데코수학/ 다변수 실함수의 다중적분 (푸비니 정리)

개념

  • 다변수 실함수의 리만적분
    • f(\vec{x}) 가 유계인 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) 에서 리만적분 가능 \Leftrightarrow \Omega P_{1}, P_{2}, ... , P_{n} 인 영역으로 분할한 뒤, 각각의 영역에서 점 \vec{t}_{1}, \vec{t}_{2}, ... , \vec{t}_{n} 을 뽑았을 때,
      \sum_{i=1}^{n} f(\vec{t}_{i}) \cdot (영역 P_{i} 의 크기) 이 값이 분할 방법과 뽑는 방법에 상관없이 항상 같은 값으로 수렴한다.
    • \Omega : 적분영역, 항상 같은 값으로 수렴하는 그 값을 \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} dx_{2} \land ... \land dx_{n} 라고 표기
  • 다중적분의 성질
    • \Omega = \Omega_{1} \cup \Omega_{2} (\Omega_{1} \cap \Omega_{2} = \emptyset)
      • \Rightarrow \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \int_{\Omega_{1}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega_{2}} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} \alpha f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} = \alpha \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • \int_{\Omega} f(\vec{x}) + g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} =  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} + \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
    • f(\vec{x}) \leq g(\vec{x}) (\vec{x} \in \Omega)
      • \Rightarrow  \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} \leq \int_{\Omega} g(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n}
  • 푸비니 정리
    • 영역 \Omega(\leq \mathbb{R}^{n}) x = a, x= b, y = g_{2}(x), y = g_{1}(x) 들로 둘러 쌓여 있을 경우
      • \int_{\Omega} f(x, y) dx \land dy = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)} f(x, y) dy) dx 가 성립
  • 다변수 실함수 다중적분의 기하학적 의미
    • \Omega n 차원 영역일 때,
      \int_{\Omega} f(\vec{x}) dx_{1} \land ... \land dx_{n} 의 의미는
      • \Omega 를 밑면으로 f 를 높이로 하는 n+1 차원의 부피를 의미한다.

19.04.13

인류는 처음 블랙홀의 모습을 보고 있다

비록 상상이었지만, 이번 관측으로 그 중 일부는 꽤 정확하게 블랙홀의 특징을 예견하고 있었음이 확인됐다. 폴 호 EHT 이사는 “이번에 관측된 특징 증 상당수는 기존에 이론적으로 이해하고 있던 것과 상당히 잘 부합한다”며 “블랙홀의 질량 등 관측 결과에 대한 해석 역시 제대로 이뤄졌다고 판단하고 있다”고 말했다. 

의미 있는 이벤트라 가장 먼저 정리.

뇌 동작 원리에 대한 궁금증 풀다

이후 최소 지배 집합(minimum dominating set) 개념을 활용해 뇌 영역 간 복잡한 네트워크를 분석했다. 최소 지배 집합이란 노드(뇌의 각 영역)끼리 링크(서로 다른 영역 간 연결)된 상태에서 한 노드가 이웃 노드에 직접적인 영향을 줄 수 있다고 가정할 때, 네트워크를 구성하는 모든 노드를 제어하기 위해 필요한 최소한의 집합을 뜻한다. 복잡계 네트워크에서 최소 지배 집합이 핵심적인 역할을 한다는 연구 결과는 최근 몇 년 새 잇따라 나오고 있다. (중략)

그 결과 뇌는 제어영역이 분산된 동시에 서로 중첩된 특이한 구조로 이뤄져 있다는 사실을 확인했다. 분산과 중첩이라는 성격이 융합된 형태는 도로망·통신망·소셜미디어 등 다른 복잡계 네트워크와는 다른 모습이다.

흥미로운 이야기라 정리. 내 추측으로는 우리의 인지 능력 보다 우리 뇌의 구조가 더 복잡할 것이라서 –역으로 말하면 우리의 인지 능력 정도를 갖추려면 그 이상의 복잡한 구조가 되어야 함– 우리는 우리의 뇌를 완전히 이해 못하지 않을까 싶다.

마치 2차원 존재가 3차원 존재를 이해할 수 없는 것처럼.

연간 순이익으로 본 세계 14대 산업

14위. 자본재 - 연간 순이익 710억 달러
13위. 운송 및 물류 - 연간 순이익 760억 달러
12위. 소매 - 연간 순이익 760억 달러
11위. 유틸리티 - 연간 순이익 880억 달러
10위. 기초 소재 - 연간 순이익 890억 달러
9위. 인신매매 - 연간 순이익 1,200억 달러
8위. 에너지 - 연간 순이익 1,210억 달러
7위. 서비스 - 연간 순이익 2,080억 달러
6위. 마약 밀매 - 연간 순이익 2,400억 달러
5위. 기술 - 연간 순이익 2,480억
4위. 건강 관리 - 연간 순이익 2,600억 달러
3위. 필수 소비재 - 연간 순이익 2,880억 달러
2위. 위조 및 불법 복제품 - 연간 순이익 3,600억 달러
1위. 금융 서비스 - 연간 순이익 9,520억 달러

그렇다고 합니다.

