Tag Archives: 수학

데코수학/ 그린 정리

개념

  • 영역 (\Omega ), 경계 (\partial \Omega )
    • 2차원 영역에서는 테두리, 3차원 영역에서는 표면, 1차원 선에서는 양 끝점이 경계가 된다.
  • 조르당 곡선정리
    • 평면에서 단순 폐곡선 C는 평면을 내부영역과 외부영역으로 분할한다. (단순 폐곡선이란 중간에 겹치는 점 없이 이루어진 폐곡선)
  • 폐곡선의 방향과 부호
    • 영역 (\Omega )의 경계 (\partial \Omega ) 에 대하여, 곡선을 진행할 때 영역이 왼쪽에 놓이게 되는 방향을 + 방향이라고 한다.
      • 영역이 안쪽에 있으면 반시계 방향, 영역이 바깥쪽에 있으면 시계방향이 + 방향이 된다.
      • 좌표계의 오른손 법칙, 벡터곱과 관련되어 이렇게 정의 함.
  • 그린 정리
    • \Omega (\subseteq \mathbb{R}^{2}) : 조각적으로 매끄러운 단순폐곡선 c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 으로 둘러 쌓인 영역 (c_{2}, ... c_{n} c_{1} 내부에 있고, c_{1}, c_{2}, ... c_{n} 들은 서로 겹치지 않음)
      • 내부에 구멍이 유한개 뚫려 있는 단순 폐곡선을 의미
      • 조각적으로 매끄러운 것은 미분 불가능한 지점이 있을 수 있음
    • 그리고 \vec{F} \Omega 에서 미분 가능하면
    • \Rightarrow \int_{\Omega} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \hat{z} dx \land dy = \int_{\Omega}\vec{F} \cdot d\vec{x}

데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • \vec{F}(\vec{x}) : 보존적 (conservative)
    • \Leftrightarrow  \exists \phi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}, \vec{F} = \nabla \phi
    • 보존적인 벡터장이란, 벡터장 F를 어떤 다변수 실함수의 그레디언트로 나타낼 수 있는 경우를 말함.
    • 그레디언트를 취해서 보존적인 벡터장이 되는 스칼라 함수를 포텐셜 함수라고 한다. 역으로 말해서 보존적인 벡터장은 포텐셜 함수가 존재하는 벡터장이라고 할 수 있다.
  • \vec{F} : 보존적
    • \Leftrightarrow \vec{F} 의 선적분이 시작점과 끝점으로 결정되고, 경로와 무관하다.
    • \Leftrightarrow 폐곡선 경로에선, \vec{F} 의 선적분이 0이다.
  • \vec{F} : 모든 편미분이 연속, 보존적
    • \Rightarrow {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
  • \vec{F} : \Omega 에서 미분가능, \Omega \subseteq \mathbb{R}^{n} : 단순 연결 영역(simply connected), {\partial F_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial F_{j} \over \partial x_{i}}
    • \Rightarrow \vec{F} : 보존적
    • simply connected란 영역 안에서 잡아 당겼을 때 한점으로 만들 수 있는 영역이 존재하는 경우 말함. 영역 안에 구멍이 있으면(도넛 모양) 잡아 당겼을 때 한 점으로 모을 수 없으므로 단순 연결 영역이 아님.
  • 선적분은 물리학과 연결이 되는데, 일을 한 양을 구하는데 사용된다. 선적분 하는 것이 결국 일을 한 양이 됨. (위치 에너지의 차이를 구하는 것이 선적분). 포텐셜 함수는 위치 에너지가 된다.
  • \phi: \vec{F} 의 포텐셜 함수 \Rightarrow \phi + c : \vec{F} 의 포텐셜 함수
  • 벡터미적분은 물리학자들이 만든 수학. 그걸 수학자들이 더 엄밀하게 만들어서 미분 기하학이 됨.

데코수학/ 다변수벡터함수의 곡선적분

개념

  • 벡터장 \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} , 곡선 C \subseteq \mathbb{R}^{n} (C : 조각적으로 미분가능, \vec{F} : 연속)
    • 선 C가 조각적으로 미분가능이므로 선 C 위에 있는 점을 \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, ... , \vec{x}_{n} 으로 분할 하면 i번째 조각은 \vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1} 이 되고,
    • 이때 이 조각을 이동하는데 받은 일의 양은 \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 가 된다.
    • 그러므로 C를 이동하면서 받은 총 일의 양은 \sum_{i = 1}^{n} \vec{F}(\vec{x}_{i}) \cdot (\vec{x}_{i} - \vec{x}_{i-1}) 이다.
    • 조각들의 길이가 0이 되도록 분할하면 \int_{\vec{x} \in C} \vec{F}(\vec{x}) \cdot d \vec{x} 가 된다.
  • C : \vec{\alpha}(t), a \leq t \leq b 로 매개화 된 경우, C를 \vec{\alpha}(t_{0}), \vec{\alpha}(t_{1}),  ... , \vec{\alpha}(t_{n})  로 분할
    • \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot (\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}))
    • = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}(\vec{\alpha}(t_{i})) \cdot ({\vec{\alpha}(t_{i}) - \vec{\alpha}(t_{i-1}) \over (t_{i} - t_{i-1})} (t_{i} - t_{i-1}))
    • = \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{\alpha}(t)) \cdot \dot{\vec{\alpha}}(t) dt

