A \subset B 라 표현하며, A B 의 진부분집합이라 한다.
  • 집합 A 의 모든 부분집합들의 집합을 P(A) 라 표현하며 A 의 멱집합이라 한다. (P는 Power Set)
  • 집합 기호
    • \mathbb{N} : 모든 자연수의 집합
    • \mathbb{Z} : 모든 정수의 집합
    • \mathbb{Q} : 모든 유리수의 집합
    • \mathbb{R} : 모든 실수의 집합
    • \mathbb{C} : 모든 복수수의 집합

함수

정의

두 집합 X, Y 에 대하여 아래 두 조건을 만족하는 X \times Y 의 부분집합 f 를 함수라 한다. (두 집합의 곱집합의 부분집합이 함수가 됨)

  • \forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. (x, y) \in f
    • (모든 x y 값을 갖는다)
  • (x, y_{1}) \in f \wedge (x, y_{2}) \in f \Rightarrow y_{1} = y_{2}
    • (x y 값을 1개만 갖는다)

이때 함수를 f : X \to Y 라 표현하며, (x, y) \in f 이면 y = f(x) 라 표현한다.

  • 집합 A \subseteq X 및 함수 f : X \to Y 에 대하여 f(A) = \{ f(a) | a \in A \} A 의 상(Image)이라 한다.
  • 집합 B \subseteq Y 및 함수 f: : X \to Y 에 대하여 f^{-1}(B) = \{ x \in X | f(x) \in B \} B 의 원상(Pre Image)이라 한다.
  • f : X \to Y 에서 X 를 정의역(Domain) Dom(f) , Y 를 공역(Codomain) f(X) = \{ f(x) | x \in X \} 를 치역(Range) Rng(f) 라 한다.

함수의 종류

함수 f : X \to Y 에 대하여

  • 전사: Rng(f) = Y
    • (치역 = 공역, 남는 y 가 없다)
  • 단사: x_{1} \neq x_{2} \in X \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})
    • (y x 를 1개씩 갖는다)
  • 전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일대응이라고도 한다.

  • 1
    • Y 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
    • Y 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
    • 고로 전사도 단사도 아님
  • 2
    • Y 에 남는 값이 있기 때문에 전사가 아님
    • Y 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
    • 고로 단사지만 전사는 아님. 단사 함수.
  • 3
    • Y 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
    • Y 에 2개의 화살을 받는 값이 있으므로 단사가 아님
    • 고로 전사지만 단사는 아님. 전사 함수
  • 4
    • Y 에 남는 값이 없기 때문에 전사가 됨
    • Y 에 2개의 화살을 받는 값이 없으므로 단사가 됨
    • 고로 전단사(일대일 대응) 함수가 됨.

여러 가지 함수

  • 항등함수: \forall x \in X, I_{X}(x) = x
    • (자기 자신이 그대로 나오는 함수)
  • 상수함수: \exists y_{0} \in Y, f(X) = y_{0}
    • (어떠한 값을 넣어도 항상 상수가 나옴)
  • 역함수: 전단사인 f : X \to Y 에 대해 f^{-1} : Y \to X
    • (함수를 뒤집은 함수인데, 전단사여야만 역함수가 가능)
  • 합성함수: 두 함수 f : X \to Y, g : Y \to Z \forall x \in X, (g \circ f)(x) = g(f(x))

집합의 크기

정의

  • 집합의 크기란 집합의 원소 개수에 대한 척도이다.
  • 두 집합 X, Y 에 대하여 전단사함수 f : X \to Y 가 존재하면 X Y 는 동등이며, X \approx Y 라 표현한다.
  • 집합 X 의 적당한 진부분집합 Y X 와 동등하면 X 는 무한집합이다.
  • 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.
  • 집합 X X \approx \mathbb{N} 일 때 X 를 가부번집합이라 한다.
  • 유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다.
  • 가부번집합이 아닌 무한집합을 비가산집합이라 한다.