Google DeepMind가 중학 수학시험에 떨어지다

futurism 기사[1]를 보니 구글 딥마인드의 인공지능이 영국의 중학 수학시험 문제 풀기에 도전했지만 낙제한 듯 하다. arXiv에도 올라와 있다.

물론 수학 문제는 자연어로 주어지고, 문제를 바탕으로 인공지능이 추론해서 답을 도출하는 형태의 시험을 시도한 듯 하다. 인공지능 모델은 단순 LSTM과 Attentional LSTM과 Transformer model을 썼다고 한다.

수학 문제가 아니라 문제 자체를 이해 못한 것 같은데, 생각해 보면 우리의 뇌도 시각이나 청각이 언어보다 훨씬 먼저 발달했음을 생각해 보면, 의미를 이해하는 것은 한참 더 시간이 필요하지 않을까 싶다.

중국, 원숭이 뇌에 인간 유전자 심었다

연구진은 인간의 뇌 형성 유전자인 'MCPH1'을 원숭이 유전자에 끼워 넣었다. 연구진은 원래 이 유전자를 넣으면 원숭이의 뇌 크기가 커질 것으로 예상했다. 실험으로 태어난 원숭이 11마리는 이 유전자를 갖고 있었지만 예상과 달리 뇌 크기에는 변화가 없었다. 대신 기억력이 좋아졌다. 연구진은 "모니터에 특정한 색·모양을 제시했다가 같은 걸 맞히면 보상하는 단기 기억력 테스트에서 일반 원숭이보다 현저하게 나은 결과치를 보였다"고 밝혔다.

중국이 유전공학에 선두에 설 것 같다. AI 쪽도 사회 전체를 감시하는 체제를 갖추어서 쏟아지는 데이터가 많을테니 그 분야에서도 선두를 달릴 가능성 농후.

러셀 서양철학사/ 플로티노스

  • 플로티노스는 신플라톤 철학의 창시자로 최후의 위대한 고대 철학자였음.
  • 역사적 측면에서 플로티노스는 중세기와 가톨릭 신학의 그리스도교를 형성하는데 영향을 미친 중요한 인물.
  • 플로티노스는 중요한 철학 체계 이론을 내 놓음.
    • 플로티노스가 유물론에 반대하며 펼친 논증은 훌륭하며, 영혼과 육체의 관계에 대한 온전한 개념은 플라톤이나 아리스토텔레스보다 훨씬 명로함.
  • 플라티노스는 스피노자처럼 도덕적 순수와 고결함을 갖춘 인물이었음.
  • 플라티노스의 형이상학은 일자(the one), 정신(spirit), 영혼(soul)의 성 삼위일체에서 시작함.
    • 이 세가지는 그리스도교 삼위일체와 달리 동등하지 않음. 일자가 최고 자리에 존재하고 그 다음이 정신, 그 다음이 영혼이 된다.
  • 일자는 그림자가 여러 개 생기는 조금 어렴풋한 개념인데, 일자는 때로는 신(god)이라 부르고 때로는 선 자체(the good)라 부른다.
    • 일자는 일자에서 비롯되는 최초의 필연적 결과인 존재(being)를 초월한다.
    • 일자는 생성이 없어도 현존할 수 있다. ‘일자는 아무데도 없지만 어디에나 있다.’
    • 일자는 때로 선 자체라 말하지만 선이나 미에 앞선다고 말하기도 한다.
  • 정신은 일자와 꼭 닮은 모습이라 한다. 정신은 일자가 자신을 탐색하는 과정에서 통찰력을 갖게 되기 때문에 발생하며, 이렇게 보는 활동이 정신이다.
    • 신성을 소유하고 신성의 감동을 받을 때 우리는 정신 뿐만 아니라 일자도 보게 된다.
  • 영혼은 정신보다 열등하기는 하지만 살아 있는 모든 것의 조물주이다. 영혼은 태양과 달과 별들을 비롯한 눈에 보이는 전 세계를 만들었다.
    • 영혼은 신의 지성에서 생겨난 자식이며, 두 가지 면이 있다.
    • 한 면은 정신에 열중한 내적인 영혼이고 다른 면은 외부로 향해 있는 영혼이다.
    • 외부로 향한 영혼은 하향운동과 결합되며, 하향운동 속에서 영혼은 자신의 모상을 만들어내는데, 이렇게 생겨난 것이 바로 자연이자 감각의 세계이다.
    • 스토아 학파는 자연과 신을 동일시 했지만, 플로티노스는 자연을 제일 낮은 영역, 정신을 우러러 보는 활동을 잊은 영혼에서 흘러나온 영역으로 생각 했다.
  • 플로티노스는 그리스인의 관점에서는 끝이고 그리스도교 세계의 관점에서는 시작이었다.

