선형사상

선형사상

• 사상이란 대수구조를 다루는 함수.
  • 엄밀히 말하면 함수보다 더 포괄적인 개념이지만, 둘이 흡사하기 때문에 혼용해서 사용함.
• 선형사상이란 가산성(additivity)과 동차성(homogeneity)을 만족하는 사상

정의

-벡터공간 에 대하여 의 성질을 보존하는 다음 두 조건을 만족하는 사상

• 
  • 가산성
• 
  • 동차성
• L은 선형사상이기 때문에 사용하는 기호로, L이 붙어 있으면 선형 사상이라고 보면 된다.

관련 용어

가 선형사상일 때

• 핵 (kernel):
  • 일종의 공역 개념
• 상 (image):
  • 일종의 치역 개념
• 자기사상: 인
• 단사사상: 인
• 전사사상: 인
• 동형사상: 단사사상인 전사사상
• 자기동형사상: 자기사상인 동형사상
• 항등사상: 인
• 사상의 합성: 두 선형사상 의 합성은 로 쓴다.
• 역사상
  • 일 때, 를 의 왼쪽 역사상, 을 의 오른쪽 역사상이라 한다.
  • 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상을 양쪽 역사상 또는 역사상이라 한다.

여러 선형사상

가 선형사상이고 일 때

• : 영사상
• : 항등사상
• (단, k는 스칼라)
• (단, )
• (단, $latex v_{0} \in V)

선형대수학의 기본정리

-벡터공간 에 대하여 에서 로의 선형사상의 집합을 라 하고, 다음과 같이 위에 합과 스칼라배를 정의한다. ()

• 
• 

이제 위의 행렬들의 집합을 라 하고, 두 사상 를 다음과 같이 정의한다.

• 
  
  • 
  • 선형사상에서 행렬로 가는 사상
• 
  • 
  • 행렬에서 선형사상으로 가는 사상
• [기호 설명]

• • 는 의 는 의 순서기저, 즉, 기저의 원소들은 순서가 정해져있고 바뀌지 않는다.
    • ex)
    • 이때 가 의 순서기저가 된다.
  • 에 대해
    • ex)
    • 쉽게 말해 선형결합의 계수들을 모아 열벡터로 만든 것이다.
  • 
    • ex)
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 

그러면 와 는 모두 동형사상이다. 또한 두 사상 와 는 서로 역사상 관계이다.

• 선형사상에서 행렬로 가는 사상과, 행렬에서 선형사상으로 가는 것이 동형사상이므로, 선형사상에 대해서는 그냥 행렬을 이용하면 된다.

위에 대한 증명)

선형사상에서 행렬로 가는 에 대해서

• 선형사상 증명
  • 가산성 증명
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 동차성 증명
    • 
    • 
    • 
    • 
• 동형사상 증명
  • 단사사상 증명
    • 
    • 
    • 
    • 한편, 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 전사사상 증명
    • 
    • 의 번째 열
    • 이제
    • 
    • 
• 위의 증명에 따라 선형사상에 적용되는 것은 모두 행렬에 대해 적용 가능

사상 에 대해서

• 선형사상 증명
  • 가산성 증명
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 즉, 
  • 동차성 증명
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
• 동형사상 증명
  • 단사사상 증명
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 
  • 전사사상 증명
    • 
    • 
    • 
    • 

와 는 역사상 관계

• 
  • 
  • 는 항등사상
• 
  • 
  • 는 항등사상
• 고로 와 는 역사상 관계

차원정리

차원정리

유한차원 벡터공간 와 선형사상 에 대하여 다음이 성립한다.

• 증명)
  • 
  • 이므로
  •  
  • 목표 
• 생성 증명
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
    • 
  • 
  • 
• 선형독립 증명
  • 라 하자
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 은 선형독립

비둘기집 원리

따름정리

차원이 같은 두 유한 차원 벡터공간 사이에 선형사상 이 정의되어 있으면 다음이 성립한다.

은 전사 은 단사 은 전단사

• 증명)
  • 이 전사 단사
    • 
    • if 이 전사
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
      • 
  • 이 단사 전사
    • if 이 단사
    • 
    • 
    • 이면서
    • 따라서

비둘기집 원리

공집합이 아닌 두 유한집합 의 크기가 서로 같을 때, 함수 는 다음을 만족한다.

은 전사 은 단사 은 전단사

계수정리

관련 용어

행렬 에 대하여

• 열공간: 의 열벡터들로 생성된 공간
• 열계수: 열공간의 차원.
• 행공간: 의 행벡터들로 생성된 공간
• 행계수: 행공간의 차원.
• 영공간: 연립방정식 의 해공간
• 의 영공간 차원

예)

• 
  
  • 열공간
    • 
    • 
  • 행공간
    • 
    • 
    • 
  • 영공간
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 

계수정리

계수정리

행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

이때 행렬 행렬 에 대하여의 행공간 및 열공간의 공통차원을 의 계수 이라 한다.

• 증명) 행렬 를 의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
  • 
  • : 선도 1을 포함하는 열의 개수 = 선도 1의 개수
  • : 선도 1을 포함하는 행의 개수 = 선도 1의 개수
  • 

Rank-Nullity 정리

행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

• 증명) 행렬 를 의 기약행사다리꼴 행렬이라 하자
  • 라 하면
  • 의 선도 1의 개수
  • 자유변수 개수
  • 
  • 즉, 

Rank-Nullity를 선형사상으로 변환하면 다음과 같다.

• 
• 

대수구조

대수구조

수 뿐만 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공리로써 엮인 수학적 대상.

간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 한다.