여러 가지 정리

  • \mathbb{N} \approx \mathbb{Z} \approx \mathbb{Q}
  • \mathbb{R} 는 비가부번집합이다.
  • \mathbb{R} \approx \mathbb{R} - \mathbb{Q} \approx \mathbb{C}
  • 칸토어의 정리: 공집합이 아닌 임의의 집합 X 에 대하여 P(X) 의 크기는 X 의 크기보다 크다.
  • P(\mathbb{N}) \approx \mathbb{R}

순서관계

  • (기본적인 집합에 연산구조, 순서구조, 위상구조 등을 부여할 수 있음)

순서집합

아래 조건들을 만족하는 집합 X 위의 이항 관계 \leq 를 부분순서관계라 한다.

  1. \forall x \in X, x \leq x
    • (반사적, reflexive)
  2. \forall x, y, z \in X, x \leq y \leq z \Rightarrow x \leq z
    • (추이적, transitive)
  3. \forall x, y \in X, x \leq y \leq x \Rightarrow x = y
    • (반대칭적, antisymmetric)
  • 부분순서관계 \leq 를 갖춘 집합을 부분순서집합이라 한다.
  • 부분순서집합 X 의 어떤 두 원소 x, y x \leq y \vee y \leq x 을 만족하면 x y 는 비교가능하다고 한다.
  • 부분순서집합 X 의 임의의 두 원소가 비교가능하면 X 를 전순서집합이라 한다.

상(하)계, 극대(소), 최대(소)

부분순서집합 X 의 부분집합 A 에 대하여

  • \forall a \in A, a \leq x 를 만족하는 x \in X A 의 상계(upper bound)라 한다.
  • 상계가 존재하는 A 를 ‘위로 유계(bounded)이다’라고 한다.
  • 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 집합을 유계집합이라 한다.
  • a > m a \in A 가 존재하지 않을 때 m \in A A 의 극대원소라 한다.
  • \forall a \in A, a \leq g g \in A A 의 최대원소라 한다.

각 항목의 부등호 방향을 바꿔주면 각각 하계(lower bound), 아래로 유계, 유계집합, 극소원소, 최소원소의 정의가 된다.

  • 집합 A의
    • 상계: l, m, n
    • 최소상계: l
    • 하계: a, d, e, f
    • 최대하계: 없음
    • 극대: j, k
    • 극소: g
    • 최대: 없음
    • 최소: g

이상엽/ 선형대수학/ 자료의 처리

우선순위 평가

인접행렬

개념

요소간의 연결 관계를 나타내는 정사각 행렬

  • 참조한 (화살표가 나가는) 쪽은 행에, 참조된 (화살표를 받는) 쪽은 열에 쓴다.
    • 1은 2와 3으로 화살표를 쏘고 있으므로, 1행은 2열과 3열에 값이 있음.

권위벡터와 허브벡터

n \times n 인접행렬 A = (a_{ij}) 에 대하여

\left( \begin{array}{rrrr} \sum_{i = 1}^{n} a_{i1} \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{i2} \\ ... \\ \sum_{i = 1}^{n} a_{in} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} \sum_{j = 1}^{n} a_{1j} \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{2j} \\ ... \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{nj} \end{array} \right) 을 각각 A 의 권위벡터와 허브벡터라 하며, 각 벡터의 성분을 권위 가중치와 허브가중치라 한다.

  • 가중치로부터 중요도를 판단한다는게 아이디어
    • 권위 벡터(u_{0} )는 연관받은 (열) 데이터에 대한 벡터가 된다. 그 각각의 값은 권위 가중치가 된다.
    • 허브 벡터(v_{0} )는 연관한 (행) 데이터에 대한 벡터가 된다. 그 각각의 값은 허브 가중치가 된다.
  • 권위 벡터와 허브 벡터는 상호작용을 기반으로 계속 값이 업데이트 된다.
    • 업데이트 되는 와중에 어떤 기준선에 도달하여 값이 안정되면 최종적으로 그 벡터를 중요도 평가에 사용한다.