러셀 서양철학사/ 로마 제국의 문화

  • 로마 제국이 문화사에 영향을 미친 역할
    • 로마가 헬레니즘 사상에 미친 직접적인 영향. 이 영향은 별로 중요하지 않고 깊숙이 파고들지도 못함.
    • 그리스와 동방 세계가 로마 제국의 절반을 차지한 서방 지역에 미친 영향. 이 영향은 그리스도교를 포함했기 때문에 깊고도 지속적임.
    • 문화를 널리 보급하고 사람들이 단일 정치와 결합된 단일 문명이라는 생각에 익숙해지도록 기여한 로마의 오랜 평화기
    • 헬레니즘 문명을 이슬람교도들에게 전하고 서유럽에 전달한 역할.
  • (로마의 흥망성쇠 내용 생략)
  • 로마가 그리스 사상에 미친 직접적인 영향
    • 비범한 몇 인물을 제외하면 로마는 대부분 제국의 그리스어권 지역에 어두운 그림자를 드리움. 사상과 예술은 똑같이 쇠퇴함.
  • 그리스와 동방 세계가 로마에 미친 영향
    • 로마가 그리스와 처음 접촉할 때는 그리스가 훨씬 문명화된 상태. 로마가 나았던 점은 군사 전략과 사회 결속 뿐이었음.
    • 로마는 문화의 측면에서 보면 그리스에 기생하는 신세였음. 도로를 닦고, 법전을 편찬하고 군대를 육성했으나 나머지는 그리스에 의지함.
    • 그리스가 서로마 제국의 문화에 미친 영향은 서기 3세기 이후 약화 됨.
    • 반대로 그리스 이외의 나라에서 들어온 종교와 미신은 당시 서로마에서 확고한 지배력을 장악함.
  • 정치와 문화의 통일
    • 그리스의 전성기에 이룩한 업적이 사라지지 않을 수 있었던 공로는 알렉산드로스 대왕과 로마 때문.
    • 문명이 미치는 영역을 확장하는 과정에서 로마는 중요한 역할을 함. 이탈리아 북부, 스페인, 프랑스, 독일 서부 지역은 로마에 정복당함으로써 문명화 됨.
  • 헬레니즘의 매개자 이슬람교도
    • 이슬람인들은 시리아, 이집트, 북아프리카와 스페인까지 정복하였는데, 초기를 제외하면 종교생활을 열성적이지는 않았음. 그리스도교나 유대인들이 공물만 바치면 괴롭히지 않음.
    • 이슬람 지식인들은 그리스어 저술가들의 작품을 번역해 읽었으며, 주석서를 내기도 함.
    • 아리스토텔레스에 대한 세간의 평판은 주로 아랍 지식인들에서 비롯됨.
    • Algebra, Alcohol, Alchemy, Alkali 등의 용어가 아랍어에서 파생 됨.
    • 대수는 알렉산드리아의 그리스인들이 고안했지만, 이슬람교도들이 한층 더 확장시켰음.
    • 철학 분야에서 아랍인들은 독창적이지는 않았지만 훌륭한 주석가였음.
    • 동로마 제국에서만 명맥을 유지하던 그리스 전통의 일부분이나마 직접 계승한 자들은 그리스도교가 아니라 아랍인들이었음.
    • 스페인에서 이슬람교도들과 접촉하고, 시칠리아에서 접촉을 하면서 서유럽에서도 아리스토텔레스의 존재를 알게 되고, 아라비아 숫자와 대수와 화학도 알게 됨.
    • 이러한 접촉을 통해 11세기 지식의 부흥이 시작되어 스콜라 철학에 이르렀음.
    • 유럽 사람들이 그리스어를 배워서 플라톤과 아리스토텔레스와 고대 그리스의 다른 작가들의 원전에 직접 다가가게 된 것은 13세기 이후