여러 대수구조

• 집합: 아무런 연산이 부여되지 않은 대수구조
• 반군: 집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조
• 모노이드: 항등원을 갖는 반군
• 군: 역원을 갖는 모노이드
• 아벨군(가환군): 교환법칙이 성립하는 군
  • 아벨군이 되면 1종류의 이항 연산에 대해 4개의 기본 연산을 만족하게 됨. (결합법칙/교환법칙/항등원/역원)
• 환: 덧셈에 대하여 아벨군, 곱셈에 대하여 반군을 이루고 분배법칙이 성립하는 대수구조
  • 환부터는 2종류의 이항 연산이 부여 됨.
  • 1종류의 이항 연산은 아벨군을 만족해야 하고, 나머지 1종류의 이항 연산은 반군을 만족 시켜야 함.
• 가군: 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군
  • 벡터공간은 가군의 한 종류
  • 가군은 환에서 원소를 받는게 기본이지만, 벡터공간은 보다 엄격하게 체에서 원소를 받아 온다.
• 가환환: 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환
  • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 추가로 교환 법칙을 만족. 하지만 항등원과 역원은 존재하지 않는다.
• 나눗셈환: 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환
  • 환 중에 반군을 만족 시키는 나머지 1종류의 연산이 항등원과 역원을 가짐. 하지만 교환 법칙은 만족하지 않는다.
• 체: 가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조
  • 2종류의 이항연산이 모두 4개의 기본연산을 만족 함.

-> 이런식으로 표기되면 대수구조가 된다. 대상이 되는 집합을 정의하고 그 집합에 적용되는 연산에 대한 정의가 되면 대수구조가 된다.

환 이전까지는 연산의 종류가 1종류이고 환 이후로 체까지는 연산의 종류가 2가지가 됨. 연산의 종류가 3개 이상인 경우도 있으나 여기서는 생략.

벡터공간

벡터공간

체 에 대한 가군 을 벡터공간, V의 원소의 벡터라 한다.

이때 는 벡터의 덧셈이고, 는 벡터의 스칼라배이다.

• 참고)
  • 인 함수
  • 인 함수
• 는 아벨군이다. (
  
  • 
  • 
  • 인 가 에 존재한다.
  • 인 가 에 존재한다.
• 는 의 가군이다. (
  • 
  • 의 곱셈 항등원 1에 대해
  • 

수학적으로 벡터란 벡터공간의 원소를 의미함. 벡터공간이란 벡터 대수구조를 만족하는 것을 의미. –아래 예시와 같이 덧셈 연산을 곱셈으로, 곱셈 연산을 지수 연산으로 바꾸어도 벡터 대수구조를 만족하므로 벡터 공간이 된다. 고로 그 집합에 속하는 원소 또한 벡터가 됨–

방향 같은 개념은 수학적인 벡터의 고려 대상이 아님. 그러나 이와 같은 정의가 만족되면 물리적인 벡터에 대해서도 동일하게 적용이 가능. 물리적인 벡터 개념에서 엄밀한 개념만 남긴 것이 수학적 벡터 개념.

• ex)
  • 벡터에 대한 집합과 다음과 같이 정의할 때
    • 
    • 
    • 
      • +를 곱셈으로 정의
      • V의 원소와 V의 원소에 대한 +을 하면 그 결과가 V가 나온다.
    • 
      • 을 지수곱으로 정의
      • F의 원소와 V의 원소에 대한 을 하면 그 결과가 V가 나온다.
  • 이와 같은 정의 또한 벡터공간의 대수구조를 만족하므로 벡터공간이라 할 수 있다.
    • 는 아벨군이 되고, 은 가군이 된다.

선형생성

부분벡터공간

벡터공간 상에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 되는 의 부분집합 를 의 부분벡터공간 또는 부분공간이라 한다.

선형생성

벡터공간 의 공집합이 아닌 부분집합 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, 의 부분벡터공간을 의 (선형)생성 이라 한다. 즉,

이때 가 을 (선형)생성한다 라고 한다.

• ex)
  • 라 할 때 –S는 (1, 0), (0, 1)의 벡터를 가진 집합
  • 
  • 
  • 
  • S라는 집합은 2차원 실수 벡터 공간을 생성한다. (= (1, 0), (0, 1) 이라는 벡터 2개만 있으면 2차원 실수 벡터 공간을 만들 수 있다)

선형 독립

벡터공간 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여

이면 가 선형독립이라고 한다. 만약 외의 다른 해가 존재하면 S가 선형종속이라고 한다.

• ex)
  • 라 할 때
    • 를 만족하는 K의 값은
    • 과 같이 모든 k가 0이지 않은 해가 존재하므로 은 선형종속집합이 된다.
  • 라 할 때
    • 를 만족하는 K의 값은
    • 뿐이므로 은 선형독립집합이 된다.

여러 벡터공간

노름공간

노름이 부여된 K-벡터공간

노름이란 에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수

이다.

• 
• 
• 

내적공간

내적이 부여된 K-벡터공간

내적이란 에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수

이다.

• 
• 
• 
  • (복소수체 일 때는 위에 바가 붙고, 실수에서는 붙지 않는다)
• 

유클리드공간

음이 아닌 정수 에 대하여 차원 유클리드공간 은 실수집합 의 번 곱집합이며, 이를 차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 한다.

이 위에 내적 을 정의하면 점곱, 스칼라곱이라고도 한다.

기저와 차원

기저

벡터공간 의 부분집합 가 선형독립이고 를 생성할 때, 를 의 기저라 한다.

• ex)
  • 
  • 일 때
    •  
    • 은 의 기저
  • 일 때
    • 
    •  
    • 도 를 생성할 수 있고 선형독립이므로 의 기저가 된다.
  • 일 때
    • 를 만족하지만, 선형독립이 아니므로 는 의 기저가 안 된다.

차원

가 벡터공간 의 기저일 때 의 원소의 개수를 의 차원 라 한다.

• ex)
  • 앞선 예에서 는 의 기저이고 의 원소의 개수는 2개이므로 는 2차원이 된다.

정규기저

다음 조건을 만족하는 노름공간 의 기저 를 정규기저라 한다.

직교기저

다음 조건을 만족하는 내적공간 의 기저 를 직교기저라 한다.

정규직교기저

정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정규직교기저라 한다.

특히 의 정규직교기저 

를 표준기저라 한다.

• ex) 에 대하여
  • 는 정규기저도 아니고 직교기저도 아니다.
  • 는 정규기저지만 직교기저는 아니다.
  • 는 정규기저는 아니지만 직교기저이다.
  • 는 정규기저이고 직교기저이다. 이를 특별히 표준기저라고 한다.