순위평가 원리

인접행렬 A 와 초기권위벡터 u_{0} 와 초기허브벡터 v_{0} 에 대하여

u_{k} = \begin{cases} u_{0} & k =0 \\ {A_{v_{k}}^{T} \over \|A_{v_{k}}^{T}\|} & k > 0 \end{cases},  v_{k} = \begin{cases} v_{0} & k =0 \\ {A_{v_{k-1}} \over \|A_{v_{k-1}}\|} & k > 0 \end{cases}

  • 현재 권위 벡터는 이전 허브 벡터의 값을 원본 행렬(의 전치 행렬)에 곱하여 구하고, 마찬가지로 현재 허브 벡터는 이전 권위 벡터의 값을 원본 행렬에 곱하여 구한다.
    • 이 곱을 반복하여 값을 업데이트 한다.
  • 다만 이것을 점화식을 이용해서 구성하면 자기 자신만 보면 되는 (권위 벡터는 권위 벡터만으로, 허브 벡터는 허브 벡터만으로) 해석적인 결과가 구성되고, 이를 컴퓨터에 넣어서 계속 돌리면 값이 나온다.

와 같이 새로운 정규화된 권위벡터 u_{k} 와 허브벡터 v_{k} 를 정의한다. (k 는 정수)

이때 u_{k}, v_{k} 를 연립하면 다음과 같이 정규화된 u_{k} v_{k} 의 점화식을 얻을 수 있다.

u_{k} = {A_{v_{k}}^{T} \over \|A_{v_{k}}^{T}\|} = {A^{T}({A_{u_{k-1}} \over \|A_{u_{k-1}}\|}) \over \|A^{T}({A_{u_{k-1}} \over \|A_{u_{k-1}}\|})\|} = {(A^{T}A)_{u_{k-1}} \over \|(A^{T}A)_{u_{k-1}}\|}

마찬가지로 v_{k} = {(AA^{T})_{v_{k-1}} \over \|(AA^{T})_{v_{k-1}}\|}

이 벡터들이 안정화가 되었다고 판단되는 상태로부터 각각 최종 중요도를 판별한다.

사례

10개의 인터넷 페이지(ㄱ~ㅊ)들 간의 인접행렬 $latex A &s=2가 다음과 같다고 하자.

앞에서 소개된 절차에 따라 $latex A &s=2의 정규화된 권위벡터가 안정화 될 때까지 반복계산한 결과는 다음과 같다.

  • 위 수식은 소숫점 4자리까지만 연산하는데, u_{9}, u_{10} 에 도달하면 값의 차이가 없기 때문에 더는 연산을 하지 않고 멈춘다.
    • 만일 소숫점 자리를 5자리 이상으로 보면 더 돌 수 있다.

따라서 $latex A &s=2 권위가중치로부터 페이지 ㄱ, ㅂ, ㅅ, ㅈ는 관련이 적고, 그 외의 페이지는 중요도가 높은 것부터 ㅁ > ㅇ > ㄴ > ㅊ > ㄷ = ㄹ 순서대로 검색엔진에서 노출되어야 함을 알 수 있다.

  • 요게 바로 구글 페이지 랭크 연산 방식
  • 주요 키워드) 거듭제곱법(power method), 우세 고유벡터/값(dominant eigen vector/value)

자료압축

특잇값 분해

분해

한 행렬을 여러 행렬들의 곱으로 표현하는 것

ex) QR  분해, LU 분해, LDU 분해, 고윳값 분해, 헤센버그 분해, 슈르 분해, 특잇값 분해 등

특잇값

m \times n 행렬 A 에 대하여 \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{n} A^{T}A 의 고윳값일 때

\sigma_{1} = \sqrt{\lambda_{1}}, \sigma_{2} = \sqrt{\lambda_{2}}, ... \sigma_{n} = \sqrt{\lambda_{n}}

A 의 특잇값이라 한다.