러셀 서양철학사/ 스토아 철학

  • 스토아 철학의 창시자인 제논은 유물론자로서 주로 키니코스 학파의 철학과 헤라클레이토스의 철학을 결합한 학설을 내놓았다.
    • 그러나 스토아 학파는 점차 플라톤 철학과 혼합되면서 유물론을 포기하고 종국에는 유물론의 흔적이 거의 사라져 조금 밖에 남지 않았다.
  • 스토아 철학은 어떤 학파의 철학보다 그리스 색채가 적게 나타난다.
    • 초기 스토아 철학자들은 대부분 시리아 사람들이고, 후기 스토아 철학자들은 대부분 로마 사람들이었다.
  • 소크라테스는 스토아 학파의 역사가 이어지는 처음부터 끝까지 으뜸가는 성인이었다.
    • 재판을 받을 때의 당당한 태도, 탈출 권고를 거절한 일, 죽음과 마주하여 보여준 침착한 태도, 불의를 행하는 자가 불의를 당하는 자보다 더 자신을 해치게 된다는 주장은 모두 스토아 학파의 철학과 완벽하게 일치했다.
  • 그러나 스토아 학파는 플라톤의 이상 이론은 결코 받아들이지 않았으며, 스토아 철학자들은 대부분 플라톤의 영혼 불멸 논증을 거부했다.
    • 다만 후기 스토아 철학자들이 영혼을 비물질적인 존재로 생각한 점에서 플라톤을 추종했을 뿐, 초기 스토아 철학자들은 영혼이 물질적인 불로 이루어져 있다는 헤라클레이토스의 견해에 동조했다.
  • 제논은 형이상학의 미묘하고 세밀한 요소를 참아낼 끈기가 없었다. 그는 덕을 가장 중요한 것으로 생각하여 자연학과 형이상학의 가치도 덕에 기여할 경우에만 인정했다.
    • 그는 상식을 수단으로 삼아 당시의 형이상학적 경향에 대항해 싸우려 했는데, 그리스에서 상식은 유물론을 의미했다. 그는 감각 능력의 신뢰성에 흠집을 내는 의심들을 성가시고 귀찮아 정반대 학설을 극단까지 밀고 나갔다.
  • 스토아 학파에서 처음부터 끝까지 변치 않은 주요 학설은 우주에 관한 결정론과 인간의 자유에 관한 것이다.
    • 제논은 우연이란 존재하지 않으며, 자연의 경로는 자연 법칙에 따라 고정되어 있다고 믿었다.
  • 대부분 스토아 철학자들에 따르면 우주의 대화재는 그리스도교 교리에 나타나는 세상의 멸망과 같은 최후의 종말이 아니라 한 주기의 마지막 단계일 따름이다. 전체 과정은 주기적으로 끝없이 되풀이 된다.
  • 스토아 학파에서 자연의 행로는 18세기 신학에서 주장하듯이 자비로운 섭리라 부르는 입법자가 정해 놓은 것이다.
    • 아주 사소한 세부에 이르기까지 전부가 자연을 수단으로 특정한 목적을 달성하기 위해 마련되었다.
    • 이러한 목적들은 신이나 악마와 관련되지 않는 한, 인간의 삶 속에서 찾아내야 한다.
    • 신은 세계와 분리되어 있지 않다. 신은 세계영혼(soul of the world)이기에 우리 각자가 신성한 불의 일부를 품고 있다.
    • 만물은 자연이라 부르는 단 한 체계를 이루는 부분들이다.
    • 개인의 삶은 자연과 조화를 이룰 때 선한 삶이 된다.
    • 어떤 점에서는 어느 삶이나 다 자연의 법칙에 따라 자연과 조화를 이룬다. 그러나 또 다른 점에서 인간의 삶은 개인의 의지가 자연의 목적으로 향하는 경우에만 자연과 조화를 이룬다.
    • 덕은 자연과 일치하는 의지 속에 존재한다.
    • 개인의 삶 속에서 유일한 선은 덕이다. 건강, 행복, 재산 같은 것들은 결코 선하지 않다.
  • 스토아 학파의 덕 개념에 포함된 냉담의 요소가 어울린다. 나쁜 감정 뿐만 아니라 모든 감정을 비난한다. 현자는 동정심을 느끼지 않는다.
    • 아내와 자식이 죽더라도 현자는 처자의 죽음이 자신의 덕에 방해가 되지 않는다고 생각하기 때문에 그다지 괴로워하지도 않는다.
    • 스토아 학파는 보편적 사랑을 원리로서 가르쳤다.
  • (이후 스토아 철학의 계승자들 내용 생략)
  • 스토아 철학의 2가지 모순
    • 자유의지에 대한 모순
      • 우주에서 일어나는 모든 사건은 앞선 원인들의 결과이고, 개인의 의지는 완벽하게 자율성을 갖는다는 모순이 존재
    • 의지는 자율성을 지니며 덕을 갖춘 의미만이 선하기 때문에 어떤 사람도 남에게 좋은 일을 하지도 못하고 남을 해치지도 못한다. 그러므로 자비란 환상에 지나지 않는다.
  • 스토아 철학자들은 인식론과 자연법, 자연권 학설에 영향을 미침
    • 스토아 철학자들은 플라톤을 무시하고 인식론에 지각을 받아 들임. 그들은 감각의 속임수를 실제로 거짓 판단이라고 주장하고 조금만 주의를 기울이면 피할 수 있다고 주장
  • 스토아 철학자들은 지성의 빛에 따라 명백한, 만인이 인정하는 어떤 원리들이 존재한다고 주장.
    • 이 원리들은 연역법의 기초 명제로 쓰일 가능성이 있었다.
    • 생득 관념들도 비슷하게 정의의 출발점으로 사용되었는데, 이러한 관점을 중세 내내 받아들였고 심지어 데카르트 조차 받아들였다.
  • 16-18세기 자연권 학설은 스토아 학파의 학설을 부활시킨 결과였으나 중요한 수정을 거침. 스토아 철학자들이 자연법과 만민법을 구분.
    • 자연법은 일반적인 모든 지식의 기초를 이루는 제일 원리들에서 도출
    • 스토아 철학자들은 자연에 따라 만인이 동등하다고 주장.
  • 17세기 스토아 학파의 자연법 학설과 자연권 학설은 그리스도교의 옷으로 갈아입고 실천적 힘을 얻음.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 다이버전스, 커얼 – 1

