이상엽/ 집합론/ 선택공리

선택공리 선택함수 집합 의 부분집합들의 집합족을 이라 할 때, 인 선택공리 공집합이 아닌 임의의 집합에 대한 선택함수가 존재한다. 참고) 선택공리는 ‘공집합을 원소로 갖지 않는 서로소인 집합족 의 원소들에서 하나씩 원소를 선택하여 갖는 집합이 존재한다’ 라고도 해석이 가능하다. 동치인 명제 극대원리 임의의 부분순서집합은 극대인 쇄를 갖는다. 조른의 원리 모든 쇄가 위로 유계인 부분순서집합의 극대원소를 갖는다. 정렬원리 […]

계속 읽기

이상엽/ 집합론/ 집합의 순서

부분순서집합 정의 부분순서관계 반사적, 반대칭적, 추이적인 관계 ex 1) 두 집합 에 대하여 ex 2) 두 실수 에 대하여 ex 3) 두 자연수 에 대하여 이 의 배수인 관계 부분순서집합 집합 상에 부분순서관계 가 주어진 경우 를 부분순서집합이라 하고 이를 로 나타내기도 한다. 집합 에 관계가 부여 됐을 뿐이지, 집합 의 모든 원소들이 순서 관계를 […]

계속 읽기

이상엽/ 집합론/ 연속체 가설

집한론의 역설 칸토어의 역설 칸토어의 정리 임의의 집합 에 대하여 이다. (크거나 같은 것이 아니라 아예 큰 것) (멱집합의 기수는 가 되는데, 원래 집합이 공집합이었을 때 조차도 이 되어서 멱집합은 항상 원래 집합 보다 크게 된다.) 칸토어의 역설 모든 집합들의 집합을 , 그 기수를 라 하자. 그러면 칸토어의 정리에 따라 의 멱집합의 기수 는 이지만, […]

계속 읽기

이상엽/ 집합론/ 집합의 크기

집합의 분류 유한, 무한집합 동등 두 집합 에 대하여 전단사함수 가 존재하면 는 동등이다. ( 또는 ) 유한, 무한집합 집합 의 적당한 진부분집합 가 와 동등하면 는 무한집합이다. 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다. ex) 은 무한집합이다. 여러가지 정리 공집합 은 유한집합이다. 무한집합을 포함하는 집합은 무한이다. 유한집합의 모든 부분집합은 유한이다. 전단사함수 에 대하여 가 무한집합이면 도 […]

계속 읽기

이상엽/ 집합론/ 관계와 분할

관계 용어 정리 관계 곱집합 의 부분집합 P(x, y)는 명제함수 ex) A = {2, 3}, B = {4, 6} 이라 할 때, 이 되고 명제함수 P(x, y)를 ‘x는 y의 약수이다’ 라고 정의하면 이 된다. 이때 의 한 원소인 (2, 4)는 또는 와 같이 표기가 가능하다. 관계 의 해집합 는 참 정의역 (Domain) 적당한 에 대하여, […]

계속 읽기

이상엽/ 집합론/ 집합의 확장

(용어 정리 생략) 집합족 집합족(Family)이란? 집합족 집합을 원소로 갖는 집합 (ex 멱집합) 집합족은 F로 표기 첨수족 첨수(번호)가 부여된 대상들로 이루어진 집합. 집합족의 표현을 간단하게 하기 위해 만든 개념. 첨수족은 I로 표기 ex) 집합 에 대하여 멱집합은 가 되고, 이를 집합족 F라 정의 집합족 F에 속하는 각각의 집합에 Index를 붙여서 표현하면 가 되고 여기의 I를 첨수족이라 부른다. […]

계속 읽기

데코수학/ 집합론/ 정수, 유리수 만들기

개념 0과 자연수로 정수 만들기 이전에 정의한 자연수 체계를 확장해서 정수를 정의 기존 구조를 포함하고 추가로 역원을 만들면 가능 자연수를 이용하여 동치류를 정의하고 동치류 사이의 연산을 정의 0을 포함하는 자연수 집합을 이용하여 정수 집합을 정의 0을 포함하는 자연수 집합을 다음과 같이 카테시안 형태로 정의 ( { 0 } ∪ ℕ ) × ( { 0 […]

계속 읽기