  • 고윳값을 만들려면 정사각 행렬이어야 한다. 반면 특잇값은 임의의 행렬에서도 만들어낼 수 있음.
    • 일반적인 행렬을 정사각 행렬로 만들기 위해  m \times n 행렬 A 에 대하여 A^{T}A 를 한 후 거기서 특이값을 추출한다.

ex) 행렬 A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) 에 대하여

A^{T}A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) 이므로

A^{T}A 의 고유방정식은 \lambda^{2} - 4 \lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 이다

따라서 A 의 두 특잇값은 각각 \sqrt{3}, 1 이다.

특잇값 분해

영행렬이 아닌 임의의 m \times n 행렬 A 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

A = U \Sigma V^{T}

이때 U, V 는 직교행렬이며, A 는 주대각성분이 \Sigma 의 특잇값이고 나머지 성분들은 0 m \times n 행렬이다.

  • 여기서 \Sigma 는 합을 의미하는 것이 아니라 \sigma 의 대문자 형태이다. (벡터를 의미하는 \sigma 의 행렬 형태)

ex) 행렬 A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) 는 다음과 같이 특잇값 분해된다.

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} {\sqrt{6} \over 3} & 0 & - {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & -{\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & {\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} {\sqrt{2} \over 2} & {\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{2} \over 2} & -{\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right)

축소된 특잇값 분해

특잇값 분해에서 0 인 성분들로만 이루어진, 대수적으로 무의미한 행 또는 열을 제거한 형태를 축소된 특잇값 분해라고 한다.

즉, A = U_{1} \Sigma_{1} V_{1}^{T} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k}) \left( \begin{array}{rrrr} \sigma_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & \sigma_{k} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} v_{1}^{T} \\ v_{2}^{T} \\ ... \\ v_{k}^{T} \end{array} \right)

또한 축소된 특잇값 분해를 이용하여 행렬 A 를 다음과 같이 전개한 것을 A 의 축소된 특잇값 전개라 한다.

A = \sigma_{1}u_{1}v_{1}^{T} + \sigma_{2}u_{2}v_{2}^{T} + ... + \sigma_{k}u_{k}v_{k}^{T} 

ex)

\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} {\sqrt{6} \over 3} & 0 & - {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & -{\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \\ {\sqrt{6} \over 6} & {\sqrt{2} \over 2} & {1 \over \sqrt{3}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} {\sqrt{2} \over 2} & {\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{2} \over 2} & -{\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right)

= \left( \begin{array}{rrr} {\sqrt{6} \over 3} & 0 \\ {\sqrt{6} \over 6} & -{\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{6} \over 6} & {\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} {\sqrt{2} \over 2} & {\sqrt{2} \over 2} \\ {\sqrt{2} \over 2} & -{\sqrt{2} \over 2} \end{array} \right)

= \sqrt{3}u_{1}v_{1}^{T} + u_{2}v_{2}^{T}

자료압축 원리

압축되지 않은 m \times n 행렬 A 를 위한 필요 저장 공간은 mn 이다.

A 를 축소된 특잇값 분해한 결과가 A = \sigma_{1}u_{1}v_{1}^{T} + \sigma_{2}u_{2}v_{2}^{T} + ... + \sigma_{k}u_{k}v_{k}^{T}  라면

이제 필요한 저장 공간은 k + km + kn = k(1 + m + n) (\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq ... \geq \sigma_{k}) 이다.

  • k 는 특잇값 개수 = \Sigma 의 행개수 or 열개수
  • m U 의 행 개수 = u_{i} 의 성분개수
  • n V^{T} 의 열 개수 = v_{i}^{T} 의 성분개수

충분히 작다고 판단되는 \sigma_{r+1}, ... \sigma_{k} 에 대응하는 항들을 추가로 제거하면, 이때 필요한 저장 공간은 r(1 + m + n) 뿐이다.