개념

  • 벡터장에서 어떤 점을 기준으로 주변에 많은 벡터들이 퍼지거나 모이거나(다이버전스), 돌아가는 정도(커얼)을 나타내는 법.
    • \vec{p} 주변의 아주 아주 작게 잡은 4개의 벡터만 보면 된다.
    • \vec{p} (p_{1}, p_{2}) 라 할 때 그 주위의 4개 벡터는 다음의 4개가 된다.\vec{F}(p_{1} + \Delta x, p_{2}),  \vec{F}(p_{1} - \Delta x, p_{2}), \vec{F}(p_{1}, p_{2} + \Delta y),  \vec{F}(p_{1}, p_{2} - \Delta y)
  • \mathbb{R}^{2} 에서 다이버전스 정의
    • 2차원 공간에서 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수평인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 퍼지는 정도는 F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) 가 되고 y 축으로 퍼지는 정도는 F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) 가 된다.
    • 총 퍼지는 정도는 x축으로 퍼지는 정도와 y 축으로 퍼지는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} + {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y)  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{1} (p_{1} + \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x} - {F_{1} (p_{1} - \Delta x, p_{2}) - F_{1} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta x}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{2} (p_{1}, p_{2} + \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y} - {F_{2} (p_{1}, p_{2} - \Delta y) - F_{2} (p_{1}, p_{2})  \over 2 \Delta y})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = {\partial F_{1} \over \partial x} |_{(p_{1}, p_{2})} + {\partial F_{2} \over \partial y} |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial F_{1} \over \partial x} + {\partial F_{2} \over \partial y}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = ({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}) \cdot (F_{1}, F_{2}) |_{(p_{1}, p_{2})}
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}|_{(p_{1}, p_{2})}
    • 다이버전스는 각 축에서 퍼지는 정도가 다른 축에 영향이 없으므로 \mathbb{R}^{n} 이라면 n개의 축을 다 더하면 된다.
      • {\partial F_{1} \over \partial x_{1}} + {\partial F_{2} \over \partial x_{2}} + ... + {\partial F_{n} \over \partial x_{n}}
      • = ({\partial \over \partial x_{1}}, {\partial \over \partial x_{2}}, ... , {\partial \over \partial x_{n}}) \cdot (F_{1}, F_{2}, ... , F_{n})
      • = \vec{\nabla} \cdot \vec{F}
  • \mathbb{R}^{2} 에서 커얼 정의
    • 2차원 공간에서 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y축으로 퍼지는 정도를 합하면 된다. 벡터와 수직인 성분들의 합
    • 이때 x축으로 돌아가는 정도는 F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) 가 되고 y 축으로 돌아가는 정도는 F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) 가 된다.
    • 총 돌아가는 정도는 x축으로 돌아가는 정도와 y 축으로 돌아가는 정도를 합하면 되는데 –각 축은 독립적이므로– 각 축의 길이로 나눈 값을 더해준다.
      • {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
    • 아주 가까운 점이어야 하므로 위 식에 limit를 씌우면
      • \lim_{\Delta x \to 0} {F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} +  \lim_{\Delta y \to 0} {F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y})  \over 2 \Delta y}
      • = \lim_{\Delta x \to 0} ({F_{2} (\vec{p} + \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 \Delta x} +  {F_{2} (\vec{p} - \Delta x \hat{x} - F_{2} (\vec{p}) \over 2 (- \Delta x)}) +  \lim_{\Delta y \to 0} ({F_{1} (\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 \Delta y} +  {F_{1} (\vec{p} - \Delta y \hat{y}) - F_{1} (\vec{p})  \over 2 (- \Delta y)})
      • = {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} + {1 \over 2} {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} + {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}}
      • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & 0 \\ F_{1} & F_{2} & 0 \end{array} \right|
      • = 0 \hat{x} - 0 \hat{y} + ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) \hat{z}
      • 2차원에서 회전일 경우엔 z축이 이용된다. cross product
      • ({\partial \over \partial x} F_{2} - {\partial \over \partial y} F_{1}) 은 회전하는 양이 되고, \hat{z} 은 회전하는 방향이 된다.
    • \mathbb{R}^{3} 에서 커얼 정의
      • \mathbb{R}^{3} 에서 회전축은 3개 축의 회전된 정도를 모두 이용한다.
      • \hat{z} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{2}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) - F_{2}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} - {F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) + F_{1}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y}
      • \hat{y} 를 축으로 돌아간 정도
        • -{F_{3}(\vec{p} + \Delta x \hat{x}) + F_{3}(\vec{p} - \Delta x \hat{x}) \over 2 \Delta x} + {F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) - F_{1}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • \hat{x} 를 축으로 돌아간 정도
        • {F_{3}(\vec{p} + \Delta y \hat{y}) - F_{3}(\vec{p} - \Delta y \hat{y}) \over 2 \Delta y} - {F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) + F_{2}(\vec{p} - \Delta z \hat{z}) \over 2 \Delta z}
      • 각 돌아간 정도에 limit를 붙이고 식을 풀어 쓰면 다음과 같은 식이 만들어진다.
        • = {\partial F_{2} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{z} -  {\partial F_{3} \over \partial x} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{1} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{z} + {\partial F_{3} \over \partial y} |_{\vec{p}} \hat{x} + {\partial F_{1} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{y} - {\partial F_{2} \over \partial z} |_{\vec{p}} \hat{x}
        • = \hat{x} ({\partial F_{3} \over \partial y} - {\partial F_{2} \over \partial z})  - \hat{y} ({\partial F_{3} \over \partial x} - {\partial F_{1} \over \partial z}) + \hat{z} ({\partial F_{2} \over \partial x} -  {\partial F_{1} \over \partial y})
        • = \left| \begin{array}{rrr} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} &  {\partial \over \partial z}  \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|
        • = (\vec{\nabla} \times \vec{F})_{\vec{p}}
    • 4차원 이상에서는 커얼을 정의하지 않는다. 왜냐하면 cross product를 4차원 이상에서는 정의하지 않기 때문.