벡터와 좌표계

평면벡터

에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

• 벡터는 크기와 방향만 고려하므로 위치가 다르더라도 크기와 방향이 같으면 같은 것으로 인정한다. 고로 아래 이미지상 v와 동일한 벡터는 d가 된다.

공간벡터

에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구

n차원 벡터

상의 벡터

• 영벡터
• 두 벡터 가 같다
  • 

벡터의 연산

노름

• 벡터의 크기 (또는 길이) 라고 한다.
  • 
• 노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
  • 정규화: 벡터의 단위 벡터 (크기를 1)로 만드는 과정.
    • 
• 등을 표준 단위벡터라고 한다.
  • 벡터를 표준단위 벡터를 이용하여 아래와 같이 표현 가능
  • 

선형결합

• 선형이라는 의미는 선으로 그려지는 것 보다는 –축소된 의미– ‘예측 가능한’ 이라는 의미로 이해하는 것이 좋다.
  • 역으로 비선형이라는 말은 ‘예측 불가능한’ (확률적인) 이라는 의미로 이해하는 것이 좋음.

벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터의 실수배

선형(일차) 결합

의 벡터 가 임의의 실수 에 대하여

의 형태로 쓰여지면 를 의 선형(일차)결합이라 한다.

스칼라 곱

한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기), 점곱 또는 내적

• 스칼라 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
• 점 곱(dot product) 또는 내적이라고도 한다.

(는 두 벡터 가 이루는 각)

• 개념적으로 봤을 때 두 벡터의 스칼라 곱은 두 벡터의 크기를 곱한 것으로 정의한다.
• 다만 벡터는 방향이라는 개념이 있기 때문에 단순 곱만이 아니라 추가적인 정의가 필요한데,
  • 일단 두 벡터 v, w가 같은 방향일 경우 스칼라 곱은 두 벡터의 곱으로 정의해 볼 수 있다.
    
    • 
  • 만일 두 벡터 v, w가 다른 방향일 경우, w를 v와 동일한 방향과 그렇지 않은 방향으로 분해해서 v와 곱할 수 있다.
    • 위 그림에서 w는 v와 일치하는 방향과 v와 수직인 방향으로 분해할 수 있는데, v와 일치하는 방향의 크기와 v를 곱한게 최종적인 벡터의 스칼라 곱으로 정의가 된다. (w의 크기보다 줄어드는데 이는 w의 수직 방향의 힘이 v와 같은 방향의 힘을 줄이기 때문이라고 이해할 수 있다.)
    • w를 v와 같은 방향의 벡터인 a와 v와 직교하는 방향의 벡터인 b로 분해하면 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.
    • 
      • 의 크기는 의 크기에 를 곱한 것과 같다.

벡터의 연산 성질

상의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

벡터 곱

방향은 두 벡터에 동시에 수직이고 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 상의 벡터, 가위곱, 또는 외적

• 벡터 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱
  • 같은 맥락에서 텐서 결과를 얻어 내기 위한 벡터 곱은 텐서 곱이라고 한다.
• 가위 곱(cross product) 또는 외적 이라고도 한다.
  • 사실 외적이라는 표현은 적절하지 못한 표현인데, 텐서 곱이 외적이기 때문.
• 벡터 곱은 오로지 3차원에서만 정의 되며, 2차원, 4차원 이상에서 정의 불가.
  • 반면 스칼라 곱은 N 차원에 대해 정의 가능.

• 벡터 곱의 크기는 두 벡터의 크기의 곱이 되고 (평행사변형의 면적), 방향은 두 벡터에 동시에 수직인 방향이 된다.
  • 벡터 곱은 순서가 중요한데, 순서에 따라 벡터 곱의 방향이 바뀐다.
  • 위 예시에서 는 위로, 는 아래로 가는 벡터가 된다.
• 벡터 곱 연산은 두 벡터의 행렬식으로 계산된다.

벡터 곱의 성질

상의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

• 
  • 벡터 곱 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.
• 
• 
• 
• 
• 
  • 자기 자신과 벡터 곱을 하면 영벡터가 된다.

벡터의 응용

직선의 표현

또는 에서 위치벡터가 인 점 를 지나며 방향벡터가 인 직선 상의 임의의 점 의 위치벡터 는

을 만족한다. (단, 는 임의의 실수)

• 직선의 방정식이 아니라 벡터 –위치벡터와 방향벡터– 를 통해서도 직선을 표현할 수 있다는 뜻.
  • 위치벡터란 원점을 시점으로 하는 벡터를 뜻한다.
  • 방향벡터란 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터를 뜻한다.
• 라는 직선의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 의 꼴이 된다.

평면의 표현

에서 위치벡터가 인 점 를 지나며 법선벡터가 인 평면 상의 임의의 점 의 위치벡터 는

을 만족한다. 

• 법선벡터는 평면상의 서로 다른 두 직선의 방향벡터들의 벡터 곱으로써 구하면 용이하다.
  • 법선벡터란 평면에 수직인 벡터를 뜻한다.

• 라는 평면의 방정식을 벡터를 이용해서 표현하면 의 꼴이 된다.

행렬

용어정리

용어	설명
성분	행렬 안에 배열된 구성원 (=항=원소)
행	행렬의 가로줄
열	행렬의 세로줄
행렬	개의 행과 개의 열로 이루어진 행렬
주대각선	행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선
대각성분	주대각선에 걸치는 행과 열의 지표수가 같은 성분 ( 성분) 대각성분으로만 이루어진 행렬을 대각행렬이라 한다. ex)
영행렬	모든 성분이 0인 행렬
전치행렬	에 대하여   i와 j의 자리를 바꾼 행렬
대칭행렬	인
정사각행렬	행, 열의 개수가 같은 행렬
단위행렬	모든 대각성분이 1이고 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

행렬의 연산

덧셈과 뺄셈

행렬 , 에 대해

상수배

행렬 에 대해

상수 에 대해

곱셈

행렬 와 행렬 에 대해

행렬

단,

행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않는다.