이상엽/ 선형대수학/ 최적화 문제

곡선 적합

보간법

개념

주어진 특징 점들을 포함하는 함수를 구하는 방법

정리) 좌표평면에 있는 임의의 서로 다른 n 개의 점을 지나는 k 차 다항함수는 유일하게 존재한다. (단 k k < n 인 자연수)

사례

네 점 (1, 3), (2, -2), (3, -5), (4, 0) 을 모두 지나는 3차 함수

f(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}

를 구하자. 우선 다음의 방정식을 세운다.

Step 1)

\left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & x_{1}^{3} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & x_{3}^{3} \\ 1 & x_{4} & x_{4}^{2} & x_{4}^{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array} \right)

Step 2) 네 점을 대입하고 첨가행렬을 만든다.

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right)

Step 3) 첨가행렬을 가우스-조던 소거법을 이용하여 풀이한다.

\left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 & 8 & -2 \\ 1 & 3 & 9 & 27 & -5 \\ 1 & 4 & 16 & 64 & 0 \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)

Step 4) 

a_{0} = 4, a_{1} = 3, a_{2} = -5, a_{3} = 1 이므로 f(x) = 4 + 3 x - 5 x^{2} + x^{3} 이다.

  • 곡선 접합은 현재 가진 데이터에 대해 분석은 잘 할 수 있지만, 신규 데이터가 현재 그려 놓은 곡선 위에 존재한다는 보증이 없음. 유연성이 매우 떨어진다.
    • 애초에 데이터를 모두 포함하는 함수가 존재하지 않는 경우도 많음.

최소제곱법

  • 곡선 접합의 단점을 보완할 수 있는 방법.
  • 가우스가 창안한 방법으로 가우스는 이 방법을 통해 소행성 ‘세레스’ 의 궤도를 정확히 예측해 냄.

개념

특징 점들을 포함하는 함수를 특정 지을 수 없을 때, 실제 해와의 오차 제곱 합이 최소가 되는 근사적인 해를 구하는 방법

정리) 방정식 Ax = B 을 변형한 방정식 A^{T}Ax = A^{T}B (정규방정식)의 모든 해는 Ax = B 의 최소제곱해이다.

  • 요게 결국 선형회귀이다.
  • A^{T}Ax = A^{T}B (정규방정식)의 모든 해는 Ax = B 의 최소제곱해이라는 부분은 증명이 복잡하므로 강의 상에서는 생략.

사례

네 점 (0, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4) 에 근사하는 일차 함수 f(x) = a_{0} + a_{1} x 을 구하자. 우선 다음의 방정식을 세운다.

Step 1) Ax = B

\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \\ 1 & x_{3} \\ 1 & x_{4} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{0} \\ a_{1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array} \right)

Step 2) 네 점을 대입하고 정규방정식 A^{T}Ax = A^{T}B 으로부터 방정식 x = (A^{T}A)^{-1} A^{T}B 을 구성한다.

A^{T}A = \left( \begin{array}{rr} 4 & 6 \\ 6 & 14  \end{array} \right) 이므로

(A^{T}A)^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 4 & 6 \\ 6 & 14  \end{array} \right)^{-1} = {1 \over 10} \left( \begin{array}{rr} 7 & -3 \\ -3 & 2  \end{array} \right)  

\therefore x = {1 \over 10} \left( \begin{array}{rr} 7 & -3 \\ -3 & 2  \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3  \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrrr} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 4  \end{array} \right)

Step 3) x = \left( \begin{array}{rr} a_{0} \\ a_{1}  \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} {2 \over 3} \\ 1 \end{array} \right) 이므로 구하고자 하는 함수는 f(x) = {3 \over 2} + x 이다.

n차 일반화

m 개의 자료점 (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ... , (x_{m}, y_{m}) 에 대해 n 차 다항식 y = a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n} 을 최소제곱법을 이용하여 근사하기 위해서는 Ax = B

A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & x_{1} & ... & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2} & ... & x_{2}^{n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & x_{m} & ... & x_{m}^{n} \end{array} \right), x = \left( \begin{array}{rrrr} a_{0} \\ a_{1} \\ ... \\ a_{n} \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{rrrr} y_{1} \\ y_{2} \\ ... \\ y_{m} \end{array} \right)

로 설정하면 된다.