데코수학/ 다변수 벡터함수의 미분 (야코비행렬, 역함수정리)

개념

  • \vec{F}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) = (F_{1}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), F_{2}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}), ... F_{n}(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}))
    • d \vec{F} = (dF_{1}, dF_{2}, ... , dF_{m})
    • = \left( \begin{array}{r} dF_{1} \\ dF_{2} \\ ... \\ dF_{m} \end{array} \right) (벡터가 행렬계산에 쓰일 때는 열벡터로 표기한다.)
    • = \left( \begin{array}{r} a_{11} dx_{1} + a_{12} dx_{2}  + ... + a_{1n} dx_{n}  \\  a_{21} dx_{1} + a_{22} dx_{2}  + ... + a_{2n} dx_{n}  \\ ... \\  a_{m1} dx_{1} + a_{m2} dx_{2}  + ... + a_{mn} dx_{n}  \end{array} \right)
    • = \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... \\ a_{m1} & a_{m2}& ... & a_{mn}  \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} dx_{1} \\  dx_{2}  \\ ... \\  dx_{n}  \end{array} \right)
    • = J_{\vec{F}} \cdot d \vec{x}
      • (J_{\vec{F}} 은 야코비 행렬이라 부른다)
      • 벡터장을 미분하는 것은 야코비 행렬을 구하는 것
  • (J_{\vec{F}})_{ij} := {\partial F_{i} \over \partial x_{j}}
  • \vec{T} : \vec{p} 에서 미분 가능
    • \Leftrightarrow \vec{T}(\vec{x}) = \vec{T}(\vec{p}) + J_{\vec{T}} |_{\vec{p}} (\vec{x} - \vec{p}) + \vec{S}(\vec{x}) \|\vec{x} - \vec{p}\|
      • \lim_{\vec{x} \to \vec{p}} \vec{S}(\vec{x}) = \vec{0}
  • \vec{F} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}, \vec{G} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k} 이고 각각 미분 가능하면
    • \Rightarrow J_{\vec{G} \circ \vec{F}} |_{\vec{x}} = J_{\vec{G}} |_{\vec{F}(\vec{x})} \cdot J_{\vec{F}} |_{\vec{x}}
  • (J_{\vec{G} \circ \vec{F}})_{ij} = {\partial(\vec{G} \circ \vec{F})_{i} \over \partial x_{j}} = {\partial G_{i}(\vec{F}(\vec{x})) \over \partial x_{j}}
    • = {\partial G_{i} \over \partial F_{1}} {\partial F_{1} \over \partial x_{j}} +  {\partial G_{i} \over \partial F_{2}} {\partial F_{2} \over \partial x_{j}} + ... +  {\partial G_{i} \over \partial F_{m}} {\partial F_{m} \over \partial x_{j}} (∵ 연쇄법칙)
    • = \sum_{l = 1}^{m} {\partial G_{i} \over \partial F_{l}} {\partial F_{l} \over \partial x_{j}}
    • = \sum_{l = 1}^{m} (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}})_{il} (J_{\vec{F}})_{lj}
    • = (J_{\vec{G}} |_{\vec{F}} \cdot J_{\vec{F}})_{ij}
  • 역함수 미분법 (일변수 실함수)
    • f(x) : 미분 가능, \forall x, {df \over dx} \neq 0 \Rightarrow \exists f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}
    • f(x) : 미분 가능, f^{-1} 가 존재 \Rightarrow {d \over dt} f^{-1}(t) = {1 \over ({d \over dx} f(x) |_{f(x) = t})}
    • f(x) = x^{2} 과 같은 함수는 역함수가 존재하지 않지만 {df \over dx} \neq 0 인 점에서는 국소적으로 역함수가 존재한다.
  • \vec{F}(\vec{x}) 의 역함수 \vec{F}^{-1}(\vec{x})  가 존재하고 이것들이 미분 가능하면
    • J_{\vec{F}^{-1}} = (J_{\vec{F}})^{-1} 이다.