• 행렬의 곱셈은 함수 합성과 비슷한 개념이다.
• 두 함수가 라고 할 때, 두 함수의 합성은 다음과 같다.
  • 
• 두 행렬이 라고 할 때, 두 행렬의 곱은 다음과 같다.
  • 
• 결국 두 함수의 합성과 두 행렬의 곱이 결과가 같다.
  • 행렬의 곱의 규칙이 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 곱하는 이유가 이러한 까닭.

연립일차방정식

행렬의 표현

예를 들어 를

1. 는 가우스 조던 소거법
2. 은 역행렬을 이용

가우스 조던 소거법

다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.

1. 한 행을 상수배한다.
2. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.
3. 두 행을 맞바꾼다.

역행렬 이용

연립일차방정식 에서 의 역행렬 가 존재하면, 이다

예를 들어

행렬식

행렬식이란?

정사각행렬 를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수.

• 행렬식은 행렬보다 먼저 있었던 개념.

이때 가

• 란 행렬 에서 행과 열을 제외한 나머지 행렬을 말함.
  
  • M은 Minor Matrix로 소행렬이라고 한다. (원래 행렬에서 일부를 제외한 나머지 행렬)
• M은 꼭 1행을 기준으로 잡지 않아도 된다. 1열을 기준으로 하거나 다른 것을 기준으로 해도 결과는 같다.
  • 최종적으로  의 꼴이 나오기만 하면 되기 때문.
• 사루스 법칙
  • 첫 번째 원소로부터 오른쪽 아래 대각선으로 그으면서 곱하여 더함. 모두 더한 후에는 가장 오른쪽 원소로부터 왼쪽 아래 대각선을 그으면서 앞의 값에서 뺀다.
  • 그러면 결국 의 꼴이 나옴.

• 행렬식의 계산은 위와 같이 일반화 된다.
  • 첫 행렬과 그 행렬이 포함된 행렬을 제외한 마이너 행렬을 곱한것을 차례로 더했다가 뺐다가를 반복하면 된다.
  • 이 계산을 일반화 하면 2×2 행렬에서 ad – bc가 되는 것도 같은 원리가 된다.

역행렬

행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉, 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬 의 역행렬 은

(단 )

• 는 수반행렬이라고 한다.
• 는 에 순서대로 +, -를 번갈아 붙인 값이 된다.
• 수반행렬() 는 원래 행렬과 순서가 전치됨.

ex)

• 역행렬은 교환법칙이 성립한다.
  • 

크래머 공식

연립일차방정식 에서 가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때,

단, 이고 는 의 번째 열을 의 원소로 바꾼 행렬이다.

• 크래머 공식은 행렬 전체를 구하는게 아니라 그 중에 일부 원소에 대한 값만 빠르게 구할 수 있는 방법.
  • 행렬의 구조를 이용해서 정리한 내용이라 행렬 계산을 반복해서 보면 자명하게 이해된다.
  • 행렬 연산의 구조를 이용해서 이렇게 저렇게 짜맞추고 최종 결과를 이끌어 냄.

선택공리

선택함수

집합 의 부분집합들의 집합족을 이라 할 때,

인

선택공리

공집합이 아닌 임의의 집합에 대한 선택함수가 존재한다.

참고) 선택공리는 ‘공집합을 원소로 갖지 않는 서로소인 집합족 의 원소들에서 하나씩 원소를 선택하여 갖는 집합이 존재한다’ 라고도 해석이 가능하다.

동치인 명제

극대원리

임의의 부분순서집합은 극대인 쇄를 갖는다.

조른의 원리

모든 쇄가 위로 유계인 부분순서집합의 극대원소를 갖는다.

정렬원리

모든 집합은 정렬가능하다.

즉, 모든 집합은 적당한 순서관계를 부여하여 정렬집합으로 만들 수 있다.

그 외의 명제들

• 라그랑주 원리
• 타르스키 원리
• 티호노프 원리
• 타이히뮐러-투키 원리
• 임의의 두 기수의 비교가능원리
• 모든 벡터공간의 기저존재원리

함의되는 명제

• 괴델의 완전성 원리
• 베르의 범주원리
• 한-바나흐 원리
• 바나흐-타르스키 역설
• 닐센-슈라이어 원리
• 모든 체의 대수적 폐포존재 원리

부분순서집합

정의

부분순서관계

반사적, 반대칭적, 추이적인 관계

• ex 1) 두 집합 에 대하여
• ex 2) 두 실수 에 대하여
• ex 3) 두 자연수 에 대하여 이 의 배수인 관계

부분순서집합

집합 상에 부분순서관계 가 주어진 경우 를 부분순서집합이라 하고 이를 로 나타내기도 한다.

• 집합 에 관계가 부여 됐을 뿐이지, 집합 의 모든 원소들이 순서 관계를 가져야 하는 것은 아니다.
• ex) 일 때, 
  • 다음의 관계는 성립하지만
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
  • 다음의 관계는 성립하지 않는다.
    • 
    • 
  • 즉 모든 원소들이 부분순서 관계를 갖지는 않는다는 것.

극대원소와 극소원소

가 부분순서집합이라 할 때,

• 를 만족하는 의 원소 를 극대원소,
• 를 만족하는 의 원소 를 극소원소라 한다.
• ex) 멱집합 에서
• 극대, 극소 원소는 유일하지 않다. 극대, 극소는 최대, 최소와는 다르다.
• ex) 집합 의 관계가 다음과 같다면
  •  
  •  
  •  
  •  
  • c, e는 극대원소가 되고
  • a, b는 극소원소가 된다.

최대원소와 최소원소

가 부분순서집합이라 할 때,

• 를 만족하는 의 원소 를 최대원소,
• 를 만족하는 의 원소 를 최소원소라 한다.
• 극대, 극소와 달리 최대, 최소는 유일하다.

상한과 하한

• 극대-극소, 최대-최소를 무한집합에 적용하기 어렵기 때문에 만들어진 개념이 상계-하계, 상한-하한
• 해당 집합을 포함하는 집합을 더 큰 정의하고 그 더 큰 집합을 이용해서 상계-하계와 상한-하한을 정의함. 