두 방법의 비교

  보간법 최소제곱법
목표 데이터를 모두 포함하는 함수 데이터의 경향을 반영하는 함수
데이터의 수 적을 수록 좋음 많아도 무방함
정밀도 매우 높음 상대적으로 낮음
신축성 조절이 어려움 조절이 자유로움

이차형식의 최적화

이차형식

가환환 K 위의 가군 V 에 대해 다음 세 조건을 만족시키는 함수 Q : V \to K

  • \forall k, l \in K, \forall u, v, w \in V
    • Q(kv) = k^{2} Q(v)
    • Q(u + v + w) = Q(u + v) + Q(v+w) + Q(u+w) - Q(u) - Q(v) - Q(w)
    • Q(kv + lv) = k^{2} Q(u) + l^{2} Q(v) + kl Q(u+v) - klQ(u) - klQ(v)

ex 1) R^{2} 상의 일반적인 이차형식은 다음과 같다.

a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + 2a_{3}x_{1}x_{2} \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} x_{1} & x_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{1} & a_{3} \\ a_{3} & a_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x_{1} \\ x_{2}  \end{array} \right)

ex 2) R^{3} 상의 일반적인 이차형식은 다음과 같다.

a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + a_{3}x_{3}^{2} +  2a_{4}x_{1}x_{2} + 2a_{5}x_{1}x_{3} + 2a_{6}x_{2}x_{2}

\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrr} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} a_{1} & a_{4} & a_{5} \\ a_{4} & a_{2} & a_{6} \\ a_{5} & a_{6} & a_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right)

제약된 극값

개념

특정 제약 하에 결정되는 원하는 식의 최댓값 또는 최솟값

정리) n \times n 행렬 A 의 고윳값을 큰 순서대로 \lambda_{1}, \lambda_{2}, ... , \lambda_{n} 이라 하자. 이때 \|v\| = 1 제약 하에 v^{T}Av 의 최댓(솟)값은 \lambda_{1} (\lambda_{n}) 에 대응하는 단위고유벡터에서 존재한다.

사례

제약 x^{2} + y^{2} = 1 하에서

  • 위 제약 조건은 \vec{v} = (x, y) 로 정한 것과 같다. \|v\| = 1 이 된다.

z = 5 x^{2} + 5 y^{2} + 4xy

의 최댓값과 최솟값을 구하자. 우선 z 를 이차형식 v^{T} Av 형태로 변환한다.

Step 1) a_{1}x^{2} + a_{2}y^{2} + 2a_{3}xy

\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} x & y \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_{1} & a_{3} \\ a_{3} & a_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right) = v^{T} A v

즉, z = \left( \begin{array}{rr} x & y \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)

Step 2) 행렬 A = \left( \begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{array} \right) 의 고윳값과 고유벡터를 구한다.

\Rightarrow \begin{cases} \lambda_{1} = 7 & v_{1} = (1, 1) \\ \lambda_{2} = 3 & v_{2} = (-1, 1) \end{cases}

Step 3) 고유벡터를 정규화한다.

\Rightarrow \begin{cases} \lambda_{1} = 7 & v_{1} = ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \\ \lambda_{2} = 3 & v_{2} = (-{1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) \end{cases}

Step 4) 따라서 (x, y) = ({1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) 일 때 z 는 최댓값 7을 갖고, (x, y) = (-{1 \over \sqrt{2}}, {1 \over \sqrt{2}}) 일 때 z 최솟값 3을 갖는다.

물론 v_{1} = (-1, -1), v_{2} = (1, -1)   등으로 설정해도 무방하며, 최댓(솟)값은 변하지 않는다.