19.04.06

인류는 어떻게 기술을 발전시켰나

그러나 최근 과학저널 ‘네이처 인간행동’(Nature Human Behaviour)에 발표된 논문에서 미국 애리조나주립대(ASU) 인간 기원 연구소 로버트 보이드(Robert Boyd ) 교수와 이 연구소  맥심 데렉스(Maxime Derex) 박사팀은 사람들이 스스로 하는 일을 이해하지 못 하더라도 문화적 진화가 새로운 적응 지식을 창출할 수 있다는 의견을 제시했다. (중략)

그러나 이런 결과는 바퀴 가속원리에 대한 참가자들의 이해가 증진되지 않은 채 일어난 것으로 밝혀졌다. 실험 후 각 참가자들에게 인과관계를 얼마나 잘 이해하는지 테스트하기 위해 무게 추 위치가 서로 다른 두 바퀴 가운데 어느 쪽이 더 빠른가를 질문해 보았다.

그 결과 인과관계에 대한 이해는 개선되지 않은 것으로 나타났다. 그럼에도 불구하고 참가자들은 과제를 잘 수행했다. 첫 번째 참가자의 응답은 무작위 선택보다 약간 나았고, 다섯 번째 참가자는 평균적으로 첫 번째 참가자보다 이해 정도가 더 낫지는 않았다.

흥미로운 이야기. 실제 우리는 언어를 완전히 이해하고 있지 않지만, 언어를 사용하는데는 무리가 없다. 어떻게 그게 가능할까?

언어 습득에 필요한 정보량을 알아냈다

연구진은 태어나서부터 18세까지를 언어 습득 과정으로 가정하고 이 기간중 언어 정보를 얼마나 뇌 속에 저장하는지 추정했다. 결론은 1.5메가바이트다. 이는 과거 대표적 휴대용 저장장치였던 3.5인치 플로피 디스크 한 장에 담을 수 있는 정보(1.44메가바이트)보다 조금 더 많은 양이다. 물론 이는 어디까지나 수학적 추정일 뿐, 검증된 것은 아니다. 연구진은 "이번 연구는 언어를 완전히 습득하기 위해 배워야 하는 언어정보의 양을 계량화한 첫 시도"라며 "도출된 결과는 생각했던 것보다는 적은 양"이라고 말했다.

이건 정말로 수학적인 수준에서 저장되는 정보의 양을 구한 것인 것 같은데, 흥미롭긴 하지만 실제 뇌가 정보를 그런 식으로 처리할 것 같지는 않다.

‘자주 가는 길’ 찾는 뇌 부위는 따로 있다

연구팀은 먼저, 새로 알게 된 어떤 목적지를 찾아가는 길은 대뇌 측두엽의 해마(hippocampus)가 추적한다는 걸 확인했다. 해마는 오래전부터 새로운 것을 배우는 학습에 관여하는 것으로 알려졌다.

그러나 잘 아는 장소에 갈 땐 그 길을 추적하는 부위가 후뇌량팽대 피질(retrosplenial cortex)로 바뀌었다. 뇌량(corpus callosum)은 대뇌의 좌우 반구를 연결하는 신경섬유 조직(백질판)이고, 팽대는 뇌량의 뒷부분을 말한다.

그렇다고 합니다.

지금까지 이런 게놈은 없었다…컴퓨터로 디자인한 인공게놈 첫 탄생

연구팀은 전 세계 민물에 널리 퍼져 있는 비병원성 세균인 카울로박터 크레센투스(Caulobacter crescentus)에 주목했다. 이 세균은 유전자 4000개를 가지고 있는데 이 중 680개가 생존에 꼭 필요하다. 이 최소한의 게놈만을 가진 세균이 실험실에서 생존하는 실험에 성공한 바 있다. 

연구팀은 이 세균이 갖고 있는 최소한의 게놈을 토대로 새로운 게놈을 합성시켰다. 이때 연구팀은 자체 개발한 컴퓨터 알고리즘을 이용해 기존의 유전자를 새롭게 바꾸었다. DNA 염기서열 수준에서 생명체가 중복으로 갖고 있는 부분을 빼는 등 간소화시키고 생물학적 기능이 크게 달라지지 않도록 최소한으로 편집했다. 이렇게 염기서열을 단순화시킨 덕분에 합성하기가 훨씬 수월했다. 

유전자에는 아무 쓸모 없는 정보가 많다던데 아마도 진화 과정에서 이제는 안 쓰이는 정보가 남아 있기 때문이 아닐까 싶다. 그런 불필요한 정보를 제거한 실험인 듯.

하나 궁금한 것은 세포는 어느 게 쓸모 있고 어느게 쓸모 없는건지 어떻게 알까?

교도소 노역도 육체노동에서 IT노동으로 바뀌나

바이누는 고객이 새로운 거래처를 찾는 것을 돕기 위한 빅데이터를 구축하는 스타트업이다. 수십만의 경제 기사를 인터넷에서 읽고 분류해 이를 인공지능(AI)이 학습하도록 하고, 여기서 얻은 데이터를 바탕으로 새로운 거래처를 추천한다. 분류는 기사에서 찾은 단어가 고객이 원하는 분야와 이어지는지를 확인하는 방식으로 이뤄진다. 기사에 ‘애플’이 나오는 경우 아이폰을 파는 정보통신(IT)기업인지 혹은 사과를 판매하는 과일 회사인지를 구분하는 식이다. 