상계와 하계

가 부분순서집합 의 부분집합이라 할 때,

• 인 를 에서 의 상계,
• 인 를 에서 의 하계라 한다.
• 상계-하계는 항상 존재하지 않음.

상한과 하한

부분순서집합 의 부분집합 에 대하여

• 의 상계들의 집합이 최소 원소를 가질 때 이 원소를 에서 의 상한이라 하고, 로 나타낸다.
• 의 하계들의 집합이 최대 원소를 가질 때 이 원소를 에서 의 하한이라 하고, 로 나타낸다.
• ex) 에서

절편과 절단

절편

부분순서집합 의 원소 에 대하여

• 
  • 집합 아래에 표시된 숫자보다 작은 숫자들을 모은 집합이라고 생각하면 된다.
• ex 1) 의 절편
• ex 2) 의 절편

절단

1. 
2. 
3. 

를 만족하는 부분순서집합 의 공집합이 아닌 부분집합들의 쌍

• ex) 의 두 부분집합 에 대하여
• 일종의 분할과 비슷하다.

순서동형

순서보존함수

부분순서집합 에 대하여

• 함수 가 조건 을 만족하면
• 를 순서보존함수라 한다.
• 순서만 보장되면 되기 때문에, 집합 A와 집합 B의 크기가 달라도 무방하다.

순서동형

부분순서집합 에 대하여

• 함수 가 전단사이고 이면 를 순서동형사상이라 한다.
• 이때 는 순서동형이라 하고 로 나타낸다.
• ex) 항등함수

전순서집합

전순서집합

비교가능

부분순서집합 의 두 원소 가 이면 는 비교가능하다고 한다.

• ex) 집합 의 관계가 다음과 같을 때
  •  
  •  
  •  
  • 다른 원소들 간에는 비교가 가능하지만 a와 b는 비교가 불가능하다.

전순서집합

부분순서집합 의 임의의 두 원소가 비교가능하면 를 전순서집합이라고 한다.

• 집합 내의 모든 원소가 비교 가능한 상태이면 전순서집합이 된다.

쇄

부분순서집합 의 전순서 부분집합 를 에서의 쇄라고 한다.

• ex) 집합 의 관계가 다음과 같을 때
  •  
  •  
  •  
•  는 전순서 집합이 아니지만, 만일 의 부분집합을  로 잡으면 는 전순서집합이 되고, 이 때 를 의 쇄라고 한다.

정렬집합

부분순서집합 의 공집합이 아닌 모든 부분집합 가 최소원소를 가지면, 그리고 그 때에만 집합  를 정렬집합이라 한다.

• ex)
  • 는 전순서집합이긴 하지만, 최소 원소를 갖고 있지 않기 때문에 정렬집합은 아니다.
  • 는 전순서집합이기도 하고 정렬집합이기도 하다.
• 따라서 정렬집합이면 전순서집합이다. 그 역은 성립하지 않는다.

서수

서수의 개념

서수

집합의 길이를 나타내는 수

1. 모든 정렬집합 에 대하여 서수가 존재하며, 모든 순서수 에 대하여, 인 정렬집합 가 존재한다.
   • 책에 따라 라고 표기하기도 함.
2. 
3. 
4. 

• 기수와 서수의 가장 큰 차이는 구조가 들어가느냐 하는 것.

유한서수와 초한서수

유한서수란 유한정렬집합의 기수이고, 초한서수란 무한정렬집합의 서수이다.

• <대표적인 초한서수>
  • 

서수의 순서

정렬집합 에 대하여 일 때,

• 가 의 절편과 순서동형이면 는 보다 작거나 같다고 하며 로 나타낸다.
• 이때 특히 이면 로 나타낸다.

서수의 연산

서수 합

서로소인 두 집합 의 서수를 각각 라고 할 때

• ex) 라면 
  • 를 로 변환한 후에
  • 그 둘을 합하여   을 만든다.

서수 곱

서로소인 두 집합 의 서수를 각각 라고 할 때

• 순서쌍의 순서는 앞의 것을 먼저, 뒤의 것을 그 다음에 보는 것이 자연스럽다 –사전식 순서
• 뒤의 것을 앞으로 놓고 곱하는 것이 사전식 순서 결과를 만들 수 있기 때문에 서수곱은 뒤의 것을 먼저두는 식으로 한다. 이것은 일종의 수학적 약속.

연산 법칙

임의의 서수 에 대하여 다음이 성립한다.

• 결합법칙
  • 
  • 
• 분배법칙
  • 
  • 단 
    • 좌측 분배 법칙은 성립하지만, 우측 분배 법칙은 성립하지 않는다.
    • 
    • 
• 일반적으로 서수는 합과 곱에 대하여 교환법칙이 성립하지 않는다.
  • 
  • 

1.  

집한론의 역설

칸토어의 역설

칸토어의 정리

임의의 집합 에 대하여 이다.

• (크거나 같은 것이 아니라 아예 큰 것)
• (멱집합의 기수는 가 되는데, 원래 집합이 공집합이었을 때 조차도 이 되어서 멱집합은 항상 원래 집합 보다 크게 된다.)

칸토어의 역설

모든 집합들의 집합을 , 그 기수를 라 하자.

그러면 칸토어의 정리에 따라 의 멱집합의 기수 는 이지만, 이는 이어야 하는 가정에 모순이 된다.

• (멱집합의 기수가 원래 집합보다 같거나 큰 것이 아니라 항상 크기 때문에 역설이 발생)

러셀의 역설

모든 집합들의 집합을 라 하자.

그러면 는 하나의 집합이 된다. (여기서 S는 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합)

만약 라 하자. 그러면 의 정의에 의해 이다.

만약 라고 하자. 그러면 의 정의에 의해 이다.

따라서 는 존재하지 않는다.

• (칸토어의 역설이나 러셀의 역설이나 모두 모든 집합들의 집합은 존재하지 않는다는 증명)

공리적 집합론

ZFC

체르멜로(Zermelo)-프렝켈(Fraenkel)의 ZF 공리계에 선택공리(Axiom of choice)가 추가된 공리계.