데코수학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

개념

  • 다변수 실함수의 리만적분
    • f(\vec{x}) 가 유계인 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) 에서 리만적분 가능 \Leftrightarrow \Omega P_{1}, P_{2}, ... , P_{n} 인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 \vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n} 을 뽑았을 때,
      \sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot (영역 P_{i} 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
    • \Omega : 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n} 라고 표기
  • 다중적분의 성질
    • \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)
      • \Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} =  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)
      • \Rightarrow  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
  • 푸비니 정리
    • 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x) 들로 둘러 쌓여 있을 경우
      • \int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx 가 성립
  • 다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
    • \Omega n 차원 영역일 때,
      \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} 의 의미는
      • \Omega 를 밑면으로 f 를 높이로 하는 n+1 차원의 부피를 의미한다.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

개념

  • 벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
    • \vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
    • \vec{p} (p_{1}, p_{2}) 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다.\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}),  \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y),  \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
  • \mathbb{R}^{2} 에서 다이버전스 정의
    • 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 퍼지는 정도는 F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) 가 된다.
    • 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
    • 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 \mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
      • {\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
      • = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
  • \mathbb{R}^{2} 에서 커얼 정의
    • 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 돌아가는 정도는 F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) 가 된다.
    • 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} +  {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 \Delta y} +  {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 (- \Delta y)})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
      • = 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
      • 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
      • ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, \hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
    • \mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
      • \mathbb{R}^{3} 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
      • \hat{z} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
      • \hat{y} 를 축으로 돌아간 정도
        • -{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • \hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
        • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} -  {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
        • = \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z})  - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} -  {\partial F_{1} \over \partial y})
        • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &  {\partial \over \partial z}  \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
        • = (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
    • 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

개념

  • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
    • d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
    • = \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right) (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
    • = \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2}  + ... + a_{1n} dx_{n}  \\  a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2}  + ... + a_{2n} dx_{n}  \\ ... \\  a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2}  + ... + a_{mn} dx_{n}  \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\  dx_{2}  \\ ... \\  dx_{n}  \end{array} \right)
    • = J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
      • (J_{\vec{F}} 은 야코비 행렬이라 부른다)
      • 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
  • (J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
  • \vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
    • \Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
      • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
  • \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
    • \Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
  • (J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
    • = {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} +  {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... +  {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
    • = \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
    • = \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
    • = (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
  • 역함수 미분법 (일변수 실함수)
    • f(x) : 미분 가능, \forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
    • f(x) : 미분 가능, f^{-1} 가 존재 \Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
    • f(x) = x^{2} 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 {df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
  • \vec{F}(\vec{x}) 의 역함수 \vec{F}^{-1}(\vec{x})  가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
    • J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1} 이다.

데코수학/ 다변수실함수의 최적화 문제

개념

  • N_{\delta}(\vec{p}) := { \vec{x} | \|\vec{x} - \vec{p} \| < \delta }
    • f(\vec{p}) : 극대값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \geq f(\vec{x})
    • f(\vec{p}) : 극소값 \Leftrightarrow \exists \delta, \forall \vec{x} \in N_{\delta}(\vec{p}), f(\vec{p}) \leq f(\vec{x})
  • \Omega(\subseteq \mathbb{R}^{n}) : 유계, 닫힌집합, f : \Omega \to \mathbb{R} 연속 \Rightarrow f 는 최대값, 최소값을 가진다.
    • 유계는 범위가 무한하지 않다는 뜻.
    • 닫힌 집합이라는 것은 범위 경계도 포함한다는 뜻.
  • f(x, y) (p, q) 에서 2번 미분가능하고 \nabla f |_{(p, q)} = \vec{0} 일 때,
    • Let. A = {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} \cdot {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} - ({\partial^{2} f \over \partial x \partial y} |_{(p, q)})^{2}
    • A > 0
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} < 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} < 0 \Rightarrow f(p, q) : 극대
      • {\partial^{2} f \over \partial x^{2}} |_{(p, q)} > 0 \vee {\partial^{2} f \over \partial y^{2}} |_{(p, q)} > 0 \Rightarrow f(p, q) : 극소
    • A < 0
      • f(p, q) : 안장점
      • 안장점이란 극대이면서 동시에 극소인 점. 어떤 방향에서 보면 극대이고 어떤 방향에서 보면 극소가 된다.
  • f(\vec{x}), g(\vec{x}) : \vec{p} 에서 미분가능, f(\vec{p}) 극값, g(\vec{p}) = 0
    • \Leftrightarrow \exists \lambda, \nabla f |_{\vec{p}} = \lambda \nabla g |_{\vec{p}}