기사가 영어일때는 문제가 되지 않는다. 바이누는 영어의 경우 미국 전자상거래 기업 아마존이 운영하는 ‘메커니컬 터크’를 활용한다. 요청자와 작업자를 이어주는 크라우드 소싱 서비스인 메커니컬 터크를 통해 기사를 분류할 사람을 찾고 임금을 지불하면 되기 때문이다. 문제는 다른 언어를 쓰는 국가의 경우는 이를 활용할 수 없다는 점이다. 바이누는 핀란드 기업임에도 회사 내에 핀란드어로 분류를 하는 직원이 1명밖에 없다.

인공지능 시대 새로운 일자리가 컴퓨터에게 학습 시키는 일인데 그걸 교도소에서 노역으로 하는구나.

보스턴 다이내믹스, 물류로봇 시장 진출

미국의 대표적인 로봇 연구개발업체 보스턴 다이내믹스가 마침내 로봇 시장에 진출한다. 그동안 연구용 시제품을 팔아왔던 단계에서 벗어나 실제 산업현장에 뛰어든다. 회사 출범 17년만이다. 그 첫 제품은 물류센터의 하역로봇이다. (중략)

보스턴 다이내믹스는 "피크는 세계 최초의 딥러닝 기반 로봇 하역 솔루션"이라며 "피크 시스템은 브라우저 기반의 그래픽 기술과 고해상도 평면 및 입체 센서를 이용해 하역 작업을 빠르게 진행할 수 있다"고 밝혔다.

확실히 비즈니스는 될 것 같다.

러셀 서양철학사/ 에피쿠로스 학파

  • 헬레니즘 시대에 새로 출현한 스토아 학파와 에피쿠로스 학파의 사상을 형성한 기초는 같은 시대에 세워졌다.
    • 스토아 학파는 제논이, 에피쿠로스 학파는 에피쿠로스가 창시했다.
  • 에피쿠로스 학파의 공동체 생활은 단순하고 소박했는데, 한편으로는 원칙을 지켰기 때문이고 다른 한편으로는 돈이 부족했기 때문이다.
  • 에피쿠로스는 한평생 건강이 좋지 않아 시달렸지만, 불굴의 정신력으로 이겨내는 법을 터득했다. 인간은 크나큰 고통 속에서도 행복해질 수 있다는 주장을 최초로 한 사람은 스토아 학파가 아니라 에피쿠로스 였다.
  • 에피쿠로스의 철학은 일부 회의주의 철학을 예외로 두면 당시 유행한 모든 철학과 마찬가지로 일차적으로 마음의 평정을 보장하려는 목적으로 기획되었다.
    • 그는 쾌락을 선이라 생각하고, 이 견해에서 나올만한 모든 결론을 일관성 있게 고수했다.
    • 그는 ‘쾌락은 축복받은 삶의 시초이자 목적이다’라고 말했다.
    • 모든 선의 시초이자 근원은 위와 관련된 쾌락이며, 지혜와 문화도 이러한 쾌락에 돌리지 않으면 안 된다.
    • 정신의 쾌락은 육체의 쾌락을 관조하는 활동이라고 한다.
  • 에피쿠로스는 능동적인 쾌락과 수동적인 쾌락, 동적인 쾌락과 정적인 쾌락을 구분하는 점에서 이전의 몇몇 쾌락주의자들과 의견이 다르다.
    • 동적인 쾌락은 바라는 목적을 달성하고 고통이 동반되던 이전의 욕망을 충족할 때 존재한다. 정적인 쾌락은 만약 없으면 바라게 되는 사태가 존재하기 때문에 생기는 평형 상태에 존재한다.
    • 배고픔의 충족이 진행 중이라면 동적인 쾌락이지만, 배고픔이 완전히 충족되어 도달한 활동 없는 상태는 정적인 쾌락이라 할 수 있다.
    • 에피쿠로스는 두 가지 쾌락 가운데 정적인 쾌락을 추구하는 것이 더 현명하다고 주장
    • 우리는 격렬한 기쁨보다 평형 상태와 온화한 쾌락을 추구해야 마땅하다.
    • 에피쿠로스는 실제로 현자의 목표는 쾌락을 주는 것이 아니라 고통을 없애는 일이라고 생각한다.
    • 성적인 사랑은 가장 동적인 쾌락 가운데 하나로 당연히 금지되었다.
    • 사회생활을 통해 얻는 쾌락 가운데 제일 안전한 것은 우정이다.
  • 에피쿠로스는 공포를 불러 일으키는 강력한 근원 두 가지는 종교와 죽음에 대한 두려움이라고 주장.
  • 에피쿠로스는 유물론자였으나 결정론자는 아니었다.
  • 에피쿠로스는 과학 자체에 관심을 갖지 않는다.