체르멜로가 확장공리/ 짝공리/ 공집합공리/ 무한공리/ 합집합공리/멱집합공리/분류공리꼴 7개를 만들었고, 이후에 체르멜로 공리계의 허술함을 보완하기 위해 폰노인만의 정칙성공리와 프렝켈의 치환공리꼴이 추가 되어 ZF 공리계가 완성 됨. 최종적으로 선택공리가 추가되어 ZFC가 완성 됨.

현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 다음 10가지 공리 및 공리꼴을 가지고 집합론을 구성한다.

• 확장공리
  • 두 집합의 모든 원소가 일치하면 두 집합은 동일하다
• 짝공리
  • 두 집합을 원소로 하는 집합이 존재한다.
• 공집합공리
  • 아무런 원소도 갖지 않는 집합(공집합)도 존재한다. 
• 무한공리
  • 무한 집합이 존재한다.
• 합집합공리
  • 집합족의 합집합도 집합이다.
• 멱집합공리
  • 집합의 멱집합도 집합이다.
• 분류공리꼴
  • 명제함수가 참이 되게 하는 집합의 원소들을 갖고 집합을 만들어도 집합이다.
• 정칙성공리
  • X라는 집합이 공집합이 아니면 X와 서로소인 원소를 갖는 집합도 집합이다.
• 치환공리꼴
  • 미지수 x, y가 포함된 논리식이 있을 때, 논리식이 참이 되게 하는 y들의 집합도 집합이다.
• 선택공리 (Axiom of choice)

그 외의 집합론

NBG

ZFC의 보존적 확장 형태로, 고유 모임을 포함하는 집합론.

폰 노이만-베르나이스-괴델의 이름을 따서 만들어짐.

고유 모임(proper class)이란 집합이 아닌 모임을 의미.

MK

NBG에서 재귀적 정의를 허용한 집합론.

모스-켈리의 이름을 따서 만들어짐.

연속체 가설

정의

칸토어의 연속체 가설

두 초한기수 에 대하여, 를 만족하는 기수 는 존재하지 않는다. 

일반화 연속체 가설

임의의 초한기수 에 대하여, 를 만족하는 기수 는 존재하지 않는다. 

ZFC 와의 관계

연속체 가설은 ZFC와 독립적이다. 즉, ZFC 에서는 연속체 가설을 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

다른 공리와의 관계

구성 가능성 공리

ZFC에 구성 가능성 공리를 추가하면 일반화 연속체 가설이 참이다.

고유 강제법 공리

고유 강제법 공리를 가정하면 칸토어의 연속체 가설은 거짓이다.

집합의 분류

유한, 무한집합

동등

두 집합 에 대하여 전단사함수 가 존재하면 는 동등이다. ( 또는 )

유한, 무한집합

집합 의 적당한 진부분집합 가 와 동등하면 는 무한집합이다.

무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다.

ex) 은 무한집합이다.

여러가지 정리

• 공집합 은 유한집합이다.
• 무한집합을 포함하는 집합은 무한이다.
• 유한집합의 모든 부분집합은 유한이다.
• 전단사함수 에 대하여
  • 가 무한집합이면 도 무한집합이고
  • 가 유한집합이면 도 유한집합이다.
• 무한집합 의 부분집합 가 유한이면 는 무한집합이다.

가부번, 비가부번 집합

가부번집합

집합 가 일 때 를 가부번집합이라 한다.

• 가부번집합은 번호를 붙일 수 있는 집합을 의미함.
  • 자연수 집합은 번호를 붙일 수 있으므로 가부번 집합이다. –1 다음은 2 그 다음 3이므로
  • 실수 집합은 번호를 붙일 수 없으므로 비가부번 집합이 된다. –1 다음 수를 어떤 것으로 정의할 수가 없음.

가산집합

유한집합이나 가부번집합을 가산집합이라 한다.

여러가지 정리

• 가산집합의 부분집합은 가산집합이다.
• 가부번집합들의 합집합은 가부번이다.
• 은 가부번집합이다.
• 은 가부번집합이다.
  • 가부번 집합을 합하거나 곱해도 가부번 집합이다. –지수로 올리면 얘기가 달라짐.
• 의 부분집합 은 비가부번이다.
• 모든 무리수의 집합은 비가부번집합이다.
  • 비가부번 집합인 실수 집합은 유리수와 무리수 집합의 합집합인데, 유리수 집합은 가부번 집합이므로 무리수 집합이 비가부번 집합이어야 한다.
• 은 비가부번집합이다. (복소수 집합)

기수

기수의 개념

기수

집합의 크기를 나타내는 수. 또는

• 각 집합 에 대해 는 유일하다.
• 에 해당하는 집합 는 항상 있다.
• 
• 이면
• 
• (배열의 길이라고 생각하면 편하다)

유한기수, 초한기수

유한기수는 유한집합의 기수이고, 초한기수는 무한집합의 기수

• 대표적인 초한기수
  • 가부번집합의 기수 (알레프 제로라고 읽음)
  • 연속체의 기수 (시그마라고 읽음)

#A < #B

는 의 한 부분집합과 동등이고, 는 의 어떠한 부분집합과도 동등이지 않다.

• 
• 가 의 부분집합과 동등이고, 도 의 부분집합과 동등이면 와 는 동등이다. () – 칸토어-번슈타인 정리
• 이고  이면  이다.

기수의 연산

기수 합

서로소인 두 집합 의 기수를 각각 라고할 때,

기수 곱

집합 의 기수를 각각 라고할 때,

연산 법칙

임의의 기수 에 대하여 다음이 성립한다.

• 교환법칙
  • 
  • 
• 결합법칙
  • 
  • 
• 분배법칙
  • 
• (기수 자체는 숫자인데, 기수의 연산은 그 숫자의 값이 위의 결과를 만족한다고 보는게 아니라, 그 기수가 대응되는 집합과의 관계가 위 조건을 만족한다는 의미)

여러가지 정리

• 
• 
• 
• 
• 
• 

기수의 지수

집합 에 대하여 일 때

• 
  • A에서 B로 가는 함수를 끌어 모은 집합. 지수에서 밑으로 가는 모습
  • ex) 일 때, 의 총 개수
    • 
• 
• 일 때,

여러가지 정리

• 집합 에 대하여  일 때 
  • ex) 일때
    • 
    • 
• 기수 에 대하여
  • 
  • 
  • 
• 
  • 끼리의 합이나 곱은 여전히 지만, 지수로 올리면 가 된다.
  • 에 를 지수로 올려도 가 된다.
• 
  • 는 실수집합의 멱집합

함수

함수의 정의

• 함수: 다음을 만족하는 X에서 Y로의 관계
  • 
    • 는 라고도 쓴다.
    • s.t.는 such that의 약자. 그러한 것을 만족 시키는
  • 
  • ex) X = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
    • f1 = { (1, a), (1, b), (2, b), (3, c) }
      • f1은 함수가 아니다 (1, a), (1, b) 때문
    • f2 = { (1, a), (2, b) }
      • f2는 함수가 아니다. X의 3에 대응되는 순서쌍이 없기 때문.
    • f3 = { (1, a), (2, a), (3, b) }
      • f3는 함수다. Y의 c가 없지만 이것은 함수의 정의에 부합한다.
• 함수 에서 일 때 다음과 같이 부른다. 
  • y를 f에 의한 x의 상 (Image)
  • x를 f에 의한 y의 원상 (Pre-Image)
  • X를 f의 정의역 Dom(f) (Domain)
  • Y를 f의 공역 (Co-Domain)
  • 를 f의 치역 Rng(f) (Range)
  • ex) 위 예제의 f3의 경우
    • Dom(f3) = { 1, 2, 3 }
    • Rng(f3) = { a, b }
    • 1의 상 = a
    • a의 원상 = { 1, 2 }
• 함수식이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수다.
  • ex)
• 함수  에 대하여 일 때 
  • 는 X를 A로 축소한 함수
    • 
  • 이면 f는 g의 A에서의 확대함수
  • ex) A = { 1, 2 }, B = { 1, 2, 3 }, Y = { a, b, c } 일 때
    • 
    • 
    • f를 축소하면 g가 되고, g를 확대하면 f가 된다.

함수의 성질

• 함수  에 대하여
  • 전사 (Onto)
    • 
    • 공역에 있는 모든 원소가 화살을 받은 상태
  • 단사 (Into)
    • 
    • 공역에 있는 모든 원소가 화살을 하나씩만 받은 상태
  • 전단사: 전사이고 단사인 함수. 일대일 대응

여러가지 함수

• 고등학교 교육과정 내
  • 항등함수
    • 
    • x를 넣으면 x가 그대로 나오는 함수. 정의역이 공역이면서 치역이 된다.
  • 상등함수
    • 
    • 어떤 값을 넣어도 어떤 상수가 나옴.
  • 역함수
    • 전단사인 에 대하여  
    • 역함수가 가능하려면 전단사 함수여야 함. 
  • 합성함수
    • 두 함수 와
  • 합성함수의 성질
    • 
    • 
    • 
    • 
    • 가 모두 단사면 는 단사
    • 가 모두 전사면 는 전사
• 고등학교 교육과정 외 (집합 가 일 때)
  • 포함함수
    • 가
    • 항등함수의 축소된 함수
  • 특성함수 (지시 함수)
    • 가
    • 어떤 특정 집합을 두고, 이 특정 집합에 내가 원하는 값이 포함 되었는지 안 되었는지를 지시하는 함수
  • 선택함수
    • 집합 의 부분집합들의 집합족을 이라 할 때 모든 에 대하여 로 정의되는 함수
    • ex) X = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A1 = { 1, 2, 3 }, A2 = { 2, 3, 4 }, A3 = { 4, 5 } 일 때
      • 함수 f가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 2, 4, 5일 경우 이 함수 f는 선택 함수가 된다. A1에 2가 포함되어 있고, A2에 4가 포함되어 있고, A3에 5가 포함되어 있기 때문.
      • 반면 함수 g가 A1, A2, A3을 정의역으로 가지고 그 치역이 각각 1, 2, 3일 경우 이 함수 g는 선택 함수가 아니다. A1에 1가 포함되어 있고, A2에 2가 포함되어 있지만, A3에 3가 포함되어 있지 않기 때문.

• •  

여러가지 정리

• 함수 에 대하여 역함수 가 존재하면 는 전단사이다.
• 합성함수 가 단사이면 는 단사이고, 가 전사이면 는 전사이다.
• 정수집합 과 자연수집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다.
  • (증명) 를 다음과 같이 정의한다.
    • 
    • f는 단사임을 증명
      • case1)  
      • case2)  
    • f는 전사임을 증명
      • 양의 짝수집합을 , 양의 홀수집합을 라고 정의
      • case1)  
      • case2)
    • 따라서 f는 전단사 함수이고 고로 일대일 대응이 된다.

집합의 함수

개념과 정의

• 함수 에서 이고 일 때 다음이 성립한다.
  
  • f에 대한 A의 상
    • 
  • f에 대한 B의 역상
    • 
  • ex) 가 라 할때
    • 집합 A를 { -1, 0, 1, 2 } 라고 하면 집합에 대한 함수는 가 된다. (각각의 원소를 함수에 대입)
    • 집합 B를 { 0, 1, 4 } 라고 할 때 B의 역상은  가 된다.
    • 여기서 집합 B는 A의 상인데, B의 역상을 구하면 원래 집합 A보다 큰 집합이 된다.
    • 집합 A의 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 줄어들게 된다. (단사가 되면 동일), 반면 집합 A의 역상에 대한 상은 일반적으로 집합 A의 크기보다 커지게 된다. (전사가 되면 동일)

여러가지 정리

• 함수 에서 이고 일 때 다음이 성립한다.
  • 
  • 
  • 는 단사
  • 는 전사
• 함수 에 대하여 를 의 부분집합족이라 하면 다음이 성립한다.
  • 
  • 
  • 가 단사이면 

관계

용어 정리

• 관계
  • 곱집합 의 부분집합
  • 
  • P(x, y)는 명제함수
  • ex) A = {2, 3}, B = {4, 6} 이라 할 때,
    • 이 되고
    • 명제함수 P(x, y)를 ‘x는 y의 약수이다’ 라고 정의하면
    • 이 된다.
    • 이때 의 한 원소인 (2, 4)는 또는 와 같이 표기가 가능하다.
• 관계 의 해집합
  • 는 참
• 정의역 (Domain)
  • 적당한 에 대하여, 인 모든  의 집합 
  • 의 왼쪽에 오는 원소들(x). 위의 예시의 경우  
• 상 (Image)
  • 적당한 에 대하여, 인 모든 의 집합
  • 의 오른쪽에 오는 원소들(y). 위의 예시의 경우  

관계의 성질

집합 X에서의 관계 에 대하여

• 반사성:
  • ex) X = {1, 2, 3} 에서의 관계
    • 는 반사적이지 않다. (3, 3)이 없기 때문
    • 는 반사적이다. 자기 자신에 대해 반사적인 원소가 모두 있으면 추가적인 원소가 있는 것은 반사성에 영향이 없다.
    • 이때 반사성을 이루는 원소 (1, 1), (2, 2), (3, 3)을 특별히 라고 표기하며 대각관계 또는 항등관계라고 부른다.
    • 집합이 반사적이라는 말은 대각관계(또는 항등관계)를 포함하고 있다는 말이 된다.
• 대칭성:
  • ex) X = {1, 2, 3} 에서의 관계
    • 는 대칭적이다. (1, 2)가 있을 때 (2, 1)이 있으면 대칭적이라고 인정한다.
• 반대칭성:
  • ex) X = {1, 2, 3} 에서의 관계
    • 는 반대칭적이지 않다. 대칭되는 쌍이 존재하기 때문. 만일 위 집합에서 (1, 2)나 (2, 1)이 빠지면 반대칭적이 된다.
    • 반면 반대칭성의 정의에 의해 (1, 1)은 반대칭적이다. 이 성립하기 때문.
• 추이성:
  • ex) X = {1, 2, 3} 에서의 관계
    • 은 추이적이지 못하다. (1, 2), (2, 3)은 있지만 (1, 3)은 없기 때문. 위 집합에 (1, 3)을 추가하면 추이적이 된다. (3, 1)이 추가 되어야 하는 것이 아니므로 주의.
• ex) X = {1, 2, 3} 에서의 관계
  • 가 있을 때
  • 위 집합은 반사적이지 못하다. (3, 3)이 없기 때문.
  • 위 집합은 대칭적이다. (1, 3)에 대칭되는 (3, 1)이 존재하고 (2, 3)에 대칭되는 (3, 2)가 존재하기 때문.
  • 위 집합은 반대칭적이지 못하다. 대칭적이기 때문.
  • 위 집합은 추이적이지 못하다. (1, 3)과 (2, 3)이 존재하지만 (1, 2)가 없기 때문.

여러가지 관계

• 역관계
  • 이면 오직 그 때에만 즉,
  • ex) 의 역관계는 가 된다.
• 합성관계
  • 집합 X에서의 관계 G와 H에 대하여 합성관계
    • 합성 관계의 순서는 오른쪽에서 왼쪽으로 진행되기 때문에 위 합성관계에서 G를 먼저 쓰고 그 후에 H를 쓰면 된다.
  • ex)
• 역관계와 합성관계에 관한 정리
  • 집합 X에서의 관계 F, G, H에 대하여 다음이 모두 성립한다.
    • 
    • 
    • 
•  동치관계
  • 반사적, 대칭적, 추이적인 관계
  • ex) “=” 는 반사적이고 대칭적이고 추이적이므로 동치 관계가 된다.
    • 반사적:
    • 대칭적:
    • 추이적:
  • 집합 에 대하여 가장 작은 동치관계는 의 대각관계가 되고, 가장 큰 동치관계는 가 된다.
  • 동치관계는 E라고 표기하기도 한다.
• 순서관계
  • 반사적, 반대칭적, 추이적인 관계
  • ex) 은 순서 관계이다.

동치관계와 분할

용어 정리

• 분할: 집합 X에 대하여 다음 세 조건을 만족하는 집합족
  • 공집합을 원소로 하지 않는다.
  • X를 덮는다.
  • 서로소 집합족이다.
  • ex) X = {1, 2, 3, 4, 5} 에서의 분할 P를 다음과 같이 구성 P = { {1, 2}, {3, 4}, {5} }
• 동치류: 집합 X 상의 하나의 동치 관계를 E라 할 때
  • 
  • ex) X = {1, 2, 3, 4, 5} 일 때
    • E = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2) } 라 하면
    • 
      • 1의 동치류라는 것은 왼쪽에 1이 나오는 순서쌍의 오른쪽 것을 의미한다.
    • 
    • 
    • 
    • 
• 상집합: 집합 X에서의 모든 동치류의 집합
  • 
  • ex) 앞선 예와 같이 동치류들이 구성되었을 때
    • 상집합 는 모든 동치류들을 합한 것이므로 다음과 같다.
    • 이 상집합은 집합의 분할과 동일하다. 이는 다시 말해 동치관계를 알면 그 동치관계를 이용해서 분할을 끌어낼 수 있다는 뜻이 된다.
    • 물론 그 역도 성립하므로 분할을 알면 동치 관계를 이끌어낼 수 있다.
• (분할 P에 의한 관계)
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  • ex) X = {1, 2, 3, 4, 5}, P = { {1, 2}, {3, 4}, {5} } 일 때, P의 부분집합을 각각  이라하면
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    • 이 를 모두 모으면 이 된다. 

여러가지 정리

• 공집합이 아닌 집합 X 위의 동치관계 E에 대하여 다음이 모두 성립한다.
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  • 는  의 분할이다.
• 공집합이 아닌 집합 X의 분할 P에 대하여 다음이 모두 성립한다.
  • 는 상의 동치관계다.
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